3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas Numéricas

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1 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA DE TRASPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMETO DE EGEHARIA CIVIL ECV DISCIPLIA: TGT41006 FUDAMETOS DE ESTATÍSTICA 3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Meddas umércas os eemplos anterores fo revsto como sntetzar os dados Estatístca Descrtva utlzando os métodos tabulares e gráfcos. a sequênca revsaremos como calcular e nterpretar algumas das estatístcas usadas. Além da méda, da medana e da moda revsaremos outras estatístcas descrtvas, por eemplo, ampltude, desvo padrão, percents e correlação. Tas estatístcas ajudarão na compreensão e nterpretação dos dados. 1. MEDIDAS DE POSIÇÃO Méda da amostra: observados (meddos) Méda da população: n onde n é o tamanho da amostra e são os valores onde é o tamanho da população Medana: organzar os dados em ordem crescente; a) para um número ímpar de observações a medana é o valor ntermedáro; b) para um número par de observações, a medana é a méda dos dos valores ntermedáros. Moda: de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maor frequênca. Percents quarts: aplcação restrta em engenhara.... MEDIDAS DE VARIABILIDADE Ampltude: por defnção a ampltude é a dferença entre o maor valor e o menor valor de um conjunto de dados. ão dz muta cosa... Varânca da amostra: ( ) s n 1 ( ) Varânca da população: Desvo padrão da amostra: ( ) s s s n 1 ( ) Desvo padrão da população: s Coefcente de varação: cv 100 % Observação: O coefcente de varação de uma amostra nos nforma qual o valor percentual do desvo padrão em relação a méda da amostra. Em geral o cv é uma estatístca útl para comparar a varabldade de varáves que possuem desvos padrão dferentes e médas dferentes.

2 Aplcações:.1 As pontuações de um jogador de bolche em ses jogos foram 18, 16, 184, 190, 170 e 174. Usando esses dados como uma amostra calcular: a) Ampltude: b) Varânca: c) Desvo padrão: d) Coefcente de varação: Pontos Méda: = ( ) ( ). Os preços de aluguel de carro por da de uma amostra de sete cdades da regão leste dos EUA são os seguntes: Cdade Taa Cdade Taa Cdade Taa Cdade Taa Boston U$ 43 Atlanta U$ 35 Mam U$ 34 ew York U$ 58 Orlando U$ 30 Pttsburg U$ 30 Washngton U$ 36 a) Calcule a méda:. a varânca:. e o desvo padrão dos preços de aluguel de carros:. b) Uma amostra smlar de sete cdades da regão oeste dos EUA apresentou um preço médo da amostra correspondente a U$ 38 por da de aluguel de carros. A varânca e o desvo padrão foram 1,3 e 3,5, respectvamente. Dscuta quasquer dferenças entre os preços de aluguel de carros nas cdades do oeste e do leste dos EUA...3 Foram regstrados os seguntes tempos pelos corredores de 400 e metros de uma equpe de atletsmo de uma Unversdade (tempo em mnutos): Tempo para 400m: 0,9 0,98 1,04 0,90 0,99 s = cv = Tempo para 1.600m: 4,5 4,35 4,60 4,70 4,50 s = cv = Depos de ver essa amostra de tempos de corrda, um dos trenadores comentou que os corredores de 400 metros apresentaram tempos mas constantes. Use o desvo padrão e o coefcente de varação para sntetzar a varabldade dos dados. O uso do coefcente de varação ndca que o comentáro do trenador se justfca?.

3 3. MEDIDAS DA FORMA DA DISTRIBUIÇÃO, DA POSIÇÃO RELATIVA E DETECÇÃO DE POTOS FORA DA CURVA FORMA DA DISTRIBUIÇÃO uma medda numérca da forma de uma dstrbução é a assmetra. A epressão analítca é dada por: n Ass ( ) ( n 1)( n ) s 3. Softwares como o Ecel fornecem prontamente o valor da assmetra. Dados nclnados à esquerda, a assmetra é negatva; nclnados à dreta, a assmetra é postva; dados smétrcos a assmetra é nula. PADROIZAÇÃO ou contagen-z: z s TEOREMA DE CHEBYSHEV pelo menos (1 1/z ) dos valores de dados devem estar contdos em z desvos padrão da méda, em que z é qualquer valor maor que 1. z = pelo menos 75% dos valores de dados estarão contdos nesse ntervalo; z = 3 pelo menos 89% dos valores de dados estarão contdos nesse ntervalo; z = 4 pelo menos 94% dos valores de dados estarão contdos nesse ntervalo. Eemplo: notas dos eames semestras de 100 estudantes de um curso de estatístca apresentam as seguntes nformações: méda 70 pontos e desvo padrão de 5 pontos. a) Quantos estudantes tveram notas no eame entre 60 e 80 pontos? (Resp: 75%) b) Quantos estudantes tveram notas entre 58 e 8 pontos? (Resp: 8,6%) Regra empírca Dstrbução normal A dstrbução dos dados é uma normal quando apresenta uma forma smlar a forma de morro ou sno. Para dados que possuem dstrbução com essa forma pode-se dzer que: a) Apromadamente 68% dos valores de dados estarão contdos num ntervalo de um desvo padrão da méda; b) Apromadamente 95% dos valores de dados estarão contdos em um ntervalo de dos desvos padrão da méda; c) Apromadamente 99,5% dos valores de dados estarão contdos em um ntervalo de três desvos padrão da méda. Grandezas como tempo, volume, massa, velocdades, etc. apresentam dstrbução de frequênca normal. Eemplo: As embalagens de detergente líqudo são preenchdas automatcamente em uma lnha de produção. Os volumes de preenchmento possuem dstrbução normal. Se a méda dos volumes de preenchmento for 16 onças (473,1 ml) e o desvo padrão 0,5 onça (7,4 ml), pode-se trar as seguntes conclusões: (* - 1 onça amercana = 9,57 ml; 1 onça nglesa = 8,4 ml) - apromadamente 68% das embalagens cheas terão carga entre 15,75 e 16,5 onças (um desvo); - apromadamente 95% das embalagens cheas terão carga entre 15,50 e 16,50 onças ( desvos); - apromadamente 99,5% das embalagens cheas terão carga entre 15,5 e 16,75 onças (3 desvos). DETECÇÃO DE POTOS FORA DA CURVA Pontos fora da curva são relatvos aos dados com valores ecepconalmente grandes ou pequenos. Antes de elmná-los, devem-se analsar três hpóteses: a) Um ponto fora da curva pode ser um valor de dados que fo ncorretamente regstrado: neste caso é possível corrgr e prossegur a análse. b) Um ponto fora da curva também pode ser provenente de uma observação que fo

4 ncorretamente ncluída no conjunto de dados: nesse caso ela deve ser elmnada. c) Pode anda ser um valor de dados ncomum que fo regstrado corretamente e que pertence ao conjunto de dados. esses casos ele deve permanecer. d) A padronzação ou contagem-z permte analsar, com boa segurança, a estênca de pontos fora da curva; essa técnca deve ser usada em conjunto com a regra empírca ou dstrbução normal. 4. MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO ETRE DUAS VARIÁVEIS Agora, o nteresse reca em conhecer o comportamento não de uma varável apenas, mas de duas varáves. Em geral se quer saber qual a relação entre duas varáves ou mas. As meddas descrtvas da relação entre duas varáves são: a covarânca e a correlação. Covarânca medda descrtva da assocação lnear entre duas varáves; e y são as observações das varáves e y. O tamanho da amostra em análse é desgnado por n. s y y ( )( y y) n 1 ( )( y y ) Interpretação da covarânca:

5 Coefcente de correlação é um número que ndca a relação lnear entre duas varáves. Usa o conceto de covarânca entre as varáves. r y sy s. s y y y. y Interpretação do coefcente de correlação: r gual a +/- 1 ndca relação lnear perfeta entre as varáves; r = 0 ndca nenhuma relação lnear entre as varáves. Para valores de r dferentes de zero e um, há ndcação de alguma relação lnear. Como eemplo verfque a relação entre as varáves baseando-se nos seguntes dados amostras: y s y = 100 s = 5 s y = 0 r y = MÉDIA PODERADA VALORES IDIVIDUAIS E AGRUPADOS Em algumas stuações a méda artmétca não reflete com precsão o valor médo. Pode ocorrer superestmação ou subestmação. estes casos a méda ponderada é sempre mas ndcada. O problema na adoção da méda ponderada é a fação dos pesos de cada observação. O peso deve sempre refletr o grau de mportânca de cada observação no cálculo da méda. Como eemplo clássco de uso da méda ponderada é o cálculo da méda escolar quando os resultados são epressos através de escores A (4), B (3), C (), D (1) e F (0). Os pesos são o número de horascrédto conqustadas para cada grau. Outro eemplo: os dados a segur referem-se a cnco compras de determnada matéra prma ao longo dos últmos 3 meses. O gerente quer saber o custo médo por qulo da matéra prma. Compra Custo por qulo (R$) Quantdade (Kg) 1 3, , , , ,5 800 O resultado apontou um custo médo de R$,96 por qulo; quas os pesos utlzados? Dados agrupados não raras vezes os dados para análse estatístca se apresentam na forma agrupada ou na forma de dstrbução de frequênca. estes casos também é possível estmar a méda e a varânca (desvo padrão) de dados agrupados. f. M n f( M ) s n 1 f. M f( M ) Eemplo: os dados a segur sntetzam a dstrbução de frequênca dos tempos necessáros para conclusão dos trabalhos de audtora de uma determnada empresa. Qual é o tempo médo para a

6 conclusão das audtoras relatvo à amostra? Tempo (das) Frequênca f Méda da amostra: Varânca: Desvo padrão: s 30 das 19 das s 5,48das Ponto médo M f. M Desvo ( M ) (Desvo) ( M ) f ( M ) OBSERVAÇÃO: quando calculamos a estatístca descrtva de dados agrupados utlzamos os pontos médos da classe para apromar os valores de dados da classe; sso fornece apenas uma apromação da estatístca descrtva se usássemos os dados orgnas dretamente. Portanto, SEMPRE QUE POSSÍVEL USE OS DADOS ORIGIAIS PARA CALCULAR A ESTATÍSTICA DESCRITIVA.!!!!! EXERCÍCIOS E APLICAÇÕES 1. A grade pont average (GPA) dos estudantes unverstáros norte-amercanos basea-se no cálculo de uma méda ponderada. a maora das escolas de ensno superor (colleges) são atrbuídos valores aos graus conforme descrto acma. Depos de 60 horas-crédto de trabalho acadêmco, um estudante de uma unversdade públca ganhou 9 horas-crédto para A, 15 horascrédto para B, 33 horas-crédto para C e 3 horas-crédto para D. a) calcule o GPA do estudante; b) os estudantes da escola públca precsam manter um GPA de,5 para suas prmeras 60 horascrédto de trabalho acadêmco a fm de serem admtdos na escola de Admnstração. Esse estudante será admtdo? GPA () Pesos (w) (w. ) 4 (A) 9 3 (B) 15 (C) 33 1 (D) 3 0 (F) 0 a) w. w = b) É admtdo?. Um posto de gasolna regstrou a segunte dstrbução de frequênca para o número de galões de gasolna venddos por carro em uma amostra de 680 carros. Gasolna galões Frequênca f Ponto médo M f. M Desvo ( M ) (Desvo) ( M ) f ( M )

7 Calcule a méda (10,74), a varânca (5,63) e o desvo padrão (5,06) desses dados. Se o posto de gasolna espera atender cerca de 10 carros em determnado da, estme o número total de galões de gasolna que serão venddos (1.88,80). 3. Cnco observações fetas de duas varáves são apresentadas a segur: X Y a) Desenvolva um gráfco de dspersão desses dados; b) O que o dagrama de dspersão ndca a respeto da relação entre e y? c) Calcule e nterprete a covarânca da amostra. (Resp: 6,5) d) Calcule e nterprete a correlação da amostra. (Resp: 0,693) 4. Um estudo do Departamento de Transportes sobre a velocdade ao volante e a mlhagem de automóves de tamanho médo resultou nos seguntes dados: Vel. ao volante Mlhagem Calcule e nterprete o coefcente de correlação da amostra. (Resp: -0,91) 5. Suponha que os dados tenham uma dstrbução em forma de sno (normal) com uma méda gual a 30 e desvo padrão gual a 5. Determnar a percentagem de dados que se encontram dentro de cada um dos ntervalos: a) 0 a 40 b) 15 a 45 c) 5 a Os elevados custos pratcados no mercado mobláro da Calfórna fzeram com que as famílas que não podem se dar ao luo de comprar casas maores consderem as construções de quntal como uma alternatva de epandr suas resdêncas. Mutas utlzam as estruturas estentes em seus quntas como escrtóros, estúdos artístcos e áreas de lazer, bem como para armazenamento adconal. O preço médo de uma construção de quntal personalzada, feta em madera e coberta com telhas de amanto é US$ Suponha que o desvo padrão seja de US$ a) qual é a contagem-z de uma estrutura de quntal que custa US$.300? b) qual é a contagem-z de uma estrutura de quntal que custa US$ 4.900? c) Interprete as contagens-z dos tens (a) e (b). Comente se algum deles sera consderado fora da curva.. d) Um artgo de jornal descreveu a combnação de uma edícula-escrtóro construída em Albany, Calfórna, por US$ Essa estrutura devera ser consderada fora da curva? Eplque.. 7) Os dados a segur foram usados para construr os hstogramas do número de das necessáros para a empresa A e a empresa B emtrem os peddos de compra: Empresa A prazos (das) Empresa B prazos (das) Use a ampltude e o desvo padrão para sustentar a observação de que a empresa A apresenta os prazos de entrega mas coerentes e confáves. Empresa (A) Ampltude: Desvo padrão: Empresa (B) Ampltude: Desvo padrão: Relatóro:. Fpols, 15/06/015 Prof. Jurgen / Prof. Jucle

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