Página 293. w1 w2 a b i 3 bi a b i 3 bi. 2w é o simétrico do dobro de w. Observemos o exemplo seguinte, em que o afixo de 2w não

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1 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A Págna 9. Se 5 5 é o argumento de z, é argumento de z e 5 5. Este ângulo é gual ao ângulo de ampltude 5 é argumento de z.. Resposta: D w w a b b a b b. a b a a b b b bem como a mesma parte magnára. Dos números complexos são guas se tverem a mesma parte real, Resposta: B. Consderando que o afxo de w se encontra no nteror do retângulo, analsemos cada uma da opções: w é o smétrco do dobro de w. Observemos o exemplo segunte, em que o afxo de w não se encontra no nteror do retângulo: Y X P X é o afxo de w P é o afxo de w Y é o afxo de w w obtém-se somando uma undade à ordenada do afxo de w. Observemos o exemplo segunte, em que o afxo de w pode não se encontra no nteror do retângulo: X Y X é o afxo de w Y é o afxo de w Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

2 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A w obtém-se duplcando o argumento de w e elevando a o seu módulo. Observemos o exemplo segunte, em que o afxo de w não se encontra no nteror do retângulo: Y X X é o afxo de w Y é o afxo de w o afxo de w obtêm-se encontra-se rodando o afxo de w 80º em torno de O, seguda de uma reflexão no exo real. O ponto obtdo encontra-se no nteror do retângulo vsto que quer a rotação utlzada quer a reflexão são smetras do retângulo. Assm, esta é a opção correta. Resposta: D. Analsemos todas as opções: 0 z z z z Nota que n O afxo de z é a magem do afxo de z, ou seja do ponto A, por uma rotação de centro em O e ampltude 80º. Então, o afxo de zé o ponto C z z z Nota que n O afxo de z é a magem do afxo de z, ou seja do ponto A, por uma rotação de centro em O e ampltude 90º. Então, o afxo de que as dagonas de um retângulo não são perpendculares entre s. 0 z z z z Nota que n 85 znão é nenhum dos vértces do retângulo dado. Relembra O afxo de z é a magem do afxo de z por uma reflexão no exo real. Então, o afxo de z é o ponto D. Como o afxo de z é a magem do afxo de z, ou seja de D, por uma rotação de centro em O e ampltude 80º, temos que o afxo de z é B. z z Nota que n 8 O afxo de z é a magem do afxo de z por uma reflexão no exo real. Então, o afxo de 8 z é o ponto D. Resposta: B. Temos que os vértces do retângulo têm as seguntes coordenadas: A ;5, ;5 C ; 5 e D; 5 Nota que 0 0 ABCD B, A AD. Assm, é medato que a opção correta é a B. Resposta: B Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

3 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A. A magem geométrca de w obtém-se rodando 90º em torno de O a magem geométrca de w. Depos, terá de se duplcar cada uma das coordenadas do ponto obtdo, de forma a termos a magem geométrca de w, obtendo o número complexo z 5. Resposta: C.. wmagem geométrca de w é a magem do afxo de w por uma reflexão no exo real; então, w z. Para se obter w roda-se 80º, com centro em O, o afxo de w, obtendo-se w z. w resulta de somar uma undade à parte magnára de w, pelo que w z Resposta: A Págna 9. Temos que z a, com a 0. Então, z a a z a a Resposta: B 5. Se os pontos A e B pertencem às bssetrzes dos quadrantes ímpares e pares, respectvamente, o ângulo do setor crcular representado é. O comprmento do arco AB é setor crcular de rao r e ângulo é r. O número complexo cujo afxo é A é, pelo que o rao do setor é. Nota que o comprmento de um 5 cs e o número complexo cujo afxo é B é 7 cs Nota que estes pontos pertencem às bssetrzes já referdas e ao º e º quadrantes, respetvamente, pelo que 5 7 pertencem aos lugares geométrcos arg (no caso do ponto A ) e arg (no caso do ponto B ). Analsemos, agora todas as opções: cs w cs A respetva magem geométrca não pertence à regão colorda vsto que o argumento não pertence a 5 7, Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

4 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A w cs cs cs cs cs A respetva magem geométrca não pertence à regão colorda vsto que pertence ao exo real e é dferente de 0 w cs cs cs A respetva magem geométrca não pertence à regão colorda vsto que pertence ao exo real e é dferente de 0 cs w cs cs cs A respetva magem geométrca pertence à regão colorda vsto que o seu módulo é nferor ao rao do setor e o seu argumento pertence a 5 7, Resposta: D 5. Analsemos as dferentes opções: A opção A defne um setor crcular centrado na orgem, de rao 7 são defndos pelas semrretas arg z arg z e arg z consderada teríamos que ter arg 5 z e arg z A opção B defne o conjunto de pontos com módulo menor ou gual a e cujos lados extremdade 7. No caso da regão 7, pelo que esta não é a opção correta. e que pertencem ao semplano lmtado pela medatrz de PQ, em que P é o afxo de e Q é o afxo de, e que contém o afxo de, bem como ao semplano lmtado pela medatrz de PR, em que P é o afxo de e R é o afxo de, e que contém o afxo de. Esta descrção defne o setor crcular dado. Repara que a bssetrz dos quadrantes ímpares é a medatrz de PQ e a bssetrz dos quadrantes pares é a medatrz de PR. A prmera condção da opção C não pode defnr o setor crcular dado pos, por exemplo, o número complexo 0 pertence à regão colorda, mas a sua parte magnára não é nferor ou gual a. Assm, esta opção não é a correta. A opção D defne o conjunto de pontos com módulo menor ou gual a e que pertencem ao semplano lmtado pela medatrz de PQ, em que P é o afxo de e Q é o afxo de, e que contém o afxo de, bem como ao semplano lmtado pela medatrz de PR, em que P é o Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

5 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A afxo de e R é o afxo de, e que contém o afxo de. Ora, nem o afxo de nem o pertencem à regão colorda, pelo que esta opção não é a correta. Resposta: B. Vamos escrever z na forma trgonométrca: z Sendo um argumento de z, tem-se Então, z cs Sendo assm, a opção A não é a correta; tg e º quadrante, portanto z z cs cs cs e a opção B não é a correta. cs cs z cs cos sen e a opção C não é a correta. z cs z 5 5 cs cs cs cs cs z cs Resposta: D 7. n5 n n n Resposta: A 8. Se cs e k, k n cs são raízes de índce n de um determnado número complexo, então. Analsemos todas as opções: Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 5

6 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A, logo n pode ser., logo n pode ser. k, k, logo n não pode ser 5. 5, logo n pode ser 8. 8 Resposta: C 9. Calculemos as raízes quartas das váras opções: k cs cs, k 0,,,. Assm, as raízes quartas de são n 7 5 cs, cs e cs. Estas não podem ser as raízes representadas na fgura k cs cs, k 0,,,. Assm, as raízes quartas de são n cs e cs. Estas não podem ser as raízes representadas na fgura. k cs cs, k 0,,,. Assm, as raízes quartas de são n cs, cs 5 e 7 cs. Estas podem ser as raízes representadas na fgura. k cs cs, k 0,,,. Assm, as raízes quartas de são n 9 cs e cs. Estas não podem ser as raízes representadas na fgura. 8 8 cs, 8 cs, cs, cs, 8 cs, 5 cs, 8 Resposta: C Págna Exstem 5 raízes quntas de um número complexo, pelo que a opção C é excluída. As magens geométrcas das raízes quntas de um número complexo são os vértces de um pentágono regular centrado na orgem do referencal, pelo que as opções A e B são excluídas. Resposta: D Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

7 . Seja z cs e determnemos z. Preparar o Exame 0 0 Matemátca A z cs cs cs cs cs cs cs Para que z seja um número real negatvo, o seu argumento tem de ser da forma k, k : 5 k k k, k 7 Fazendo k, obtemos. Resposta: C. z, z e z são as raízes cúbcas de um mesmo número complexo z, todas não reas. Então, z z z z Se z, então z csk. z cs k, z csk e z csk, ou seja, Assm, z cs k cs k cs k z, logo a opção A é verdadera. Repara que os argumentos k e k, k, para um mesmo módulo, defnem o mesmo número complexo. Observa a fgura onde está exemplfcada esta stuação, no caso em que o afxo de z pertence ao semexo real postvo (o caso em que pertence ao semexo real negatvo é análogo) e nota que z z. Im(z) z π π π z Re(z) z z z z, verdadera. z z z e z z z z z, logo a opção B é Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 7

8 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A A soma de todas as raízes de um número complexo é zero. Repara que a sucessão das raízes de índce n de um número complexo é uma progressão geométrca de razão cs n. Assm, temos que z z z 0 z z z, pelo que a opção C só é verdadera se z z z o que acontece apenas no caso de z. z, ou seja, se k k Se z é um magnáro puro, então z cs e z cs e k k z cs, ou seja, z cs. Nota que k 0. Assm, k k k z cs cs cs e k k z cs cs cs, pelo que z Repara que os argumentos complexo (por exemplo, se k, k e z e a opção D é verdadera. k, k \ 0, para um mesmo módulo, defnem o mesmo número k 7 e k 5 e 7 5 ). Observa a fgura onde está exemplfcada esta stuação, no caso em que o afxo de z pertence ao semexo magnáro postvo (o caso em que pertence ao semexo magnáro negatvo é análogo) e nota que z z. Im(z) z -z π π z π z Re(z) Resposta: C. O vértce C obtém-se do vértce A por uma rotação de centro em O ampltude. 8 Então, como cs cs, temos que o número complexo que tem como magem Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 8

9 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A geométrca o vértce G é w. Nota que multplcar z por cs equvale a efetuar uma rotação de centro em O e ampltude. Resposta: D. Analsemos as opções: Por defnção, 8 z w, pelo que z w w. Logo, como 8 z w (tendo em conta a opção A), vem: w w w w 0 w w 0 w 0 w w 0 w cs 0 0 k k w 0 w cs w 0 w cs, k 0,,,..., Ou seja, w poderá ser uma das raízes de índce de. Fazendo, por exemplo k 9 obtém-se uma raz índce de cuja magem geométrca podera ser A e portanto w podera ser essa raz. No entanto a afrmação não é sempre verdadera, apenas o é para alguns casos. Assm a opção A não é necessaramente verdadera. Temos que z 8 w, pelo que só se verfca z 8 w se w w o que não se verfca. Assm, a opção B não é verdadera 8 8 z w z w e a opção C é sempre verdadera. z w w w w w w w w w w w, ou seja, se w for um número real, k k w 0 w cs 0 w 0 w cs w 0 w cs, k 0,,,...,5 5 5 Ou seja, w poderá ser uma das raízes de índce 5 de. Fazendo, por exemplo k 7 obtém-se uma raz índce 5 de cuja magem geométrca podera ser A e portanto w podera ser essa raz. No entanto a afrmação não é sempre verdadera, apenas o é para alguns casos. Assm a opção D não é necessaramente verdadera.. z defne a crcunferênca de rao cujo centro é o afxo de Resposta: C arg z 0 defne a semrreta com orgem no afxo de e que forma um ângulo de ampltude 0 com o semexo postvo real. Vejamos a representação destas condções: Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 9

10 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A Im(z) Observando a magem, fcamos com dúvdas se o afxo de o Re(z) pertence à crcunferênca de centro no afxo de e de rao. Verfquemos se tal acontece: 8. Logo, o afxo de não pertence à crcunferênca de centro no afxo de e de rao, pelo que a condção dada defne o conjunto vazo. Resposta: A Págna 9 5. Quer na opção A quer na opção D estão representados números complexos cuja parte real é postva, o que não é o correto vsto que a prmera condção é opções fcam excluídas. z Re. Assm, estas A condção z z defne a medatrz de PQ, em que P é o afxo de e Q é o afxo de, pelo que a opção correta é a C. Repara que na opção B está representada parte da medatrz de PR em que P é o afxo de e R é o afxo de. Resposta: C x 00x 0 x x 00 0 x 0 x 00 0 x 0 x 00. x 0 x 00 x 0 x 00 x 0 x 0 x 0 C. S. 0, 0, 0. x x x x 0 x x 0 x x x x x x C. S., Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 0

11 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A 0. x x 0 y y 0 y y yx yx x x x C. S.,. Como sabemos que e são soluções da equação dada, podemos utlzar a regra de Ruffn para decompor o polnómo 5 x x 8x 8: x x 8x 8 0 x x x 8 0 x 0 x 0 x 8 0 Então, k x x x 8cs x x x 8 cs, k 0,, 5 x x x cs x cs x cs cs x x x x x C. S.,,,, 7. a) Para que w x 0 5y seja um número real, temos que ter w 0 5y 0 x y x 7. b) Para que 0 5 Re w 0 Im w 0, ou seja, Im 0, ou seja, w x y seja um número magnáro puro, temos que ter x y x y x x y \ cs cos sen cos sen cs cos sen Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

12 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A 7. c) Para que a magem geométrca de 0 5 Re w 0 Im w 0, ou seja, postvo, temos que ter x y x x y C. A Cálculo Auxlar x 0 x x. Como em,, w x y pertença ao semexo real x representa uma parábola com a concavdade voltada para cma, esta é postva 7. d) Determnemos o smétrco de w : w x 0 5y. Para que este número complexo seja um magnáro puro cujo módulo é 5, temos: x 0 5y x x x x 0 0 5y 5 0 5y 5 0 5y 5 y y w x 0 5 y x 0 5 y e) n x x x x 0 5y 0 0 5y 0 y 0 7. Temos que z 5cs 5cs. Sabe-se que,0 Determnemos sen e cos : 5 tg cos 9 cos 9 cos e tg. 9 9 cos cos cos 5 cos sen sen tg sen sen cos Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

13 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A z 5cs 5cos 5sen 5cos 5sen Pretende-se que z w. Então, x 5 x x 5 0 x 0 5y 0 5y 0 y Págna a) w w x y x y x 5y Como, Re 0 x y, temos que w w x e Im w w 5y 0, pelo que a magem geométrca deste número complexo pertence ao º quadrante. w w y y x y x y y 8. b) Como, x y, temos que Re 0 w w x y e magem geométrca deste número complexo pertence ao º quadrante. Im w w y 0, pelo que a w w x y x y x xy xy y x y xy x y xy 8. c) Como, x y, temos que Re 0 w w x y e magem geométrca deste número complexo pertence ao º quadrante. Im w w xy 0, pelo que a 8. d) y y y y y y y y y y w y y y y y y y y y y y Como x, y, temos que Re 0 e Im 0, pelo que a magem w y w y geométrca deste número complexo pertence ao º quadrante. Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

14 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A 8. Façamos um esquema representatvo desta stuação: Im(z) Podemos verfcar que o trângulo ABC é retângulo em A. B y A Assm, BC AC AB BC y x y y x Re(z) BC 9y x xy y BC x xy 0y. Assm, P AC AB BC y x y x xy 0y ABC y C x y x xy 0y 8. a) Se o ponto A satsfaz a equação arg z z, então w cs. Assm, w cs x y x y. Então, w y y. Determnemos w na forma trgonométrca: w 8 Sendo um argumento de w, tem-se tg e º quadrante, portanto Então, w cs 8. b) n w cs, pelo que n n n w cs cs cs. Para que este número complexo seja um magnáro puro, o seu argumento tem de ser da forma k, k \ 0. Assm, k k k n k n k n n n Para que n seja o menor natural, fazemos k e obtemos n. Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

15 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A 9. Temos que z x y com x, y, pelo que z x y e z x y. Então, AC z z z z z z AB zz x y x y x x x w 0 cos cos sen 0 0 cos 0 cos sen cos 0 sen 0 0 cos 0 sen ) 0 cos cos 0 sen 0 cos sen 0 sen ) s 0 cos 0 sen 0 c 9. Tendo em conta o enuncado, temos que z 8 e z w. Assm, 8 0cs 8 0cs 8 0cos 0sen. Então, 8 0 cos cos cos sen 5 5 0sen cos cos sen sen sen sen cos cos sen 5 5 cos sen 9 sen sen sen sen sen cos 0 cos Concluímos que 0 tg 0, pelo que 0 0 tg tg tg tg tg tg. ) sencos sen ) cos sen cos Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 5

16 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A 0. z w z w z z w w z z w w z w z z w 0. Representemos, no plano complexo, A e B de acordo com o enuncado: w B z w C O Im z A z Rez Seja C o ponto médo do segmento de reta AB. Assm, C é a magem geométrca do número complexo z w. Tem-se que A AOB AB OC Como AB z w e z w z w z w OC, vem: A AOB z w zw AB OC z w z w z wz w z w. w 8 z n z Re w w w 9 8 w w cs cs cs5 cs 5 7 cs 5 ) 5 5 cs cs 7 cs cs Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

17 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A ) Determnemos e na forma trgonométrca: Sendo um argumento de tg e º quadrante, portanto Então, 5 cs, tem-se 5 Sendo um argumento de, tem-se tg e º quadrante, portanto 5 5 Então, cs Logo, cs cos sen w 5.. Temos que A condção z w defne o círculo com centro no afxo de e rao 5 : A condção z z defne o semplano lmtado pela medatrz de OQ, em que O é o afxo de 0 e Q é o afxo de, e que contém O : A condção defnda por arg z defne o ângulo no afxo de 0, em que o lado orgem é a semrreta arg z e o lado extremdade é a semrreta defnda por arg A conjunção destas três condções defne a segunte regão do plano: z. Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 7

18 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A Págna 98. Como A, é o afxo de Vamos escrever z na forma trgonométrca: z 8 z, temos que z e é um argumento de z. Sendo um argumento de z, tem-se Então, e z cs. tg e º quadrante, portanto. É medato que z z z z. Assm, z. Pela análse da fgura, como CD é paralelo ao exo magnáro e C e D pertencem à mesma crcunferênca centrada na orgem do referencal, concluímos que z e z são números complexos conjugados. Como o arco CD tem ampltude, temos que z cs cs. E z cs Então, de π π z cos sen cos sen e z z z Re z. Vamos escrever este número na forma trgonométrca: z z z 9 Sendo um argumento de z z z, tem-se tg e º quadrante, portanto Nota que, Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 8

19 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A Assm, z z z cs. Temos que z cs, pelo que z cs cs 8cs 8cos 8sen 8cos 8sen 8 8 As raízes cúbcas de k z 8cs são dadas por 8 cs com k 0,, e são: 9 cs Se k cs Se k 9 cs Se k. Nota que a regão colorda da fgura é composta pela unão de duas fguras: o setor crcular na orgem, de rao z e cujos lados extremdade são defndos pelas semrretas z e arg z arg 0 z 0 arg z.. A condção que defne este conjunto de pontos é o conjunto de pontos do círculo centrado na orgem de rao cuja parte real é menor do que z. A condção que defne este conjunto de pontos é z z Re Assm, a regão colorda da fgura é defnda pela condção: 0 arg Re z z z z ou seja z 0 arg z Re z Re Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 9

20 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A. 5 cs z n cs cs 0 cs cs cs0 cs5 cs5. cs cs 5 cs 5 7 cs ) cs cs cs ) Determnemos e na forma trgonométrca: Sendo um argumento de, tem-se º quadrante, portanto Então, cs tg e Sendo um argumento de, tem-se tg e º quadrante, portanto Então, cs. Como Então, z é uma das raízes quartas de w, temos que z w z cs z z z 8 z 8 7 w cs cs 7. k w cs 7 cs, as raízes quartas de w são dadas por cs. Como com k 0,,, e são: cs cos sen Se k 0 cs cos sen Se k cs cos sen Se k 7 cs z Se k Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 0

21 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A. Representemos as quatro raízes quartas de w : Im(z) Repara que o comprmento da dagonal do quadrado é, pelo que o seu lado é. Assm, a área do quadrado consderado é O Re(z) e uma condção que o defne é z z Im Re.. Se é solução da equação, então, a b a b b a b 0 b a a. Se é solução da equação, então, a b a a b a a b a b a Págna 99 k 5. z z cs z cs, k 0,,, 5 7 z cs z cs z cs z cs z cos sen z cos sen z cos sen z cos sen z z z z z z z z 5. Seja z cs. C. S.,,, Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

22 5 z z 5 5 cs cs 8 cos 8 sen Preparar o Exame 0 0 Matemátca A cs cs 5 8 cs 5 cs 5 8cs ) 5 k, k k , k C. S. 8 cs, 8 cs, 8 cs, 8 cs, 8cs 5. Seja z cs. z z 0 cs cs cs 0 cs cs 0 cs cs cs cs cs cs cs 0 k, k k, k 0 0, k k k 0, k C. S. cs, cs, cs, cs, cs, cs 5. Seja z cs. Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

23 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A z z cs cs cs cs cs ) cs 5 cs k, k k, k k, k 50 ) Determnemos 5 5 na forma trgonométrca: Sendo um argumento de 5 5, tem-se Então, 5 5 5cs 5 tg e º quadrante, portanto 5 C. S. 0, 5 cs, 5cs 5.5 z z z z 0 z 8 z z z z z Determnemos e na forma trgonométrca: Sendo um argumento de, tem-se º quadrante, portanto 7 Então, cs 7 tg e Sendo um argumento de, tem-se tg e º quadrante, portanto 5 5 Então, cs 5 7 C. S. cs, cs Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

24 . Se AB, então OA OD Repara que se trângulo equlátero. Assm, OA OD Preparar o Exame 0 0 Matemátca A ABCDEF é um hexágono regular, então AOB é um Como os vértces do hexágono são as raízes sextas de um número complexo, então arg z e z número complexo dferem de k. Então, z cs, z 7 arg. Os argumentos de duas raízes sextas do mesmo 7 cs w z cs 79cs 79 e z cs, z 0 0 cs 7cs 0 w 79 z w 79 cs cos sen ) Determnemos na forma trgonométrca: Sendo um argumento de Então, cs. Nota que z cs, pelo que A,, tem-se tg e º quadrante, portanto BF está contdo na medatrz de OA. Já sabemos que e o número complexo cujo afxo é o ponto E é. Assm, o trângulo BEF pode ser defndo pela conjunção de duas condções: z z que defne o conjunto de pontos que pertencem ao Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

25 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A semplano lmtado pela medatrz de AO, e que contém O ; z que defne o ângulo com vértce em E, em que o arg lado orgem é a semrreta defnda por arg extremdade é a semrreta defnda por arg z e o lado z. π π π = π Então, uma condção que defne o trângulo BEF é z z arg z. Como z é uma raz sexta de w, temos que z w 79 Este cálculo fo feto em. z z z 79 z k z z z cs, z cs k 0,, ) 5 z cs z cs z cs ) Determnemos na forma trgonométrca: Sendo um argumento de, tem-se Então, cs A solução cujo afxo pertence ao º quadrante é tg e º quadrante, portanto 5 z cs Vamos esquematzar a stuação descrta, sabendo que: uma das raízes é real; vamos consderar que a raz real pertence ao semexo real postvo, mas o caso sera análogo se consderássemos que pertenca ao semexo real negatvo. os argumentos de duas raízes cúbcas consecutvas de z dferem de ; Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 5

26 Preparar o Exame 0 0 Matemátca A os afxos das raízes cúbcas de z pertencem à crcunferênca centrada na orgem de rao z a Nota que z a e a 0 Im(z) Temos que: A é o afxo de a B C O A a Re(z) B é o afxo de C é o afxo de a a acs a a acs Calculemos um dos lados do trângulo equlátero ABC : vamos calcular o módulo da dferença entre os números complexos cujos afxos são os pontos A e B para determnar AB a a a a 9a a a a a a Pelo que P a ABC Para determnar a área, consderando como base do trângulo BC, devemos determnar a respetva altura, utlzando, por exemplo, o teorema de Ptágoras: Im(z) B a C h a A a Re(z) a a a h h a 9a 9a a h h h h0 a Assm, A ABC a a 8. Para que a magem geométrca de um número complexo pertença à bssetrz dos quadrantes pares, o seu argumento tem de ser da forma k, k. Determnemos cs na forma trgonométrca: Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna

27 cs cs 7cs 5 cs ) ) Determnemos na forma trgonométrca: 9 Sendo um argumento de, tem-se Então, cs Então, tg e º quadrante, portanto Preparar o Exame 0 0 Matemátca A k k k k, k Como 0, fazemos k 0 e obtemos. Proposta de Resolução dos Exercícos do Subcapítulo Números Complexos Págna 7