Análise soft e análise hard

Transcrição

1 Análse soft e análse hard Fernando Ferrera ferferr/ Fronteras da Matemátca de Abrl de 2010

2 O blogue de Terence Tao Soft analyss, hard analyss, and the fnte convergence prncple

3 Uma ctação É bastante conhecdo o facto de que os resultados obtdos pela análse hard e pela análse soft podem ser mutuamente relaconados através de város príncpos de correspondênca. Acredto, porém, que a relação entre os dos tpos de análse é muto mas próxma do que sso; em mutos casos, a análse qualtatva pode ser vsta como uma abstracção convenente da análse quanttatva, em que o detalhe das dependêncas entre váras quantdades fntas fca efcentemente dssmulado pelo uso da notação nfntára.

4 A compacdade do ntervalo [0, 1] Teorema Se o ntervalo de números reas [0, 1] está contdo numa unão de ntervalos abertos então já está contdo numa unão fnta desses ntervalos abertos. Se [0, 1] I ]a, b [ com a < b (para cada em I), então exstem índces 0, 1,..., n de I tas que [0, 1] ]a 0, b 0 [ ]a 1, b 1 [ ]a n, b n [

5 Um camnho nfnto [0, 1] = K 0 K 1 K 2 K 3 com K r = 1 2 r, para todo o número natural r. Tome-se w r N K r. Para certo I, tem-se que w ]a, b [. Ora, para r sufcentemente grande, w K r ]a, b [. Contradção.

6 Compacdade vs-à-vs fntude Compacdade: x [0, 1] N ( x ]a, b [ ) l N x [0, 1] l ( x ]a, b [ ) Colecção: x F N ( x X ) l N x F l ( x X )

7 O prncípo da convergênca nfnta Teorema Toda a sucessão crescente e lmtada de números reas é convergente. Teorema (reformulado) Toda a sucessão crescente e lmtada de números reas é de Cauchy. [0, 1] N : conjunto das sucessões de números do ntervalo [0, 1]. x = max j x(j) x [0, 1] N k N N n N x +n x 1 2 k

8 O prncípo da convergênca fnta - 1 x [0, 1] N k N N n N x +n x 1 2 k

9 O prncípo da convergênca fnta - 1 x [0, 1] N k N N n N x +n x 1 2 k x [0, 1] N k N F N N N x +F() x 1 2 k

10 O prncípo da convergênca fnta - 1 x [0, 1] N k N N n N x +n x 1 2 k x [0, 1] N k N F N N N x +F() x 1 2 k

11 O prncípo da convergênca fnta - 1 x [0, 1] N k N N n N x +n x 1 2 k x [0, 1] N k N F N N N x +F() x 1 2 k k N F N N x [0, 1] N N x +F() x < 1 2 k k N F N N x [0, 1] N N ( x Ω k,f ) onde Ω k,f := {x [0, 1] N : x +F() x < 1 2 k }. Stuação [0, 1] N N Ω k,f

12 O prncípo da convergênca fnta - 1 x [0, 1] N k N N n N x +n x 1 2 k x [0, 1] N k N F N N N x +F() x 1 2 k k N F N N x [0, 1] N N x +F() x < 1 2 k k N F N N x [0, 1] N N ( x Ω k,f ) onde Ω k,f := {x [0, 1] N : x +F() x < 1 2 k }. Stuação [0, 1] N N Ω k,f

13 O teorema de Tychonoff Em R N há uma noção natural de aberto (básco). São os conjuntos da forma: ]a 0, b 0 [ ]a 1, b 1 [ ]a n, b n [ R R R Teorema (a partr do Teorema de Tychonoff) O espaço [0, 1] N é compacto para a topologa produto. Facto fácl Fxe-se, j, k N. O conjunto é aberto na topologa produto. {x R N : x +j x < 1 2 k }

14 O prncípo da convergênca fnta - 2 Stuação [0, 1] N N Ω k,f Stuação esclarecda Exste l N tal que [0, 1] N l Ω k,f k N F N N x [0, 1] N N ( x Ω k,f ) k N F N N l N x [0, 1] N l ( x Ω k,f )

15 O prncípo da convergênca fnta - 2 Stuação [0, 1] N N Ω k,f Stuação esclarecda Exste l N tal que [0, 1] N l Ω k,f k N F N N x [0, 1] N N ( x Ω k,f ) k N F N N l N x [0, 1] N l ( x Ω k,f )

16 O prncípo da convergênca fnta - 3 k N F N N l N x [0, 1] N l x +F() x < 1 2 k Teorema (Prncípo da convergênca fnta) Dados k N, F : N N e 0 x 0... x M 1, onde M é sufcentemente grande, dependente de k e F, então exste 0 + F() M tal que x n x m < 1 2 k, para todos n, m + F(). [o prncípo] afrma que toda a sequênca monótona, lmtada, de comprmento fnto, mas sufcentemente grande, contém quantdades de meta-establdade, de qualdade arbtraramente grande, com um erro pré-especfcado de tolerânca 1, na qual a duração da 2 k meta-establdade ultrapassa o seu começo por uma função arbtrára F também ela especfcada de níco.

17 O teorema de van der Waerden Teorema (versão soft) Suponhamos que os números naturas são colordos por meo de um número fnto de cores. Então há progressões artmétcas monocromátcas arbtraramente longas. Teorema (versão hard) Dados c, k N, exste N N tal que, sempre que o conjunto {1,..., N} é colordo com c cores, então exste uma progressão artmétca monocromátca de comprmento k.

18 De soft a hard Seja dado um número c de cores e k N: f {1,..., c} N a, b N + m, n < k ( f (a + bn) = f (a + bm) ) Vem: l N f {1,..., c} N a, b l m, n < k ( f (a + bn) = f (a + bm) ) Ponha-se agora: N = l + lk

19 O teorema da recorrênca de Furstenberg Teorema Seja (X, µ, T) um espaço de probabldades mundo duma aplcação T : X X tal que: 1. T é uma bjecção. 2. T e T 1 são aplcações mensuráves. 3. µ(t[z]) = µ(z), para todo o subconjunto mensurável Z de X. Sejam dados k 2 e Y X mensurável de medda postva. Então exste r > 0 tal que µ(y T r Y... T (k 1)r Y) > 0.

20 O teorema de Szemeréd Teorema (versão soft) Seja A um conjunto aleatóro estaconáro de nteros tal que P(0 A) > 0. Seja k 2. Então, exste r > 0 tal que P(0 A r A... (k 1)r A) > 0. Teorema (versão hard) Sejam k 2 e 0 < δ 1. Então exste um ntero postvo N tal que todo o subconjunto A de { N,..., N}, com A δ(2n + 1), contém pelo menos uma progressão artmétca de comprmento k.

21 Matemátca... matemátca Um subconjunto X de N tem densdade superor postva se lm sup n {1,..., n} X n > 0 Teorema (Szemeréd) Seja X N de densdade superor postva. Então X tem progressões artmétcas de comprmento arbtraramente grande. Anda que os prmos tenham densdade superor nula, tem-se: Teorema (Green - Tao) Os números prmos têm progressões artmétcas de comprmento arbtraramente grande. Green, Ben; Tao, Terence (2008): The prmes contan arbtrarly long arthmetc progressons, Annals of Mathematcs 167: , arxv:math.nt/

22 Kurt Gödel

23 A nterpretação dalectca -hard-analyss-and-the-fnte-convergence-prncple/ Gödel - Shoenfeld: A A S = x ya S (x, y) Ferrera - Olva: A A U = b ca U (b, c) ferferr/logca.html