58 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/2004. Tem-se assim uma decomposição da região rectangular R em mk rectângulos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "58 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/2004. Tem-se assim uma decomposição da região rectangular R em mk rectângulos"

Transcrição

1 58 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4.3 Integral duplo.3.1 efnção Seja um rectângulo fechado de, sto é, [a, b] [c, d] {(x, y) : a x b e c y d}, com a < b e c < d. Consdere-se uma partção do ntervalo [a, b], P 1 {x, x 1,..., x m }, com a x < x 1 < < x m 1 < x m b, e uma partção do ntervalo [c, d], P {y, y 1,..., y k }, com c y < y 1 < < y k 1 < y k d. Tem-se assm uma decomposção da regão rectangular em mk rectângulos W j [x 1, x ] [y j 1, y j ], 1,,..., m, j 1,,..., k, onde os rectângulos W j se ntersectam a quando muto nas respectvas fronteras. Esta decomposção de num número fnto de rectângulos dz-se uma partção de. epresentemos por P esta partção de. A norma (ou dâmetro) de P é a medda do maor dos comprmentos das dagonas de todos os rectângulos W j, 1,,..., m, j 1,,..., k e será representada por P ou δ P. Assm, { } P máx (x x 1 ) + (y j y j 1 ) : 1,..., m, j 1,..., k. Na fgura segunte está representada uma partção de uma regão rectangular em rectângulos. A norma desta partção é a medda do comprmento da dagonal assnalada. Fg..3.1

2 Crstna Caldera 59 Para evtar o uso de dos índces chamaremos 1,,..., n (com n mk) aos mk rectângulos W j, 1,,..., m, j 1,,..., k. Seja f : (x, y) f(x, y) uma função real defnda no rectângulo. Seja P { 1,,..., n } uma partção de em rectângulos. epresente-se por A a área do rectângulo, para 1,,..., n. Uma soma de emann da função f relatvamente à partção P é uma soma do tpo n f(u, v ) A, 1 onde (u, v ) é um ponto arbtráro de, para 1,,..., n. z-se que f é ntegrável sobre se exste um número real I para o qual é váldo o segunte: para todo o ε > exste δ > tal que, para toda a partção, P { }, de num número fnto de rectângulos com P < δ, se tem f(u, v ) A I < ε, para qualquer escolha de (u, v ). (.1) Prova-se que se exste um número real I verfcando (.1) então ele é únco. Chama-se- -lhe ntegral duplo de f sobre e representa-se por f(x, y) da ou f(x, y) dxdy. Observação.3.1 Intutvamente (.1) sgnfca que as somas de emann de f se aproxmam de I quando se consderam partções de de norma cada vez mas pequena. Como saber se uma dada função é ntegrável sobre um dado rectângulo? O uso da defnção para este fm não parece muto vável. Prova-se que se f é contínua num rectângulo fechado então f é ntegrável em. Podemos garantr anda a ntegrabldade, sobre um rectângulo, de determnado tpo de funções, não necessaramente contínuas, o que nos permtrá também defnr a noção de ntegral de uma função sobre regões não necessaramente rectangulares. Consdere-se uma função f : (x, y) f(x, y),

3 6 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 onde é um subconjunto fechado e lmtado de cuja frontera é uma unão fnta de conjuntos defndos por equações da forma x ϕ(y) ou y ψ(x), com ϕ e ψ funções contínuas em ntervalos reas fechados e lmtados. Suponha-se anda que f é contínua em. Seja [a, b] [c, d] um rectângulo fechado de (a < b e c < d), que contém. efna-se uma função em todo o rectângulo por g : { f(x, y) se (x, y) (x, y) se (x, y). Pode provar-se que esta nova função, apesar de não ser contínua em, é ntegrável sobre. z-se então que f é ntegrável sobre e defne-se f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy. Vamos agora consderar dos tpos especas de regões de. Uma regão de fechada e lmtada dz-se vertcalmente smples ou de tpo I se é da forma {(x, y) : a x b e g 1 (x) y g (x)}, com a < b, g 1 e g funções contínuas em [a, b], dstntas e verfcando g 1 (x) g (x), x [a, b]. egão vertcalmente smples Fg..3. Uma regão de fechada e lmtada dz-se horzontalmente smples ou de tpo II se é da forma {(x, y) : c y d e h 1 (y) x h (y)}, com c < d, h 1 e h funções contínuas em [c, d], dstntas e verfcando h 1 (y) h (y), y [c, d].

4 Crstna Caldera 61 egão horzontalmente smples Fg..3.3 Prova-se que se é um subconjunto fechado e lmtado de cuja frontera é uma unão fnta de conjuntos defndos por equações da forma x ϕ(y) ou y ψ(x), com ϕ e ψ funções contínuas em ntervalos reas fechados e lmtados então é unão de um número fnto de regões de que são, cada uma delas, de um dos tpos I ou II. Mas, estas regões de tpo I ou II podem ser escolhdas de modo a que, duas a duas, se ntersectem quando muto nas respectvas fronteras. Observação.3. efnmos a noção de ntegral duplo consderando subdvsões da regão de ntegração em rectângulos. eferremos agora brevemente que também se podem consderar outros tpos de subdvsões. Seja uma regão de que é unão de um número fnto de regões cada uma das quas é horzontal ou vertcalmente smples. Chamaremos decomposção de a uma famíla fnta de regões de, 1,,..., n, cada uma das quas é unão de um número fnto de regões vertcal ou horzontalmente smples, e que verfca: 1. 1 n ;. para j, e j ntersectam-se quando muto nas suas fronteras. Chamamos dâmetro desta decomposção à maor das dstâncas entre pontos de que pertençam a um mesmo. Pelo vsto anterormente, para cada, a função constante gual a 1 é ntegrável em. efna-se área de 1 dxdy. Veremos posterormente que esta noção de área concde com a noção ntutva que temos de área de uma regão plana. Seja f uma função real de duas varáves reas defnda em. Prova-se que f é ntegrável em e que f(x, y) dydy I

5 6 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 se e só se para todo o ε > exste δ > tal que, para toda a decomposção de, { }, do tpo vsto e cujo dâmetro seja estrtamente nferor a δ, se tem f(u, v ) área de I < ε, para qualquer escolha de (u, v )..3. Interpretação do ntegral duplo como volume de um sóldo quando f assume apenas valores não negatvos Comecemos por supôr que temos um rectângulo [a, b] [c, d] e que temos uma função f : (x, y) f(x, y), contínua em e tal que f(x, y) para todo o (x, y). Efectue-se uma partção de em rectângulos, P { 1,,..., n } e consdere-se uma soma de emann de f relatvamente à partção P, n f(u, v ) A, 1 onde (u, v ) e A desgna a área de, para 1,,..., n. Seja E o sóldo de 3 que é delmtado pela regão, pelos planos x a, x b, y c, y d e pelo gráfco de f, sto é, E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. A partção P determna a decomposção de E em n sóldos E 1, E,..., E n onde E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}, 1,..., n. Na fgura segunte estão representados a regão, a partção P, o sóldo E e um dos sóldos menores E. Fg..3.4

6 Crstna Caldera 63 Vejamos o que se passa em cada um dos sóldos menores E. Fxe-se {1,,..., n}. f(u, v ) A é gual ao volume do paralelpípedo de base e altura f(u, v ). Quanto mas pequena for a medda do comprmento das dagonas de mas o volume deste paralelpípedo se aproxma do volume do sóldo E. P (u, v, ), Q (u, v, f(u, v )) Fg..3.5 A soma de emann n f(u, v ) A 1 dá o volume da reunão de n paralelpípedos, de bases 1,,..., n e alturas f(u 1, v 1 ), f(u, v ),..., f(u n, v n ), respectvamente. O volume desta reunão de paralelpípedos dá uma aproxmação para o volume do sóldo E, aproxmação essa que será tanto melhor quanto menor for a norma da partção. Este racocíno que acabámos de expôr dá uma dea ntutva de porque é váldo o resultado segunte. Proposção.3.1 Seja uma regão de que é unão de um número fnto de regões de que são, cada uma delas, de um dos tpos I ou II e f uma função defnda e contínua em e verfcando anda Então o volume do sóldo f(x, y), (x, y). E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. é V (E) f(x, y) dxdy.

7 64 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4.3.3 Algumas propredades dos ntegras duplos Teorema.3.1 Sejam uma regão de que é unão de um número fnto de regões de que são, cada uma delas, de um dos tpos I ou II e f e g funções reas ntegráves em. Então 1. f + g é ntegrável em e [f(x, y) + g(x, y)] dxdy f(x, y) dxdy +. Para todo o c, a função c f é ntegrável em e cf(x, y) dxdy c f(x, y) dxdy ; 3. Se f(x, y) g(x, y), para todo o (x, y), f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy ; g(x, y) dxdy ; 4. Se 1 onde 1 e são duas regões de que se ntersectam, quando muto, nas suas fronteras e cada uma delas é unão de um número fnto de regões dos tpos I ou II, então f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy. 1 emonstração : Faremos apenas a demonstração da parte (a) do teorema e no caso da regão de ntegração ser um rectângulo. Consderem-se I 1 f(x, y) dxdy, I g(x, y) dxdy e I I 1 + I. Seja ε >, qualquer. Exste δ 1 > tal que, para toda a partção, P { }, de num número fnto de rectângulos com P < δ 1, se tem f(u, v ) A I 1 < ε/, para qualquer escolha de (u, v ). o mesmo modo, exste δ > tal que, para toda a partção, P { }, de num número fnto de rectângulos com P < δ, se tem g(u, v ) A I < ε/, para qualquer escolha de (u, v ).

8 Crstna Caldera 65 Sejam δ mn{δ 1, δ } e P { } uma qualquer partção de num número fnto de rectângulos verfcando P < δ. Para qualquer escolha de (u, v ) tem-se [f(u, v ) + g(u, v )] A I ( ) ( ) f(u, v ) A I 1 + g(u, v ) A I f(u, v ) A I 1 + g(u, v ) A I < ε/ + ε/ < ε. Então f + g é ntegrável em e [f(x, y) + g(x, y)] dxdy I I 1 + I..3.4 Cálculo de ntegras duplos-ntegras terados Suponha-se que [a, b] [c, d] é uma regão rectangular fechada de e que f é uma função real contínua em. esgne-se por I o ntegral de f sobre. Fxe-se x [a, b]. A função [c, d] y f(x, y) é contínua em [c, d] e portanto é ntegrável em [c, d]. O valor do seu ntegral depende de x. efna-se e consdere-se a função A(x ) d c f(x, y) dy, para x [a, b] A : [a, b] x A(x). Provemos que esta função é ntegrável em [a, b] e que o seu ntegral é I. Seja ε > qualquer. Sendo f ntegrável em exste δ > tal que, para toda a partção, P { }, de num número fnto de rectângulos com P < δ, se tem f(u, v ) A I < ε, (.) para qualquer escolha de (u, v ). Seja c y < y 1 < < y k d uma partção de [c, d] verfcando máx {y j y j 1 : j 1,..., k} < δ.

9 66 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Seja a x < x 1 < < x m b uma partção de [a, b] verfcando máx {x l x l 1 : l 1,..., m} < Para l {1,,..., m} seja u l [x l 1, x l ], arbtráro. δ. A(u l) d c f(u l, y) dy k j1 yj y j 1 f(u l, y) dy. Usando o teorema do valor médo do cálculo ntegral, conclu-se que exstem v 1,l, v,l,..., v k,l tas que v j,l [y j 1, y j ] e yj y j 1 f(u l, y) dy (y j y j 1 )f(u l, v j,l), para j 1,,..., k. Então A(u l) k f(u l, vj,l)(y j y j 1 ). j1 Consdere-se a partção de nos km rectângulos [x l 1, x l ] [y j 1, y j ], l 1,..., m, j 1,..., k. A norma desta partção é { } máx (x l x l 1 ) + (y j 1 y j ) : l 1,..., m, j 1,..., k < δ. esgnem-se por 1,,..., n (com n mk) os rectângulos desta partção e se [x l 1, x l ] [y j 1, y j ] desgne-se por (u, v ) o par (u l, v j,l ). Seja A a área de. e (.) conclu-se que m A(u l)(x l x l 1 ) I l1 < ε. m k f(u l, vj,l)(y j y j 1 )(x l x l 1 ) I l1 j1 n f(u, v ) A I 1 Provou-se assm que b a ( d c ) f(x, y) dy dx b a I A(x) dx (.3) f(x, y) dxdy.

10 Crstna Caldera 67 O ntegral presente no prmero membro da gualdade (.3) dz-se um será também representado por ntegral terado e b a d c f(x, y) dy dx. Se em vez de termos fxado x x tvessemos consderado y constante obtínhamos outro ntegral terado d ( b ) d b f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy. Provámos assm parte do resultado: c a Teorema.3. (Teorema de Fubn) Seja f uma função real de duas varáves contínua no rectângulo [a, b] [c, d]. Então f(x, y) dxdy c b d a c d b c a a f(x, y) dy dx f(x, y) dx dy. Vejamos qual o sgnfcado geométrco da prmera gualdade presente no teorema de Fubn, no caso de se ter f(x, y), (x, y). Fxe-se x [a, b] e consdere-se a curva C que se obtém ntersectando a superfíce {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)} com o plano x x. esgne-se por E(x ) a regão plana stuada no plano x x e que é delmtada pela curva C e pelas rectas { { { x x x x x x, e. z y c y d Isto é, E(x ) é a regão a tracejado na fgura segunte. Fg..3.6

11 68 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 A(x ) d c f(x, y) dy é então a medda da área de E(x ). Isto é váldo para todo o x [a, b]. Então, ntutvamente, vemos que b d a c f(x, y) dy dx é a soma das áreas de todas as regões planas da forma E(u) {(x, y, z) 3 : x u, c y d e z f(u, y)}, u [a, b]. Mas a soma dessas áreas é o volume do sóldo E delmtado pela regão, pelos planos x a, x b, y c, y d e pela superfíce de equação z f(x, y). Ora acontece que o volume de E é f(x, y) dxdy. O teorema de Fubn generalza-se para regões vertcal ou horzontalmente smples. Teorema Seja f uma função defnda e contínua numa regão vertcalmente smples {(x, y) : a x b e g 1 (x) y g (x)}, sendo a < b, g 1 e g funções contínuas em [a, b], dstntas e verfcando g 1 (x) g (x), para todo o x em [a, b]. Então ( b ) g (x) f(x, y) dxdy f(x, y) dy dx. a g 1 (x). Seja f uma função defnda e contínua numa regão horzontalmente smples {(x, y) : c y d e h 1 (y) x h (y)}, sendo c < d, h 1 e h funções contínuas em [c, d], dstntas e verfcando h 1 (y) h (y), para todo o y em [c, d]. Então ( d ) h (y) f(x, y) dxdy f(x, y) dx dy. c h 1 (y) Exemplo.3.1 Calculemos xy dxdy, sendo {(x, y) : x + y 9 e y 3 x}. Comecemos por representar a regão.

12 Crstna Caldera 69 Verfca-se faclmente que Fg..3.7 { (x, y) : y 3 e } 9 y x 3 y. Então é horzontalmente smples e xy dxdy [ y 4 ( 3 y xy dx 9 y ) dy [ ] x 3 y y dy 9 y ( ) 9 6y + y 9 + y y (y 3 3y ) dy 4 y ] 3 dy Exemplo.3. Calculemos x dxdy, sendo {(x, y) : y x, x + y 4 e xy }.

13 7 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Fg..3.8 Neste caso não é vertcalmente smples nem horzontalmente smples. Mas 1, sendo 1 {(x, y) : y e 4 y x y} e {(x, y) : x e x y 4 x }. 1 é horzontalmente smples, é vertcalmente smples, e estas duas regões ntersectamse apenas na sua frontera. Assm, x dxdy x dxdy + x dxdy, 1 ( ) y ( ) 4 x x dx dy + x dy dx 4 y x ( y 4 ) y ( ) dy + x 4 x x dx [ ] y 3 3 y + [ 13 ] (4 x ) 3/ x Exercícos 1. Calcule f(x, y) da, sendo: (a) f(x, y) x + y e [, 1] x [, 1]; (b) f(x, y) { 1 x y se x + y 1 se x + y > 1 e [, 1] x [, 1];

14 Crstna Caldera 71 (c) f(x, y) x y 1 e a regão de defnda por y x e x y ; (d) f(x, y) sn x e a regão de defnda por y sn x, πy x e x ; (e) f(x, y) x y e o subconjunto do 1 ō quadrante de determnado por y 1 x, y x ; y x, y x (f) f(x, y) x + y e {(x, y) : x 1, y 1}; (g) f(x, y) 1 a x e {(x, y) : (x a) + (y a) a, x a, y a}; (h) f(x, y) y x e [ 1, 1] [, ].. Inverta a ordem de ntegração e calcule, nos casos relevantes, os seguntes ntegras: (a) (b) (c) (d) (e) 1 x 9 3 e y dy dx; y sn(x 3 ) dx dy; e log x y dy dx; x 1 y sn y cos(x ) dy dx; y 4 x 4 x f(x, y) dy dx; (f) r rx x dx f(x, y) dy; x (g) (h) 1 x π sn x f(x, y) dy dx + 3 sn( x ) f(x, y) dy dx. 1 3 x f(x, y) dy dx;

15 7 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4.3.6 Integras duplos em coordenadas polares Seja O um ponto fxo do plano e consdere-se um sem-exo com orgem em O. z-se que O é o pólo e que o sem-exo é o exo polar. Seja P um ponto do plano dstnto do pólo O e consderem-se a dstânca, r, de P a O e o ângulo, θ, orentado no sentdo ant-horáro e meddo em radanos que o exo polar faz com OP. Fg..3.9 Sendo r OP, com P O, tem-se r >. Impondo que π < θ π o par (r, θ) assm defndo é únco e representa o ponto P. z-se que (r, θ) são as coordenadas polares de P O. Todo o par da forma (, θ), com θ ] π, π] é uma representação do pólo O. Uma vez mposta a restrção θ ] π, π] todos os pontos do plano, com excepção do pólo O, têm uma e uma só representação em coordenadas polares. Suponha-se que no plano se consdera também, além do pólo O e do exo polar, um referencal ortonormado XOY em que a orgem concde com o pólo e o sem-exo postvo ȮX concde com o exo polar. Se um ponto P do plano tem coordenadas cartesanas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), então { x r cos θ y r sn θ. Fg..3.1 Um rectângulo polar é uma regão do plano que em coordenadas polares é da forma {(r, θ) : a r b e α θ β}, (.4) sendo b > a e π < α < β π.

16 Crstna Caldera 73 Fg A área de um sector crcular de rao r e ângulo ao centro θ (em radanos) é r θ. A área do sector S é r θ. Fg..3.1 Então a área do rectângulo polar defndo em (.4) é 1 b (β α) 1 a (β α) 1 (b a )(β α). Seja f uma função defnda e contínua no rectângulo polar dado por (.4). é uma regão fechada e lmtada de que é unão de um número fnto de regões vertcal ou horzontalmente smples. e acordo com o vsto na secção.3 f é ntegrável em. Pretendemos calcular I f(x, y) dxdy.

17 74 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Efectuemos uma partção do ntervalo [a, b] e uma partção do ntervalo [α, β]: a r < r 1 < < r k 1 < r k b ; α θ < θ 1 < < θ m 1 < θ m β. Estas duas partções determnam uma partção P 1 do rectângulo [a, b] [α, β] em n km rectângulos, [r j 1, r j ] [θ l 1, θ l ], j 1,,..., k, l 1,,..., m. esgnem-se estes n km rectângulos por 1,,..., n. Para 1,,..., n seja (r, θ ) o ponto médo de. Então, para 1,,..., n, [ r r, r + r ] [ θ θ, θ + θ ], onde r desgna a ampltude do ntervalo que é a projecção ortogonal de sobre o exo dos XX e θ desgna a ampltude do ntervalo que é a projecção ortogonal de sobre o exo dos Y Y. A área de cada é r θ, a norma de P 1 é { P 1 máx ( θ ) + ( r ) : 1,,..., n} e P 1, quando ( r, θ ) (, ), 1,,..., n. As duas partções efectuadas em [a, b] e [α, β] determnam também uma decomposção P do rectângulo polar em n rectângulos polares. Fg Para 1,,..., n desgne-se por o rectângulo polar que em coordenadas polares é { (r, θ) : r r r r + r e θ θ θ θ + θ }. As coordenadas polares do ponto médo de são então (r, θ ).

18 Crstna Caldera 75 Fg As coordenadas cartesanas de (r, θ ) são { x r cos θ y r sn θ. A área de é A 1 [ ( r + r ) ( r r ) ] θ r r θ. O dâmetro ou norma de P é a medda do comprmento da maor das dagonas dos rectângulos polares 1,,..., n. esgne-se por P. Efectuando alguns cálculos obtém-se que P máx { 4(r ) sn ( θ ) ( ) θ + ( r ) cos : 1,,..., n Observe-se que, atendendo a que o conjunto {r : 1,,..., n} é lmtado, porque é lmtado, P, quando ( r, θ ) (, ), 1,,..., n. Consdere-se a soma de emann para f, assocada à decomposção P, que se obtém escolhendo o ponto médo em cada rectângulo polar, }. n f(x, y ) A 1 n f(r cos θ, r sn θ ) r r θ. (.5) 1 Consdere-se a função g : [a, b] [α, β] (r, θ) rf(r cos θ, r sn θ).

19 76 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 e (.5) obtém-se que n f(x, y ) A 1 n g(r, θ ) r θ (.6) e o segundo membro desta equação é uma soma de emann da função g relatvamente à partção P 1 de [a, b] [α, β] nos n rectângulos 1,..., n e onde em cada rectângulo se escolheu o ponto médo. A função g é contínua em [a, b] [α, β] e portanto é ntegrável. Seja I g(r, θ) drdθ. [a,b] [α,β] Vamos provar que I I. Seja ε > qualquer. Efectuando partções de [a, b] e [α, β] em sub-ntervalos de ampltudes sufcentemente pequenas, sto é, consderando todos os r e todos os θ sufcentemente pequenos, as normas de P 1 e P são sufcentemente pequenas para que (observação.3. e defnção de ntegral num rectângulo) f(x, y ) A I < ε/ e 1 g(r, θ ) r θ I < ε/. Então de (.6) obtém-se ( ) ( I I g(r, θ ) r θ I + f(x, y ) A + I) g(r, θ ) r θ I + f(x, y ) A I < ε. Uma vez que sto é váldo para todo o ε > conclu-se que I I, sto é, que f(x, y) dxdy g(r, θ) drdθ [a,b] [α,β] f(r cos θ, r sn θ) r drdθ [a,b] [α,β] b ( β a β α ) r f(r cos θ, sn θ) dθ dr α ( b ) r f(r cos θ, sn θ) dr dθ. Seja uma regão do plano que em coordenadas polares é da forma {(r, θ) : α θ β e h 1 (θ) r h (θ)}, a

20 Crstna Caldera 77 com π < α < β π, h 1 e h funções contínuas e dstntas em [α, β] e verfcando h 1 (θ) h (θ), θ [α, β]. z-se que é uma regão polar de tpo I. egão polar de tpo I Fg Se em coordenadas polares é da forma {(r, θ) : a r b e g 1 (r) θ g (r)}, onde a < b, g 1 e g funções contínuas e dstntas em [a, b] e verfcando g 1 (r) g (r), r [a, b], dz-se que é uma regão polar de tpo II. egão polar de tpo II Fg..3.16

21 78 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 No resultado segunte está descrta a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas polares no caso da regão de ntegração ser uma regão polar de tpo I ou de tpo II. Proposção.3. () Sejam {(r, θ) : α θ β e h 1 (θ) r h (θ)} uma regão polar de tpo I e f uma função contínua em. Então ( β ) h (θ) f(x, y) dxdy rf(r cos θ, r sn θ) dr α h 1 (θ) () Sejam {(r, θ) : a r b e g 1 (r) θ g (r)} uma regão polar de tpo II e f uma função contínua em. Então ( b ) g (r) f(x, y) dxdy rf(r cos θ, r sn θ) dθ a g 1 (r) dθ. dr. Exemplo.3.3 Calcular o volume do sóldo E lmtado superormente pela superfíce de equação z x + y e nferormente pela regão {(x, y) : 1 x + y 4 e x }. Em coordenadas polares, Fg {(r, θ) : 1 r e π θ π }.

22 Crstna Caldera 79 Então Volume de E π (x + y ) dxdy ( π ) r(r cos θ + r sn θ) dθ [ r 4 π 4 15π 4. π ( π π r 3 [θ] π π r 3 dr ] 1 r 3 dθ dr ) dr dr.3.7 Mudança de varável no ntegral duplo-caso geral Consdere-se fxado um referencal ortonormado em, XOY. Suponha-se que se pretende ntegrar uma função sobre {(x, y) : x 1 y 1 + x e 1 x y x}. Fg Claro que o podemos fazer consderando como a unão de três regões vertcalmente smples. Mas se consderarmos as novas varáves ndependentes u e v dadas por u x + y e v x y, em relação ao novo referencal ortonormado UOV a regão de ntegração passa a ser o rectângulo [1, ] [ 1, 1]. Ao fazermos uma mudança de varáves, sto é ao mudarmos o referencal a expressão da função a ntegrar também passa a ser outra. Se

23 8 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 esta mudança de varáves não complcar excessvamente a função a ntegrar haverá então nteresse em fazê-la. Veremos de seguda como se pode fazer a mudança de varáves no ntegral duplo. Consdere-se fxado um referencal ortonormado em. Seja uma regão do plano XOY que é unão de um número fnto de regões vertcal ou horzontalmente smples e f : (x, y) f(x, y) uma função contínua. Consdere-se a mudança de varáves dada por { x g(u, v) y h(u, v). Seja e suponha-se que função {(u, v) : (g(u, v), h(u, v)) } (u, v) (g(u, v), h(u, v)) é de classe C 1 num aberto de contendo. Suponha-se anda que a mudança de varáves é bjectva, ou seja, que a função é bjectva. ϕ : (u, v) (g(u, v), h(u, v)) Teorema.3.4 Nas condções anterores, se det(j ϕ (u, v)) para todo o (u, v), então f(x, y) dxdy f(g(u, v), h(u, v)) det(j ϕ (u, v)) dudv. Exemplo.3.4 Consderemos a regão defnda no níco da secção, e calculemos {(x, y) : x 1 y 1 + x e 1 x y x} efectuando a mudança de varáves { u x + y v x y A função vectoral (y x ) dxdy, { x u+v y u v ϕ : [1, ] [ 1, 1] (u, v) ( u+v, ) u v.

24 Crstna Caldera 81 é bjectva e a função é de classe C 1 em. Por outro lado, (u, v) ( u+v, ) u v det(j ϕ (u, v)) para todo o (u, v) [1, ] [ 1, 1]. Então (y x ) dxdy [1,] [ 1,1] [1,] [ 1,1] ] [ v u du 1, ( uv) det(j ϕ (u, v)) dudv 1 uv dudv O cálculo deste ntegral consderando como unão de 3 regões vertcalmente smples é consderavelmente mas trabalhoso. Vejamos que a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas polares vsta na secção anteror é um caso partcular da mudança de varáves descrta agora. Seja uma regão do plano XOY fechada, lmtada, que é unão fnta de regões, cada uma de um dos tpos I ou II, e que não contém a orgem. Seja f uma função contínua em. Faça-se a mudança de varáves { x g(r, θ), y h(r, θ) onde g e h são as funções de classe C 1 em defndas por g(r, θ) r cos θ e h(r, θ) r sn θ. Consdere-se {(r, θ) : r >, θ ] π, π] e (r cos θ, r sn θ) }. Como se vu, para todo o ponto do plano XOY, com excepção da orgem, as coordenadas polares são unvocamente determnadas. Então a aplcação du ϕ : (r, θ) (r cos θ, r sn θ) é bjectva. Por outro lado, det(j ϕ (r, θ)) cos θ sn θ r sn θ r cos θ r >,

25 8 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 para todo o (r, θ). Então f(x, y) dxdy f(r cos θ, r sn θ) r drdθ, como havíamos vsto na secção anteror. O facto de termos excluído a possbldade de a orgem pertencer à regão de ntegração não é grave. O que se passa num únco ponto não afecta o valor do ntegral duplo e portanto podemos efectuar a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas polares mesmo se a orgem pertencer à regão de ntegração..3.8 Exercícos 1. Calcule os seguntes ntegras passando a coordenadas polares: (a) x dxdy onde {(x, y) : y x, x, x + y 9 e x + y 4}; (b) dxdy onde {(x, y) : 1 x + y 4}; (c) (d) (e) (f) (g) 4 x 1 1 x (x + y ) 3 dy dx; e x + y dy dx; xy (x + y ) x y dxdy sendo a regão do 1 quadrante de lmtada por y, y 3 3 x, x + y 1 4 e x y 1 ; dxdy arctg ( y x ) dxdy onde {(x, y) : x + y x, x + y 4 e y 3x}; onde {(x, y) : x + y y e y x }.. Calcule os seguntes ntegras efectuando a mudança de varável ndcada: { x u + v (a) dxdy fazendo y u v, e com (b) {(x, y) : y, x e x + y 1}; (x + y) dxdy fazendo u x + y e v x y, e sendo {(x, y) : y, x e x + y 1} ;

26 Crstna Caldera 83 (c) xy dxdy fazendo x u v e y uv, e sendo {(x, y) : x + y 1}. 3. Usando uma mudança de varável adequada calcule: (a) e y x y+x dxdy onde é o trângulo lmtado pelas rectas x, y e (b) x + y ; (x y) sn (x + y) dxdy onde é o polígono de vértces nos pontos de coordenadas (π, ), (π, π), (π, π), (, π). 4. Usando a transformação { x + y u y uv mostre que 1 1 x e y 1 x+y dy dx (e 1). 5. Usando mudanças de coordenadas convenentes, calcule, xy dxdy onde {(x, y) : (x + y 4 x y ) (4x + y 4 x y )}..3.9 Aplcações do ntegral duplo Cálculo de volumes Vmos na proposção.3.1 que se é uma regão de que é unão de um número fnto de regões de que são, cada uma delas, de um dos tpos I ou II e f uma função defnda e contínua em e verfcando anda então o volume do sóldo f(x, y), (x, y), E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)} é Se f for tal que V (E) f(x, y) dxdy. f(x, y), (x, y),

27 84 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 então o volume do sóldo {(x, y, z) 3 : (x, y) e f(x, y) z } é f(x, y) dxdy. O resultado da proposção.3.1 pode anda ser usado para calcular volumes de sóldos da forma E {(x, y, z) 3 : (x, y) e g(x, y) z f(x, y)}, onde f e g são funções contínuas em, dstntas e verfcando Consderem-se os sóldos g(x, y) f(x, y), (x, y). E 1 {(x, y, z) 3 : (x, y) e z g(x, y)} e E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. Fg Então o volume de E é V (E) V (E ) V (E 1 ) f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy [f(x, y) g(x, y)] dxdy. Exemplo.3.5 Calculemos o volume do sóldo E {(x, y, z) 3 : z 3/ e x + y + (z 1) 1}.

28 Crstna Caldera 85 Fg..3. { x + y + (z 1) 1 z 3 A projecção de E sobre XOY é { x + y 3 4 z 3. { (x, y) : x + y 3 }. 4 Então o volume de E é V (E) Mudando para coordenadas polares, [ x y 3 ] dxdy. V (E) π π π π π π π π 4. 3/ 3/ ( r 3 ) r dr dθ ( 1 r 1 ) r dr dθ [ 1 4 r 1 3 (1 r ) 3/ ] 3 dθ

29 86 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Exercícos 1. Usando ntegras duplos, calcule o volume dos seguntes subconjuntos de 3 : (a) { x + y 1 z x + y ; (f) { x + y z x + y + z 3 ; (b) x + y z x y ; (c) x 4 + y 1 1 z 1 3x 4y ; (g) y x x y z 3 ; (h) x a + y b + z 1 com a, b, c ; c (d) { x + y z z 1 ; () { (z 16) x + y x + y 4 ; (e) { x + y + z 4 x + y x ; (j) { z (x + y ) y + z.. Seja E {(x, y, z) 3 : x + z 1, x + z y e y }. etermne o volume de E usando ntegras duplos. Cálculo de áreas de superfíces ( ā Frequênca, A. Mat. II - 5/6/98) Para podermos dar uma dea de porque é que se podem calcular áreas de superfíces usando ntegras duplos precsamos de defnr o que se entende por produto vectoral de dos vectores de 3. Sejam u (u 1, u, u 3 ) e v (v 1, v, v 3 ) vectores de 3. O produto vectoral ou produto externo de u por v é o vector u v (u v 3 u 3 v, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v u v 1 ). O produto vectoral de dos vectores pode ser calculado através do determnante smbólco (não se trata de um determnante porque um determnante é um número e u v é um vector) u v î ĵ ˆk u 1 u u 3 v 1 v v 3

30 Crstna Caldera 87 î u u 3 v v 3 ĵ u 1 u 3 v 1 v 3 + ˆk u 1 u v 1 v (u v 3 u 3 v )î + (u 3 v 1 u 1 v 3 )ĵ + (u 1 v u v 1 )ˆk. Proposção.3.3 Sejam u, v dos vectores de 3 e seja θ [, π] o ângulo entre eles. Então u v u v sn θ. emonstração : u v (u v 3 u 3 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 1 v u v 1 ) u v 3 + u 3v + u 3v 1 + u 1v 3 + u 1v + u v 1 u u 3 v v 3 u 1 u 3 v 1 v 3 u 1 u v 1 v (u 1 + u + u 3)(v 1 + v + v 3) u 1v 1 u v u 3v 3 u u 3 v v 3 u 1 u 3 v 1 v 3 u 1 u v 1 v u v (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u v u, v u v u v cos θ u v (1 cos θ) u v sn θ. Uma vez que θ [, π], sn θ, obtendo-se u v u v sn θ. esta proposção conclu-se que a norma de u v é gual à área do paralelograma de lados u e v. u v área de P Fg..3.1 a proposção anteror conclu-se anda que u v se e só se u e v são lnearmente ndependentes. Por outro lado, u v, u (u v 3 u 3 v )u 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )u + (u 1 v u v 1 )u 3

31 88 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 e analogamente u v, v. Assm, se u e v são lnearmente ndependentes, o vector u v é perpendcular ao plano que contém a orgem e é paralelo a u e v. O sentdo de u v é dado pela regra do saca-rolhas - fgura.3.. Fg..3. Proposção.3.4 Seja uma regão do plano XOY que é unão de um número fnto de regões, cada uma delas de um dos tpos I ou II. Seja f : (x, y) f(x, y) uma função de classe C 1 em e consdere-se a porção de superfíce Então a área de S é dada por A(S) S {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. 1 + (f x (x, y)) + (f y (x, y)) dxdy. Antes de apresentarmos uma dea geométrca da demonstração vejamos um coroláro mportante e a sua demonstração. Coroláro.3.1 Seja uma regão do plano XOY que é unão de um número fnto de regões, cada uma delas de um dos tpos I ou II. Então a área de é dada por A() dxdy. emonstração: Consderando a função obtém-se a porção de superfíce f : (x, y) 1 S {(x, y, z) 3 : (x, y) e z 1}.

32 Crstna Caldera 89 Fg..3.3 A porção de superfíce S obtém-se efectuando uma translação de e portanto A() A(S) dxdy dxdy. Vejamos então agora uma dea geométrca da demonstração da proposção para o caso da regão de ntegração ser um rectângulo. Consdere-se uma partção de em rectângulos 1,,..., n. Para {1,,..., n} seja S a porção de S cuja projecção ortogonal sobre XOY é. Isto é, S {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. A área de S é gual à soma das áreas de S 1, S,..., S n. consderem-se e S. Fxe-se {1,,..., n} e Fg..3.4 Suponha-se que [a, b ] [c, d ] e desgnem-se por x e y as meddas dos lados de. Isto é, x b a e y d c. Consdere-se o ponto de S, P (a, c, f(a, c )) e seja π o plano tangente a S em P (exste tal plano tangente porque S é a superfíce de nível de valor zero de uma função g(x, y, z) z f(x, y) e o gradente desta função em P é não nulo). esgne-se por T o paralelogramo contdo em π e cuja projecção ortogonal sobre XOY é o rectângulo. A função f é dferencável em P porque é de classe C 1. Então, para com dagonas sufcentemente pequenas, a área de T dá uma boa aproxmação para a área de S.

33 9 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Fg..3.5 A área de T é gual a u v. A recta que passa em P e tem a drecção do vector u é a recta do plano y c que é tangente, em P, à curva C que é a ntersecção de S com o plano y c. Assm C é a curva defnda por { z f(x, c ) y c e a referda recta tangente é dada por { z fx (a, c )(x a ) + f(a, c ) y c. (.7) epresentemos a stuação no plano y c : Fg..3.6 Usando (.7) conclu-se que o ponto Q tem coordenadas (b, c, f x (a, c )(b a ) + f(a, c )) (b, c, f x (a, c ) x + f(a, c )).

34 Crstna Caldera 91 Então u Q P (b a,, f x (a, c ) x ) ( x,, f x (a, c ) x ). e modo análogo verfca-se que v (, y, f y (a, c ) y ) e portanto u v î ĵ ˆk x f x (a, c ) x y f y (a, c ) y ( x )( y )f x (a, c )î ( x )( y )f y (a, c )ĵ + ( x )( y )ˆk ( x )( y ) ( f x (a, c ), f y (a, c ), 1). Assm a área de S é aproxmadamente gual a e a soma u v ( x )( y ) 1 + (f x (a, c )) + (f y (a, c )) n ( x )( y ) 1 + (f x (a, c )) + (f y (a, c )) (.8) 1 dá uma aproxmação para a área de S, que será tanto melhor quanto menores forem as dagonas dos rectângulos, sto é, quanto menor for a norma da partção { 1,,..., n }. Mas (.8) é uma soma de emann para a função relatvamente à partção { 1,,..., n }. Assm, ntutvamente, vemos que (x, y) 1 + (f x (x, y)) + (f y (x, y)), A(S) 1 + (f x (x, y)) + (f y (x, y)) dxdy. Exemplo.3.6 Calculemos a área da porção de parabolóde S {(x, y, z) 3 : x + y 1 e z 3 x y }.

35 9 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 e acordo com a proposção anteror, sendo e usando coordenadas polares, A(S) Fg..3.7 {(x, y) : x + y 1} π 1 π π π 1 + ( x) + ( y) dxdy 1 + 4x + 4y dxdy r 1 + 4r dr dθ [ 1 1 (1 + 4r ) 3/ π 6 (5 5 1). ] 1 dθ Exercícos 1. etermne, usando ntegras duplos, as áreas dos domínos planos defndos por: (a) {(x, y) : y 6x x e y x x}; (b) {(x, y) : y e x, y e x e x }; (c) {(x, y) : x ay, x by, y αx e y βx}, onde a b e α β; (d) {(x, y) : x + y 1, x + y 4, x e y x};

36 Crstna Caldera 93 (e) {(x, y) : x + y 16, (x + ) + y 4 e y }; (f) {(x, y) : x + y x, y 3x e y x}; (g) {(x, y) : x + y 1, y x e y }; (h) {(x, y) : x 4 + y 1, x 4 + y 9 1, y x, x e y }; () {(x, y) : y 4x e y x 4}; (j) {(x, y) : x + 4y 5 e xy 1}.. Usando ntegras duplos, calcule a área da regão plana defnda por {(x, y) : x + y 1, (x 1) + y 1 e y }. (1 ā Frequênca, A. Mat. II - 17//98) 3. Calcule as áreas das seguntes superfíces : (a) Porção do plano de equação 6x + 3y + z 1 stuada no prmero octante; (b) Porção do parabolóde de equação x + y z stuada no nteror da superfíce clíndrca x + y 1; (c) Superfíce esférca; (d) Porção da superfíce cónca de equação x + y z stuada no nteror da superfíce clíndrca de equação x + y 1; (e) S {(x, y, z) 3 : x + y + z 4 e x + y z }; (f) S {(x, y, z) 3 : x + y 4 e z 3}. Massa, centro de massa e momentos duma fgura plana Seja uma regão plana. Suponhamos dstrbuída na regão uma determnada quantdade de matéra. Seja (x, y) um ponto de e seja S uma subregão de que contém (x, y). esgne-se por A a sua área e por m a massa da matéra dstrbuída em S. Se m exstr, o lmte lm dependerá, em geral do ponto (x, y). Assm, a este lmte, se A A exstr, chama-se densdade da matéra no ponto (x, y). Se para todo o (x, y) exstr o referdo lmte, à função ρ : +, tal que ρ(x, y) é a densdade da matéra no ponto (x, y) chama-se função densdade da dstrbução de matéra em causa. Suponha-se agora que temos uma regão plana rectangular [a, b] [c, d] e que temos uma dada dstrbução de matéra em, com função densdade contínua ρ. Efectuemos

37 94 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 uma partção do rectângulo num número fnto de de rectângulos, P { }. Consdere-se uma soma de emann para ρ assocada a esta partção, ρ(u, v ) A, onde, para cada, (u, v ) e A representa a área de. Fxe-se. Se a função ρ fosse constante em, a massa da matéra contda em sera gual a ρ(u, v ) A. Então ρ(u, v ) A dá uma aproxmação para a massa da matéra contda em, aproxmação essa que será tanto melhor quanto menor for a medda das dagonas de. Assm, ρ(u, v ) A dá uma aproxmação para a massa da matéra contda em, aproxmação essa que será tanto melhor quanto menor for a norma da partção P. Então, ntutvamente vemos que ρ(x, y) dxdy é gual à massa de matéra dstrbuída em. Os momentos de um ponto materal com massa m e stuado no plano XOY, P (x, y), em relação aos exos OX e OY são, respectvamente, my e mx. O momento de um sstema materal consttuído por um número fnto de pontos em relação a um dado exo é a soma dos momentos, em relação a esse exo, dos pontos que consttuem o sstema. Para cada rectângulo da partção de, e supondo que a massa está toda concentrada no ponto (u, v ), o momento de em relação a OX é Assm a soma de emann v ρ(u, v ) A. v ρ(u, v ) A dá uma aproxmação para o momento de relatvamente a OX. Então o momento, relatvamente a OX, de uma dstrbução de matéra sobre a regão rectangular, com função densdade contínua ρ, é dado por M x y ρ(x, y) dxdy. e modo análogo, o momento, relatvamente a OY é M y x ρ(x, y) dxdy.

38 Crstna Caldera 95 O centro de massa ou barcentro de um sstema materal consttuído por n pontos do plano XOY, P 1, P,..., P n, tendo o ponto P (x, y ) uma massa m, é o ponto (x, y ) em que n 1 x x m m e n 1 y y m, m onde m m é a massa total do sstema. Se suposermos que em cada rectângulo, da partção P de, a massa está toda concentrada no ponto (u, v ), as coordenadas do centro de massa de são x c u ρ(u, v ) A m e y c v ρ(u, v ) A. m Assm, ntutvamente, e atendendo a que m ρ(x, y) dxdy, o centro de massa de é o ponto (x c, y c ), onde x ρ(x, y) dxdy x c ρ(x, y) dxdy e y ρ(x, y) dxdy y c. ρ(x, y) dxdy O que acabámos de ver generalza-se para regões planas não necessaramente rectangulares. Seja uma regão fechada plana que é unão de um número fnto de regões vertcalmente smples ou horzontalmente smples. Suponhamos dstrbuída na regão uma determnada quantdade de matéra, com função densdade contínua ρ. Para esta dstrbução de matéra tem-se: A massa total m é dada por m ρ(x, y) dxdy. Os momentos em relação a OX e a OY são, respectvamente M x y ρ(x, y) dxdy e M y x ρ(x, y) dxdy.

39 96 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 As coordenadas do centro de massa são x ρ(x, y) dxdy x c ρ(x, y) dxdy M y m e y y ρ(x, y) dxdy c ρ(x, y) dxdy M x m. Exemplo.3.7 etermnar a massa total e o centro de massa de uma dstrbução de matéra com função densdade ρ(x, y) x + y, sobre o rectângulo polar que em coordenadas polares é { (r, θ) : r 1 e π 6 θ π }. 3 Usando coordenadas polares, conclu-se que a massa total é m x + y dxdy π 3 1 π 6 π 18. As coordenadas do centro de massa são x c 18 π Exercícos 18 π π 3 π 6 1 r dr dθ x ρ(x, y) dxdy 9( 3 1) 4π y c 18 π 18 π π 3 1 π 6 r 3 cos θ dr dθ ; y ρ(x, y) dxdy 9( 3 1) 4π r 3 sn θ dr dθ 1. Utlzando ntegras duplos, determne a massa, m, os momentos M x e M y e o centro de massa C (x c, y c ), de uma lâmna T, cuja densdade em cada ponto P (x, y) de T é dada por ρ(x, y), quando:. (a) T é um trângulo rectângulo sósceles, cujos catetos medem a, e ρ(x, y) é drectamente proporconal ao quadrado da dstânca de (x, y) ao vértce do ângulo recto; (b) T {(x, y) : x y 1 x } e ρ(x, y) x + y;

Cristina Caldeira 97. Tem-se assim uma decomposição da região Q em mkq paralelipípedos rectangulares

Cristina Caldeira 97. Tem-se assim uma decomposição da região Q em mkq paralelipípedos rectangulares Crstna Caldera 97 (c) T {(x, y) R : y a x } (a R + ) e ρ(x, y) é a dstânca de (x, y) ao ponto (, ); (d) T [, 3] [, ] e ρ(x, y) xy..4 Integral trplo.4.1 efnção e propredades Seja Q um paralelpípedo rectangular

Leia mais

R X. X(s) Y Y(s) Variáveis aleatórias discretas bidimensionais

R X. X(s) Y Y(s) Variáveis aleatórias discretas bidimensionais 30 Varáves aleatóras bdmensonas Sea ε uma experênca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experênca. Seam X X(s) e Y Y(s) duas funções cada uma assocando um número real a cada resultado s S.

Leia mais

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas Unversdade Salvador UNIFACS Cursos de Engenhara Cálculo IV Profa: Ilka ebouças Frere Integras Múltplas Texto 3: A Integral Dupla em Coordenadas Polares Coordenadas Polares Introduzremos agora um novo sstema

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Potências e raízes Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Potências e raízes Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Potêncas e raízes Propostas de resolução Exercícos de exames e testes ntermédos 1. Smplfcando a expressão de z na f.a., como 5+ ) 5 1 5, temos: z 1 + 1 ) + 1 1 1

Leia mais

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 1

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 1 Análse Complexa Resolução de alguns exercícos do capítulo 1 1. Tem-se:. = (0, 1) = (0, 1) =. 3. Sejam a, b R. Então Exercíco nº1 = (0, 1).(0, 1) = (0.0 1.1, 0.1 + 1.0) = ( 1, 0) = 1. a + b = a b = a +

Leia mais

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000)

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000) Internet: http://rolvera.pt.to ou http://sm.page.vu Escola Secundára Dr. Ângelo Augusto da Slva Matemátca.º ano Números Complexos - Exercícos saídos em (Exames Naconas 000). Seja C o conjunto dos números

Leia mais

Dinâmica do Movimento de Rotação

Dinâmica do Movimento de Rotação Dnâmca do Movmento de Rotação - ntrodução Neste Capítulo vamos defnr uma nova grandeza físca, o torque, que descreve a ação gratóra ou o efeto de rotação de uma força. Verfcaremos que o torque efetvo que

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1 Nome Nº Turma: Data: / / Professor 10.º Ano Classfcação Apresente o seu racocíno de forma clara, ndcando todos os cálculos que tver de efetuar e todas

Leia mais

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha)

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha) Estatístca p/ Admnstração II - Profª Ana Cláuda Melo Undade : Probabldade Aula: 3 Varável Aleatóra. Varáves Aleatóras Ao descrever um espaço amostral de um expermento, não especfcamos que um resultado

Leia mais

4 Sistemas de partículas

4 Sistemas de partículas 4 Sstemas de partículas Nota: será feta a segunte convenção: uma letra em bold representa um vector,.e. b b Nesta secção estudaremos a generalzação das les de Newton a um sstema de váras partículas e as

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Prof. Lorí Val, Dr. UFRG Insttuto de Matemátca

Leia mais

AULA Espaços Vectoriais Estruturas Algébricas.

AULA Espaços Vectoriais Estruturas Algébricas. Note bem: a letura destes apontamentos não dspensa de modo algum a letura atenta da bblografa prncpal da cadera Chama-se a atenção para a mportânca do trabalho pessoal a realzar pelo aluno resolvendo os

Leia mais

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA CAPÍTULO DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA. A MÉDIA ARITMÉTICA OU PROMÉDIO Defnção: é gual a soma dos valores do grupo de dados dvdda pelo número de valores. X x Soma dos valores de x número de

Leia mais

Lista de Matemática ITA 2012 Números Complexos

Lista de Matemática ITA 2012 Números Complexos Prof Alex Perera Beerra Lsta de Matemátca ITA 0 Números Complexos 0 - (UFPE/0) A representação geométrca dos números complexos que satsfaem a gualdade = formam uma crcunferênca com rao r e centro no ponto

Leia mais

MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS

MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS PROF: Claudo Saldan CONTATO: saldan.mat@gmal.com PARTE 0 -(MACK SP/00/Janero) Se y = x, sendo x= e =, o valor de (xy) é a) 9 9 9 9 e) 9 0 -(FGV/00/Janero)

Leia mais

AEP FISCAL ESTATÍSTICA

AEP FISCAL ESTATÍSTICA AEP FISCAL ESTATÍSTICA Módulo 11: Varáves Aleatóras (webercampos@gmal.com) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Conceto de Varáves Aleatóras Exemplo: O expermento consste no lançamento de duas moedas: X: nº de caras

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Não Lnear com Restrções Aula 9: Programação Não-Lnear - Funções de Váras Varáves com Restrções Ponto Regular; Introdução aos Multplcadores de Lagrange; Multplcadores de Lagrange e Condções

Leia mais

FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. Modelo Cinemático de Robôs Manipuladores

FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. Modelo Cinemático de Robôs Manipuladores FUNDMENTOS DE ROBÓTIC Modelo Cnemátco de Robôs Manpuladores Modelo Cnemátco de Robôs Manpuladores Introdução Modelo Cnemátco Dreto Modelo Cnemátco de um Robô de GDL Representação de Denavt-Hartenberg Exemplos

Leia mais

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear Estatístca II Antono Roque Aula 18 Regressão Lnear Quando se consderam duas varáves aleatóras ao mesmo tempo, X e Y, as técncas estatístcas aplcadas são as de regressão e correlação. As duas técncas estão

Leia mais

Notas Processos estocásticos. Nestor Caticha 23 de abril de 2012

Notas Processos estocásticos. Nestor Caticha 23 de abril de 2012 Notas Processos estocástcos Nestor Catcha 23 de abrl de 2012 notas processos estocástcos 2 O Teorema de Perron Frobenus para matrzes de Markov Consdere um processo estocástco representado por um conunto

Leia mais

Curvas Horizontais e Verticais

Curvas Horizontais e Verticais Insttução: Faculdade de Tecnologa e Cêncas Professor: Dego Queroz de Sousa Dscplna: Topografa Curvas Horzontas e ertcas 1. Introdução Exstem dversas ocasões na engenhara em que os projetos são desenvolvs

Leia mais

Matemática IV. Textos de Apoio

Matemática IV. Textos de Apoio Matemática IV 2 o semestre do ano lectivo 2004/2005 Engenharias de Materiais e Química Textos de Apoio Cristina Caldeira A grande maioria dos exercícios presentes nestes textos de apoio foram recolhidos

Leia mais

NÚMEROS COMPLEXOS (C)

NÚMEROS COMPLEXOS (C) Professor: Casso Kechalosk Mello Dscplna: Matemátca Aluno: N Turma: Data: NÚMEROS COMPLEXOS (C) Quando resolvemos a equação de º grau x² - 6x + = 0 procedemos da segunte forma: b b ± 4ac 6 ± 6 4 6 ± 6

Leia mais

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Constata-se, freqüentemente, a estênca de uma relação entre duas (ou mas) varáves. Se tal relação é de natureza quanttatva, a correlação é o nstrumento adequado para descobrr e medr

Leia mais

Matemática. Veículo A. Veículo B. Os gráficos das funções interceptam-se quando 50t = 80t

Matemática. Veículo A. Veículo B. Os gráficos das funções interceptam-se quando 50t = 80t Matemátca 0 Dos veículos, A e B, partem de um ponto de uma estrada, em sentdos opostos e com velocdades constantes de 50km/h e 70km/h, respectvamente Após uma hora, o veículo B retorna e, medatamente,

Leia mais

CARGA MÓVEL. Conjunto de cargas moveis que mantêm uma posição relativa constante.

CARGA MÓVEL. Conjunto de cargas moveis que mantêm uma posição relativa constante. CARGA MÓVEL Força generalsada com ntensdade, drecção e sentdo fxos, mas com uma posção varável na estrutura. COMBOIO DE CARGAS Conjunto de cargas moves que mantêm uma posção relatva constante. CARGA DISTRIBUIDA

Leia mais

Fone:

Fone: Prof. Valdr Gumarães Físca para Engenhara FEP111 (4300111) 1º Semestre de 013 nsttuto de Físca- Unversdade de São Paulo Aula 8 Rotação, momento nérca e torque Professor: Valdr Gumarães E-mal: valdrg@f.usp.br

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ 1 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das

Leia mais

Laboratório de Mecânica Aplicada I Estática: Roldanas e Equilíbrio de Momentos

Laboratório de Mecânica Aplicada I Estática: Roldanas e Equilíbrio de Momentos Laboratóro de Mecânca Aplcada I Estátca: Roldanas e Equlíbro de Momentos 1 Introdução O conhecmento das condções de equlíbro de um corpo é mprescndível em númeras stuações. Por exemplo, o estudo do equlíbro

Leia mais

valor do troco recebido foi a) R$ 0,50. b) R$ 1,00. c) R$ 1,50. d) R$ 2,50. e) R$ 2,00.

valor do troco recebido foi a) R$ 0,50. b) R$ 1,00. c) R$ 1,50. d) R$ 2,50. e) R$ 2,00. Nome: nº Data: / _ / 017 Professor: Gustavo Bueno Slva - Ensno Médo - 3º ano Lsta de Revsão 1. (Upe-ssa 017) Márca e Marta juntas pesam 115 kg; Marta e Mônca pesam juntas 113 kg; e Márca e Mônca pesam

Leia mais

Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2016 (2 ạ fase) GRUPO I (Versão 1) Logo, P(A B) = = = Opção (A)

Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2016 (2 ạ fase) GRUPO I (Versão 1) Logo, P(A B) = = = Opção (A) Proosta de resolução do Eame Naconal de Matemátca A 0 ( ạ fase) GRUPO I (Versão ). P( A B) 0, P(A B) 0, P(A B) 0, P(A B) 0,4 P(A) + P(B) P(A B) 0,4 Como P(A) 0, e P(B) 0,, vem que: 0, + 0, P(A B) 0,4 P(A

Leia mais

Capítulo 24: Potencial Elétrico

Capítulo 24: Potencial Elétrico Capítulo 24: Potencal Energa Potencal Elétrca Potencal Superfíces Equpotencas Cálculo do Potencal a Partr do Campo Potencal Produzdo por uma Carga Pontual Potencal Produzdo por um Grupo de Cargas Pontuas

Leia mais

Departamento de Informática. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Modelagem Analítica. Disciplina: Variável Aleatória

Departamento de Informática. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Modelagem Analítica. Disciplina: Variável Aleatória Departamento de Informátca Dscplna: do Desempenho de Sstemas de Computação Varável leatóra Prof. Sérgo Colcher colcher@nf.puc-ro.br Varável leatóra eal O espaço de amostras Ω fo defndo como o conjunto

Leia mais

2 - Análise de circuitos em corrente contínua

2 - Análise de circuitos em corrente contínua - Análse de crcutos em corrente contínua.-corrente eléctrca.-le de Ohm.3-Sentdos da corrente: real e convenconal.4-fontes ndependentes e fontes dependentes.5-assocação de resstêncas; Dvsores de tensão;

Leia mais

1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 014 Estatístca Descrtva e Análse Exploratóra Etapas ncas. Utlzadas para descrever e resumr os dados. A dsponbldade de uma grande quantdade de dados e de

Leia mais

3. Um protão move-se numa órbita circular de raio 14 cm quando se encontra. b) Qual o valor da velocidade linear e da frequência ciclotrónica do

3. Um protão move-se numa órbita circular de raio 14 cm quando se encontra. b) Qual o valor da velocidade linear e da frequência ciclotrónica do Electromagnetsmo e Óptca Prmero Semestre 007 Sére. O campo magnétco numa dada regão do espaço é dado por B = 4 e x + e y (Tesla. Um electrão (q e =.6 0 9 C entra nesta regão com velocdade v = e x + 3 e

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2010 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2010 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBUAR a Fase RESOUÇÃO: Proa Mara Antôna Gouvea Questão Um quadrado mágco é uma matr quadrada de ordem maor ou gual a cujas somas dos termos de cada lnha de cada coluna da

Leia mais

Sumarização dos dados

Sumarização dos dados Inferênca e Decsão I Soluções da Colectânea de Exercícos 22/3 LMAC Capítulo 2 Sumarzação dos dados Nota: neste capítulo é apresentada a resolução apenas de alguns exercícos e a título ndcatvo. Exercíco

Leia mais

18 e 20/Abr/2016 Aulas 12 e 13. Introdução à Física Estatística Postulados Equilíbrio térmico Função de Partição; propriedades termodinâmicas

18 e 20/Abr/2016 Aulas 12 e 13. Introdução à Física Estatística Postulados Equilíbrio térmico Função de Partição; propriedades termodinâmicas 01/Abr/2016 Aula 11 Potencas termodnâmcos Energa nterna total Entalpa Energas lvres de Helmholtz e de Gbbs Relações de Maxwell 18 e 20/Abr/2016 Aulas 12 e 13 Introdução à Físca Estatístca Postulados Equlíbro

Leia mais

Lei das Malhas (KVL) Lei dos Nós (KCL)

Lei das Malhas (KVL) Lei dos Nós (KCL) Le das Malhas (KL) Le dos Nós (KCL) Electrónca Arnaldo Batsta 5/6 Electrónca_omed_ef KCL (Krchhoff Current Law) Nó é o ponto de lgação de dos ou mas elementos de crcuto amo é uma porção do crcuto contendo

Leia mais

Atividade em Soluções Eletrolíticas

Atividade em Soluções Eletrolíticas Modelo de solução eletrolítca segundo Debye-Hückel. - A le lmte de Debye-Hückel (LLDH) tem o lmte que está em: I 0,01. log z.z A I 1/ valêncas do íons + e do eletrólto I 1 [ z b / b ] constante que depende

Leia mais

Atividade em Soluções Eletrolíticas

Atividade em Soluções Eletrolíticas Modelo de solução eletrolítca segundo Debye-Hückel. - A le lmte de Debye-Hückel (LLDH) tem o lmte que está em: I 0,01. log z.z A I 1/ valêncas do íons + e do eletrólto I 1 [ z b / b ] constante que depende

Leia mais

PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2010/2011

PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2010/2011 Instruções: PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 00/0 Cada uestão respondda corretamente vale (um) ponto. Cada uestão respondda ncorretamente vale - (menos um) ponto. Cada uestão

Leia mais

Introdução a Combinatória- Aplicações, parte II

Introdução a Combinatória- Aplicações, parte II Introdução a Combnatóra- Aplcações, AULA 7 7.1 Introdução Nesta aula vamos estudar aplcações um pouco dferentes das da aula passada. No caso estudaremos arranjos com repetção, permutações crculares e o

Leia mais

Figura 8.1: Distribuição uniforme de pontos em uma malha uni-dimensional. A notação empregada neste capítulo para avaliação da derivada de uma

Figura 8.1: Distribuição uniforme de pontos em uma malha uni-dimensional. A notação empregada neste capítulo para avaliação da derivada de uma Capítulo 8 Dferencação Numérca Quase todos os métodos numércos utlzados atualmente para obtenção de soluções de equações erencas ordnáras e parcas utlzam algum tpo de aproxmação para as dervadas contínuas

Leia mais

Capítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2

Capítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2 Capítulo O plano compleo Introdução Os números compleos começaram por ser ntrodudos para dar sentdo à resolução de equações polnomas do tpo Como os quadrados de números reas são sempre maores ou guas a

Leia mais

TABELAS E GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS

TABELAS E GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS TABELAS E GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS Varável Qualquer característca assocada a uma população Classfcação de varáves Qualtatva { Nomnal sexo, cor dos olhos Ordnal Classe

Leia mais

7 - Distribuição de Freqüências

7 - Distribuição de Freqüências 7 - Dstrbução de Freqüêncas 7.1 Introdução Em mutas áreas há uma grande quantdade de nformações numércas que precsam ser dvulgadas de forma resumda. O método mas comum de resumr estes dados numércos consste

Leia mais

CONCEITOS INICIAIS DE ESTATÍSTICA MÓDULO 2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA - ELEMENTOS Prof. Rogério Rodrigues

CONCEITOS INICIAIS DE ESTATÍSTICA MÓDULO 2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA - ELEMENTOS Prof. Rogério Rodrigues CONCEITOS INICIAIS DE ESTATÍSTICA MÓDULO DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA - ELEMENTOS Prof. Rogéro Rodrgues I) TABELA PRIMITIVA E DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA : No processo de amostragem, a forma de regstro mas

Leia mais

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas 3.6. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas

Leia mais

ESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS

ESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS ESPELHOS E LENTES 1 Embora para os povos prmtvos os espelhos tvessem propredades mágcas, orgem de lendas e crendces que estão presentes até hoje, para a físca são apenas superfíces poldas que produzem

Leia mais

M mn (R) : conjunto das matrizes reais m n AnB = fx; x 2 A e x =2 Bg det A : determinante da matriz A

M mn (R) : conjunto das matrizes reais m n AnB = fx; x 2 A e x =2 Bg det A : determinante da matriz A NOTAÇÕES N = f1; ; ; g C conjunto dos números comlexos R conjunto dos números reas undade magnára = 1 [a; b] = fx R; a x bg jzj módulo do número z C [a; b[ = fx R; a x < bg z conjugado do número z C ]a;

Leia mais

MECÂNICA CLÁSSICA. AULA N o 7. Teorema de Liouville Fluxo no Espaço de Fases Sistemas Caóticos Lagrangeano com Potencial Vetor

MECÂNICA CLÁSSICA. AULA N o 7. Teorema de Liouville Fluxo no Espaço de Fases Sistemas Caóticos Lagrangeano com Potencial Vetor 1 MECÂNICA CLÁSSICA AULA N o 7 Teorema de Louvlle Fluo no Espaço de Fases Sstemas Caótcos Lagrangeano com Potencal Vetor Voltando mas uma ve ao assunto das les admssíves na Físca, acrescentamos que, nos

Leia mais

2.1 Mudança de variáveis em integral dupla

2.1 Mudança de variáveis em integral dupla ! "! # $! % & #! ' ( $ Objetivos. Os objetivos desta Aula são: apresentar a ideia de mudança de variáveis no plano para calcular integrais duplas; usar as coordenadas polares para calcular a integral dupla

Leia mais

Elementos de Estatística e Probabilidades II

Elementos de Estatística e Probabilidades II Elementos de Estatístca e Probabldades II Varáves e Vetores Aleatóros dscretos Inês Das 203 O prncpal objetvo da deste documento é fornecer conhecmentos báscos de varáves aleatóras dscretas e pares aleatóros

Leia mais

3.1. Conceitos de força e massa

3.1. Conceitos de força e massa CAPÍTULO 3 Les de Newton 3.1. Concetos de força e massa Uma força representa a acção de um corpo sobre outro,.e. a nteracção físca entre dos corpos. Como grandeza vectoral que é, só fca caracterzada pelo

Leia mais

Notas de Aula de Probabilidade A

Notas de Aula de Probabilidade A VII- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS. 7. CONCEITO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: Informalmente, uma varável aleatóra é um característco numérco do resultado de um epermento aleatóro. Defnção: Uma varável

Leia mais

Exercícios propostos para as aulas práticas

Exercícios propostos para as aulas práticas Análise Matemática III Engenharia Civil 2005/2006 Exercícios propostos para as aulas práticas Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Algumas noções topológicas em IR n 1 Verifique se cada

Leia mais

F-128 Física Geral I. Aula Exploratória Cap. 3.

F-128 Física Geral I. Aula Exploratória Cap. 3. F-128 Físca Geral I ula Eploratóra Cap. 3 username@f.uncamp.br Soma de vetores usando componentes cartesanas Se, o vetor C será dado em componentes cartesanas por: C ( î ĵ)( î ĵ) ( )î ( )ĵ C C î C ĵ onde:

Leia mais

Referências bibliográficas: H. 31-5, 31-6 S. 29-7, 29-8 T Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Física

Referências bibliográficas: H. 31-5, 31-6 S. 29-7, 29-8 T Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Física Unversdade Federal do Paraná Setor de êncas Exatas epartamento de Físca Físca III Prof. r. Rcardo Luz Vana Referêncas bblográfcas: H. 31-5, 31-6 S. 9-7, 9-8 T. 5-4 ula - Le de mpère ndré Mare mpère (*

Leia mais

( ) F 1 pode ser deslocado de. M = r F. Mecânica Geral II Notas de AULA 2 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori. MOMENTO DE UM BINÁRIO.

( ) F 1 pode ser deslocado de. M = r F. Mecânica Geral II Notas de AULA 2 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori. MOMENTO DE UM BINÁRIO. ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor ET DE U IÁI. Duas forças, que tenham o mesmo módulo e lnha de ação paralelas e sentdos opostos formam um bnáro. Decomposção de uma força dada

Leia mais

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência.

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência. MODELO DE REGRESSÃO DE COX Os modelos de regressão paramétrcos vstos anterormente exgem que se suponha uma dstrbução estatístca para o tempo de sobrevvênca. Contudo esta suposção, caso não sea adequada,

Leia mais

Cap. 6 - Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

Cap. 6 - Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica Unversdade Federal do Ro de Janero Insttuto de Físca Físca I IGM1 014/1 Cap. 6 - Energa Potencal e Conservação da Energa Mecânca Prof. Elvs Soares 1 Energa Potencal A energa potencal é o nome dado a forma

Leia mais

Capítulo XI. Teste do Qui-quadrado. (χ 2 )

Capítulo XI. Teste do Qui-quadrado. (χ 2 ) TLF 00/ Cap. XI Teste do Capítulo XI Teste do Qu-quadrado ( ).. Aplcação do teste do a uma dstrbução de frequêncas 08.. Escolha de ntervalos para o teste do.3. Graus de lberdade e reduzdo.4. Tabela de

Leia mais

1 Objetivo da experiência: Medir o módulo da aceleração da gravidade g no nosso laboratório com ajuda de um pêndulo simples.

1 Objetivo da experiência: Medir o módulo da aceleração da gravidade g no nosso laboratório com ajuda de um pêndulo simples. Departamento de Físca ICE/UFJF Laboratóro de Físca II Prátca : Medda da Aceleração da Gravdade Objetvo da experênca: Medr o módulo da aceleração da gravdade g no nosso laboratóro com ajuda de um pêndulo

Leia mais

Contabilometria. Aula 8 Regressão Linear Simples

Contabilometria. Aula 8 Regressão Linear Simples Contalometra Aula 8 Regressão Lnear Smples Orgem hstórca do termo Regressão Le da Regressão Unversal de Galton 1885 Galton verfcou que, apesar da tendênca de que pas altos tvessem flhos altos e pas axos

Leia mais

DEFINIÇÃO - MODELO LINEAR GENERALIZADO

DEFINIÇÃO - MODELO LINEAR GENERALIZADO DEFINIÇÃO - MODELO LINEAR GENERALIZADO 1 Um modelo lnear generalzado é defndo pelos seguntes três componentes: Componente aleatóro; Componente sstemátco; Função de lgação; Componente aleatóro: Um conjunto

Leia mais

2 Principio do Trabalho Virtual (PTV)

2 Principio do Trabalho Virtual (PTV) Prncpo do Trabalho rtual (PT)..Contnuo com mcroestrutura Na teora que leva em consderação a mcroestrutura do materal, cada partícula anda é representada por um ponto P, conforme Fgura. Porém suas propredades

Leia mais

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO PARALELA 4º BIMESTRE

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO PARALELA 4º BIMESTRE EXERCÍCIOS DE RECUERAÇÃO ARALELA 4º BIMESTRE NOME Nº SÉRIE : 2º EM DATA : / / BIMESTRE 4º ROFESSOR: Renato DISCILINA: Físca 1 VISTO COORDENAÇÃO ORIENTAÇÕES: 1. O trabalho deverá ser feto em papel almaço

Leia mais

Algarismos Significativos Propagação de Erros ou Desvios

Algarismos Significativos Propagação de Erros ou Desvios Algarsmos Sgnfcatvos Propagação de Erros ou Desvos L1 = 1,35 cm; L = 1,3 cm; L3 = 1,30 cm L4 = 1,4 cm; L5 = 1,7 cm. Qual destas meddas está correta? Qual apresenta algarsmos com sgnfcado? O nstrumento

Leia mais

Representação e Descrição de Regiões

Representação e Descrição de Regiões Depos de uma magem ter sdo segmentada em regões é necessáro representar e descrever cada regão para posteror processamento A escolha da representação de uma regão envolve a escolha dos elementos que são

Leia mais

a) 3 c) 5 d) 6 b) i d) i

a) 3 c) 5 d) 6 b) i d) i Colégo Marsta Docesano de Uberaba ª Lsta de eercícos de Compleos Prof. Maluf Se é a undade magnára, para que a b seja um número real, a relação c d entre a, b, c e d deve satsfaer: 0 - (UNESP SP/00) a)

Leia mais

Introdução e Organização de Dados Estatísticos

Introdução e Organização de Dados Estatísticos II INTRODUÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 2.1 Defnção de Estatístca Uma coleção de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resum-los, analsá-los, nterpretá-los e deles extrar

Leia mais

Se considerarmos, por exemplo, uma função f real de variável real,

Se considerarmos, por exemplo, uma função f real de variável real, 107 5 Gráfcos 5.1 Introdução Dada uma função real de varável real 16 f, o gráfco desta função é o conjunto de pontos ( x, y), onde x pertence ao domíno da função e f ( x) y =, ou seja, {( x y) x D y f

Leia mais

4.1. Equilíbrio estático de um ponto material

4.1. Equilíbrio estático de um ponto material CAPÍTULO 4 Estátca As Três Les ou Prncípos undamentas da Mecânca Newtonana dscutdos no capítulo anteror sustentam todo o estudo da Estátca dos pontos materas, corpos rígdos e conjuntos de corpos rígdos.

Leia mais

Análise Descritiva com Dados Agrupados

Análise Descritiva com Dados Agrupados Análse Descrtva com Dados Agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas descrtvas

Leia mais

Exercícios de CPM e PERT Enunciados

Exercícios de CPM e PERT Enunciados Capítulo 7 Exercícos de CPM e PERT Enuncados Exercícos de CPM e PERT Enuncados 106 Problema 1 O banco TTM (Tostão a Tostão se faz um Mlhão) decdu transferr e amplar a sua sede e servços centras para a

Leia mais

Problemas Propostos. Frações mássicas, volúmicas ou molares. Estequiometria.

Problemas Propostos. Frações mássicas, volúmicas ou molares. Estequiometria. Elementos de Engenhara Químca I II. Frações e Estequometra (problemas resolvdos) Problemas Propostos. Frações másscas, volúmcas ou molares. Estequometra.. Em 5 moles de Benzeno (C 6 H 6 ) quanto é que

Leia mais

Física Geral I F Aula 3 Escalares e Vetores. Segundo semestre de 2009

Física Geral I F Aula 3 Escalares e Vetores. Segundo semestre de 2009 Físca Geral I F -128 ula 3 Escalares e Vetores Segundo semestre de 2009 Grandeas Escalares e Vetoras Uma grandea físca é um escalar quando pode ser caracterada apenas por um número, sem necessdade de assocar-lhe

Leia mais

Antenas e Propagação Folha de exercícios nº2 Conceitos Fundamentais

Antenas e Propagação Folha de exercícios nº2 Conceitos Fundamentais Antenas e Propagação Folha de eercícos nº2 Concetos Fundamentas 1. Uma onda electromagnétca plana e unforme propaga-se em meo lvre. O campo magnétco H é dado por: 1 jk H e ( ˆ 2 yˆ) 120 a) Determne o campo

Leia mais

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE. A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um).

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE. A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um). INTRODUÇÃO À PROILIDDE teora das probabldade nada mas é do que o bom senso transformado em cálculo probabldade é o suporte para os estudos de estatístca e expermentação. Exemplos: O problema da concdênca

Leia mais

Variável discreta: X = número de divórcios por indivíduo

Variável discreta: X = número de divórcios por indivíduo 5. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas

Leia mais

Estatística I Licenciatura MAEG 2006/07

Estatística I Licenciatura MAEG 2006/07 Estatístca I Lcencatura MAEG 006/07 AMOSTRAGEM. DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM.. Em determnada unversdade verfca-se que 30% dos alunos têm carro. Seleccona-se uma amostra casual smples de 0 alunos. a) Qual

Leia mais

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos Curso de extensão, MMQ IFUSP, feverero/4 Alguns exercíco báscos I Exercícos (MMQ) Uma grandeza cujo valor verdadero x é desconhecdo, fo medda três vezes, com procedmentos expermentas dêntcos e, portanto,

Leia mais

Integrais Duplos e Triplos.

Integrais Duplos e Triplos. Capítulo 4 Integrais uplos e Triplos. 4.1 Integrais uplos xercício 4.1.1 Calcule os seguintes integrais. a. e. 1 1 e 1 2x+2 15xy + 1y 2 dy dx b. y x dx dy 4 x 2y) dy dx f. 4 1 π 6 2 π 2 x 1 6xy 3 + x )

Leia mais

Álgebra ( ) ( ) Números complexos.

Álgebra ( ) ( ) Números complexos. Números complexos Resolva as equações no campo dos a) x² 49 = 0 x² - x = 0 x² - x = 0 d) x² - x = 0 Dado = (4a ) - (a - ) determne o número real a tal que seja: a) magnáro puro real Sendo = (4m -) (n -),

Leia mais

Texto 03: Campos Escalares e Vetoriais. Gradiente. Rotacional. Divergência. Campos Conservativos.

Texto 03: Campos Escalares e Vetoriais. Gradiente. Rotacional. Divergência. Campos Conservativos. 1 Unversdade Salvador UNIFACS Crsos de Engenhara Cálclo IV Profa: Ila Reboças Frere Cálclo Vetoral Teto 03: Campos Escalares e Vetoras. Gradente. Rotaconal. Dvergênca. Campos Conservatvos. Campos Escalares

Leia mais

Resolução das Questões Objetivas

Resolução das Questões Objetivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO PISM III - TRIÊNIO 2008-2010 Prova de Matemátca Resolução das Questões Objetvas São apresentadas abaxo possíves soluções

Leia mais

Covariância e Correlação Linear

Covariância e Correlação Linear TLF 00/ Cap. X Covarânca e correlação lnear Capítulo X Covarânca e Correlação Lnear 0.. Valor médo da grandeza (,) 0 0.. Covarânca na propagação de erros 03 0.3. Coecente de correlação lnear 05 Departamento

Leia mais

A integral definida Problema:

A integral definida Problema: A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A,da região do plano limitada pela curva y

Leia mais

HOMOTETIAS, COMPOSIÇÃO DE HOMOTETIAS E O PROBLEMA 6 DA IMO 2008 Carlos Yuzo Shine Nível Avançado

HOMOTETIAS, COMPOSIÇÃO DE HOMOTETIAS E O PROBLEMA 6 DA IMO 2008 Carlos Yuzo Shine Nível Avançado HMTETIS, MPSIÇÃ DE HMTETIS E PREM 6 D IM 008 arlos Yuzo Shne Nível vançado ntes de começar a dscussão, vamos enuncar o problema 6 da IM 008, que é a motvação prncpal desse artgo. Problema 6, IM 008. Seja

Leia mais

Física. Física Módulo 1 Vetores, escalares e movimento em 2-D

Física. Física Módulo 1 Vetores, escalares e movimento em 2-D Físca Módulo 1 Vetores, escalares e movmento em 2-D Vetores, Escalares... O que são? Para que servem? Por que aprender? Escalar Defnção: Escalar Grandea sem dreção assocada. Eemplos: Massa de uma bola,

Leia mais

PRESSUPOSTOS DO MODELO DE REGRESSÃO

PRESSUPOSTOS DO MODELO DE REGRESSÃO PREUPOTO DO MODELO DE REGREÃO A aplcação do modelo de regressão lnear múltpla (bem como da smples) pressupõe a verfcação de alguns pressupostos que condensamos segudamente.. Os erros E são varáves aleatóras

Leia mais

Microeconomia II. Cursos de Economia e de Matemática Aplicada à Economia e Gestão AULA 5.3. Afectação de Bens Públicos: a Condição de Samuelson

Microeconomia II. Cursos de Economia e de Matemática Aplicada à Economia e Gestão AULA 5.3. Afectação de Bens Públicos: a Condição de Samuelson Mcroeconoma II Cursos de Economa e de Matemátca Aplcada à Economa e Gestão AULA 5.3 Afectação de Bens Públcos: a Condção de Isabel Mendes 2007-2008 5/3/2008 Isabel Mendes/MICRO II 5.3 Afectação de Bens

Leia mais

ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 014 Estatístca Descrtva e Análse Exploratóra Etapas ncas. Utlzadas para descrever e resumr os dados. A dsponbldade de uma grande quantdade de dados e de métodos

Leia mais

2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho

2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho rof.: nastáco nto Gonçalves lho Introdução Nem sempre é possível tratar um corpo como uma únca partícula. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos de aplcação específcos de cada uma das forças que nele

Leia mais

Derivadas. Derivadas. ( e )

Derivadas. Derivadas. ( e ) Derivadas (24-03-2009 e 31-03-2009) Recta Tangente Seja C uma curva de equação y = f(x). Para determinar a recta tangente a C no ponto P de coordenadas (a,f(a)), i.e, P(a, f(a)), começamos por considerar

Leia mais

SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA

SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA Propost de Resolução do Exme de Mtemátc A - º ANO Códgo 65 - Fse - 07 - de junho de 07 Grupo I 5 6 7 8 Versão A B D A B C D C Versão D D B C C A B A Grupo II. 0 5 5 5

Leia mais

Mecanismos de Escalonamento

Mecanismos de Escalonamento Mecansmos de Escalonamento 1.1 Mecansmos de escalonamento O algortmo de escalonamento decde qual o próxmo pacote que será servdo na fla de espera. Este algortmo é um dos mecansmos responsáves por dstrbur

Leia mais

Eletromagnetismo. Distribuição de grandezas físicas: conceitos gerais

Eletromagnetismo. Distribuição de grandezas físicas: conceitos gerais Eletromagnetsmo Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 1 Introdução Pode-se caracterzar um problema típco do eletromagnetsmo como o

Leia mais