M mn (R) : conjunto das matrizes reais m n AnB = fx; x 2 A e x =2 Bg det A : determinante da matriz A

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1 NOTAÇÕES N = f1; ; ; g C conjunto dos números comlexos R conjunto dos números reas undade magnára = 1 [a; b] = fx R; a x bg jzj módulo do número z C [a; b[ = fx R; a x < bg z conjugado do número z C ]a; b[ = fx R; a < x < bg M mn (R) conjunto das matrzes reas m n AnB = fx; x A e x = Bg det A determnante da matrz A kp a n = a 1 + a + + a k ; k N A t transosta da matrz A kp a n x n = a 0 + a 1 x + + a k x k ; k N A 1 nversa da matrz nversível A P(A) conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(a) número de elementos do conjunto nto A Arg z argumento rncal de z C n f0g; Arg z [0; [ f g função comosta das funções f e g fg roduto das funções f e g Observação Os sstemas de coordenadas consderados são cartesanos retangulares. Questão 1. Consdere as a rmações abaxo relatvas a conjuntos A; B e C quasquer I. A negação de x A \ B é x = A ou x = B. II. III. A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C). (AnB) [ (BnA) = (A [ B)n(A \ B). Destas, é (são) falsa(s) A ( ) aenas I. B ( ) aenas II. C ( ) aenas III. D ( ) aenas I e III. E ( ) nenhuma. Questão. Consdere conjuntos A; B R e C (A[B) Se A[B; A\C e B \C são os domínos das funções reas de ndas or ln(x r x ); x + x 8 e ; resectvamente, ode-se x a rmar que A ( ) C =] ; [ B ( ) C = [; ] C ( ) C = [; [ D ( ) C = [; 4] E ( ) C não é ntervalo. Questão. Se z é uma solução da equação em C; " z z + jzj 1 = + ode-se a rmar que!# ; A ( ) (z z) < 0. B ( ) (z z) > 0. C ( ) jzj [; ]. D ( ) jzj [; ]. E ( ) z + 1 z > 8.

2 Questão 4. Os argumentos rncas das soluções da equação em z; ertencem a A ( ) 4 ; 4 D ( ) 4 ; h [ z + z + (z + z) = 0; B ( ) ; 4 E ( ) 0; 4 4 ; 4 h [ C ( ) 4 ;. 4 ; P Questão. Consdere a rogressão artmétca (a 1 ; a ; ; a 0 ) de razão d Se 10 a n = 10 + d e 0P a n = 40; então d a 1 é gual a A ( ) B ( ) C ( ) 9 D ( ) 11 E ( ) 14. Questão. Sejam f; g R! R tas que f é ar e g é ímar. Das seguntes a rmações I. f g é ímar, II. f g é ar, III. g f é ímar, é (são) verdadera(s) A ( ) aenas I. B ( ) aenas II. C ( ) aenas III. D ( ) aenas I e II. E ( ) todas. Questão. A equação em x; arctg (e x + ) e x arccotg e x 1 = 4 ; x Rnf0g; A ( ) admte n ntas soluções, todas ostvas. B ( ) admte uma únca solução, e esta é ostva. C ( ) admte três soluções que se encontram no ntervalo D ( ) admte aenas soluções negatvas. E ( ) não admte solução. ; Questão 8. Sabe-se que o olnômo (x) = x a x + a x 1; a R; admte a raz Consdere as seguntes a rmações sobre as raízes de I. Quatro das raízes são magnáras uras. II. III. Uma das raízes tem multlcdade dos. Aenas uma das raízes é real. Destas, é (são) verdadera(s) aenas A ( ) I. B ( ) II. C ( ) III. D ( ) I e III. E ( ) II e III.

3 Questão 9. Um olnômo real (x) = e c; que satsfazem o sstema 8 < P a n x n ; com a = 4; tem três raízes reas dstntas, a; b a + b + c = 0 a + 4b + c = a + b + c = Sabendo que a maor das raízes é smles e as demas têm multlcdade dos, ode-se a rmar que (1) é gual a A ( ) 4 B ( ) C ( ) D ( ) 4 E ( ). P Questão 10. Consdere o olnômo (x) = 1 a n x n com coe centes a 0 = 1 e a n = 1 + a n 1 ; n = 1; ; ; 1 Das a rmações I. ( 1) = R, II. j(x)j ; 8x [ 1; 1], III. a 8 = a 4, é (são) verdadera(s) aenas A ( ) I B ( ) II C ( ) III D ( ) I e II E ( ) II e III. Questão 11. A exressão + é gual a A ( ) 0. B ( ) 90. C ( ) 1. D ( ) E ( ) Questão 1. Um alco ossu re etores de lumnação. Num certo nstante de um esetáculo moderno os re etores são aconados aleatoramente de modo que, ara cada um dos re etores, seja de a robabldade de ser aceso Então, a robabldade de que, neste nstante, 4 ou re etores sejam acesos smultaneamente, é gual a A ( ) 1 B ( ) C ( ) 11 4 D ( ) 49 9 E ( ) Questão 1. Consdere a matrz A = 4 a 1 a a 0 a 4 a 0 0 a M (R); em que a 4 = 10; det A = 1000 e a 1 ; a ; a ; a 4 ; a e a formam, nesta ordem, uma rogressão artmétca de razão d > 0 Pode-se a rmar que a 1 d é gual a A ( ) 4 B ( ) C ( ) D ( ) 1 E ( ) 1.

4 Questão 14. Sobre os elementos da matrz A = 4 x 1 x x x 4 y 1 y y y M 44(R) sabe-se que (x 1 ; x ; x ; x 4 ) e (y 1 ; y ; y, y 4 ) são duas rogressões geométrcas de razão e 4 e de soma 80 e, resectvamente. Então, det(a 1 ) e o elemento (A 1 ) valem, resectvamente, A ( ) 1 e 1 B ( ) 1 e 1 C ( ) 1 e 1 D ( ) 1 e 1 1 E ( ) 1 e 1 1. Questão 1. O valor da soma A ( ) 1 h cos 9 C ( ) cos 4 E ( ) cos 9 P sen sen ; ara todo R, é gual a n n cos B ( ) 1 h sen 4 cos D ( ) 1 h cos 9 cos. 9 sen 9 cos 4 Questão 1. Se os números reas e, com + = 4 sen + sen ; então é gual a ; 0 ; maxmzam a soma A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) 8 E ( ) 1. Questão 1. Consdere as crcunferêncas C 1 (x 4) +(y ) = 4 e C (x 10) +(y 11) = 9 Seja r uma reta tangente nterna a C 1 e C ; sto é, r tangenca C 1 e C e nterceta o segmento de reta O 1 O de ndo elos centros O 1 de C 1 e O de C Os ontos de tangênca de nem um segmento sobre r que mede A ( ). B ( ) 4. C ( ). D ( ). E ( ) 9. Questão 18. Um clndro reto de altura cm está nscrto num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem cm; o volume do clndro, em cm ; é gual a A ( ) 4 B ( ) C ( ) D ( ) 9 E ( )

5 Questão 19. Um trângulo equlátero tem os vértces nos ontos A; B e C do lano xoy; sendo B = (; 1) e C = (; ) Das seguntes a rmações I. A se encontra sobre a reta y = 4 x + 11, II. A está na ntersecção da reta y = 4 x com a crcunferênca (x ) + (y 1) =, III. A ertence às crcunferêncas (x ) + (y ) = e x + (y ) = 4, é (são) verdadera(s) aenas A ( ) I B ( ) II C ( ) III D ( ) I e II E ( ) II e III. Questão 0. Sejam A; B; C e D os vértces de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm Se M é o onto médo do segmento AB e N é o onto médo do segmento CD; então a área do trângulo MND; em cm ; é gual a A ( ) B ( ) 8 C ( ) D ( ) 8 E ( ) 9. AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 1 A 0, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. Questão 1. Sejam A; B e C conjuntos tas que C B; n(bnc) = n(b \ C) = n(a \ B); n(a [ B) = e (n(c); n(a); n(b)) é uma rogressão geométrca de razão r > 0 a) Determne n(c) b) Determne n(p(bnc)). Questão. A rogressão geométrca n nta (a 1 ; a,..., a n ;...) tem razão r < 0 Sabe-se que a rogressão n nta (a 1 ; a,..., a n+1 ;...) tem soma 8 e a rogessão n nta (a ; a 10,..., a n ;...) tem soma. Determne a soma da rogressão n nta (a 1 ; a,..., a n ;...). Questão. Analse se a função f R! R; f(x) = x determne a função nversa f 1 x é bjetora e, em caso a rmatvo, Questão 4. Seja f R! R bjetora e ímar. Mostre que a função nversa f 1 R! R também é ímar. P Questão. Consdere o olnômo (x) = a n x n ; com coe centes reas, sendo a 0 = 0 e a = 1 Sabe-se que se r é raz de, das a rmações r também é raz de. Analse a veracdade ou falsdade I. Se r 1 e r ; jr 1 j = jr j ; são raízes reas e r é raz não real de, então r é magnáro uro. II. Se r é raz dula de ; então r é real ou magnáro uro. III. a 0 < 0.

6 Questão. Uma urna de sorteo contém 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retrada de uma bola é equrovável à retrada de cada uma das demas. a) Retra-se aleatoramente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a robabldade de o número desta bola ser um múltlo de ou de. b) Retra-se aleatoramente uma das 90 bolas desta urna e, sem reô-la, retra-se uma segunda bola. Calcule a robabldade de o número da segunda bola retrada não ser um múltlo de. Questão. Consdere as matrzes A M 44 (R) e X; B M 41 (R) a 1 b 1 x b 1 A = b 1 a ; X = y 4 z e B = b 4 b a b 1 w b 4 a) Encontre todos os valores reas de a e b tas que a equação matrcal AX = B tenha solução únca. b) Se a b = 0; a = 0 e B = [1 1 4] t ; encontre X tal que AX = B. Questão 8. Consdere a equação ( cos x) 1 + tg x tg x = 0 a) Determne todas as soluções x no ntervalo [0; [. b) Para as soluções encontradas em a); determne cotg x. Questão 9. Determne uma equação da crcunferênca nscrta no trângulo cujos vértces são A = (1; 1); B = (1; ) e C = (; 4) no lano xoy. Questão 0. As suerfíces de duas esferas se ntercetam ortogonalmente (sto é, em cada onto da ntersecção os resectvos lanos tangentes são erendculares). Sabendo que os raos destas esferas medem cm e cm; resectvamente, calcule a) a dstânca entre os centros das duas esferas. b) a área da suerfíce do sóldo obtdo ela ntersecção das duas esferas.