INTRODUÇÃO... 4 CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO

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1 1 ÍNDICE INTRODUÇÃO... 4 CAPÍTULO INTRODUÇÃO... 6 Tpos de erros... 8 Erros aleatóros e sstemátcos em análses ttrmétrcas Manpulando erros sstemátcos... 1 CAPÍTULO ERROS EM ANÁLISES CLÁSSICAS Méda e desvo padrão Dstrbução de erros A dstrbução de médas amostradas... Lmtes de confança da méda... 3 Apresentação dos resultados... 7 Outros usos dos lmtes de confança... 8 Propagação de erros aleatóros... 9 Propagação de erros sstemátcos CAPÍTULO TESTES DE SIGNIFICÂNCIA Comparação entre uma méda expermental e um valor conhecdo Comparação das médas de duas amostras Teste t pareado TESTES MONO E BI-CAUDAIS TESTES F PARA A COMPARAÇÃO DE DESVIOS PADRÕES CAPÍTULO PONTOS FORA DA CURVA ( OUTLIERS ) ANÁLISE DE VARIÂNCIA... 5 Comparação de váras médas Varações dentro da amostra... 54

2 Varação entre amostras A artmétca dos cálculos da ANOVA CAPÍTULO TESTE CHI-QUADRADO... 6 Teste para dstrbução normal CONCLUSÕES SOBRE OS TESTES DE SIGNIFICÂNCIA CONTROLE DE QUALIDADE E AMOSTRAGEM Amostragem Separação e estmatva de varâncas usando ANOVA CAPÍTULO ANÁLISES COLABORATIVAS Introdução Gráfcos de duas amostras Preparando uma Análse Colaboratva Cálculos em Análses Colaboratvas Cartas de controle CAPÍTULO Erros em Análse Instrumental: Regressão e Correlação... 9 Coefcente de Correlação Produto-Momento A Lnha de Regressão de Y em X Erros na Tangente e no Intercepto da Curva de Regressão Cálculos de uma Concentração CAPÍTULO Lmtes de Detecção O Método das Adções Padrão Uso de Retas de Regressão Para Comparar Métodos Analítcos CAPÍTULO Retas de Regressão Ponderadas... 1 Regressão Curvlnear Introdução Ajuste de Curvas

3 3 CAPÍTULO MÉTODOS NÃO-PARAMÉTRICOS E MÉTODOS ROBUSTOS Introdução A medana - análse ncal dos dados O teste do snal O teste de séres Wald-Wolfowtz O teste de Wlcoxon das séres das ordens assnaladas Os métodos de Wlcoxon de ordem somada e outros relaconados Testes não-paramétrcos em mas de duas amostras Métodos não-paramétrcos de regressão Métodos robustos ANEXOS

4 4 INTRODUÇÃO A Químca, assm como a Físca, é uma cênca predomnantemente expermental. Todas as suas teoras, das mas complexas, como a Teora Quântca, às mas smples, como os modelos de gases, requerem, ncondconalmente, uma constatação expermental. Podemos postular a exstênca de uma partícula fundamental para defnr os elementos químcos, o átomo, porém, além de postular, precsamos medr o seu tamanho, sua massa, seus componentes, etc.. Podemos observar a ocorrênca de uma reação químca em um frasco de laboratóro, porém, para caracterzá-la convenentemente, necesstamos conhecer a velocdade da reação e, assm, medr o tempo em que certa quantdade de reagente se transforma em produto. Desta manera, não é possível escapar da necessdade de se trabalhar com números. É fundamental, para se trabalhar na área da Químca, ler escalas numércas em dferentes nstrumentos e assocar os números mostrados com outras quantdades. Este procedmento não é assm tão dreto como pode parecer. Ao ler os dígtos que nformam o peso de uma dada amostra em uma balança analítca, por exemplo, há que se saber nterpretar os números mostrados, de acordo com a sensbldade do nstrumento, os erros cometdos na letura e na apresentação dos números, etc.

5 5 Da mesma manera, ao se comparar os resultados obtdos com aqueles mostrados na lteratura, é necessáro um conhecmento extra, para não se correr o rsco de comparar bananas com maçãs. Aqu, a toda poderosa matemátca, de repente, se mostra lmtada. É claro que suas aplcações e operações contnuam sempre váldas e ndspensáves. Entretanto, vamos mostrar, no decorrer do curso, que nem sempre é menor que 3, como assumdo pelos matemátcos. Vamos mostrar quando podemos conclur que um número obtdo em um expermento pode ser consderado maor do que o valor obtdo em outro laboratóro ou por outras técncas expermentas.

6 6 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO A Químca Analítca moderna tem um caráter essencalmente quanttatvo. Uma resposta quanttatva, a qualquer análse executada é mas ndcada do que uma qualtatva. A pessoa que precsou da análse pode, com os resultados quanttatvos em mãos, julgar se a concentração do analto em uma determnada matrz (por exemplo, de pestcdas em uma amostra de almentos ou de água potável) é sufcentemente elevada para se tornar nocvo e exge alguma provdênca ou não. Em alguns casos, apenas uma resposta quanttatva tem algum valor. Por exemplo, em uma análse de colesterol em amostra de sangue. Vrtualmente todo o soro sanguíneo humano tem colesterol, a dúvda só podera ser quanto. É mportante consderar que, mesmo quando uma resposta qualtatva é solctada, métodos quanttatvos têm de ser usados para obtê-la. Na realdade, um químco analítco nunca pode dzer smplesmente que encontrou / não encontrou boro numa amostra de água. Ele deve empregar um método quanttatvo, capaz de detectar, por exemplo, 1,0 µg ml -1 de boro. Se o teste tver resultado negatvo, ele pode dzer apenas que esta amostra contém menos que 1,0 µg ml -1 de boro. Se o teste for postvo, ele relatará que encontrou pelo menos 1,0 µg ml -1 de boro. Procedmentos muto mas complexos podem ser necessáros. Por exemplo: para comparar as característcas de dferentes amostras de solo, ou de substratos de ros ou lagos, as amostras podem sofrer, ncalmente, uma seleção de partículas, por exemplo, por meo de separação em peneras com 10 tamanhos de malhas dferentes. Cada amostra deverá, então, ser caracterzada dentro dessas 10 dstrbuções. Procedmentos bastante complexos

7 7 de análses poderão então ser empregados para se obter uma conclusão quanttatva sobre as smlardades das amostras e se estmar a probabldade delas terem uma orgem comum. Assm, os estudos quanttatvos serão os determnantes nesse curso, e deve-se acetar que os erros que ocorrem nesses estudos são de extrema mportânca. Portanto, deveremos ter sempre em mente, um postulado da estatístca aplcada à químca: Nenhum resultado quanttatvo tem qualquer valor, a menos que ele seja acompanhado de alguma estmatva dos erros nerentes. Vejamos um exemplo: um químco sntetza um reagente que acredta que seja completamente novo. Ele o estuda com uma técnca de espectrometra e o composto dá um valor de 104 (undade arbtrára). Ao checar a lteratura, ele encontra que nenhum composto prevamente descoberto deu snal maor que 100, quando estudado pelo mesmo método, nas mesmas condções expermentas. A questão que surge naturalmente é: será que o químco ctado descobru mesmo um composto nteramente novo? A resposta a esta pergunta está condconada ao grau de confança que se pode depostar no valor encontrado, 104. Quas erros são assocados com ele? Se novos estudos mostrarem que esse valor é correto dentro da faxa de duas undades, sso é o valor verdadero provavelmente se encontra na faxa de 104 ±, então um novo composto fo, provavelmente, sntetzado. Entretanto, se as novas meddas mostrarem que o erro expermental é maor, talvez 10 undades, (104 ± 10), então o valor real provavelmente é menor que 100 e para se caracterzar um novo composto anda serão necessáras mutas análses adconas. Em outras palavras, pode-se dzer que um conhecmento dos erros expermentas é crucal para a nterpretação nequívoca dos resultados.

8 8 Tpos de erros Um analsta trabalhando em sua rotna dára, em um laboratóro de químca está, normalmente, sujeto a três tpos de erros. Esses erros podem ser classfcados como: grosseros, aleatóros e sstemátcos. Erros grosseros são faclmente reconhecdos. Eles são erros tão séros que não dexam alternatvas a não ser refazer todo o expermento. Exemplos ncluem a quebra do equpamento, contamnação de reagentes, erros na adção de alíquotas, etc. Nesse curso serão dscutdos apenas os erros aleatóros e sstemátcos. Para defnrmos esses tpos de erros, analsaremos o segunte exemplo: quatro estagáros (A-D) estão fazendo um teste para efetvação em um laboratóro de análses. Para sto, eles fzeram, cada um, uma análse na qual uma solução padrão contendo exatamente 10,00 ml de NaOH exatamente 0,1 mol L -1 é ttulado com HCl exatamente 0,1 mol L -1. Cada canddato executou cnco ttulações repetdas. Os resultados são mostrados na Tabela 1. Tabela 1. Erros sstemátcos e aleatóros. Canddato Resultado (ml) Canddato Resultado (ml) 10,08 10,19 10,11 9,79 A 10,09 C 9,69 10,10 10,05 10,1 9,78 9,88 10,04 10,14 D 9,98 B 10,0 10,0 9,8 9,97 10,1 10,04 Também são chamados de erros ndetermnados.

9 9 Os resultados obtdos pelo canddato A apresentam duas característcas mportantes. Prmero, eles são todos muto próxmos, todos estão entre 10,08 e 10,1 ml. Pode-se dzer que esses resultados são muto reprodutíves. A segunda característca é que todos eles são muto altos. Nesse expermento (de qualquer forma pouco usual), sabe-se a resposta certa com antecedênca, ou seja, 10,00 ml. É evdente que dos tpos dstntos de erros ocorreram com as ttulações desse estudante. Prmero, exstem erros aleatóros que fazem com que cada resultado ndvdual esteja ao redor do valor médo (10,10 ml). Os estatístcos dzem que erros aleatóros afetam a precsão ou a reprodutbldade de um expermento. No caso do canddato A é claro que os erros aleatóros são pequenos, assm se dz que os resultados são precsos. Também exstem erros sstemátcos, que fazem com que todos os valores determnados sejam acma do valor real. Erros sstemátcos também são conhecdos como bas, que afetam a exatdão, sso é, a proxmdade do valor real. Em mutos expermentos, os erros aleatóros e sstemátcos não são tão faclmente dstnguíves pelos resultados, eles podem ter orgens muto dferentes em termos de técncas expermentas e equpamentos. O canddato B obteve resultados bastante dstntos daqueles do A. A méda dos cnco valores (10,01 ml) é muto próxma do valor real, assm se pode caracterzar esse conjunto de dados como exato, ou seja, sem erros sstemátcos consderáves. A varação dos resultados, entretanto, é muto grande, ndcando uma pobre precsão e a presença de erros aleatóros substancas. Uma comparação de ambos conjuntos de dados mostra que erros aleatóros e sstemátcos ocorrem de manera ndependente, uns dos outros. Esta conclusão é reforçada pelos resultados obtdos pelos canddatos C e D. O trabalho do canddato C não é precso (ntervalo entre 9,69 e 10,19 ml) nem exato (méda de 9,90 ml). O canddato D encontrou ambos, exatdão (méda de 10,01 ml) e precsão (ntervalo de 9,97 e 10,04 ml). Essas dferenças estão sntetzadas na Fgura 1.

10 10 A Precso e nexato B Exato e sem precsão C Sem exatdão e precsão D 9,70 10,00 10,30 Exato e precso Fgura 1. Exatdão e precsão. Uma observação muto mportante é necessára. É precso notar que, no contexto desse curso, as palavras precsão e exatdão têm sgnfcados completamente dferentes na teora de erros. Por outro lado, elas são mutas vezes utlzadas ndscrmnadamente na vda cotdana. Além dsso, a convenção moderna exge uma dstnção cudadosa dos termos reprodutbldade e repetbldade. A repetbldade refere-se a expermentos fetos de manera consecutva, em condções de laboratóro dêntcas e na mesma vdrara. Já reprodutbldade refere-se a expermentos fetos em das dferentes, com outro conjunto de vdrara e com condções lgeramente dferentes. Não é surpresa que, no últmo caso, os resultados apresentem uma dspersão de valores maor. Erros aleatóros e sstemátcos em análses ttrmétrcas Uma análse ttrmétrca pode ser consderada como tendo os seguntes passos:. Elaboração de uma solução padrão de um dos reagentes. (pesar, transferr e dssolver);.. Transferr uma alíquota da solução padrão para o frasco de ttulação, com uma ppeta; Ttular o líqudo do frasco com uma outra solução, adconada à bureta.

11 11 Mesmo uma análse elementar desse tpo envolve de 7 a 10 passos separados, que devem ser repetdos váras vezes. Em prncípo, deve-se examnar cada passo separadamente, para determnar os erros sstemátcos e aleatóros envolvdos no processo. Isso sgnfca avalar corretamente os erros acetáves em procedmentos de pesagem e de calbração de vdrara volumétrca. Valores para a tolerânca de erros expermentas são publcados por organsmos como a Brtsh Standards Insttuton (BSI) e pela Amercan Socety for Testng and Materals (ASTM). A tolerânca de uma pesagem com o maor grau de precsão, de 100 g, pode ser tão baxa quanto ± 0,5 mg. Entretanto, para uma pesagem rotnera, ela pode ser até cerca de quatro vezes maor. Smlarmente, uma medda de alto grau de precsão para um volume de 50 ml pode ser de ± 0,1 ml. Se uma balança analítca ou uma vdrara volumétrca estver dentro dos lmtes de tolerânca, mas não no valor exato de pesagem ou medda de volume, um erro sstemátco surge na medda. Por exemplo, se um frasco volumétrco apresentar um volume de 49,95 ml, esse erro terá reflexo nos resultados de todos os expermentos que o utlzar. A repetção do expermento não revelará o erro, em cada repetção o volume será assumdo como 50 ml quando, de fato, será menor que sso. Se os resultados desse expermento forem comparados com aqueles obtdos em outros laboratóros, fetos com outros frascos, então os respectvos erros sstemátcos serão evdentes. Procedmentos de pesagem são, normalmente, assocados com erros aleatóros muto pequenos. A utlzação de uma balança analítca de quatro casas, comum em laboratóros de análses, mplca em um erro menor que ± 0,0001-0,000 g, ou seja, de apenas 0,0%. Erros sstemátcos em pesagens são numerosos e se orgnam de váras fontes bem conhecdas. Entre elas, a adsorção de umdade pela amostra, falha em permtr que recpentes com amostra em altas temperaturas se resfrem completamente, assm como a nfluênca do empuxo da atmosfera, na pesagem. Esse últmo efeto pode ser muto sgnfcatvo. Por exemplo, Skoog e West mostraram que uma amostra de um líqudo

12 1 orgânco, com densdade de 0,9 g ml -1, que pesa 1,100 g no ar, devera pesar 1,114 g no vácuo, um erro maor que 0,1%. Para sanar, em parte, esse tpo de erro sstemátco, costuma-se efetuar o procedmento de pesagem pela dferença entre duas massas (do recpente com amostra menos a do recpente vazo), de tal forma que a subtração mnmze os erros sstemátcos nerentes. Com essas precauções sendo segudas, os erros de pesagem durante o procedmento de ttulação serão, provavelmente, desprezíves em relação àqueles causados pela vdrara volumétrca. Assm, métodos gravmétrcos são normalmente utlzados para a calbração da vdrara volumétrca, pesando a água que esta vdrara contém. Fnalmente, uma outra fonte mportante de erro em análses volumétrcas é aquela assocada ao ndcador. Erros do ndcador são bastante consderáves talvez maores do que os erros aleatóros numa análse ttrmétrca típca. Por exemplo, na ttulação de HCl 0,1 mol L -1 com NaOH 0,1 mol L -1 se espera que o ponto fnal seja ndcado num ph de 7,0. Na prátca, entretanto, pode-se, erroneamente, estmar o ponto de vrada, usando-se um ndcador como o alaranjado de metla, que muda de coloração na faxa de ph entre três e quatro. Assm, ao se adconar base ao ácdo, um ponto de vrada aparente é encontrado antes do ponto real. Se, por outro lado, a ttulação acma for feta adconando-se ácdo na base, o ponto de vrada será ndcado após o seu valor real. Em quasquer procedmentos analítcos, clásscos ou nstrumentas, é possível consderar e estmar as fontes de erros aleatóros e sstemátcos, relaconadas com cada etapa do expermento. Em mutas análses, o erro total na prátca é relaconado com o erro em uma etapa únca: esse ponto será mas bem dscutdo no decorrer do curso. Manpulando erros sstemátcos Uma grande parte do curso será dedcada aos erros aleatóros, que podem ser estudados com uma grande varedade de métodos estatístcos. Na maora dos casos deverse-á assumr, por convenênca, que os erros sstemátcos estão ausentes (nclusve métodos de testes de ocorrênca de erros sstemátcos serão dscutdos). Assm, antes de os dexarmos de lado, é necessáro dscutr um pouco sobre os erros sstemátcos.

13 13 No exemplo da ttulação, dscutdo anterormente, mostrou-se que erros sstemátcos podem fazer que o valor médo se afaste do valor real. Deve-se consderar que, ao contráro dos erros aleatóros, os erros sstemátcos não podem ser revelados meramente pela repetção dos expermentos. Além dsso, a menos que o resultado real da análse possa ser conhecdo com antecedênca (o que é muto raro), erros sstemátcos relatvamente muto grandes podem ocorrer, mas serem completamente não detectados. Uma classe de erro sstemátco muto comum ocorre quando falsas suposções são acetas sobre a exatdão dos nstrumentos analítcos. Por exemplo, analstas experentes estão cansados de saber que os monocromadores dos espectrômetros fogem gradualmente do ajuste e, assm, que erros de város nanômetros nos comprmentos de onda não são raros. Entretanto, mutas análses fotométrcas são fetas sem que os aparelhos sejam checados quanto à sua exatdão. Mutos equpamentos smples como vdraras volumétrcas, cronômetros, phmetros e termômetros podem apresentar erros sstemátcos consderáves, mas mutos analstas usam regularmente esses nstrumentos sem atentar se os mesmos se encontram perfetamente exatos. Os erros sstemátcos não surgem apenas dos equpamentos, mas podem ser de responsabldade humana. Alguns expermentalstas podem sofrer de astgmatsmo ou de daltonsmo, o que pode ntroduzr erros nas leturas dos nstrumentos de meddas. Mutos autores relatam uma sére de outras bas em relação a números, por exemplo, uma tendênca a favorecer um número par sobre um ímpar, ou os dígtos zero e cnco, no relatóro dos resultados. Assm, sso aparenta que erros sstemátcos são um rsco constante, e mutas vezes ocultos, para os analstas, de forma que se deve tomar cudado para mnmzá-los. Mutas maneras dferentes para soluconar esse problema estão dsponíves e váras ou todas elas devem ser consderadas em cada procedmento analítco. Uma lnha de defesa mportante contra erros sstemátcos é o planejamento cudadoso de cada passo do expermento. Já fo vsto que pesar por dferenças mnmza erros gravmétrcos sstemátcos. Outro exemplo de planejamento expermental raconal é o das meddas de comprmento de onda pelo espectrômetro.

14 14 Se a concentração de uma substânca smples deve ser determnada por espectrometra de absorção, dos procedmentos são possíves. No prmero, a amostra é analsada numa célula de 1,0 cm de camnho ótco, num comprmento de onda defndo, como 400 nm, e a concentração do analto é determnada pela equação de Lambert-Beer: A εcl (1) Onde A é a absorção, o coefcente de absortvdade molar, c a concentração do analto em solução e l o camnho ótco do fexe de luz. Alguns erros sstemátcos podem se orgnar nesse procedmento. O comprmento de onda pode estar deslocado, devdo à falta de exatdão do monocromador, para 405 nm, por exemplo, e assm o valor de ε utlzado é nadequado; o valor de ε pode ser aproxmado; a escala de absorbânca do espectrômetro pode estar deslocada; o camnho ótco da célula pode não ser exatamente 1,0 cm. Alternatvamente, o analsta pode tomar uma sére de soluções da substânca teste, de concentrações conhecdas, e medr a absorbânca de cada uma em 400 nm (uma dessas soluções de calbração deve ser um branco). Os resultados devem então ser utlzados para construr uma curva de calbração, para ser utlzada na medda da solução teste, exatamente nas mesmas condções expermentas. Esse procedmento muto mportante, para a análse nstrumental, será detalhado durante o curso. Quando esse segundo procedmento é utlzado, não se necessta do valor de ε, e os erros devdos aos desvos no comprmento de onda, erros de absorbânca e de camnho ótco podem ser cancelados. A proteção mas efcente contra erros sstemátcos consste no emprego de materas e metodologa padrões de referênca para a calbração préva do equpamento a ser utlzado. Antes de o expermento começar, cada parte do aparato expermental é calbrado com um procedmento aproprado.

15 15 Apesar de se ter dferencado cudadosamente os erros sstemátcos dos erros aleatóros, é aparente que, nas meddas analítcas cotdanas, esta dferencação pode ser, de certa manera, nebulosa. Sempre que um procedmento ou nstrumento é checado para a presença de erros sstemátcos, os própros procedmentos de checagem podem ser sujetos a erros aleatóros e, assm, os erros sstemátcos podem não ser perfetamente dentfcados e / ou corrgdos. Essa combnação de erros tornou-se conhecda na lteratura moderna como as ncertezas dos resultados analítcos. Tem-se um complcado conceto para tratar; apesar de erros aleatóros terem uma dstrbução conhecda e de se combnarem numa manera prevsível num expermento de múltplos passos, o mesmo não é váldo para os erros sstemátcos. Assm, dar uma estmatva quanttatva para a ncerteza total de um resultado está longe de ser uma tarefa smples. Apesar desse problema, a mportânca do conceto de ncerteza é clara, e justfca o esforço que será desenvolvdo durante o curso.

16 16 CAPÍTULO ERROS EM ANÁLISES CLÁSSICAS Méda e desvo padrão No capítulo anteror dscutram-se os város tpos de erros, que foram lustrados pela análse dos resultados obtdos em cnco expermentos de ttulação, fetos por quatro estagáros (Tabela 1). Dos crtéros foram utlzados, para se fazer uma análse comparatva desses resultados, o valor médo e o grau de dspersão. O valor médo utlzado era a méda artmétca, x, que é normalmente abrevado para méda, a soma de todos os valores obtdos dvdda pelo número de meddas. X n X j j () A defnção mas útl para a dspersão dos dados expermentas é o desvo padrão, s. Ele é defndo pela equação: s X X n 1 j (3) Para os estagáros A, B, C e D (Tabela 1) o cálculo do desvo padrão de suas respectvas meddas fornece um suporte quanttatvo para o que fo dscutdo no capítulo anteror. Os desvos padrões obtdos pelos alunos estão na Tabela. Mutas calculadoras ou computadores podem calcular dos valores dferentes para o desvo padrão, um calculado com a equação acma e outro usando n, no lugar de (n - 1) no denomnador desta equação. A razão para essas duas formas dferentes será dscutda a

17 17 segur. Obvamente, para grandes valores de n, a dferença é desprezível. O cudado a se tem que tomar é que, mutas vezes, as calculadoras arredondam os números de tal forma que valores ncorretos (até zero) podem ser encontrados. O quadrado de s é uma grandeza estatístca muto mportante, chamada varânca. Sua mportânca será mas bem compreendda quando se dscutr a propagação de erros. Também freqüentemente utlzado é o conceto de coefcente de varação (CV), também conhecdo como desvo padrão relatvo (RSD), que é dado por: RSD 100s X (4) O RSD, cuja undade é, obvamente, porcentagem, é um exemplo de erro relatvo, sso é, um erro estmado dvddo por uma estmatva do valor absoluto da quantdade medda. Erros relatvos são freqüentemente usados na comparação da precsão de resultados que têm dferentes undades ou magntudes, e são também mportantes no estudo da propagação de erros. Tabela. Valores de desvo padrão obtdos pelos estagáros A, B, C e D (do exemplo). Estudante Valor de s obtdo A 0,016 B 0,17 C 0,1 D 0,033 Dstrbução de erros O desvo padrão é uma medda da dspersão de um conjunto de resultados em torno de um valor médo, entretanto, ele não ndca a manera como os valores estão dstrbuídos. Para lustrar esta dstrbução, necessta-se de um número bem maor de meddas, como aquele mostrado na Tabela 3. Esses resultados são referentes a 50 repetções de determnações voltamétrcas de dopamna em uma amostra partcular, dados com dos algarsmos sgnfcatvos. Os valores podem ser agrupados, como mostrado na Tabela 4.

18 18 Tabela 3. Resultados de 50 determnações da concentração dopamna (μg L -1 ) 0,51 0,51 0,51 0,50 0,51 0,49 0,5 0,53 0,50 0,47 0,51 0,5 0,53 0,48 0,49 0,50 0,5 0,49 0,49 0,50 0,49 0,48 0,46 0,49 0,49 0,48 0,49 0,49 0,51 0,47 0,51 0,51 0,51 0,48 0,50 0,47 0,50 0,51 0,49 0,48 0,51 0,50 0,50 0,49 0,5 0,5 0,50 0,50 0,51 0,51 Tabela 4. Freqüênca das meddas da concentração de dopamna Concentração dopamna (μg L -1 ) Freqüênca 0,46 1 0,47 3 0,48 5 0, , , ,5 5 0,53 3 A Tabela 4 mostra que, na Tabela 3, o valor 0,46 µg L -1 aparece apenas uma vez, o valor 0,47 µg L -1 aparece três vezes e assm adante. O valor mas comum nestas determnações é o 0,51 µg L -1. Com estes resultados, pode-se calcular o valor médo deste conjunto como sendo 0,500 µg L -1 e o desvo padrão como 0,0165 µg L -1. A esses valores foram atrbuídos, de manera arbtrára, três algarsmos sgnfcatvos. Uma dscussão sobre esse mportante aspecto da apresentação dos resultados será feta posterormente. A dstrbução desses resultados pode ser mas bem percebda, colocando-os em um hstograma, como mostrado na Fgura.

19 freqüênca ,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,5 0,53 valores meddos Fgura. Hstograma das meddas de concentração da dopamna. É evdente que a dstrbução dos valores meddos é, a grosso modo, smétrca em relação à méda, com os valores se agrupando na regão central. Esse conjunto de 50 meddas é uma amostra de um número muto grande (teorcamente nfnto) de meddas da dopamna que podem ser fetas. O conjunto de meddas possíves é chamado de população. Se não houver erros sstemátcos, a méda desta população, chamada de μ, é o valor real da concentração de dopamna, na matrz de onde a amostra fo retrada. A méda, x, da amostra, dá uma estmatva de μ. Da mesma manera, a população tem um desvo padrão, denotado por σ. O valor do desvo padrão da amostra, s, dá uma estmatva de σ. O uso da equação: s X X n 1 j (5)

20 0 Fornece uma estmatva, sem erros sstemátcos, de σ. Se n for usado no denomnador, no lugar de (n - 1), o valor de s encontrado tende a superestmar o valor de σ. As meddas de concentração de dopamna dadas na Tabela 4 tem apenas certos valores dscretos, devdo às lmtações no método de análse. Na teora, a concentração pode assumr qualquer valor, assm para descrever a forma da população da qual a amostra fo tomada, uma curva contínua é necessára. O modelo matemátco usualmente utlzado é a dstrbução normal ou gaussana, que é descrto pela equação: E sua forma é mostrada na Fgura 3. x exp y (6) y x Fgura 3. A dstrbução normal. A méda é ndcada por μ. A curva é smétrca em relação ao valor de µ, e quanto maor o valor de s, maor a largura da curva (maor dspersão dos pontos), como mostrado na Fgura 4.

21 1 y s = 1 > s = x Fgura 4. Dstrbuções normas com o mesmo valor de méda (μ), mas com valores dferentes de desvo padrão (σ). Uma análse mas detalhada mostra que, sejam quas forem os valores de µ e de s, aproxmadamente 68% da população stua-se entre ± 1 s da méda, aproxmadamente 95% está entre ± s e que aproxmadamente 99,7% stua-se entre ± 3 s da méda. Isso sgnfca que, se as concentrações de dopamna dadas na Tabela 4 forem segur uma dstrbução normal, 33 dos 50 resultados (66%) estarão entre 0,483 e 0,517, 49 (98%) estarão entre 0,467 e 0,533 e todos os resultados estarão entre 0,450 e 0,550, mostrando uma excelente concordânca com o modelo teórco. A dstrbução normal não é aplcada apenas a repetções de meddas da mesma espéce. Ela também é freqüentemente utlzada para resultados obtdos quando a mesma espéce é medda em materas dferentes, de fontes smlares. Por exemplo, ao se medr a concentração de albumna no soro sanguíneo de humanos adultos e saudáves; será encontrado que os resultados seguem, aproxmadamente, uma dstrbução normal. Entretanto, nesse segundo tpo de população,.e., em uma únca medda de cada um de uma

22 espéce, outras dstrbuções são comuns. Em partcular, a assm chamada dstrbução normal logarítmca. Nessa dstrbução, os logartmos das concentrações (ou de outras característcas), quando grafcados em função da freqüênca dá uma curva de dstrbução normal. Neste capítulo, fo ntroduzda a palavra amostra, usada no sentdo estatístco de um grupo de objetos seleconados a partr de uma população de todos os objetos. Por exemplo: uma amostra de 50 meddas de concentração de dopamna da população (nfnta) de todas as meddas possíves, ou a amostra de humanos adultos saudáves escolhdos de toda a população para ter a concentração de albumna avalada no soro do sangue. A dstrbução de médas amostradas Já fo vsto que a méda de valores de uma amostra de meddas ( x ) fornece uma estmatva do valor real, μ, da quantdade que se está tentando medr. Entretanto, como as meddas ndvduas estão dstrbuídas em torno do valor real com certa dspersão, que depende da precsão, é pouco provável que a méda da amostra seja, exatamente, gual ao valor real. Por esta razão, é mas útl estabelecer um ntervalo de valores no qual nós estamos quase certos de que se encontra o valor real. A ampltude desse ntervalo depende de dos fatores: O prmero é a precsão das meddas ndvduas, que, por sua vez, depende da varânca da população. O segundo é o número de meddas na amostra. O smples fato de que se repetram as meddas mplca em que se tem mas confança na méda de város valores do que nos valores ndvduas. Mutas pessoas pensam que, quanto mas valores se têm, mas confável é a estmatva de μ. Para explorar esses concetos, é necessáro voltar nas meddas de concentração de dopamna. Na prátca, é muto pouco usual fazer 50 meddas repetdas. Um número de meddas mas comum é cnco e será mostrado como as médas de amostras desse tamanho estão espalhadas em torno de µ, tratando os resultados da Tabela 3 como dez amostras, cada uma contendo cnco resultados.

23 3 Tomando cada coluna como uma amostra, os valores das médas serão: 0,506; 0,504; 0,50; 0,496; 0,50; 0,49; 0,506; 0,504; 0,500 e 0,486. É óbvo que esses valores de méda estão menos dspersos que os valores orgnas. Como as meddas orgnas são uma amostra de uma população nfnta de meddas possíves esses valores de médas são uma amostra das médas possíves de amostras de cnco meddas tradas de toda a população. A dstrbução desses valores de méda é chamada de dstrbução de médas amostradas. O desvo padrão dessa amostra de médas é chamado de erro padrão da méda (s.e.m. standard error of the mean). Há uma relação matemátca exata entre o desvo padrão, σ, da dstrbução das meddas ndvduas, e o s.e.m: s.e.m. σ n (7) Como era ntutvamente esperado, quanto maor o n, menor a dspersão das médas amostradas em relação ao μ. Esse termo unversalmente utlzado, erro padrão da méda, pode dar orgem a uma falsa nterpretação, ao se pensar que possa estar relaconado N com a dferença entre 0 e µ. Isso não é assm, dá uma medda da ncerteza envolvda N ao se estmar µ a partr de x, como será vsto adante. Uma outra propredade da dstrbução das médas amostradas é que, mesmo se a população orgnal não for normal, a dstrbução das médas amostradas tende a ser uma dstrbução normal quando n aumenta. Esse resultado é conhecdo como o teorema do lmte central, de elevada mportânca porque mutos testes estatístcos são fetos na méda e assumem uma dstrbução normal. Lmtes de confança da méda Agora que se conhece a forma da dstrbução das médas amostradas, pode-se retornar ao problema de se usar uma amostra para defnr um ntervalo dentro do qual se pode razoavelmente assumr que contenha o valor real (é bom que ao se fazer sso, assumese a ausênca de qualquer erro sstemátco). Tal ntervalo é conhecdo como ntervalo de

24 4 confança e os valores extremos desse lmte são conhecdos como lmtes de confança. O termo confança mplca que se pode assegurar com um certo grau de confança,.e. com certa probabldade, que o ntervalo de confança nclu o valor real. O tamanho do ntervalo de confança depende, obvamente, em quão certo que se quer que ele nclua o valor real. Quanto maor a certeza, maor o ntervalo requerdo. A Fgura 5 mostra uma dstrbução de médas amostradas para amostra de tamanho n. y 95% 1, 96 N x 1, 96 N Fgura 5. A dstrbução amostral da méda, mostrando a varação dentro de 95%. Assumndo, de agora em dante, esta dstrbução normal, então 95% da amostragem de médas estará no ntervalo dado por: 1,96 x 1, 96 n n (8) (O valor exato 1,96 é usado nessa equação no lugar do valor dos, freqüentemente utlzado). Na prátca, entretanto, usualmente se tem uma amostra de méda conhecda, e se quer um ntervalo para µ, o valor real. Assm, a equação acma pode ser rearranjada para: x 1,96 x 1,96 n n (9) Essas equações dão um lmte de confança de 95%. Smlarmente, se for requerdo um lmte de 99,7%, tem-se:

25 x 5,97 x,97 n n (10) Anda, um ntervalo comumente usado é o de 99%, que é dado por: x,58 x,58 (11) n n A equação ncal pode ser usada para calcular a concentração dos íons ntrato com um lmte de confança de 95%. Tem-se 0 = 0,500 e n = 50. A únca grandeza na equação, que não se conhece é s. Para amostras grandes, como esta, s dá uma estmatva sufcentemente precsa de s e pode substtuí-lo. Assm, para um ntervalo de confança de 95% para a concentração de íons ntrato é: 0,0165 0,0165 0,500 1,96 0,500 1, (1) Resultando num lmte de confança de μ = 0,500 ± 0,0046 μg ml -1. Quando o tamanho da amostra se torna menor, a ncerteza ntroduzda ao se usar s para estmar σ aumenta. Para consderar esse fato, a equação usada para calcular os lmtes de confança é modfcada para: x t s n (13) O valor aproprado de t depende tanto de (n - 1), que é conhecdo como número de graus de lberdade (usualmente abrevado por υ) e do grau de confança requerda. O termo graus de lberdade refere-se ao número de desvos ndependentes (x - 0) que é usado para calcular s. Nesse caso, o número é (n - 1) porque quando (n - 1) desvos são conhecdos, o últmo pode ser deduzdo usando a expressão óbva:

26 6 ( x x) 0 (14) Os valores de t são dados na Tabela 5. Tabela 5. Valores de t para ntervalos de confança 95 e 99%. Graus de lberdade Valores de t no ntervalo de confança 95% 99% 1 1,71 63,66 4,30 9,9 3 3,18 5,84 4,78 4,60 5,57 4,03 10,3 3,17 0,09,85 30,04,75 50,01, ,98,63 Pode ser vsto que para tamanhos de amostras maores que 50, os valores de t são muto próxmos aos valores 1,96 e,58, usados nas equações acma. Isso confrma a proposção usada para calcular os lmtes de confança para a concentração de ntrato. O uso dos dados dessa tabela pode ser lustrado por meo de um exemplo: o conteúdo de íons sódo de uma espéce de urna fo determnada usando um eletrodo íon-seletvo. Os seguntes valores foram obtdos: 10, 97, 99, 98, 101 e 106 mmol L -1. Quas são os lmtes de confança para 95% e 99% de confança da concentração dos íons sódo? A méda e o desvo padrão desses valores são 100,5 mmol L -1 e 3,7 mmol L -1, respectvamente. Há ses meddas e, portanto, cnco graus de lberdade. A partr da Tabela 5, o valor de t para calcular o lmte de confança a 95% é,57 e a partr da equação: x t s n (15) O lmte de confança para 95% é μ = 100,5 ± 3,4 mmol L -1. Smlarmente, para 99% de confança: μ = 100,5 ± 5,4 mmol L -1.

27 7 Apresentação dos resultados Como já fo comentado, nenhum resultado quanttatvo expermental é de qualquer valor, a menos que seja acompanhado por uma estmatva dos erros envolvdos na sua medda. Uma prátca comum na lteratura da químca analítca é cotar a méda como a estmatva da quantdade medda e o desvo padrão como uma estmatva da precsão. Menos freqüentemente, o erro padrão da méda é, às vezes, cotado, no lugar do desvo padrão, ou o resultado é dado na forma de lmtes de confança da méda de 95%. Um aspecto relaconado da apresentação de resultados é o arredondamento do resultado. O prncípo mportante aqu é que o número de algarsmos sgnfcatvos dá ndcação da precsão do expermento. É um absurdo, por exemplo, dar o resultado de uma análse ttrmétrca como sendo 0, mol L -1. Nenhum analsta pode encontrar a precsão mplícta de 0,00001 em aproxmadamente 0,1, sso é 0,001%. Na prátca, é usual contar como algarsmos sgnfcatvos todos os dígtos que são precsos, mas o prmero ncerto. Por exemplo, a méda dos valores 10,09; 10,11; 10,09 e 10,1; que é 10,10 e o desvo padrão é 0, Claramente é uma ncerteza na segunda casa decmal; os resultados são todos 10,1 mas uma casa decmal, mas são dscordantes na segunda casa. Usando o método sugerdo, o resultado deve ser cotado como: x 10,10 0,01( n 5) (16) Se for observado um arredondamento nacetável do desvo padrão, então o resultado pode ser dado como: x s 10,10 0,013 ( n 5) (17) Onde o uso do subscrto ndca que o dgto dado é apenas para evtar a perda da nformação. O letor deve decdr se ele é útl ou não. Da mesma manera, quando os lmtes de confança são calculados, não há razão para dar o valor de t s com mas de duas N

28 8 casas sgnfcatvas. O valor de x deve ser dado com o número correspondente de casas decmas. O número de algarsmos sgnfcatvos cotados é, algumas vezes, utlzado no lugar de uma estmatva específca da precsão de um resultado. Por exemplo, 0,1046 mol L -1 é usado para sgnfcar que os algarsmos nas três prmeras casas decmas são seguros, mas há dúvdas sobre o quarto. Entretanto, como a ncerteza na últma casa pode ser qualquer cosa entre 0,00005 e 0,0005, esse método dá uma estmatva pobre da precsão e não pode ser recomendado. Algumas vezes a ncerteza na últma casa é enfatzada pela utlzação das formas 0,104 6 ou 0,1046 mol L -1, mas contnua preferível dar uma estmatva específca da precsão, como o desvo padrão. Outro problema a ser consderado é se o número cnco deve ser arredondado para cma ou para baxo. Por exemplo, se 9,65 deve ser arredondado para uma casa decmal, ele se torna 9,7 ou 9,6? É evdente que os resultados serão supervalorzados se o cnco for sempre arredondado para cma. Essa supervalorzação pode ser evtada arredondando o cnco para o número par mas próxmo, dando, nesse caso 9,6. De manera análoga, 4,75 deve ser arredondado para 4,8. Outros usos dos lmtes de confança Os lmtes de confança podem ser utlzados como um teste para erros sstemátcos, como mostrados no exemplo segunte: A escala de absorbânca de um espectrômetro é testada num comprmento de onda partcular com uma solução padrão que tem uma absorbânca dada como 0,470. Dez meddas de absorbânca com o espectrômetro resultaram em méda = 0,461 e s = 0,003. Encontra-se o ntervalo de confança a 95% para a absorbânca méda e decde-se se um erro sstemátco está presente. Os lmtes de confança a 95% para as meddas de absorbânca são dados por:

29 9 x t s n (18) Cujo valor fnal é 0,461 ± 0,00. (O valor de t fo obtdo da Tabela 6, mas completa que aquela dscutda anterormente). Tabela 6. A dstrbução t. Valor de confança de t para: 90% 95% 98% 99% Valores de P: 0,10 0,05 0,0 0,01 1 6,31 1,71 31,8 63,66,9 4,30 6,96 9,9 3,35 3,18 4,54 5,84 4,13,78 3,75 4,60 5,0,57 3,36 4,03 6 1,94,45 3,14 3,71 7 1,89,36 3,00 3,50 8 1,86,31,90 3,36 9 1,83,6,8 3,5 10 1,81,3,76 3,17 1 1,78,18,68 3, ,76,14,6, ,75,1,58,9 18 1,73,10,55,88 0 1,7,09,53, ,70,04,46, ,68,01,40,68 Infnto 1,64 1,96,33,58 Como esse ntervalo de confança não nclu a absorbânca conhecda de 0,470, deve haver um erro sstemátco envolvdo. Propagação de erros aleatóros No trabalho expermental, a quantdade a ser determnada é, freqüentemente, calculada a partr de uma combnação de quantdades observadas. Já fo vsto, por exemplo, que mesmo uma operação relatvamente smples, como a análse ttrmétrca, envolve mutos passos, cada um sujeto aos seus própros erros. O cálculo fnal pode envolver uma

30 30 operação de soma, dferença, produto ou quocente de duas ou mas quantdades ou a elevação de uma quantdade medda a qualquer potênca. É muto mportante observar que os procedmentos para combnar erros aleatóros e sstemátcos são completamente dferentes. Isso ocorre, porque erros aleatóros, num certo grau, cancelam-se uns aos outros, enquanto que erros sstemátcos acumulam-se. Supõe-se, por exemplo, que o resultado fnal de um expermento, x, é dado por x = a + b. Se a e b tverem, cada um, um erro sstemátco de + 1, é claro que o erro sstemátco em x será +. Se, entretanto, a e b tverem um erro randômco de ± 1, o erro randômco em x não será ±. Isso porque, em alguns casos, o erro em a será negatvo enquanto que o erro em b será postvo e vce-versa. Combnações lneares Nesse caso, o valor fnal, y, é calculado a partr de uma combnação lnear das quantdades meddas a, b, c, etc. por: y k k a k b k c... a b c (19) Onde k são constantes. A varânca (defnda como o quadrado do desvo padrão) apresenta uma mportante propredade, ou seja, a varânca de uma soma ou dferença de quantdades ndependentes é gual à soma de suas varâncas. Pode-se mostrar que, se σ a, σ b, σ c, etc. são os desvos padrões de a, b, c, etc., o desvo padrão de y, σ y, é dado por: ( k ) ( k ) ( k )... (0) y a a b b a a Exemplo: numa ttulação a letura ncal da bureta é 3,51 ml e a letura fnal é 15,67 ml, ambos com um desvo padrão de 0,0 ml. Qual é o volume do ttulante e qual é o seu desvo padrão? Volume utlzado = 15,67-3,51 = 1,16 ml. O desvo padrão gual a 0,08 ml.

31 31 Esse exemplo lustra o ponto muto mportante de que o desvo padrão para o resultado fnal é maor do que aqueles para as leturas ndvduas da bureta, mesmo quando o volume é calculado por uma dferença, mas é menor que a soma dos desvos padrões. Expressões multplcatvas Se y é calculado de uma expressão do tpo: kab y (1) cd Onde a, b, c e d são quantdades meddas ndependentes e k uma constante, então há uma relação entre os quadrados dos desvos padrões relatvo: y y a a b b c c... () equação: Exemplo: o rendmento quântco de fluorescênca, Φ, é calculado a partr da k c l I f (3) I 0 Onde as grandezas envolvdas são defndas abaxo, juntamente com uma estmatva dos seus desvos padrões relatvos (sendo k uma constante do aparelho): Intensdade de luz ncdente (I 0 ) = 0,5%; Intensdade de fluorescênca (I f ) = %; Absortvdade molar (ε) = 1%; Concentração (c) = 0,%;

32 3 Camnho óptco (l) = 0,%. O desvo padrão de Φ é dado por: RSD (0,5) () (1) (0,) RSD 0, ,04 0,04 5,33,3% (0,) Pode-se observar que o desvo padrão relatvo no resultado fnal não é muto maor que o maor dos desvos padrões utlzados no cálculo (sso é, % para I f ). Isso é uma conseqüênca maor da elevação ao quadrado dos desvos padrões relatvo e lustra um ponto mportante: qualquer esforço para melhorar a precsão do expermento deve ser dreconado para a melhora da precsão dos valores menos precsos. Como um coroláro para sso, não há qualquer vantagem em tentar aumentar a precsão dos valores mas precsos. Isso não deve ser encarado como se erros pequenos não sejam mportantes. Pequenos erros em mutos passos da análse, como a análse ttrmétrca dscutda anterormente, produzrão um erro aprecável no resultado fnal. É mportante ressaltar que, quando uma quantdade é elevada a uma potênca, por exemplo, b 3, então o erro não é calculado como uma multplcação, sso é, bbb, porque as quantdades não são ndependentes. Se a equação for: n y b (4) Então, o desvo padrão de y e b são relaconados por: Outras funções Se y for uma função geral de x: y n b y b (5) y f (x) (6)

33 Então o desvo padrão de x e de y são relaconados por: 33 dy y x (7) dx Exemplo: a absorbânca A, de uma solução é dada por: A logt (8) Onde T é a transmtânca. Se o valor meddo de T é 0,501, com um desvo padrão de 0,001, calcule o seu desvo padrão. Tem-se: A log 0,501 0,300 E também: da (log e) 0, 434 dt T T Assm, da equação (7) acma: A T log e T,0434 0,001 0,501 0, Propagação de erros sstemátcos três grupos. As normas para combnação de erros sstemátcos também podem ser dvddas em

34 34 Combnações lneares Se y é calculado para as quantdades meddas com o uso da equação: y k k a k b k c... a b c (9) E os erros sstemátcos em a, b, e, etc., são Δa, Δb e Δc, etc., então o erro sstemátco em y, Δy, é calculado a partr de: y k k a k b k c... a b c (30) É mportante lembrar que os erros sstemátcos podem ser tanto postvos quanto negatvos e que esses snas devem ser ncluídos no cálculo de Δy. Expressões multplcatvas Se y é calculado, a partr de quantdades meddas, com a equação: Então o erro sstemátco relatvo é: kab y (31) cd y y a a b b c c d d (3) Quando uma quantdade é elevada a alguma potênca, então a equação: y n y b (33) b

35 sstemátcos. 35 É usada sem o módulo e com os desvos padrões substtuídos pelos erros

36 36 CAPÍTULO 3 TESTES DE SIGNIFICÂNCIA Umas das propredades mas mportantes de um método analítco é que ele deve ser sento de erros sstemátcos, sso é, o valor calculado pelo método deve ser o valor real. Entretanto, erros aleatóros fazem com que o valor meddo raramente seja exatamente gual ao valor real. Para decdr se a dferença entre o valor meddo e o valor padrão pode ser atrbuída a esses erros aleatóros, um teste estatístco, conhecdo como teste de sgnfcânca, pode ser empregado. Comparação entre uma méda expermental e um valor conhecdo Ao se fazer um teste de sgnfcânca, está se testando a valdade de uma hpótese conhecda como hpótese nula. Por exemplo: anterormente adotou-se uma hpótese nula de que um método analítco não deve conter erros sstemátcos. O termo nulo é utlzado para sgnfcar que não há qualquer outra dferença entre o valor observado e conhecdo, a não ser aquela atrbuída a erros aleatóros. Assumndo a valdade dessa hpótese, uma teora estatístca pode ser usada para calcular a probabldade de que a dferença observada entre a méda da amostra, x, e o valor verdadero, µ, seja orgnada apenas de erros aleatóros. Usualmente, a hpótese nula é rejetada se a probabldade de tal dferença for menor que uma em 0 (ou seja, 0,05 ou 5%). Nesse caso, a dferença é dta sgnfcante no nível de 0,05 (ou 5%). Usando esse nível de sgnfcânca, há uma probabldade de uma em 0 de que tenhamos que rejetar uma em 0 a hpótese nula, quando de fato ela é verdadera. Para se ter maor certeza de se fazer a escolha correta, um nível mas elevado de sgnfcânca deve ser usado, usualmente 0,01 ou 0,001 (1% ou 0,1%).

37 37 O nível de sgnfcânca é ndcado por P (sso é, probabldade) = 0,05 e 0,05, e dá a probabldade de se rejetar uma hpótese nula verdadera. Deve-se ressaltar que, se a hpótese nula é mantda, não fo provado que ela seja verdadera, apenas não se demonstrou que ela seja falsa. Adante será dscutda a probabldade de se manter uma hpótese nula falsa. Para se decdr quando a dferença entre µ e x é sgnfcante, a equação: x t s n (34) É reescrta como: t ( x ) n s (35) E um valor de t é calculado. Se t exceder um certo valor crítco, então a hpótese nula deverá ser rejetada. O valor crítco de t para um nível de sgnfcânca partcular é encontrado na Tabela 6. Exemplo: em um método para determnar mercúro por absorção atômca os seguntes valores foram encontrados para um materal de referênca contendo 38,9% de mercúro: 38,9%, 37,4% e 37,1%. Há alguma evdênca de erro sstemátco? A méda desses valores é 37,8% e o desvo padrão é 0,964%. Adotando a hpótese nula que não há erro sstemátco, sso é, µ = 38,9% e usando a equação acma, tem-se: t 3 ( 37,8 38,9) 1,98 0,964 Da Tabela 6, para dos graus de lberdade, o valor crítco de t é 4,3 (P = 0,05).

38 38 Como se observou um valor muto menor de t, a hpótese nula é mantda, não há evdênca de erro sstemátco. Repare, novamente, que sso não sgnfca que não haja erro sstemátco, apenas não se provou que há. Comparação das médas de duas amostras Uma outra manera na qual os resultados de uma nova metodologa analítca podem ser testados é pela comparação com aqueles obtdos usando uma segunda metodologa (talvez uma metodologa de referênca). Nesse caso, têm-se duas médas amostras, x 1 e x. Tomando a hpótese nula, de que os dos métodos dão o mesmo resultado, será precso testar se x ) é sgnfcatvamente dferente de zero ou não. ( 1 x Se as duas amostras têm desvos padrões que não são sgnfcatvamente dferentes, uma estmatva assocada do desvo padrão pode ser calculada a partr de dos desvos padrões s 1 e s, usando a equação: ( n 1) s ( n 1 ( n ) 1) s 1 1 s (36) n Pode-se então mostrar que t será dado por: t s ( x 1 1 n x 1 ) 1 n (37) Onde t tem n 1 + n graus de lberdade. Exemplo: numa comparação entre dos métodos para a determnação de boro em amostras de plantas, os seguntes resultados foram obtdos em μg ml -1 (Tabela 7). Tabela 7. Resultados de dos métodos na determnação de boro (do exemplo). Método espectrofotométrco Método fluormétrco Méda 8,0 Méda 6,5 Desvo padrão 0,3 Desvo padrão 0,3

39 39 Dez determnações foram fetas para cada método. A hpótese nula adotada é que as médas obtdas pelos dos métodos são guas. Da equação anteror, o valor combnado de desvos padrões é dado por: s (9 0,3 90,3 18 ) s 0,67 Da equação de t: t (8,0 6,5) 0, t 14,7 Exstem 18 graus de lberdade, assm, da Tabela 6, o valor crítco de t (P = 0,05) é,1. Como o valor expermental de t é maor do que esse valor, a dferença entre os dos resultados é sgnfcante no nível de cnco e a hpótese nula é rejetada. De fato, como o valor crítco de t para P = 0,001 é cerca de 3,9, a dferença é sgnfcante mesmo no nível de 0,1%. Em outras palavras, se a hpótese nula for verdadera, a probabldade de tão grande dferença surgr por acaso é menor que um em Outra aplcação para esse teste é lustrada no próxmo exemplo, onde ele é usado para decdr se uma mudança nas condções expermentas afeta o resultado. Exemplo: numa sére de expermentos para a determnação de estanho em comdas enlatadas, as amostras eram fervdas com ácdo hdro clorídrco sob refluxo por tempos dferentes. Alguns resultados são apresentados na Tabela 8: Tabela 8. Resultados fnas na determnação de estanho em dferentes tempos de refluxo (do exemplo). Tempo de refluxo (mn) Estanho (mg kg -1 )

40 40 As médas encontradas de estanho dferem sgnfcatvamente com o tempo de fervura? As médas e varâncas (desvos padrões elevado ao quadrado) para os dos tempos estão na Tabela 9: Tabela 9. Médas e varâncas de dos métodos na determnação de estanho em dferentes tempos de refluxo (do exemplo). Tempo (mn) x s 30 57,00, ,83,57 A hpótese nula adotada é que o tempo de ebulção não tem efeto na quantdade determnada de estanho. O valor combnado para a varânca é dado por: s 5,80 5,57 s 1,64 10 Assm, t é calculado da equação conhecda: 57,00 57,83 t t 0, , Há 10 graus de lberdade e, assm, o valor crítco de t é,3 (P = 0,05). O valor observado de t é menor que o valor crítco, assm a hpótese nula é mantda. Não há evdêncas de que o tempo de fervura afete a taxa de recuperação. Se o postulado da gualdade dos desvos padrões das populações não for verdadero, é precso modfcar a equação de t para: t ( x 1 x ) s 1 n 1 s n (38)

41 E calcular o nº de graus de lberdade com: 41 s1 s 1 n n GL (39) s 1 s n1 n n1 1 n 1 Arredondando-se o resultado para o número ntero mas próxmo. Exemplo: a Tabela 10 apresenta os resultados da concentração de tol no sangue de dos grupos de voluntáros, o prmero grupo sendo normal e o segundo sofrendo de artrte reumatóde. Tabela 10. Resultados da concentração de tol no sangue de dos grupos de voluntáros (do exemplo). Ensaos Normal Reumatóde 1 1,84,81 1,9 4,06 3 1,94 3,6 4 1,9 3,7 5 1,85 3,7 6 1,91 3,76 7,07 Não realzado N 7 6 s 0,076 0,440 x 1,91 3,465 Novamente, a hpótese nula é adotada de que a concentração méda de tol é a mesma para os dos grupos. Substtundo-se na equação acma, obtém-se t = 8,5 e da outra equação obtém-se 5 graus de lberdade. O valor crítco de t (P = 0,01) é 4,03 e assm a hpótese nula tem que ser rejetada: as concentrações de tol são dferentes para os dos grupos. Teste t pareado Dos métodos de análses dferentes podem ter que ser comparados pelo estudo de amostras contendo quantdades dferentes da espéce-teste. Exemplo: a Tabela 11 mostra