NÚMEROS COMPLEXOS (C)

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1 Professor: Casso Kechalosk Mello Dscplna: Matemátca Aluno: N Turma: Data: NÚMEROS COMPLEXOS (C) Quando resolvemos a equação de º grau x² - 6x + = 0 procedemos da segunte forma: b b ± 4ac 6 ± ± ± 6 x = = = = a Para encontrar o valor de x, precsaríamos calcular a raz quadrada de -6, o que é mpossível no conjunto R A solução encontrada fo construr um novo conjunto numérco onde fosse possível que o quadrado de um número fosse negatvo. Mutos matemátcos estudaram tas problemas, mas este novo conjunto só passou a ser consderado legítmo quando GAUSS propôs uma nterpretação geométrca destes números usando uma adaptação do plano cartesano ( Plano de Argand Gauus). Ao contráro do que se magna medatamente, o estudo dos números complexos surgu na resolução de equações de º grau. UNIDADE IMAGINÁRIA É representada pela letra. Sabe-se que ² = - ou = Exemplo: 6 ± 6 6 ± 6*( ) 6 ± 4 = =. Então x = e x = + Exercíco: Resolver, em C: a) x² + = 0 b) x² - 4x + 5 c) x² - 4x + 9 d) x² - 6x + 5

2 POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA 0 = = = = 4 = = = = = = = ( ) ( ) = = ( ) = = ( ) = As potêncas de se repetem de quatro em quatro (,, -, -). Assm, para calcular n, basta calcular r, onde r é o resto da dvsão de n por 4. n = r Exercícos: a) 9 b) 7 c) 8 d) e) 4 f) g) 0 0 FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Todo número complexo pode ser escrto da forma = a + b, onde a é a parte real e b a parte magnára do número. Chamaremos de conjugado de o número = a b. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS Dados = a + b e W = c + d, por exemplo = + e W = + Adção: + W = (a + c ) + ( b + d ) Subtração: W = (a c) + (b d ) Multplcação: xw = (a + b)*(c + d) = (ac bd) + ( ad + cb) a + b Dvsão: = Para que este número não fque com uma undade magnára do W c + d denomnador, deveremos multplcar o numerador e o denomnador pelo conjugado do denomnador. a + b a + b c d ac + bd + ( bc ad) = = = W c + d c + d c d c + d

3 Exercícos: ) Calcule: a) ( 6 + 5) + ( ) = b) (5 + ) ( -+4) = c) ( + ) d) e) + f) [( + )² + ( - )²] 05 ) Calcule os números complexos z e z para que se tenha: z + z = z z = ) Resolver o determnante de ª ordem: 4) Calcular a soma da seqüênca S = ) Calcular em 5 + = + 6

4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Plano de Argand Gauss Exo X Exo real Exo Y Exo Imagnáro Exemplo: Representar grafcamente os complexos a) + b) - c) 4 d) -5 e) - - f) - + MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO O módulo de um número complexo é a dstânca entre o ponto aonde ele se localza no plano argand Gauss ( afxo ) até a orgem. ² = a² + b² + b = a O módulo será representado pela letra ρ O argumento do número complexo é o ângulo de nclnação em relação ao exo x. b a sen θ = cosθ = ρ ρ Assm: a cosθ = a = ρ cosθ ρ = a + b b senθ = b = ρsenθ ρ = ρ cosθ + ρsenθ = ρ[cos( θ ) + sen( θ )]

5 Exemplo: Determnar o módulo, argumento, escrever na forma trgonométrca e fazer a representação no gráfco de Gauss do número complexo = + Exercícos: ) Calcule o módulo, argumento e escreva na forma trgonométrca os números complexos abaxo: a) = + b) = c) = ) (UFRGS) A soma dos módulos das raízes de x² + x + = 0 é: (A) (B) (C) (D) 6 (E) 8 ) (PUCRS) A forma trgonométrca do número complexo - + é: (A) cos 0º + sen 0º (B) ( cos 0º - sen 0º) (C) ( cos 0º + sen 0º) (D) ( cos 0º + sen 0º) (E) ( cos 50º + sen 50º) 4) Qual é o argumento dos complexos abaxo? a) = - + b) = + c) = d) = 4

6 5) Escreva na forma algébrca os seguntes números complexos: a) = + b) = c) = - d) = e) = 4 f) = + 6) Qual a forma algébrca de cada m dos seguntes números complexos? a) = ( cos 0º + sen 0º) b) = cos 80º + sen 80º c) = 4 ( cos 0º + sen 0º) d) = ( cos 00º + sen 00º) e) = 0 ( cos 90º + sen 90º) f) = ( cos 0º + sen 0º) OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Multplcação = ρ ρ[cos( θ + θ) + sen( θ + θ)] Dvsão ρ = [cos( θ θ) + sen( θ θ)] ρ n n Potencação = ρ [cos( nθ ) + sen( nθ )] Radcação n = n θ + kπ θ + kπ ρ cos + sen K = {0,,,...,n-} n n

7 Exemplos: a) = 8( cos 75º + sen 75º ) e W = ( cos 5º + sen 5º ) Calcular xw e W π π b) Sabendo que = cos + sen, calcule 6 c) Determne as raízes cúbcas de = Exercícos: ) No plano de Gauss, o afxo do número complexo = ( + )4 é um ponto do: a) exo real b) exo magnáro c) º Quadrante d) º quadrante e) 4º quadrante ) (UFRGS 998) Em um sstema de coordenadas polares P, π e Q (,0) são vértces 6 adjacentes de um quadrado. O valor numérco da área deste quadrado é: a) 8 b) 5 c) 5 d) 5-6 e) 5-6 ) Determne as raízes cúbcas de 8 e represente seus afxos no plano. 4) (FURG RS ) Para que (5 )*(k + ) seja um número real, o valor de K deverá ser: 5 5 a) b) - c) d) - e) 0 5 5

8 5) (PUCRS) Se as magens geométrcas dos números complexos 0, e no plano de Argand Gauss são os vértces de um trângulo eqülátero, então a medda do segmento que une as magens de e é: (a) b) c) d) Re(z) e) Im (z) 6) (Cefet- PR) Consdere o número complexo +, representado por um ponto no plano de Argand-Gauss. Se multplcarmos este número por uma undade magnára, o segmento de reta que une este ponto à orgem do sstema sofrerá uma rotação de: (A) 0º no sentdo ant-horáro (B) 50º no sentdo horáro (C) 0º no sentdo horáro (D) 60º no sentdo horáro (E) 90º no sentdo ant-horáro 7) (Unt- MG) No conjunto dos números complexos, os três números cujo cubo vale são: (A), -, (B), +, - (C),, (D), + +, 8) (UFRGS) Dados os números complexos abaxo: = 7 + = + = A alternatva correta é: (A) e têm o mesmo conjugado. (B) a parte real de é menor que a parte real de (C) a soma de com é um número real (D) a parte magnára de é zero (E), e têm módulos guas

9 9) (UFRGS) Na fgura, o número complexo é (A) + (B) (C) (D) + (E) 0) (UFRGS) Consdere as afrmações seguntes: I O produto de dos números complexos conjugados é um número real. II O módulo de um número complexo é um número real não negatvo. III O argumento de qualquer número complexo da forma b ( b 0) vale π Quas estão corretas? (A) Apenas II. (B) Apenas II e III. (C) Apenas I e II. (D) Apenas I e III. (E) I, II e III.