CAPÍTULO 6 ESTRATÉGIA ÓTIMA DE OFERTA DE PREÇOS

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1 CAPÍTULO 6 ESTRATÉGIA ÓTIMA DE OFERTA DE PREÇOS 6.1 INTRODUÇÃO Como vsto no Capítulo 1, se um mercado apresenta competção perfeta não á brecas que possam ser exploradas pelos agentes, nem espaço é dexado lvre para ogos que dstorçam a operação e/ou os preços. Entretanto, os mercados de energa elétrca no mundo se aproxmam mas de um olgopólo do que um mercado de competção perfeta. Em função deste fato, as empresas de geração podem maxmzar os seus lucros através de ofertas estratégcas de preços, sendo este sempre o obetvo prncpal dessas empresas. Neste capítulo é apresentada a formulação do problema de estabelecmento de estratégas de oferta ótma de preços em mercados compettvos de energa elétrca. A formulação apresentada é geral e pode ser estendda para qualquer mercado spot de energa elétrca baseado em ofertas para o da segunte. A dferença básca está no cálculo da remuneração das usnas, que é função das regras de contablzação do mercado em questão. Nesta tese será utlzado como referênca para o cálculo da remuneração das usnas as regras de contablzação do MAE [40]. 6.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA PARA TERMELÉTRICAS Consdere que os geradores termelétrcos fazem ofertas de preço para cada período de contablzação do da segunte. Assume-se por smplfcação que toda a capacdade dsponível é conecda a pror e deve ser ofertada a um únco preço. A prevsão de carga para o da segunte também é conecda no momento que as ofertas são fetas. Com base nas ofertas realzadas pelos agentes, o preço spot é então calculado para cada período de contablzação do da segunte utlzando o programa DESSEM do Cepel, no caso do tgt pool, ou resolvendo o Problema 4.5, ou equvalente, para cada período de contablzação, no caso do esquema geral de ofertas de preços, como vsto no Capítulo 4. Note que no segundo caso os geradores drelétrcos também faram ofertas de preços. A receta operaconal bruta (sem o pagamento de mpostos) de uma usna 107

2 termelétrca será dada para cada período de contablzação do da segunte por: RB = RC + RMAE DO (6.1) onde: RC = EC. PC receta de contrato (6.1.1) RMAE = (EG EC ). Pspot lqudação no MAE (6.1.2) DO = EG. CV despesa operaconal (6.1.3) EC PC energa contratada preço de venda contratado EG energa gerada Pspot CV preço spot custo varável (combustível + O&M) Observe que a parcela assocada a lqudação no MAE ( RMAE ) pode ser postva ou negatva dependendo da geração da usna. A estratéga ótma do gerador termelétrco é então determnar a oferta de preços que maxmze a sua receta operaconal bruta ao longo do próxmo da: H RB = Max EC.PC + ( EG EC ).Pspot - = 1 EG. CV (6.2) onde H representa o número de períodos de contablzação no da segunte, podendo ser 24 se a contablzação é feta ora a ora, ou 48 se a contablzação é de ½ ora em ½ ora. Note entretanto que o preço spot (Pspot ) e a energa gerada ( EG ) em cada período de contablzação são funções das ofertas de preços de todos os agentes, que não são conecdas no momento que o gerador faz a sua oferta. 108

3 6.3 TRATAMENTO DETERMINÍSTICO Incalmente, vamos supor conecdas as ofertas fetas pelos demas agentes. Anda assm, observe que o Problema 6.2 é não-lnear, pos a função obetvo apresenta produto entre duas varáves de decsão, o preço spot (Pspot ) e a energa gerada ( EG ). Teorcamente, a estratéga ótma podera ser determnada acoplando o Problema (6.2) ao problema de despaco de custo mínmo, que é resolvdo para a determnação do preço spot / despaco, e utlzando algum pacote conecdo de programação não-lnear. Entretanto, no caso do tgt pool, este acoplamento ao programa DESSEM é computaconalmente bastante dfícl. Aqu o Problema (6.2) será resolvdo de forma aproxmada dscretzando o ntervalo de possíves preços ofertados pelo gerador para cada período de contablzação, e fazendo uma busca undmensonal pela oferta de preço que maxmza a receta operaconal bruta. A pótese básca que deve ser assumda é que não exste dependênca entre as estratégas ótmas nos períodos e +1. No caso do esquema geral de ofertas de preços esta pótese é valda desprezando os custos de partda das usnas térmcas, e assumndo pequenas varações nos níves de armazenamento de para +1. Já para o caso do tgt pool, sto não é totalmente verdadero porque exste acoplamento temporal entre as decsões de despaco obtdas com o programa DESSEM em cada período, entretanto, na prátca está dependênca em bases oráras é muto pequena em função também das pequenas varações nos níves de armazenamento de para +1, podendo ser desprezada. Assm é possível determnar a oferta ótma para o período ndependentemente da oferta para o período +1. Logo para cada período de contablzação a estratéga ótma é estmada utlzando o algortmo apresentado na Fgura 6.1: 109

4 Incalzar p = CV, p ot = CV e RB max = 0 Resolver Despaco de Custo Mínmo (DESSEM ou Problema 4.5) para obter Pspot (p ) e EG (p ) Calcular RB (p ) (Expressão 6.2) RB (p ) > RB max? Não Não p > p max? Sm FIM Oferta Ótma p ot Sm RB max = RB (p ) p ot = p p = p + Fgura 6.1 Algortmo Estratéga Ótma (Caso Determnístco) Note que a busca pela pelo oferta ótma ( p ot ) é ncada fazendo a oferta ncal gual ao custo varável (CV ) da termelétrca. A cada teração o oferta é aumentada de um valor até que a oferta máxma possível ( p max ) sea atngda. O valor de pode ser utlzado para austar o precsão da estmatva e o tempo de processamento. Algortmos smlares a este podem ser encontrados em [53] e [54]. 6.4 TRATAMENTO ESTOCÁSTICO Infelzmente, no momento que o gerador faz a sua oferta, as ofertas dos outros agentes não são conecdas. Adconalmente, também exste ncerteza com relação à carga e a dsponbldade de geração. Estas ncertezas aumentam sobremanera a complexdade do problema, que se confgura em problema de decsão sob ncertezas. 110

5 6.4.1 DECISÃO SOB INCERTEZAS Um tratamento muto utlzado em problemas de decsão sob ncerteza consste em maxmzar o valor esperado de uma função utldade, U, que represente o perfl de aversão a rsco do agente. A função utldade pode se vsta smplesmente como uma forma de descrever preferêncas em relação a dferentes níves de rsco. Normalmente, as funções utldade de um agente apresentam as seguntes característcas: utldade crescente com o resultado, x: du/dx > 0 utldade margnal decrescente com o resultado: du 2 /dx 2 A defnção de aversão a rsco encontra suas orgens no conceto de utldade margnal decrescente. Por resultado pode-se entender, e.g., receta bruta, valor presente líqudo, ou qualquer outro ndcador de remuneração, dependendo do problema analsado. O valor esperado da função utldade é calculado como: E[U(x)] = U(x)f (x) dx (6.3) onde o rsco é representado pela função densdade de probabldade f(x). Se um agente tem que escoler entre dos níves de rsco ele escole aquele que maxmza a sua função utldade. Na prátca a defnção de função utldade específca para um agente não é smples, prncpalmente quando o problema analsado se torna mas complexo. Um tratamento comumente utlzado consste em adotar um Modelo Méda- Varânca, onde o obetvo é maxmzar a função utldade dada por: U(x) = E[x] λ Var[x] (6.4) sendo λ um parâmetro que reflete o perfl de aversão a rsco do agente. Quando λ é gual a zero o agente é consderado neutro ao rsco. O Modelo Méda-Varânca somente corresponde à maxmzação da utldade esperada sob condções específcas: 1. Função utldade é quadrátca - como para estas funções as dervadas de tercera ordem e ordem superor são nulas, a função 111

6 obetvo pode ser escrta apenas como função da méda e da varânca do resultado. 2. Resultado é normalmente dstrbuída porque assm a dstrbução de probabldade é completamente caracterzada pela méda e pela varânca. Entretanto, mesmo para dstrbuções não normas, que não podem ser completamente caracterzadas por méda e varânca, o Modelo Méda-Varânca pode ser consderado uma aproxmação razoável para a maxmzação da utldade esperada [55]. Em algumas aplcações o Modelo Méda-Varânca é substtuído por um modelo smlar dado por [56]: U(x) = (1 λ).e[x] λ.v (6.5) onde λ representa novamente o perfl de aversão a rsco do agente, sendo neste caso um número entre 0 e 1, e V representa alguma medda de ncerteza (.e., o desvo padrão, sem desvo-padrão, etc.) TRATAMENTO ADOTADO O tratamento adotado aqu consste em determnar a oferta que maxmza a utldade da remuneração operaconal bruta para um conunto de cenáros (ofertas dos outros agentes, carga e dsponbldade). É utlzada novamente uma busca undmensonal onde para cada oferta de preço é calculada, não RB, mas o valor de sua função utldade para o conunto de cenáros analsados. O algortmo apresentado na Fgura 6.1 pode ser adaptado para resolver este problema, substtundo o cálculo de RB pelo cálculo de sua utldade, U[ RB ], como mostrado na Fgura

7 Incalzar p = CV, p ot = CV e U[RB ] max = 0 Calcular U[RB (p )] para um conunto de cenáros Não U[RB (p )] > U[RB ] max? Não p > p max? Sm FIM Oferta Ótma p ot Sm U[RB ] max = U[RB (p )] p ot = p p = p + Fgura 6.2 Algortmo Estratéga Ótma (Caso Estocástco) CÁLCULO DA UTILIDADE DA RECEITA OPERACIONAL BRUTA POR SIMULAÇÃO MONTE CARLO Será consderada a função utldade apresentada na Expressão (6.5) onde a medda de ncerteza será dada pelo desvo padrão. A função utldade da receta operaconal bruta para cada oferta de preço do gerador ( p [ (p )] (1 λ)e[ RB (p )] λ Var[RB (p )] U RB ) é dada então por: = (6.6) O valor de U[ RB (p ) ]) pode ser obtdo através do método Smulação Monte Carlo. Os seguntes estmadores não-tendencosos são utlzado para E[RB (p )] e Var[RB (p )] [57]: Ê[RB (p N 1 )] = RB n (p ) (6.7) N n= 1 113

8 Vˆ ar[rb (p N 1 )] = N n= [ RB (p )] E [RB (p )] n (6.8) onde: N número de cenáros analsados RB n (p ) receta operaconal bruta do cenáro n Cada cenáro é composto por carga, dsponbldade e conunto de ofertas de preços dos outros agentes. O cenáro de carga pode ser obtdo utlzando um modelo de prevsão de carga orára de curto prazo [58]. As dsponbldades podem ser amostradas modelando o processo fala / reparo dos geradores através de dstrbuções exponencas [59]. O detalamento da representação do processo de ofertas dos outros agentes é apresentado na próxma seção. O algortmo utlzado para estmar U[RB (p )] é lustrado na Fgura 6.3. Incalzar n = 0 n = n+1 Amostrar Cenáro de Carga Amostrar Cenáro de Dsponbldade Amostrar Cenáro de Ofertas Resolver Despaco de Custo Mínmo (DESSEM ou Problema 4.5) Calcular RB n (p ) (Expressão 6.2) Sm n =N? Calcular U[RB (p )] (Expressão 6.6) Fgura 6.3 Algortmo Utldade da Receta Operaconal Bruta Não 114

9 Uma característca atratva da smulação Monte Carlo é que o tamano da amostra N necessáro para estmar E[RB (p )] com uma dada precsão, não depende do número de varáves ncertas consderadas na smulação. É mportante também observar em (6.7) que Ê[RB (p )] não é o valor verdadero de E[RB (p )], porém uma estmatva deste valor. Se a smulação fosse repetda com uma outra amostra aleatóra, podera-se obter outro valor para a estmatva. Como a receta operaconal bruta é uma varável aleatóra, este estmador, que é a méda de N observações de RB (p ), é também uma varável aleatóra. A ncerteza em torno da estmatva é dada pela varânca do estmador: Var[ Ê[RB (p )]] = Vˆ ar[rb N (p )] (6.9) onde Vˆ ar[rb (p )] é estmada pela Expressão (6.8): Expressão (6.9) ndca que a ncerteza na estmatva de E[RB (p )] depende da varânca da receta operaconal bruta e é nversamente proporconal ao tamano da amostra. Isto confrma a noção ntutva de que a precsão da smulação Monte Carlo aumenta com o aumento do tamano da amostra N. Esta ncerteza pode ser representada por um coefcente de varação, β: β = Var[Ê[RB Ê[RB (p (p )] )]] (6.10) A expressão (6.10) pode ser usada para estmar o tamano da amostra necessára para uma dada precsão. Substtundo (6.9) em (6.10) e reescrevendo em termos de N resulta em: N = Vˆ ar[rb ( βê[rb (p (p )] )]) 2 (6.11) Este últmo resultado mostra que o esforço computaconal da smulação Monte Carlo, dado pelo tamano da amostra N, não depende da dmensão ou da 115

10 complexdade do problema analsado. Por outro lado, o esforço computaconal depende fortemente da precsão deseada, β REPRESENTAÇÃO DAS OFERTAS DOS AGENTES COMPETIDORES Como vsto no Capítulo 1, dos tratamentos são encontrados na lteratura para a representação do processo de oferta dos agentes competdores. O prmero é baseado nos concetos de teora dos ogos, e o segundo consste em modelar o comportamento probablístco de oferta dos agentes a partr de dados stórcos e de conecmento prévo sobre seus perfs de aversão a rsco Teora dos Jogos A representação baseada na teora dos ogos segue modelos de competção olgopolsta como os modelos de Cournot, Bertrand, Stackelberg, etc. [47]. Esta representação consste em, para cada cenáro analsado, determnar o conunto de ofertas dos outros agentes que defne um Equlíbro de Nas (vde Capítulo 5). Isto pode ser feto utlzando um processo teratvo onde a cada teração os agentes redefnem as suas póteses sobre o comportamento dos outros agentes partcpantes através das nformações (despaco e preço) obtdas na teração anteror. Resumndo, a cada teração os agentes tentam defnr a sua estratéga de oferta ótma para a condção de mercado corrente. O processo teratvo converge quando para todos os geradores a estratéga ótma na teração -1 e muto próxma da estratéga da teração. O algortmo lustrado na Fgura 6.4 é baseado no modelo de Bertrand, e pode ser utlzado para tentar encontrar o Equlíbro de Nas para um conunto de K geradores que competem por preço. 116

11 Iteração =0 Para k =1,, K : Ofertas = Custo Varável =+1 Para k =1,, K : Calcular oferta que maxmza a receta operaconal bruta do gerador k, fxadas as ofertas dos outros geradores Sm Para k =1,, K: Oferta k () Oferta k (-1) >? Não Fm Fgura 6.4 Algortmo Equlíbro de Nas A utlzação dos concetos de teora dos ogos parece à forma natural de representar o comportamento de ofertas dos outros agentes. Infelzmente, não exste garanta teórca de que um equlíbro exsta para estratégas puras em um mercado de energa elétrca, mas especfcamente quando restrções de transmssão são representadas [48]. Os modelos de competção olgopolsta são mas aproprados para avalar o potencal de poder de mercado do que para a construção de estratégas ótmas de oferta, apesar de, em prncípo, os estados de equlíbro destes ogos representarem a estratéga ótma para todos os agentes. A razão para sto está assocada às mutas póteses smplfcadoras utlzadas por estes modelos. Na prátca, em função das complexdades dos mercados de energa elétrca é pouco provável que no curto prazo os agentes consegussem concordar que um determnado estado é um Equlíbro de Nas. Em função do exposto acma, a representação baseada em teora dos ogos não será utlzada para a construção de ofertas ótmas nesta tese. Por outro lado, o 117

12 algortmo apresentado na Fgura 6.4 será utlzado no próxmo capítulo para avalar o potencal de poder de mercado no Setor Elétrco Braslero Modelagem Probablístca Modelar o comportamento probablístco de ofertas dos agentes competdores não é uma tarefa smples. O tratamento natural é tentar construr dstrbuções de probabldade para as ofertas dos dversos agentes, a partr de dados stórcos e de conecmento prévo sobre seus perfs de aversão a rsco. Estas dstrbuções de probabldades devem ser condconadas ao estado do sstema no momento em que as ofertas são fetas. Por exemplo, no caso do Brasl, as dstrbuções para o período seco devem ser dferentes das dstrbuções no período cuvoso, e para um mesmo período, as dstrbuções devem varar em função do nível de armazenamento do sstema. No momento não se tem um modelo baseado em ofertas em operação no sstema braslero, o que mplca na nexstênca de dados stórcos para o auste das dstrbuções de probabldades. Uma alternatva que podera ser adotada consste em utlzar uma modelagem baseada em conuntos nebulosos (fuzzy) [60]. A tratamento aqu adotado consstrá de uma modelagem probablístca combnada com uma representação baseada em conuntos nebulosos. Será utlzada na verdade, uma modelagem probablístca, mas utlzando dstrbuções de probabldade equvalentes às funções de pertnênca típcas de uma representação fuzzy. Deve-se ressaltar, que se a defnção das dstrbuções de probabldade forem consstentes com as funções de pertnênca fuzzy, os resultados obtdos serão equvalentes, como mostrado em [61]. Para a representação das ofertas dos geradores termelétrcos será utlzada a função densdade de probabldade trangular lustrada na Fgura 6.5. Note que esta dstrbução é utlzada porque os geradores termelétrcos não têm nenum estmulo para ofertar preços menores que seus custos varáves de operação (O&M + combustível). O condconamento ao estado do sstema (níves de armazenamento e afluêncas) no momento que as ofertas são fetas do sstema, e ao perfl de aversão a rsco do agente, é feto austando o lmte superor da dstrbução de probabldade. 118

13 Esse comportamento de ofertas representara a tentatva por parte dos geradores termelétrcos mas agressvos de exercerem poder de mercado, estando por outro lado assumndo um rsco maor de não serem despacados. Este representação será utlzada na construção de estratégas ótmas para termelétrcas, tanto no caso do tgt pool, quanto no caso de esquema geral de ofertas de preços. f(x) Custo Varável x Fgura 6.5 Dstrbução Trangular (Geradores Termelétrcos) Apenas para o esquema geral de ofertas de preços, onde os geradores drelétrcos também fazem ofertas, será utlzada para estes geradores a função densdade de probabldade lustrada na Fgura 6.6. f(x) Valor da Água x Fgura 6.6 Dstrbução Trangular (Geradores Hdrelétrcos) 119

14 O parâmetro central da densdade será dado pelo valor da água calculado utlzando os mesmos modelos de programação da operação (Programa DESSEM) utlzados no caso do tgt pool. Esta fo a forma adotada para condconar o estado do sstema ao perfl de ofertas dos agentes drelétrcos. Note que no caso das drelétrcas, as ofertas podem ser menores que o valor da água, representando a antecpação de receta pelos geradores drelétrcos mas agressvos,.e, geradores menos avessos ao rsco futuro de preços elevados em stuação drológca crítca, quando neste caso á teram utlzado os seus recursos de água antecpadamente. Ofertas acma do valor da água poderão representar tanto geradores conservadores, tentando manter os seus armazenamentos elevados para reduzr a exposção a períodos drológcos runs, quanto geradores agressvos, tentando exercer poder de mercado. 6.5 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA PARA HIDRELÉTRICAS A formulação do problema para usnas drelétrcas só tem sentdo no esquema proposto de ofertas de preços apresentado no Capítulo 4. Consdere que os geradores drelétrcos também fazem ofertas de preço para cada período de contablzação do da segunte, como os termelétrcos. Com base nas ofertas realzadas pelos agentes o preço spot é então calculado para cada período de contablzação do da segunte resolvendo o Problema (4.5), ou equvalente, para cada um dos períodos de contablzação. A receta operaconal bruta (sem o pagamento de mpostos) de uma usna drelétrca será dada para cada período de contablzação do da segunte por: onde: RB = RC + RMAE DO + DOR (6.12) RC = EC. PC receta de contrato (6.12.1) RMAE = (EGC EC ). Pspot lqudação no MAE (6.12.2) DO = EG. CV despesa operaconal (6.12.3) DOR = (EG EGC ).CVR desp.operaconal realocada (6.12.4) 120

15 EC energa contratada PC preço de venda contratado EG energa gerada físcamente EGC Pspot CV CVR energa gerada comercalmente preço spot custo varável real (O&M) custo varável regulado (a ser defndo ANEEL) Note que na Expressão (6.12) é representado o desacoplamento entre o despaco físco e o despaco comercal, uma das característcas prncpas do esquema geral de ofertas de preços apresentado no Capítulo 4. Note também que pode aver dferenças entre o custo varável real e o custo varável regulado que será utlzado para valorar as dferenças entre as energas geradas fscamente e comercalmente, entretanto, estas dferenças devem ser pequenas. Como no caso termelétrco, observe que a parcela assocada a lqudação no MAE ( RMAE ) pode ser postva o negatva, dependendo da geração da usna, mas neste caso é utlzada a energa gerada comercalmente, e não a fscamente gerada. Em função do acoplamento temporal das decsões operatvas das usnas drelétrcas, o problema de estabelecmento de uma estratéga ótma de oferta para um gerador drelétrco é extremamente mas complexo que o problema termelétrco. Um gerador drelétrco não pode maxmzar a sua receta só ao longo do da segunte, sendo necessára a representação das recetas futuras. A estratéga ótma do gerador drelétrco será então determnar a oferta de preços que maxmze a sua receta operaconal bruta, ou uma função utldade assocada, ao longo do próxmo da mas a sua receta bruta futura, RBF: H Max EC.PC + ( EGC EC ). Pspot = 1 - ( EG. CV + EG EGC ). CVR + RBF (6.13) 121

16 Note que, da mesma forma que no caso termelétrco, o preço spot e a energa gerada em cada período de contablzação são funções das ofertas de preços de todos os agentes competdores, que não são conecdas no momento que o gerador faz a sua oferta. A receta futura também será função das ofertas dos agentes competdores nos próxmos períodos. Em prncípo, o tratamento deste problema requer a combnação da modelagem do comportamento de ofertar dos agentes competdores (nclundo os drelétrcos) com um esquema de programação dnâmca. Entretanto, em função do excessvo esforço computaconal, um tratamento que smplfca sobremanera o problema consste em adotar a pótese de que no futuro o mercado tenderá a competção perfeta e, por conseqüênca, os resultados do esquema de oferta de preços convergem para os resultados do tgt pool. A partr desta pótese, podemos assumr que um agente drelétrco tenta exercer poder de mercado no curto prazo, mas consdera que as suas recetas futuras seram equvalentes àquelas que seram obtdas no tgt pool. Desta forma, pode-se consderar que o agente drelétrco na determnação de sua estratéga de oferta ótma só estara dsposto a gerar quando o preço spot for maor que o valor da água calculado utlzando os mesmos modelos programação da operação do tgt pool (e.g., Programa DESSEM). Assm o problema (6.13) pode ser smplfcado da segunte forma: H Max EC.PC + ( EGC EC ). Pspot = 1 - EG. CV + ( EG EGC ). CVR - EGC. VA (6.14) onde VA valor da água da usna no período. Observe que a receta futura RBF na Expressão (6.13) fo substtuída por uma penaldade na função obetvo, que ndca que o gerador só estara dsposto a gerar se o preço spot for maor que o valor da água. Desta forma, é possível utlzar para os geradores drelétrcos um algortmo gual ao apresentado na Fgura

17 Na prátca, o problema formulado na Expressão (6.14) é equvalente a determnar a estratéga de oferta que maxmza a receta bruta presente, com a restrção de que as ofertas de preços são maores ou guas ao valor da água, ou sea, H Max EC.PC + ( EGC EC ). Pspot = 1 - ( EG. CV + EG EGC ). CVR (6.15) Sueto a p VA, =1,..., H. Note que elmnando a restrção anteror é possível determnar a estratéga de oferta ótma para um agente drelétrco agressvo que tenta maxmzar a sua receta presente, ndependentemente das conseqüêncas futuras de sua decsão. 123

18 6.6 CONCLUSÃO Neste capítulo fo apresentada a formulação do problema de estabelecmento de estratégas de oferta ótma de preços em mercados compettvos de energa elétrca. A formulação apresentada é geral, podendo ser estendda para qualquer mercado spot de energa elétrca baseado em ofertas para o da segunte. Apenas como referênca para o cálculo da remuneração das usnas foram utlzadas as regras de contablzação do MAE, entretanto, qualquer regra de contablzação podera ser adotada. Como no momento que os geradores fazem suas ofertas, as ofertas dos agentes competdores não são conecdas, e também exste ncerteza com relação à carga e à dsponbldade de geração no da segunte, o problema de estabelecmento de estratégas ótmas se confgura em problema de decsão sob ncertezas. O tratamento adotado aqu consstu em utlzar o conceto de maxmzação de uma função utldade, que represente o perfl de aversão a rsco do agente. Um ponto crítco da metodologa é a modelagem do comportamento de ofertas dos agentes competdores. O tratamento adotado fo baseado em uma modelagem probablístca, mas utlzando dstrbuções de probabldade equvalentes a funções de pertnênca típcas de uma representação fuzzy. Isto fo feto em função da nexstênca de dados que permtssem o auste de dstrbuções de probabldade clásscas. 124