01) (Insper) A equação x 5 = 8x 2 possui duas raízes imaginárias, cuja soma é: a) 2. b) 1. c) 0. d) 1. e) 2.

Transcrição

1 Lsta 8 Números complexos Resoluções Prof Ewerton Números Complexos (concetos báscos, adção, subtração, multplcação, gualdade e conjugado) 0) (Insper) A equação x 5 = 8x possu duas raíes magnáras, cuja soma é: a) b) c) 0 d) e) x 5 = 8x x (x 3 8) = 0 x = 0 x = 0 ou (x )(x x 4) = 0 x = 0 ou x x 4 = 0, esta últma é uma equação do º grau cuja soma das raíes é 0) (Mack) O conjunto solução da equação 3 = 0, no conjunto dos números complexos é: a) {3, 3} b) c) {0, 3} d) {0} e) {3} 3 = 0 = 0 ou = 3 S = {0, 3} 03) (UFPA) Sendo = x (x 4), com x, temos que é numero real se, e somente se: a) x = 0 b) x 0 c) x = d) x e x e) x 0 e x e x x 4 = 0 x = ± 04) (UFRS) Sendo m, o número complexo = (m 3) (m 9) será um número real não nulo para: a) m = 3 b) m < 3 ou m > 3 c) 3 < m < 3 d) m = 3 e) m > 0

2 m 3 0 m 9 = 0 m = 3 05) (Vunesp) Consdere os números complexos = ( ) e = (x ), onde é a undade magnára e x é um número real Determne: a) o número complexo em função de x = ( )(x ) = x (x 4) b) os valores de x tas que Re() Im (), onde Re denota a parte real e Im denota a parte magnára do número complexo Re() Im () x < x 4 x < 6 S = {x x < 6} 06) (PUC-MG) O número complexo tal que 5 = 6 é gual a: a) b) 3 c) d) 4 e) 3 5 = 6 e = a b, assm, 5(a b) a b = 6 6a 4b = 6 a = e b = 4, logo = 4 07) (Insper) Consdere dos números reas p e q Suponha que e w são dos números complexos cuja soma é gual a p e cuja dferença é gual a q, um magnáro puro, sendo a undade magnára (tal que = ) Então a) é um magnáro puro b) e w são conjugados c) w é um magnáro puro d) w é um magnáro puro e) w é um magnáro puro w = p w = q w = p = p q = p q w= p p q p q w =, logo, e w são conjugados

3 Números complexos: Dvsão e potêncas naturas de 3) (Uncamp) Chamamos de undade magnára e denotamos por o número complexo tal que = Então vale: a) 0 b) c) d) ) (Faap) Calcular o quocente a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 5 = = = ) (Vunesp) Sendo a undade magnára, o valor de ( ) 35) a) b) c) d) a) 3 b) 3 c) 3 0 d) 3 0 e) 0 ( ) 0 = [() ] 5 = ( ) 5 = 5 5 = 3 36) (Cefet-CE) Calcule o valor de ( ) = = 4 50 = = 00 ( ) ( ) ( ) 37) (Ufam) Escreva o número complexo a) = 7 b) e) = 7 = 7 c) = sob a forma = a b = 7 d) é = 7

4 = = = = 7 5 = 4 Números complexos: Plano de Argand-Gauss e módulo 38) (Unesp) O número complexo = a b é vértce de um trângulo equlátero como mostra a fgura Sabendo que a área desse trângulo é gual a 36 3, determne b = a b 0 a A base mede a e a área do trângulo equlátero é A altura do trângulo equlátero é dada por ( a ) 3 = ( 6 6 3) Logo, ( a) 3 4 = 36 3 a = 6 = b b = 6 3 = = ) (Uncamp) O módulo do número complexo = é gual a a) 0 b) c) 3 d) 04 = = e 987 = 3 = = = ( ) = 40) (Unesp) A fgura representa, no plano complexo, um semcírculo de centro na orgem e rao Indque por Re(), Im() e a parte real, a parte magnára e o módulo de um número complexo = x y, respectvamente, onde ndca a undade magnára A únca alternatva que contém as condções que descrevem totalmente o y subconjunto do plano que representa a regão sombreada, ncluído sua frontera, é a) Re() 0, Im() 0 e b) Re() 0, Im() 0 e c) Re() >0 e x

5 d) Im() 0 e e) Re() 0 e Alternatva E 4) (Unfesp) No plano de Argand-Gauss (fgura), o ponto A é chamado afxo do número complexo = x y, cujo módulo (ndcado por ) é a medda do segmento OA e cujo argumento (ndcado por ) é o menor ângulo formado com OA, no sentdo anthoráro, a partr do exo Re() O número complexo = é chamado undade magnára Im( ) y A 0 x Re( ) a) Determnar os números reas x tas que = (x ) 4 é um número real = (x ) 4 = (x ) (x ) = (x 4 4)(x 4 4) = x 4 4x 4x 4x 6 6 4x 6 6 = (x 4 8x ) (8x 3),, logo 8x 3 = 0 x = 4 x = O número complexo = (x ) 4 é um número real para x = ou x = 0 = a 4 4 = 0 = b) Se uma das raíes quartas de um número complexo é o complexo 0, cujo afxo é ponto (0, a), a > 0, determne x 0 = (a) 4 = x y a 4 = x y x = a 4 e y = 0 = a 4 4 y = ( ) a 0 = a 4 4) (FGV)

6 a) Calcule a área o losango ABCD cujos vértces são os afxos dos números complexos 3, 6, 3 e 6, respectvamente A área do losango é dada por D d A =, ou seja, 6 A = = 36 b) Quas são as coordenadas dos vértces do losango A B C D que se obtém grando de 90º o losango ABCD, em torno da orgem do plano cartesano, no sentdo anthoráro Grando 90º no sentdo ant-horáro, tem-se: A (0, 3); B (6, 0); C (0, 3) e D (6, 0) B(0, 6) A (0, 3) B ( 6, 0) C( 3, 0) A(3, 0) D (6, 0) c) Por qual número devemos multplcar o número complexo cujo afxo é o ponto B para obter o número complexo cujo afxo é o ponto B C (0, ) D(0, 6) Seja = a b o número procurado 6 = 6 (a b) = a b = a = 0 e b =, logo, =

7 43) (FGV) A fgura mostra o selo emtdo em 977 pela então Repúblca Federal da Alemanha, em homenagem ao plano de Gauss a) Qual é a área do trângulo cujos vértces são os pontos A e B da fgura, e o tercero vértce é o ponto assocado ao número complexo ( ) (5 ) b) Qual é a soma das áreas as regões retangulares, e 3 a) Seja E o ponto assocado ao complexo ( ) (5 ) ( ) (5 ) = 5 = 5 0, logo, E (5, 0) A base EB mede 6 e a altura mede 9, assm, a área é A área do trângulo é gual a 7 ua b) A = S = ua A soma das regões, e 3 é 7 Números complexos: Forma trgonométrca 6 9 A = = 7 44) (Ufam) Os números complexos = 3 e w = r e = r (cos sen ), com r = w e 0 <, satsfaem a equação w = Então r e são respectvamente guas a: a) e 3 b) e 3 c) e 6 d) e 6 e) e 4

8 3 r(cos sen ) = r(cos sen ) = 3 3 r cos = r cos = 3 r cos rsen = r sen = r sen = 4 6 r = r = 4 cos 3 = 3 4 cos = = sen = sen 6 = 4 w = ( ) 45) (Cesgranro) Um número complexo possu módulo gual a e argumento 3 Sendo o conjugado de, a forma algébrca de é: a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) ( 3 ) = ( cos sen ) ( cos sen ) = 3 46) (UFRS) Na fgura, o número complexo é: = 3 = a) b) c) d) e) 45º = e = 35º = (cos35º sen35º) = = 47) (UFJF) O número complexo de módulo 3 está representado no plano complexo É correto afrmar que é gual a: a) 3 3 Im 6 Re

9 b) c) d) ( ) = 3 cos sen = = ) (PUC-SP) Na fgura, o ponto P é a magem de um número complexo, representada no plano de Gauss Se OP =, então é gual a: a) 4 4 b) 4 4 c) 4 4 d) 8 e) 8 P Im O 35º Re = ( cos35º sen35º ) = 8 4( ) = = ( ) = Números complexos: Forma trgonométrca e operações 49) (Ufes) Sejam os números complexos = sen40º cos40º e = cos40º sen40º O argumento prncpal do número é gual a a) 0º b) 0º c) 40º d) 80º e) 60º = (sen40º cos40º)(cos40º sen40º) = (cos50º sen50º)[cos(40º) sen(40º)] = (cos0º sen0º)

10 50) Sejam os números complexos = (cos7º sen7º) e = (cos8º sen8º) Determne a forma algébrca de ( ) ( ) cos 7º sen 7º = cos8º sen8º = 6 cos( 35º ) sen ( 35º ) = 6 cos( 7º 8º ) sen ( 7º 8º ) = 6 = 3 3 = e = 3cos sen, determne as formas algébrcas de e 5) Dados ( ) 6 cos sen = 6( cos sen ) 3cos sen = 6 3cos sen 4 4 = 8 cos sen = = 8 ( ) 6 cos sen = 3cos sen = cos sen 5) (Mack) Se ( cos sen ) = cos sen 3 = = 3 =, então 8 vale: 4 4 a) 6 b) 6 c) 8 d) 6 e) 6 ( cos sen 8 = ) 8 ( 8 8 ) ( cos sen ) = 6 = 8 6( 0) 4 4 =

11 53) (UFMG) Se = r(cos q sen q) é um número complexo na forma trgonométrca, mostra-se que n = r n (cos nq sen nq) para todo n Essa fórmula é conhecda como fórmula de De Movre a) Demonstre a fórmula de De Movre para n =, ou seja, demonstre que = r (cos q sen q) = r(cos q sen q) = [r(cos q sen q)] = r (cos q cos qsen q sen q) = r [(cos q sen q) (sen q cos q)] = r (cos q sen q) cqd b) Determne todos os valores de n, n, para os quas ( 3 ) n seja magnáro puro Seja 3 = ( ) cos 3 = sen = = 3 = 6 =, logo, = ( cos sen ) e n = n ( cos n sen n ) 6 6 Para que n seja magnáro puro é necessáro e sufcente que n = h; h n = 3 h; h cos n = 0 6 sen n 0 6