6.1 O experimento de Stern-Gerlach: estados puros e mistos

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1 Capítulo 6 Operador densdade 6. O expermento de Stern-Gerlach: estados puros e mstos O aparelho de Stern-Gerlach consste essencalmente em um mã produzndo um campo magnétco não unforme. Um fexe de átomos penetra no mã numa dreção perpendcular ao gradente do campo magnétco. Em consequênca da nteração do seu spn com o campo magnétco, os átomos sofrem uma deflexão na sua passagem pelo campo. Na saída do mã, os átomos são detectados por contadores. Para smplfcar a análse, suponhamos que o expermento é realzado com átomos de prata, os quas possuem um total de 47 elétrons. Nestes átomos, 46 elétrons formam uma nuvem esférca sem momento angular, L =e S =. Se gnorarmos o momento angular do núcleo, o momento angular do átomo se deve apenas ao spn do quadragésmo-sétmo elétron. Assm, o momento magnétco µ de um átomo resulta proporconal ao spn do elétron, µ / S. A energa de nteração entre o momento magnétco e o campo magnétco é µ B. Se o gradente do campo for vertcal (dreção z) e a dreção ncal do fexe de átomos for horzontal, os átomos sofrem uma força cuja componente z é: F ( µ B) z eles serão defletdos para cma ou para baxo, dependendo do valor da componente do seu spn na dreção vertcal. O fexe de átomos que entra no campo magnétco é produzdo em um forno onde são evaporados os átomos de prata que posterormente serão colmados. Estes átomos estão orentados randomcamente (não há uma dreção preferencal para o spn), e por sso o fexe é chamado de não-polarzado. Após a passagem pelo mã, temos dos fexes polarzados. No fexe defletdo para cma a componente vertcal do spn dos átomos é postva e no fexe defletdo para baxo é negatva. De acordo com o formalsmo da Mecânca Quântca, o fexe defletdo para cma é descrto por um ket S z ;+ e o fexe defletdo para baxo por S z ;, tasques S z ; ± = 3 4 ~ S z ; ± e S z S z ; ± = ± ~ S z; ±. O ket mas geral possível para um sstema de spn é: (6.) = c + S z ;+ + c S z ; (6.) 56

2 S CONTADOR% N ELETROIMÃ% FORNO% FENDA%COLIMADORA% Fgura 6.: Representação esquemátca do expermento de Stern-Gerlach. onde c + c + + c c =. Este ket geral descreve um estado cujo spn aponta em qualquer dreção possível;.e. descreve qualquer estado polarzado. Porém, ele não é capaz de descrever o fexe de átomos que entra no campo magnétco, já que este é uma mstura de átomos orentados em todas as dreções possíves. Isto nos leva a defnr dos tpos de estados: estados puros e estados mstos. Os estados puros podem ser descrtos por uma únca função de onda. No exemplo do expermento de Stern-Gerlach, os dos fexes que saem da regão com campo magnétco são estados puros. Os estados mstos não podem ser descrtos por uma únca função de onda. O fexe que entra na regão com campo magnétco pode ser vsto como uma mstura de 5 % de átomos no estado S z ;+ e5%deátomos no estado S z ; (veja que precsamos de dos kets). Alternatvamente, podemos descrever esse fexe com uma mstura de 5 % de átomos no estado S x ;+ e 5 % de átomos no estado S x ;. Frequentemente um estado de este tpo é denomnado mstura ncoerente de estados com spn + e. Deve fcar claro que essa mstura ncoerente nada tem a ver com uma superposção lnear coerente como, por exemplo, = p S z ;+ + p S z ; que representa o estado polarzado S x ;+. O fexe completamente ncoerente descrto acma, é um caso extremo de estado msto. Em um fexe msto arbtráro, uma certa fração dos estados (e.g. %) é descrta por um ket e o resto dos estados (e.g. %) é descrto por um outro ket (não é necessáro que e sejam ortogonas). Neste caso, o fexe é parcalmente polarzado. Para descrever estados mstos é muto útl ntroduzr o formalsmo do operador densdade, já que qualquer estado, puro ou msto, poderá ser descrto por um únco operador densdade. 57

3 6. O operador densdade para estados puros 6.. Defnção Consderemos um estado quântco puro descrto pelo ket. Nesse estado, um observável A tem um valor de expectação dado por: Defnmos o operador densdade do estado como ha = h A. (6.3) = h. (6.4) Com essa defnção, é fácl mostrar que o valor de expectação do observável A édadopor ha =Tr( A), (6.5) onde devemos lembrar que o traço é um nvarante algébrco,.e. não depende da base utlzada. Para demonstrar a relação anteror consderamos uma base ortonormal completa arbtrára { n}. O traço de um operador é defndo como Tr P nhn n, logo, Tr( A) n hn A n = n hn h A n = n h A nhn = h A. (6.6) É fácl verfcar que o operador densdade verfca Tr =e que é hermtano =. No caso de estados puros, o operador densdade é dempotente, =, (6.7) a qual é uma condção sufcente e necessára para que um estado seja puro. 6.. Exemplos Consderemos um fexe de luz se propagando na dreção z. Calcularemos prmero a matrz densdade para um estado puro polarzado na dreção x. Este estado é descrto pelo ket S x ;+, logo, seu operador densdade é: = S x ;+hs x ;+. (6.) Agora escrevemos na base { S z ;+, S z ; }: = = apple p S z ;+ + p S z ; p p! p, p = apple p hs z ;+ + p hs z ;. (6.9) Consderemos agora um estado com polarzação arbtrára, descrto pelo ket = c + S z ;+ + c S z ; (6.) 5

4 onde c + c + + c c =. O operador densdade na base { S z ;+, S z ; } é: = [c + S z ;+ + c S z ; ] c +hs z ;+ + c hs z ; c+ = c c +, c c+ c = + c + c c c + c c. (6.) A partr desta últma expressão obtemos os seguntes casos partculares: a. estado polarzado na dreção S z ;+: c + =, c =, =. (6.) b. estado polarzado na dreção S z ; : c + =, c =, =. (6.3) c. estado polarzado na dreção S x ;+: c + = p, c = p, = d. estado polarzado na dreção S x ; : c + = p, c = p, = 6.3 O operador densdade para estados mstos 6.3. Defnção. (6.4). (6.5) Vamos descrever um estado msto que contém uma fração p de estados descrtos por,uma fração p de estados descrtos por, etc., onde p =. (6.6) O valor de expectação de um observável A édadopor: ha = p h A. (6.7) Veja que temos duas médas dferentes envolvdas nesta expressão; uma méda puramente quântca (o braket) devda à natureza probablístca da função de onda e outra estatístca (a soma sobre ) devda à mstura de estados. O operador densdade do estado msto é defndo como = p h, (6.) 59

5 e os elementos de matrz na base base ortonormal completa { n} são hn n = p hn h n. (6.9) Neste caso também temos: ha =Tr( A). (6.) Para demonstrar esta relação consderemos novamente uma base ortonormal completa arbtrára { n}. Temos então: Tr( A) hn A n =! hn p h A n = n n = p hn h A n = p h A nhn = n n! n = p h A nhn = p h A = = ha (6.) Para estados mstos também se verfca Tr =e =. Porém, neste caso temos 6.3. Exemplos 6=.e., não é dempotente, (6.) Tr < desde que p 6=para mas de um. (6.3) Consderemos novamente um fexe se propagando na dreção z. Calcularemos prmero a matrz densdade para uma mstura que tem 5% dos estados polarzados na dreção S z ;+ 5% dos estados polarzados na dreção S z ; = + =. (6.4) Para uma mstura que tem 5% dos estados polarzados na dreção S x ;+ 5% dos estados polarzados na dreção S x ; obtemos o mesmo resultado = + =. (6.5) Estes exemplos representam o mesmo estado completamente ncoerente. Por esse motvo, a matrz fcou dagonal; o sstema está gualmente dstrbuído em todos os estados possíves. Agora consderemos um fexe parcalmente polarzado, e.g. 75% dos estados polarzados na dreção S z ;+, e 5% dos estados polarzados na dreção S x ;+ = =. (6.6) 4 4 6

6 Para o estado apresentado neste últmo exemplo, podemos calcular a méda dos operadores S x, S y e S z, cujas matrzes são: S x = ~ S y = ~ S z = ~. (6.7) Para sso, fazemos: hs x =Tr( S x )=Trapple 7 hs y =Tr( S y )=Trapple 7 hs z =Tr( S z )=Trapple 7 ~ = ~ (6.) ~ = (6.9) = 3~. (6.3) ~ 6.4 Evolução operador densdade: a equação de Von Neumann Vamos determnar a equação de movmento para o operador densdade. Para sso, = p h = ~ h + h (6.3) Cada um dos estados da mstura verfca a equação do Schrödnger e a sua adjunta, portanto, a Eq. (6.3) fca A equação ~ = H ~h = h H, (6.3) ~ = p (H h h H) =H p h p h H = H H =[H, ] (6.33) ~ =[H, ] (6.34) recebe o nome de equação de Von Neumann, e é o análogo quântco da equação de Louvlle (o colchete de Posson fo substtuído pelo comutador [, ]/(~). A equação de Von Neumann descreve a evolução temporal do operador densdade na representação de Schrödnger. Ela e válda também para hamltonanos dependentes do tempo. Esta equação não deve ser confundda com a equação de movmento para um observável na representação de Hesenberg: ~Ẋ =[H, ], que tem um snal negatvo do lado esquerdo. Esta dferença nas equações não leva a nenhuma contradção já que não é um observável dnâmco na representação de Hesenberg. 6

7 6.5 Interpretação probablístca da matrz densdade Consderemos uma base ortonormal { n}, onde é representado por uma matrz densdade cujos elementos de matrz são nm = hn m = p hn h m. (6.35) Defnndo os coefcentes a n hn,.e. = n a n n, (6.36) temos nm = p a na m. (6.37) O coefcente a n hn é a ampltude de probabldade de que o autoestado n esteja contdo em. A probabldade correspondente é Pn = a n = a na n, a qual aparece nos elementos dagonas de, nn = p a na n = p P n. (6.3) Veja que os elementos da dagonal são reas (é assm que deve ser para uma matrz hermtana). Cada termo da somatóra anteror representa a probabldade de que o autoestado n esteja ocupado no sstema representado por. O elemento nn échamadodepopulação do estado n. Asomade todas essas probabldades é (anda bem!) já que Tr =, nn = n n p a na n = p Pn = (6.39) Em relação aos elementos não dagonas, sabemos que a na m representa os efetos de nterferênca quântca entre os estados n e m que ocorrem quando é uma superposção lnear de estados coerentes. O elemento não dagonal nm é a méda ponderada na mstura desses efetos de nterferênca. Mesmo que a na m seja não nulo, podemos ver que nm = P p a na m pode ser nulo para estados mstos, já que a méda ponderada pode cancelar os efetos de nterferênca. Assm, os elementos não dagonas fornecem uma medda da coerênca dos estados n e m;.e. se nm = os efetos de nterferênca entre esses estados se cancelam. Obvamente, as populações e as coerêncas dependem da base escolhda. Como é um operador hermtano, é sempre possível obter uma base onde a matrz densdade é dagonal,.e. nesse caso não haverá coerênca entre os elementos da base. Na base dagonal, a matrz densdade de um sstema puro tem todos os seus elementos nulos, n 6

8 com exceção de um dos elementos da dagonal,... =.... (6.4) C A Na base dagonal, a matrz densdade de uma mstura completamente ncoerente deve ter todos os elementos dagonas guas, e todos os elementos não-dagonas nulos. Se a matrz é N N, então ela deve ter a forma para que se verfque Tr =. = N 6.6 O operador densdade na estatístca quântca Um operador densdade que verfca C A (6.4) = (6.4) échamadodeensemble estaconáro. Pela equação de Von Neumann, temos ~ =[H, ] =, (6.43).e., se o ensamble for estaconáro H e comutam e, portanto, exste um conjunto ortonormal completo de estados que são autoestados tanto de H quanto de. Nessa base, chamada de representação de energa, tantoh quanto de são dagonas: 6.6. Ensemble mcrocanônco H nm = E n nm nm = n nm. (6.44) Vamos consderar um sstema com um número N muto grande de partículas em um volume V (N e V são fxos). Se o sstema estvesse verdaderamente solado, ele podera ser descrto por uma únca função de onda que pode ser expressa como uma superposção lnear dos estados de uma base ortonormal 63

9 completa de funções estaconáras. Na lnguagem do operador densdade, dríamos que o sstema é descrto por um operador que representa um estado puro. Porém, se o sstema nterage com a vznhança, quem está verdaderamente solado é o conjunto sstema + vznhança. Para descrever esta stuação em termos de um estado puro, precsaríamos determnar a função de onda do conjunto sstema + vznhança. Se queremos nos referr apenas ao sstema, devemos consderar que ele está em um estado que é uma superposção ncoerente de estados quântcos. Vamos consderar prmeramente que o sstema nterage muto fracamente com a vznhança, de manera que a sua energa está restrta ao ntervalo (E,E+ ). Na representação de energa, o operador densdade do sstema é da forma nm = n nm. (6.45) Os elementos dagonas ndcam a probabldade de que o sstema se encontre em um certo autoestado n. Este autoestado n está dretamente relaconado com a energa E n do sstema, já que estamos na representação de energa,.e. H n = E n n. Em outras palavras, se medmos a energa em um conjunto muto grande de sstemas dêntcos (um ensemble) descrtos pelo mesmo Hamltonano e a mesma matrz densdade, vamos obter o valor E n com uma probabldade n. Para estabelecer ovalorde n, vamos postular que todos os estados com energas no ntervalo (E,E + ) são gualmente prováves. Este é o prncpo de gual probabldade a pror que defne o ensemble mcrocanônco. De acordo com esse prncípo, temos então n = (! se E <E n <E+ em qualquer outro caso onde! é o número de estados no ntervalo de energa consderado. adotando o lmte! o operador densdade adota a forma onde!(e) =Tr( (H que está relaconada com! pela relação (6.46) Em uma base arbtrára, e (H E ) =, (6.47)! E )). Podemos defnr a densdade de estados ntegrada como (E) =Tr( (H E )), (6.49).e. da mesma forma já utlzada para o ensemble mcrocanônco clássco. Para um sstema quântco com um espectro {E}, é fácl ver que (E) representa o número de estados com energa menor o gual a E. Com estas defnções podemos estabelecer a conexão com a termodnâmca defnndo a entropa da mesma manera que no caso clássco,.e. temos as entropas de Boltzmann e de Gbbs dadas por S B = k ln(!(e)), (6.5) S G = k ln( (E)), (6.5) onde é uma constante com undades de energa, necessára para que o argumento do logartmo fque admensonal. 64

10 6.6. Ensemble canônco O operador densdade canônco na representação de energa tem elementos dagonas dados por n = e E n Pn e E n, (6.5) onde o denomnador é a função de partção canônca Q N = P n e E n. Em uma base arbtrára temos = e H Tr(e H ), (6.53) sendo Q N =Tr(e de Taylor H ). A função exponencal deve ser nterpretada como uma expansão em sére e H ( H) k. (6.54) k! k= A partr da matrz densdade em qualquer representação, podemos determnar todas as grandezas observáves do sstema por meo de hf = Tr(e H f) Tr(e H ), (6.55) que é uma expressão análoga à apresentada para sstemas clásscos (no caso clássco o traço é substtuído por uma ntegral no espaço das fases). Na hora de usar a expressão anteror, lembrar que Tr(AB) =Tr(BA) Ensemble macrocanônco No ensemble macrocanônco é dado por = e (H µn) Tr(e (H µn) ), (6.56) sendo =Tr(e (H µn) ) a função de partção macrocanônca. Na representação de energa os elementos dagonas são n = onde a função de partção macrocanônca é e (E n µn) Pn,N e (E n µn), (6.57) = n,n e (E n µn) = N z N Q N. (6.5) Veja que na mecânca quântca o número de partículas é um operador ˆN. Este operador pode ser substtuído pelo autovalor N apenas para sstemas com um número fxo de partículas. Para sstemas onde há cração e anqulação de partículas, o operador ˆ atua no espaço de de Fock (generalzação do espaço de Hlbert formado pela soma dreta de todos os espaços de Hlbert com número fxo de partículas). Assm, o traço que aparece na função de partção macrocanônca roda sobre os elementos de matrz calculados com estados no espaço de Fock. 65

11 6.7 Elétron em um campo magnétco externo 6. Partícula lvre em uma caxa Operador densdade na representação de coordenadas Gás deal 66