Dinâmica Estocástica. Instituto de Física, outubro de Tânia Tomé - Din Estoc

Transcrição

1 Dnâmca Estocástca Insttuto de Físca, outubro de 06

2 Dnâmcas estocástcas defndas em retculados odelo de Isng

3 Dnâmcas estocástcas em retculados Retculado (rede Exemplo: Rede quadrada regular com = 4 X 4=6 sítos Cada ponto do retculado um síto 3

4 Dnâmcas estocástcas em retculados A cada síto uma varável estocástca assocada Cada valor assumdo pela varável estocástca um estado do síto 4

5 Exemplo: Rede quadrada regular com = 4 X 4=6 sítos Dnâmcas estocástcas em retculados Retculado (rede A cada síto uma varável estocástca assocada o exemplo acma temos 6 sítos descreve o estado do sstema o conjunto de varáves,,..., (,,..., vetor estocástco 5

6 Retculado & Varáves estocástcas assocadas aos sítos Exemplo 6

7 Dnâmcas estocástcas em retculados A cada síto uma taxa de transção assocada w ( w ( se relacona com a taxa de transção W ( ', veremos depos 7

8 Dnâmcas estocástcas em retculados Sstemas de partículas (undades, elementos nteragentes resdndo nos sítos de uma rede e evolundo no tempo de acordo com uma prescrção estocástca local Estado mcroscópco do sstema ou confguração mcroscópca:,,...,,..., = número de sítos varável estocástca assocada ao síto assume k valores denota o estados de cada síto Interesse prncpal: obtenção da dstrbução de probabldades estaconára assocada aos estados mcroscópcos do sstema 8

9 Dnâmcas estocástcas em retculados Um dos exemplos mas conhecdos de modelo estocástco defndo em retculado odelo de Isng com uma dnâmca estocástca acoplada dnâmca de etropols dnâmca de Glauber 9

10 odelo de Isng - Comentáros O modelo de Isng é um modelo que tem como objetvo descrever o ferromagnetsmo O modelo exbe transção de fase em duas ou mas dmensões O modelo de Isng fo proposto por Wlhelm Lenz (90 que sugeru esse problema para seu então estudante Ernst Isng O modelo de Isng undmensonal não exbe transções de fase e fo analsado por Isng em 95 A solução analítca para o modelo de Isng em duas dmensões a campo nulo fo obtda por Lars Onsager em 944 0

11 Comentáros sobre ferromagnetos Ferromagnetos apresentam uma magnetzação natural que desaparece quando estão a uma temperatura superor à temperatura crítca (temperatura de Cure. O sstema pode estar ordenado na fase ferromagnétca ou desordenado (fase paramagnétca. Parâmetro de ordem: m = magnetzação m = 0 fase paramagnétca (P m 0 fase ferromagnétca (F

12 Comentáros sobre ferromagnetos Ferromagneto Parâmetro de ordem versus temperatura Dados expermentas para o níquel T ( C T c agnetzação m versus temperatura para dferentes valores de campo magnétco aplcado

13 Estado odelo de Isng (,,...,,..., Exemplo de um possível estado com 6 sítos =,, 3,..., para o modelo defndo em uma rede quadrada 3

14 odelo de Isng odelo mas smples para descrever transções de fase em ferromagnetos Átomos com momento de dpolo magnétco assocado ocupam os sítos de uma rede Em cada síto da rede há um átomo O estado de cada átomo é caracterzado pela dreção do seu momento magnétco 4

15 = constante odelo de Isng omento de dpolo magnétco odelo de Isng Cada átomo tem um de dpolo magnétco varável assocada ao síto da rede assocado: z 5

16 odelo de Isng O estado do átomo no síto valor assumdo por =,, 3,..., Cada átomo pode estar em dos estados Um estado do sstema de átomos (uma confguração mcroscópca do sstema é denotado por: (,,...,,..., Cada átomo pode estar em dos estados O sstema tem átomos estados do sstema 6

17 odelo de Isng EXEPLO: rede undmensonal com =3 sítos Possíves estados (,, 3 do sstema 3 (,, 3 (,, (,, (,,. 3 8 estados do sstema.. (,, 7

18 odelo de Isng J j representa a energa de nteração entre pares de sítos vznhos (, j na rede. J é uma constante J 0 Se σ = + e σ j = + então -J {(+. (+} = - J <0 Ordenamento paralelo dos momentos de dpolo magnétco Se σ = - e σ j = - então -J {(-. (-} = - J < 0 Energa= J J 0 ordenamento ferromagnétco 8

19 odelo de Isng J j J 0 Se σ = + e σ j = - então -J {(+. (-} = +J > 0 Ordenamento antparalelo dos momentos de dpolo magnétco Energa = +J Se σ = - e σ j = + então -J {(-. (+} = +J > 0 9

20 odelo de Isng J j Representa a energa de nteração entre pares de sítos vznhos (, j na rede. J é uma constante Se J >0 ordenamento ferromagnétco J >0 Se σ = + e σ j = + então -J {(+. (+} = - J <0 Se σ = - e σ j = - então -J {(-. (-} = - J < 0 enor energa Se σ = + e σ j = - então -J {(+. (-} = +J > 0 Se σ = - e σ j = + então -J {(-. (+} = +J > 0 0

21 odelo de Isng E( J ( j j H Energa de um estado (,,...,,..., varável assocada ao síto da rede =,, 3,..., J H ( j... constante relaconada à nteração entre dpolos magnétcos constante proporconal ao campo soma sobre os pares de átomos vznhos na rede

22 ( agnetzação total méda Grandezas mportantes em que ( P é a dstrbução de probabldades m agnetzação méda por síto e ( P m ( ( ( P P m ( ( ( m

23 ( 3 Grandezas mportantes Varânca da magnetzação (varânca de ( ( ( está relaconada com a magnetzação méda total por meo de em que ( Isto é,

24 Grandezas mportantes Varânca da magnetzação dvdda pelo número de sítos é dada por: ( Susceptbldade magnétca Defnção: * m H * A susceptbldade se relacona com por meo de: * k B T 4

25 5 odelo de Isng ( ( ( P P P H m ( ( P P T k H m B k B T / * a susceptbldade se relacona com por meo de: * Vamos mostrar que T k H m B Portanto ( (contnuação da demonstração

26 6 odelo de Isng H m * * T k H m B k B T / * a susceptbldade se relacona com por meo de: * Vamos mostrar que k B T * T k H m B e (fm da demonstração

27 odelo de Isng Energa méda U E( Energa méda por síto u E ( Varânca da energa dvdda por c E Calor específco c * u T que se relacona com a varânca defnda acma por meo de: E (utlzamos a notação E E ( c * k B c T Demonstrar! 7

28 odelo de Isng Dstrbução de probabldades de Gbbs P( e E ( Z (,,...,,..., E( J ( j j H P( e J (, j H j Z / k B T kb constante de Boltzmann T temperatura Z e E( função de partção... soma sobre todas as confgurações 8

29 Estmar médas de grandezas de estado odelo de Isng F( por meo de smulações de onte Carlo agnetzação méda ( ( P( F( ( Energa méda U E( Introduzr processo markovano que gere estados com probabldade P( Isso proporcona, por exemplo, a estmatva de médas de grandezas de estado por meo de smulações de onte Carlo ( a serem dscutdas em outra aula 9

30 Dnâmcas estocástcas para o modelo de Isng odelo em retculado defndo por uma dnâmca estocástca reversível A ser vsto na próxma aula 30

31 FI