Nome: Nº: Estatística para Economia e Gestão Licenciaturas em Economia e Gestão. 2.º Semestre de 2008/2009

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1 Estatístca para Economa e Gestão Lcencaturas em Economa e Gestão.º Semestre de 008/009 Exame Fnal (.ª Época) 16 de Junho de 009; 17h30m Duração: 10 mnutos INSTRUÇÕES Escreva o nome e número de aluno em todas as folhas. Materal autorzado: Caneta, máquna de calcular sem memóra e este enuncado. Este enuncado deve permanecer sempre agrafado. As respostas às questões devem ser escrtas neste enuncado nos locas ndcados. SÓ PODE RESPONDER ÀS QUESTÕES NO LOCAL INDICADO. PODE USAR O VERSO DE CADA FOLHA APENAS PARA RASCUNHO. Qualquer stuação de plágo (como sejam a utlzação de materal não autorzado, comuncação com colegas, etc.) terá como consequênca medata a reprovação à dscplna neste semestre. Não é permtdo trar dúvdas durante o exame. Antes de ncar o exame confrme que este enuncado tem 1 págnas numeradas de 1 a 1. Este exame tem 4 grupos de questões numerados de I a IV que aparecem nas págnas a 8. Nas págnas 9 e 10 exste um formuláro. Nas págnas 10,11 e 1 são apresentadas tabelas estatístcas que deve consultar para responder a algumas das questões deste exame. Deve permanecer sentado no seu lugar até ao fnal do exame. A recolha fnal do exame será feta pelos docentes. Faculdade de Economa Unversdade Nova de Lsboa 1

2 I (6,5 valores) 1- Na conhecda empresa de refrgerantes Koka-Kola, o tempo de enchmento (em segundos) de uma garrafa de Canta é uma varável aleatóra com dstrbução 15. Lembre-se que para uma varável Y ~ v, E Y v e Var Y v. a) Calcule o tempo (T) tal que 90% das garrafas demoram menos que T a serem enchdas. b) Fo recolhda uma amostra aleatóra de 100 garrafas. Qual a probabldade do tempo total de enchmento das garrafas exceder os 000 segundos? - A partr de uma amostra de 5 observações, o Ncolau estmou no passado o segunte modelo de regressão lnear yˆ 1,6 b1 x para tentar estudar o comportamento da varável Y a partr da varável X. Como pode verfcar, o Ncolau não se recorda do declve da regressão estmada mas tem ao seu dspor a segunte nformação: 5 1 y 135 x 6 SSE 80, 6 5, 417 a) Encontre o valor do mpacto margnal estmado de X em Y. s x Faculdade de Economa Unversdade Nova de Lsboa

3 b) O Ncolau garante que o verdadero mpacto de X em Y é gual a -1,7. Proponha o ensao de hpóteses que julgue mas adequado para testar esta afrmação e tre uma conclusão apenas com base no valor do p-value. c) Calcule o valor de SSR. d) Calcule o coefcente de correlação lnear amostral. e) O Ncolau decdu testar a hpótese H0 : 0 d contra H 1 : 0 d, sendo d um valor que só ele conhece. Sabendo que a hpótese nula fo rejetada com %, dscuta se é possível garantr que o ntervalo de confança a 98% para 0 nclu o valor d. Faculdade de Economa Unversdade Nova de Lsboa 3

4 II (6 valores) A. Comente a veracdade de cada uma das seguntes afrmações em não mas de 4 lnhas. Comece por afrmar se a afrmação é verdadera ou falsa. a) Na regressão múltpla yˆ b0 b1 x1 b x... bk xk, se os testes de sgnfcânca ndvdual dos coefcentes (com 1,..., k ) levarem à não rejeção de H 0 : 0 (contra H1 : 0), então a hpótese nula do teste F de aderênca global do modelo não será rejetada. b) Ao testar a hpótese nula 100 a potênca do ensao é maor se a hpótese alternatva for 80 do que se for 90. B. Para cada uma das 4 questões seguntes ndque uma só resposta na tabela da págna segunte. Cada resposta certa vale 1 valor. Cada resposta errada vale 0,5 valores negatvos (-0,5). Cada resposta em branco ou mal assnalada vale 0 valores. 1. Na consulta de medcna do trabalho de uma determnada empresa medu-se a pressão arteral de 5 dos seus trabalhadores. Fo construído um ntervalo de confança a 95% para a pressão arteral méda: [1.,13.8]. Qual das seguntes afrmações representa uma nterpretação válda para o ntervalo de confança? a) 95% da amostra dos trabalhadores tem uma pressão arteral entre 1. e b) 95% dos trabalhadores da empresa tem uma pressão arteral entre 1. e c) Se o processo de recolha da amostra aleatóra fosse repetdo mutas vezes, 95% dos ntervalos de confança resultantes desse processo conteram a méda da pressão arteral dos trabalhadores da empresa. d) Se o processo de recolha da amostra aleatóra fosse repetdo mutas vezes, 95% das médas amostras estaram entre 1. e Faculdade de Economa Unversdade Nova de Lsboa 4

5 . Na regressão múltpla yˆ b0 b1 x1 b x, se H 0 : 0 não for rejetada contra H 0 a 4% de sgnfcânca, então: 1 : a) A exclusão da varável X do modelo não va afectar o valor do coefcente de determnação. b) A exclusão da varável X do modelo mplca um valor de R superor a R. c) O p-value do teste poderá ser gual a,5%. d) O ntervalo de confança a 98% para (construído com base na mesma amostra) contém obrgatoramente valores postvos e negatvos para. 3. Qual das seguntes afrmações é verdadera? a) Um estmador não envesado é sempre consstente. b) Um estmador consstente é sempre não envesado. n X X c) O estmador S 1 é não envesado para a varânca da população. n d) A méda amostral, X, é um estmador consstente para a méda da população. 4. Num supermercado, um grande número de ogurtes dentro do prazo fo msturado, por engano, com um certo número de ogurtes estragados. Para estmar a proporção desconhecda de ogurtes estragados,, decdu-se examnar, de forma aleatóra e com reposção, os ogurtes um a um até se obter o prmero estragado. O número de ogurtes examnados em 4 tentatvas fo: 4, 7, 9, 5. Com base nesta amostra, a estmatva de máxma verosmlhança de é: a) b) 0.16 c) 0.18 d) 0.0 Respostas às Questões 1 a 4 - Assnale as Respostas com um X Resposta Questão a b c d Faculdade de Economa Unversdade Nova de Lsboa 5

6 III (4,5 valores) Nos testes a realzar ndque a hpótese nula, hpótese alternatva, estatístca de teste e respectva dstrbução e a regra de decsão adoptada. Consdere um nível de sgnfcânca de 5%. Uma empresa produz parafusos de duas categoras A (superor) e B (nferor) e garante que, na categora A, pelo menos 90% dos parafusos não têm defeto. Um comercante recebeu uma encomenda com mlhares de parafusos com ndcação de categora A. Para testar a garanta da empresa e decdr sobre a devolução da encomenda recolheu uma amostra de 100 parafusos. a) Para poder pôr em causa a garanta da empresa e proceder à devolução da encomenda quantos parafusos defetuosos o comercante terá de encontrar nessa amostra? b) Qual a probabldade do comercante não devolver o fornecmento se a empresa produtora tver fornecdo parafusos da categora nferor, em que a proporção de defetos é de 0%? Como se desgna esta probabldade? Faculdade de Economa Unversdade Nova de Lsboa 6

7 c) Quantos parafusos deverão ser analsados se o comercante pretender ter um rsco gual ao do fornecedor? (ou seja, as probabldades dos erros tpo I e II guas e guas a 5%) Faculdade de Economa Unversdade Nova de Lsboa 7

8 IV( 3 valores) 1. Seja X 1 a méda de uma amostra aleatóra de dmensão n extraída de uma população N(µ, σ 1 ) e X a méda de uma amostra aleatóra de dmensão n extraída de uma população N(µ, σ ). Na hpótese de ndependênca das duas amostras: a) Mostre que a X1 ( 1 a) X é um estmador não envesado de µ. b) Qual o valor de a que mnmza a varânca deste estmador?. Sabe-se que o número de acdentes por da no ICP119 é uma varável aleatóra que segue uma Dstrbução de Posson de parâmetro. Em 30 das, escolhdos de forma aleatóra, observou-se que em 5 das não se regstaram acdentes, enquanto em cada um dos restantes 5 das fo regstado pelo menos um acdente. Encontre a estmatva para o parâmetro pelo método da máxma verosmlhança. Faculdade de Economa Unversdade Nova de Lsboa 8