Variável discreta: X = número de divórcios por indivíduo

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1 5. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas descrtvas de posção e de dspersão. A) Varáves dscretas: para varáves dscretas os resultados com dados agrupados são os mesmos quando se tem a amostra, pos esta pode ser recomposta com as frequêncas da tabela. Eemplo : Dados coletados em entrevstas com 500 pessoas sendo coletadas nformações sobre o tempo de casamento até o prmero dvórco e o número de dvórcos de cada. Varável dscreta: X = número de dvórcos por ndvíduo Tabela de frequêncas. Dvórcos = n f Fac f n Total ) Méda amostral: k é o número de classes na tabela de frequêncas, então, a méda amostral pode ser calculada fazendo

2 n j n j k n n k n n, ou seja, k f. Portanto, no eemplo temos: k f =.9 dvórcos ( dvórcos) ) Varânca e desvo padrão amostras: da mesma forma como no caso anteror, podemos obter a varânca amostral fazendo: n j j k n. Desta forma, s n ( n ) (.9) (500 ) s.06 dvórcos ( dvórco) ) Medana: a medana pode ser obtda por meo da frequênca acumulada. Como a frequênca acumulada da medana é 0.50, F ac [med()] = 0.50,

3 basta dentfcar a classe para a qual F ac ( ) 0.50, portanto, med() = dvórcos (F ac em = é maor que 0.50) v) uarts: para os quarts, procedemos da mesma forma como para e medana, pos as frequêncas acumuladas de e são 0.5 e 0.75, respectvamente, ou seja F ac ( ) = 0.5 e F ac ( ) = Desta forma, os quarts e são obtdos dentfcando as classes para as quas F ac ( ) 0.5 e F ac ( ) 0.75, respectvamente. dvórco (F ac em = é maor que 0.5) dvórcos (F ac em = é maor que 0.75) Outra representação para a tabela pode ser obtda representando-se os desvos ( ) dretamente: Dvórcos = n f Fac f ( ) n ( ) Total Méda amostral: Varânca amostral: f =.9 dvórcos ( n ) s

4 No eemplo acma, a localzação das meddas de posção medana e quarts fcou bastante facltada pela confguração da tabela. Atenção especal, no entanto, deve ser dedcada quanto alguns valores da varável X, totalzam as frequêncas acumuladas referentes às meddas desejadas. Nestes casos, devemos observar a posção da medda desejada na amostra. Por eemplo, consdere a tabela abao representando a dstrbução de frequêncas de uma varável X. Então: n n acum. f Fac f n Total méda amostral: k f = varânca amostral: n ( n ) s 99 6 (4.806) (6) s desvo padrão amostral: s. 75

5 A medana está entre a tercera e quarta classes, pos F ac (4) = Desta forma, vemos dretamente da tabela que: 4 5 med ( ) 4.5 n 6 De fato, a medana ocupa a posção: 8. 5, logo, (8) (9 ) 4 5 med ( ) 4.5. Para a obtenção dos quarts, o procedmento é semelhante. Como n é par, podemos encontrar os quarts como as observações centras das metades nferor e superor à medana. Desta forma, está entre a segunda e tercera classes. Como metade das observações é gual a 8, ocupa a posção: 8 9.5, (9) (0) 4 sendo gual a:. 5. Contudo, pode ser obtdo dretamente da tabela, vsto que F ac () = 0.5.

6 Podemos ver que pertence à qunta classe, pos F ac (6) 0.75, ou seja, 6.0. Nota: Caso seja escolhdo o método da nterpolação ntroduzdo por Murtera (00), teremos: n a) A posção de é dada por 9. 75, logo: 4 (9) 0.75( (0) (9) ) 0.75(4 ).75. n b) Posção de : 7. 5, logo: 4 (7 ) 0.5( (8) (7 )) (6 6) 6.00.

7 B) Varáves Contínuas: no caso de varáves contínuas os resultados com dados agrupados não são os mesmos quando se tem a amostra. Neste caso, faz-se uma apromação a partr da suposção de que os dados estão dstrbuídos de manera unforme dentro da classe. A partr desta suposção, como as classes têm ampltude h, tomamos os seus pontos médos como referênca e, a partr daí, procedemos da mesma manera como no caso anteror para o cálculo de e s. Para as meddas de posção, com a suposção de unformdade dos pontos nas classes, devemos dentfcar o ponto eato para o qual a frequênca acumulada é gual àquela desejada. Eemplo 4: Dados coletados em entrevstas com 500 pessoas sendo coletadas nformações sobre o tempo de casamento até o prmero dvórco e o número de dvórcos de cada. Varável contínua: X = tempo, em anos, até o prmero dvórco. Tabela de frequêncas. Anos até º. Pto. médo dvórco n f Fac f n Total ) Méda amostral: f = 6.90 anos

8 ) Varânca e desvo padrão amostras: s n ( n ) (6.90) (500) s 5.6 anos ) Medana: Pertence à ª classe, pos sua F ac é maor do que Regra de três (6 0) 0.56, med( ) de onde se obtêm: med ( ) med ( ) med( ) anos

9 v) uarts: pertence à ª classe, pos sua F ac é maor do que 0,5. Regra de três (6 0) , anos pertence à ª classe, pos sua F ac é maor do que 0,75. A frequênca cumulada até a classe anteror é 0.56, portanto, faltam de frequênca.

10 Regra de três ( 6) , anos Outra representação: Anos = ptos. médos n f Fac f ( ) n ( ) Total Méda amostral: f = 6.90 anos Varânca amostral: 85 s anos ( n ) 499

11 v) Moda: Para dados agrupados, ao nvés da moda, pode-se consderar a classe modal, que neste caso é a ª classe, com frequênca gual a 80, ou seja, a classe modal sera: [ 0; 6) anos. Porém, uma opção mas aproprada sera a moda de Czuber, calculada a segur: Neste caso: L I = 0, h = 6, d a = 80 e d p = 40, portanto: mo cz 80 ( ) 0 6 (80 40) mo cz

12 Eemplo : Notas no teste GMAT na seleção de alunos de graduação numa unversdade amercana. Tabela de frequêncas. Escores Pto. médo: n f f n Totas ) Méda amostral: f = pts ) Varânca e desvo padrão amostras: s n n ( n ) pts s pts Hstograma:

13 ) Moda: Pelo método de Czuber, temos: L I = 450, h = 50, d a = 6 e d p = 9, portanto: mo cz 6 ( ) (6 9) 00 5 mo cz ( ) Percents amostras pelo gráfco da dstrbução acumulada Escores Pto. médo: n f Fac Totas

14 Obtenção da medana por semelhança de trângulos: Regra de três: med( ) , med ( ) med ( ) 480. pts

15 O mesmo procedmento pode ser realzado para a obtenção dos quarts , pts , pts

16 A segur são apresentados mas eemplos com dados agrupados: o prmero caso com dados dscretos e o segundo, dados contínuos. Eemplo 5: dados coletados em entrevstas com 48 mulheres de uma comundade rural sobre o número de vezes que fcaram grávdas (dados fctícos). X = varável número de gravdezes por mulher n Tabela de frequêncas f F ac f n ( ) Total Calcular a méda, varânca, medana, moda, quarts: ) Cálculo da méda: k f ( 0.46) ( 0.7) ( 0.9) ( ) (5 0.5) (6 0.08) k f k f.08 gravdezes

17 ) Cálculo da varânca e desvo padrão: s k n n s,9.54 gravdezes ) Cálculo da medana: med ( ) gravdezes pos F ac () > v) Cálculo dos quarts: gravdezes pos F ac () > gravdezes pos F ac (4) > v) mo ( ) gravdezes observação com maor frequênca. Fgura : Hstograma do número de gravdezes/mulher (dados fctícos).

18 Eemplo 6: Saláro de 6 funconáros da Companha MB em número de saláros mínmos (dados fctícos) X = saláro (sm) Tabela de frequêncas classes Pto. n Médo f F ac f n ( ) Total Calcular a méda, varânca, medana, moda, quarts: (no caso,, =,,, k são os pontos médos das classes) ) Cálculo da méda: k f.4 sm

19 ) Cálculo da varânca e desvo padrão: s k n n s sm ) Medana: med () pertence à ª classe, pos a ª classe acumula mas de 50% dos dados ( F 0. 50). Como até a classe anteror temos 0.8 de dstrbução acumulada, os 0. restantes para totalzar 0.50 devem ser obtdos da ª classe. Assm, por meo da proporconaldade entre os retângulos na fgura (regra de três), obtém-se a medana. ac Logo, ( 8) 0., med( ) 8 0. de onde se obtêm: med ( ) 80. (8) med ( ) 8 0. med( ) 0.67sm

20 v) uarts: Para os quarts o procedmento é semelhante ao da medana. Para o quartl devemos encontrar a classe que acumula uma frequênca gual ou maor do que 0.5. Desta forma, pertence à ª classe, que acumula uma frequênca gual a 0.8. Num procedmento semelhante ao anteror, temos: Portanto, (8 4) de onde se obtêm: sm pertence à ª classe, que acumula uma frequênca gual a 0.8 (> 0.75). Desta forma, temos:

21 Portanto, (6) de onde se obtêm: sm

22 Os cálculos acma podem resumdos na fórmula dos percents amostras. No caso a medana é o percentl 0.50 (50%) e sua fórmula é dada por: Em que: med( ) h = ampltude da classe; ( ) h 0.50 Fac Lnf, f L nf = lmte nferor da classe da medana; f = frequênca relatva da classe que contém a medana; () F = frequênca acumulada até a classe medatamente ac anteror à classe da medana. Obs: Para os quarts e a fórmula é a mesma, substtundo apenas a frequênca 0.5 por 0.5 e 0.75, respectvamente.

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