Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Estatística

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1 Escola Secundára com º cclo D. Dns 10º Ano de Matemátca A Estatístca Trabalho de casa nº 15 GRUPO I 1. Num referencal o.n. Oxyz, a undade é o cm e a esfera defnda por ( ) ( ) está nscrta num cubo. O volume do cubo é: x + y + z (A) 4096cm (B) 768cm (C) 64cm (D) 51cm. Relatvamente a um referencal o.n. Oxy, as rectas de equações y = ax + e ( x, y) = (,1) + k (, ),k R são paralelas. Então: (A) a = (B) a = (C) 1 a = (D) a =. Na fgura estão representadas: Parte do gráfco de uma função quadrátca f. Parte do gráfco de uma função afm g. Qual dos seguntes conjuntos pode ser o conjunto-solução da nequação f ( x) g( x) 0? (A) ] 4, [ ] 0, + [ (B) ], 4[ ],0[ (C) [ 4, ] [ 0, + [ (D) ], 4] [,0] y y x 4 4. Consdere a função polnomal f representada. f tem zeros em, 0 e,9, tem dos mínmos um é zero e o outro é e tem um máxmo que é x Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectvo 009/010

2 Seja g a função defnda por g( x) = f ( x) +. O contradomíno de g é: (A) [ 0,+ [ (B) [,+ [ (C) [ 4, + [ (D) [,6 ] 5. Inqurram-se 5 jovens sobre o número de rmãos. Os dados estão representados no gráfco. A moda e a méda desta dstrbução são: rmãos 1% 0 rmãos 4% (A) (B) Mo = 1 e x = 1,16 Mo = 0 e x = 1,16 rmãos 16% (C) (D) Mo = 1 e x = 4 Mo = 1 e x = 0,04 1 rmão 48% GRUPOII 1. O lançamento do dardo é uma dscplna do atletsmo que consste em atrar o mas longe possível, após uma pequena corrda, uma lança chamada dardo. O Pedro está a efectuar um lançamento e a trajectóra do dardo é dada por ( ) h x = 0,01x + 0,95x + 1,75, x R, + 0 onde h( x ) representa a altura, em função da dstânca horzontal x percorrda, em metros, desde que sa da mão do Pedro até atngr o solo Determne analtcamente a altura ncal do dardo. 1.. Determne analtcamente a altura máxma atngda pelo dardo na sua trajectóra. 1.. O recorde mundal do lançamento do dardo é de 98,48 metros e pertence ao checo Jan Zelezny. Recorrendo às capacdades gráfcas da calculadora, avergúe se o Pedro conseguu ultrapassar esse recorde. Apresente o(s) gráfco(s) utlzado(s) e as coordenadas dos pontos consderados relevantes, utlzando valores aproxmados às centésmas.. Consdere a função polnomal defnda por f ( x) = x x 4x Sabendo que 1 é zero de f, decomponha o polnómo em factores do prmero grau. Professora: Rosa Canelas Ano Lectvo 009/010

3 .. Resolva analtcamente a condção f ( x) 0.. Uma empresa realzou um estudo sobre o número de anos de estudo dos seus 55 funconáros e obteve os dados que constam da tabela segunte: Anos de estudo n Construa um gráfco à sua escolha que traduza os resultados deste estudo... Determne as frequêncas relatvas e as frequêncas relatvas acumuladas... Determne analtcamente o número médo de anos de estudo dos funconáros desta empresa..4. Construa um dagrama de extremos e quarts e ndque um ntervalo onde se stuem 75% dos anos de estudo dos funconáros da empresa. Fm Professora: Rosa Canelas Ano Lectvo 009/010

4 Escola Secundára com º cclo D. Dns 10º Ano de Matemátca A Estatístca Trabalho de casa nº 15 Proposta de resolução GRUPO I 1. (D) Num referencal o.n. Oxyz, a undade é o cm e a esfera defnda por ( ) ( ) x + y + z está nscrta num cubo. Como o rao da esfera é 4 a aresta do cubo é 8 e o volume do cubo é V = 8 = 51 cm. (A) Relatvamente a um referencal o.n. Oxy, as rectas de equações y = ax + e ( x, y) = (,1) + k (, ),k R são paralelas. Então se as rectas são paralelas é porque têm o mesmo declve. A prmera recta tem declve a e a segunda tem declve gual ao declve do vector drector da recta, pelo que a =. (C) Na fgura estão representadas: Parte do gráfco de uma função quadrátca f. Parte do gráfco de uma função afm g. o conjunto-solução da nequação f ( x) g( x) 0 é [ 4, ] [ 0, + [ y x x f ( x ) g( x ) f ( x) g( x) (B) Consdere a função polnomal f representada. f tem zeros em, 0 e,9, tem dos mínmos um é zero e o 5 4 y outro é e tem um máxmo que é 1. Seja g a função, (representada a castanho) defnda por g( x) = f ( x) +. O contradomíno de g é [,+ [ x Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectvo 009/010

5 5. (A) Inqurram-se 5 jovens sobre o número de rmãos. Os dados estão representados no gráfco. A moda é 1 por ser o valor da varável com maor frequênca e a méda desta dstrbução é x = 0 0, , ,16 + 0,1 = 1,16 rmãos 1% rmãos 16% 0 rmãos 4% 1 rmão 48% GRUPOII 1. O lançamento do dardo é uma dscplna do atletsmo que consste em atrar o mas longe possível, após uma pequena corrda, uma lança chamada dardo. O Pedro está a efectuar um lançamento e a trajectóra do dardo é dada por ( ) h x = 0,01x + 0,95x + 1,75, x R, + 0 onde h( x ) representa a altura, em função da dstânca horzontal x percorrda, em metros, desde que sa da mão do Pedro até atngr o solo A altura ncal do dardo é 1,75 m dado por h( 0) = 1, Determnemos analtcamente a altura máxma atngda pelo dardo na sua trajectóra, calculando a ordenada do vértce da parábola que representa h. Comecemos por calcular o zeros de ( ) y = 0,01x + 0,95x + = + = = = 0,01x 0,95x 0 x 0,01x 0,95 0 x 0 x 95 A abcssa do vértce da parábola que representa h é = 47,5 A ordenada do vértce da parábola que representa h é h( 47,5) = 0,01 47,5 + 0,95 47,5 + 1,75 = 4,15 m A altura máxma atngda pelo dardo é 4,15 m 1.. O recorde mundal do lançamento do dardo é de 98,48 metros e pertence ao checo Jan Zelezny. Recorrendo às capacdades gráfcas da calculadora, averguámos se o Pedro conseguu ultrapassar esse recorde conclundo que não porque ele só atngu a marca de 96,81m, como se vê pelo cálculo do zero postvo da função h. O ponto em questão tem coordenadas ( 96,81;0 ) (valores aproxmados às centésmas). Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectvo 009/010

6 . Consderemos a função polnomal defnda por f ( x) = x x 4x Sabendo que 1 é zero de f, vamos decompor o polnómo em factores do prmero grau começando por: Dvdr f ( x ) por x Conclundo que f ( x) = ( x 1)( x 4) Agora vamos calcular os zeros de x 4 = 0 x = 4 x = x = x 4 Concluímos fnalmente que f ( x) = ( x 1)( x )( x + ).. Resolvamos analtcamente a condção f ( x) 0. x x x f ( x) f ( x) 0 x [,1] [, + [. Uma empresa realzou um estudo sobre o número de anos de estudo dos seus 55 funconáros e obteve os dados que constam da tabela segunte: Anos de estudo n Escolhemos construr um gráfco de barras que traduza os resultados deste estudo... Determnemos as frequêncas relatvas e as frequêncas relatvas acumuladas. Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectvo 009/010

7 Anos de estudo n N ,145 0, ,18 0, ,164 0,57 7 0,055 0, ,6 0, , ,18 1 f F.. Determnemos analtcamente o número médo de anos de estudo dos funconáros desta empresa: Anos de estudo n Anos de estudo n x = = = 6,7(45) O número médo de anos de estudo dos funconáros desta empresa é 7 anos..4. Da tabela de frequêncas relatvas acumuladas concluímos ser 4 o valor mínmo da varável, 5 o prmero quartl, 6 a medana, 8 o tercero quartl e 10 o máxmo. Um dagrama de extremos e quarts é o que está representado na fgura ao lado, onde está assnalado o tercero quartl e [ 4,8 ] é um ntervalo onde se stuem 75% dos anos de estudo dos funconáros da empresa dado que o tercero quartl determna que antes dele estão 75 % da dstrbução. Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectvo 009/010

8 Escola Secundára com º cclo D. Dns 10º Ano de Matemátca A Estatístca Trabalho de casa nº 15 Crtéros de correcção Grupo I (D) (A) (C) (B) (A) Grupo II Calcular h( 0) = 1, Calcular a abcssa do vértce Calcular a ordenada do vértce 4 Dar a resposta Apresentar o gráfco, respetando o domíno Dar e justfcar a resposta Dvdr f ( x ) por ( x 1) Calcular os zeros de x 4 Apresentar a decomposção de f ( x ) Prmera lnha da tabela Estudo do snal dos factores.. 5 Conclur o snal de f ( x ).. Apresentar a solução Cálculo das frequêncas relatvas.. Cálculo das frequêncas relatvas acumuladas Apresentar o dagrama de extremos e quarts 5 Apresentar o ntervalo peddo... Total 100 Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectvo 009/010