Análise de Incertezas I.B De Paula

Transcrição

1 Um bom expermentalsta deve fazer todo o esforço possível para mnmzar os erros de seu expermento. Cabe ao expermentalsta a responsabldade de apresentar uma medda da confabldade de seus dados. amos defnr erro como sendo: a dferença entre o valor meddo e o valor verdadero de uma grandeza.normalmente não se conhece o valor verdadero de uma grandeza, o que torna esta defnção dfícl de ser aplcada. odemos então defnr o conceto de ncerteza: Incerteza expermental é um valor possível que o erro pode assumr. Defne uma faxa onde se estma estar localzado o valor da grandeza medda (dentro de um determnado nível de probabldade).

2 Em geral o resultado de uma medção é apenas uma estmatva do valor verdadero de uma grandeza físca. Sendo assm, o resultado da medção só é completo quando acompanhado do valor de ncerteza. ara chegarmos a um método de descrção das ncertezas nas varáves, precsamos conhecer a natureza das ncertezas. odemos classfcar as ncertezas expermentas em: ncertezas aleatóras: são ncertezas que fazem com que meddas repetdas apresentem valores dferentes. ncertezas sstemátcas: são ncertezas que fazem com que meddas repetdas apresentem aproxmadamente o mesmo desvo (postvo ou negatvo) sem razão aparente (se a razão fosse conhecda uma correção podera ser feta).

3 Cabe ao expermentalsta dentfcar as fontes de ncerteza sstemátcas e mplementar correções adequadas. As ncertezas aleatóras não podem ser corrgdas.

4 A partr de uma análse estatístca do conjunto de dados podemos estmar o valor de real de x como sendo: x' x u % Onde x representa a estmatva méda das amostras e u x representa o ntervalo de ncerteza dessa estmatva para um determnado nível de probabldade (%). A análse de ncerteza é o método utlzado para quantfcar o termo u x. As ferramentas estatístcas comuns, que são utlzadas na maora dos textos de engenhara para quantfcar a ncerteza de uma medção, devem ser usadas após a dentfcação e elmnação das componentes de ncerteza sstemátcas. x

5 Mutos autores assumem a dstrbução das ncertezas aleatóras como sendo Gaussana. Isto de fato ocorre na maora das propredades físcas que são contínuas ou regulares no tempo ou no espaço onde as varações são devdas a erros aleatóros. A construção de hstogramas ou funções de densdade de probabldade (DF s) ajudam a dentfcar a dstrbução estatístca que melhor representa os dados meddos.

6 Ex. dstrbuções estatístcas e relação com as medções Normal: Maora dos casos. arações devdo a erro aleatóro LogNormal: Falha ou projeções de durabldade. Eventos tendem a ser dstorcdos na extremdade da dstrbução. Bnomal: comum em stuações que envolvem somente duas possbldades. Ex.: Cara/Coroa

7 Ex. Dstrbução Normal No caso da dstrbução normal com méda μ e desvo padrão σ a probabldade de que o valor da observação aleatóra seja x é dado pela equação: Onde ( x) Observa-se que somente com os valores da méda e do desvo padrão é possível construr a dstrbução. / e x x( x) dx; x ( x) dx;

8 Ex. Dstrbução Normal No caso de amostras fntas uma estmatva para a méda é dada por: N x x N onde N é o número de amostras Já a estmatva do desvo padrão para amostras fntas é dada por: N s x x ; para N grande ( 30) N s N N x x ; para N pequeno

9 Ex. Dstrbução Normal ara uma dstrbução normal de méda μ desvo padrão σ, temos que a probabldade de uma medda x estar compreendda em uma certa faxa ±x da méda é: p xx xx x e / dx p/ x = ± σ; p=0.683 p/ x = ± σ; p=0.954 p/ x = ± 3σ; p=0.997 μ

10 Com o conhecmento da natureza das ncertezas e das ferramentas estatístcas usadas para estmar alguns componentes dessa ncerteza, prossegumos para a estmação da ncerteza da medção. Alguns termos específcos devem ser defndos aqu para facltar a exposção do tema. As defnções seguem o Gua para Expressão de Incerteza de Medção. (ver ) Incerteza adrão: Incerteza da medção, expressa sob a forma de desvo padrão (± σ) Incerteza adrão Combnada: Incerteza padrão de uma medção que envolve mas de uma ncertezas. Ex.: Meda de medções com paquímetro: Incerteza das medções e ncerteza do nstrumento.

11 Incerteza expandda: quantdade que defne um ntervalo em torno do resultado de uma medção com o qual se espera abranger uma grande fração da dstrbução dos valores que podem ser razoavelmente atrbuídos ao mensurando Obs: A fração pode ser vsta como a probabldade de abrangênca ou nível da confança do ntervalo. Fator de abrangênca: fator numérco usado como multplcador da ncerteza padrão combnada para se obter a ncerteza expandda. k defne o nível de confança da ncerteza. Ex.: k Dst_Normal (95%)= u exp k u padrão

12 Incerteza do tpo A: obtda a partr de um conjunto de amostras, usando estmadores amostras para a méda e para o desvo padrão. As análses baseadas nas dstrbuções estatístcas apresentadas anterormente se aplcam a ncertezas do tpo A. Incerteza do tpo B: obtda por qualquer outro meo, tal como nformação préva fornecda pelo fabrcante; aproxmações conservadoras baseadas em experênca préva com nstrumentos smlares; modelo matemátco formal do processo de medção específco como um processo estocástco, valores da bblografa, etc.

13 Incerteza do tpo A: Consderando uma amostra fnta, que contém meddas de um nstrumento que segue uma dstrbução Gaussana de probabldades. Sera correto usar k = para consegur uma probabldade de abrangênca de 95% para um caso em foram amostrados apenas 5 dados (N=5) para se estmar o desvo padrão? E poderíamos usar k = para consegur uma probabldade de abrangênca de 95% para outro caso onde foram utlzadas 5000 amostras para se estmar o desvo padrão?

14 Ex. Dstrbução t-student Em casos onde o número de amostras é restrto e o desvo padrão da população é desconhecdo, utlza-se a dstrbução t-student para se estmar o fator de abrangênca (k). A medda que o número de dados (Graus Lberdade=N-) aumenta a dstrbução tende para a normal. Tabela resumda de fator de abrangênca (p=95%) com o número de graus de lberdade para uma dstrbução t- Student. Graus Lberdade k 3,97 4,53 3,3,87,65,5 Graus Lberdade nf k,43,37,8,3,05

15 Incerteza do tpo B: O uso adequado do conjunto de nformações dsponíves para uma avalação da ncerteza-padrão do Tpo B, exge dscernmento baseado na experênca e no conhecmento geral, habldade que pode ser aprendda com a prátca. Quando é possível nferr a dstrbução de probabldades pelo certfcado/manual do nstrumento, a ncerteza padrão pode ser obtda com as equações daquela dstrbução. Ex: Manual dz que ncerteza do nstrumento é de% do fundo de escala, com 95% de confabldade (fator de abrangênca de ). ->Fator de abrangênca para 95% de confabldade equvale a dstrbução normal. Logo a ncerteza padrão é %/

16 Se apenas forem conhecdos ou puderem ser estmados os lmtes nferor ou superor da dstrbução, admte-se uma dstrbução retangular para a grandeza de nfluênca. É comum assocar esse tpo de dstrbução a Incertezas do tpo B, pos se sabe que a varável está lmtada a um ntervalo fnto, mas não há razão para atrbur uma probabldade dferencada para regões dentro desse ntervalo. Ex.: valor ndcado por um nstrumento de resolução fnta (e.g.oltímetro dgtal) p( x) b a 0 p / a resto x b

17 No caso da dstrbução retangular a méda e o desvo padrão são obtdos por: Resolvendo ; ) ( ; ) ( b a b a dx x x dx x x 3 ; a b a se a b a b ; ; b a b a dx a b a b x dx a b x

18 Exemplo : A especfcação de resolução fornecda pelo fabrcante para um dado nstrumento é de ±% da letura. Como nenhuma nformação adconal é fornecda, pode-se admtr que qualquer valor do erro dentro desses lmtes é gualmente provável (dstrbução retangular). Logo: % u padrão 3 Exemplo : O certfcado de calbração de um nstrumento ndca uma ncerteza de ±0.% das medções, na faxa de medção do nstrumento, para um nível de confança 95%. Isso equvale a dzer que o fator de abrangênca k= para uma dstrbução normal. Logo a ncerteza padrão fca: u padrão 0,% 0.05%

19 Exemplo 3: Uma sequenca de leturas de um multímetro dgtal foram todas guas. A ncerteza dessa medção não pode ser zero, dado que exste uma lmtação de letura da varação do snal devdo a resolução do nstrumento. Consderando a resolução do nstrumento como sendo r, pode-se assumr uma dstrbução retangular com lmtes ±r/. Logo a ncerteza padrão fca: u padrão r / r 3

20 ropagação de Incertezas Agora que sabemos como estmar a faxa de ncerteza para uma varável ndvdual, precsamos avalar como estas ncertezas se propagam em um resultado. Suponha que um resultado Y é função de n grandezas de entrada X, X, X 3,... X n, por meo da função : Desenvolvendo F em sére de Taylor de ª ordem para varações em torno da médas de X e Y. Y Onde F/ X é chamado de coefcente de sensbldade do resultado y às grandezas de entrada X Y F X X, X,..., Y n, 3 F X X X X n

21 ropagação de Incertezas Fazendo o quadrado da expansão de Taylor Como a varânca (s ) é dada pelo quadrado da dferença, podemos expandr a equação: Onde cc j é o coefcente de correlação entre X e X j. n X X X F Y Y j X X n n j j n X y cc s s X F X F s X F s j

22 ropagação de Incertezas Quando as grandezas de entrada X não têm correlação cc j =0 Usando essa expressão (ou a anteror no caso de grandezas relaconadas), é possível fazer a combnação de ncertezas. No caso de amostras fntas temos a expressão fca: n X y s X F s n X y u X F u

23 Exemplo 4: Tubo de tot: Suponha que as seguntes meddas foram realzadas, com 95% de confança: = ± 0.03ka; ρ=. ± 0.05kg/m 3 ; Aplcando a expressão de propagação das ncertezas As dervadas parcas (coef. de sensbldade) são obtdas de forma analítca u u u / / 3

24 Exemplo 4: Tubo de tot: As ncertezas padrão das medções fcam(k=): u =±0.03/=±0.05ka; u ρ =± 0./=0.05kg/m 3 Substtundo: u u u 3 u u m / s

25 Exemplo 4: Tubo de tot: Logo a velocdade pode ser expressa, com 95% de confabldade como sendo (k=): = +k*u = 57 ±.6 m/s As contrbuções de cada parâmetro da ncerteza da velocdade são: u u odemos observar que a maor contrbução vêm da ncerteza na medção da massa específca do gás. Logo, se qusermos melhorar a ncerteza da velocdade sera melhor nvestr na medção da massa específca

26 Exemplo 5: Tubo de tot: As seguntes meddas foram fetas: N= 9 amostras para T e, e N=5 para Com os seguntes nstrumentos: Meddor de pressão dferencal Incerteza de calbração 5a com 95% de confabldade Termopar com resolução de 0.5 K Barômetro com resolução de 0.3ka (mmhg) ressão (ka) Temp (K) (ka) Méda Desvo-adrao

27 Exemplo 5: Tubo de tot: asso dentfcar ncertezas Tpo A Desvo padrão dos dados: Manômetro=0a, Termopar= 0.8K, Barômetro= 670a Desvo padrão das médas dos dados=desvo/ N u =0/ 9 =.3a u T = =0.043K u = 670 5=99.6a Tpo B Incerteza dos nstrumentos: u manometro =5/=.5a Assumndo dstrbução retangular e usando-se a resolução como lmtes superor e nferor da dstrbução, temos u Termopar = ± 0.5/ 3 =0.07K u Barometro = ± 65/ 3 =37.6a

28 Exemplo 5: Tubo de tot: Calcular os coefcentes de sensbldade. Assumndo que o fludo se comporta como um gás perfeto, com R=cte=87Nm/Kg.K e ncerteza desprezível. A equação da velocdade fca: RT 59.m / s Os coefcentes de sensbldade fcam RT / RT R T T / RT E /

29 Exemplo 5: Tubo de tot: 3 Aplcar a expressão de propagação de ncertezas Barômetro Termopar T Manometro u u u T u T u u u E E u

30 Exemplo 5: Tubo de tot: 3 Aplcar a expressão de propagação de ncertezas u.e.65e 7.77E 3.34E E 3.7E u 0.m / 4 4 Uma vez que a Incerteza adrão Combnada é resultado de mutas contrbuções de ncertezas, como calcular o fator de abrangênca? s

31 Se consderarmos que a dstrbução de probabldades do resultado será aproxmadamente Gaussana (t-student), precsamos estmar o Número de Graus de Lberdade Efetvo assocado a ncerteza padrão combnada calculada. Isso rá possbltar a determnação do fator de abrangênca para uma dada probabldade escolhda (consulta à tabela t- Student). ara calcular o número de graus de lberdade efetvo de uma combnação de ncertezas provenentes de amostras com dferentes graus de lberdade, utlza-se a fórmula de Welch- Satterhwate (ver ISO-GUM08). G. L effetvo N _ componentes _ ncerteza u 4 Comb F u X G. L X 4

32 Obs.: As ncertezas padrão do Tpo B, por defnção, tem número nfnto de graus de lberdade. Isto é, não precsam ser contablzadas no denomnador da expressão acma. Além dsso, deve-se adotar o valor ntero superor ao resultado dessa fórmula. oltando ao caso do exemplo 5: Tubo de tot: Tínhamos que os dados de ncerteza do tpo A, eram: u =0/ 9 =.3a; u T = =0.043K u = 670 5=99.6a e a ncerteza combnada era: u =0.m/s

33 oltando ao caso do exemplo 5: Tubo de tot: Tínhamos que os dados de ncerteza do tpo A, eram: u =0/ 9 =.3a; u T = =0.043K u = 670 5=99.6a ; u =0.m/s Usando a formula de Welch-Satterhwate T T effetvo G L u T G L u G L u u G L T E

34 G. L oltando ao caso do exemplo 5: Tubo de tot: Tínhamos que os dados de ncerteza do tpo A, eram: u =0/ 9 =.3a; u T = =0.043K u = 670 5=99.6a ; u =0.m/s Usando a formula de Welch-Satterhwate effetvo E (9 ).934E T 0. 4 (5 ) G. L effetvo (9 )

35 oltando ao caso do exemplo 5: Tubo de tot: Tínhamos que a ncerteza padrão combnada era: u =0.m/s Se qusermos expandr essa ncerteza para um ntervalo com 95% de confança, podemos extrar o fator de abrangênca utlzando a tabela t-student para um número de graus de lberdade gual a 8. Da tabela de t-student para =95% temos que: k=.37 Logo a medda da velocdade pode ser expressa para um ntervalo de 95% como sendo: m / s

36 Sugestões para facltar a análse:. Calcular a ncerteza padrão combnada relatva ao nvés da absoluta: Assm, a ncerteza calculada será relatva a méda de y. Além dsso o termo permte smplfcações que facltam o seu cálculo. Ex.: tot n X y y u X F y u y X F RT RT /

37 Sugestões para facltar a análse:. Organzar os dados em uma tabela. Ex.: Incerteza TIO A Fonte de Incerteza X_médo desvpad (X) Dstrbução Dvsor coef_sens u_p* coef_sens (u_p* coef_sens)^ (u_p* coef_sens)^4 G.L. Incerteza TIO B Fonte de Incerteza X_médo desvpad (X) Dstrbução Dvsor coef_sens u_p* coef_sens (u_p* coef_sens)^ (u_p* coef_sens)^4 G.L. Incerteza Combnada adrão Graus de lberdade efetvos Fator de Abrangênca (k) Incerteza Expandda

38 Sugestões para facltar a análse:. Organzar os dados em uma tabela. Ex. tot: Incerteza TIO A Fonte de Incerteza X_médo desvpad (X) N_amostras Dvsor coef_sens u_p* coef_sens (u_p* coef_sens)^ (u_p* coef_sens)^4 G.L. Desv_pad Manômetro / E E-4 8 Desv_pad Temperatura /T E E-09.34E-7 8 Desv_pad Barômetro / E E- 4 Incerteza TIO B Fonte de Incerteza X_médo ncerteza (X) Dstrbução Dvsor coef_sens u_p* coef_sens (u_p* coef_sens)^ (u_p* coef_sens)^4 Calbração Manômetro Gaussana / E E-3 nf Resolução Termopar Retangular.73 /T E E-5 nf Resolução Barômetro Retangular.73 -/ E E-4 nf G.L. Incerteza Combnada adrão Graus de lberdade efetvos 7.8 Fator de Abrangênca (k).37 Incerteza Expandda 0.4%

39 Rejeção de Dados: Algumas vezes uma certa medda de uma sére parece desvar sgnfcatvamente das outras meddas. Neste caso, o expermentalsta deve decdr se esta medção é o resultado de algum erro grossero cometdo e deve, portanto, ser descartada. Obvamente, caso seja possível, deve-se repetr os expermentos para confrmar o resultado duvdoso. Caso não seja possível repetr o expermento, sera nteressante ter-se um crtéro que auxlasse a decsão sobre a rejeção ou não de um determnado ponto expermental. O Crtéro de Chauvenet para a rejeção de pontos runs pode ser utlzado.

40 Rejeção de Dados: O crtéro de Chauvenet estabelece que uma determnada letura pode ser rejetada se a probabldade de obter um desvo partcular em relação à méda for menor que /(N), onde N é o número de medções realzadas. A probabldade de um determnado desvo x dada por: xx s ( x) e / s onde x ocorrer é é a méda e s o desvo padrão de uma amostra Defnndo o desvo de uma medda com suspeta de erro grossero como x susp - x, o máxmo desvo acetável para uma amostra de N pontos fca: d max e s / N s x

41 Rejeção de Dados: O crtéro de Chauvenet: d e s / N s max Caso d> d max, o ponto em questão pode ser rejetado. A tabela ao lado apresenta valores para a razão entre o máxmo desvo acetável e o desvo padrão, para dferentes valores de N, obtdos da expressão acma. N Dmax/s,5 3,38 4,54 5,65 6,73 7,80 0,96 5,3 5,33 50,57 00, , ,48

42 Rejeção de Dados: ara elmnar pontos runs segundo o crtéro de Chauvenet, procedemos da segunte forma: a) mede-se a varável um número N de vezes e estma-se a méda e o desvo padrão da amostra. x N N x s N N x x ; para N pequeno

43 Rejeção de Dados: b)calcula-se o desvo entre cada medda e a méda dvdndose o resultado pelo desvo padrão. d s x x s c) usando um número de leturas N, comparar o valor de d /s com d max /s. Se for maor, rejeta-se o ponto e recalcula-se a méda e o desvo. O crtéro somente deve ser aplcado uma únca vez à dstrbução!

44 Exemplo 6: Consdere os resultados na medção do comprmento de um corpo apresentados na tabela abaxo. erfque se algum ponto pode ser rejetado. a) Letura Comprmento (mm) N x x N s N x x N

45 Exemplo 6: Consdere os resultados na medção do comprmento de um corpo apresentados na tabela abaxo. erfque se algum ponto pode ser rejetado b) d s x s x Letura d=x-meda d/s

46 Exemplo 6: Consdere os resultados na medção do comprmento de um corpo apresentados na tabela abaxo. erfque se algum ponto pode ser rejetado c) verfca-se que o desvo da letura número 6 dvddo pelo desvo padrão é o únco que ultrapassa o valor de,96 estabelecdo como o máxmo desvo para uma amostra de 0 meddas, como pode ser verfcado na tabela do crtéro de Chauvenet. Assm, este ponto pode ser rejetado. Recalculando-se a méda e o desvo padrão obtém-s N N x x 49.4 s x 0. N 359 x N