Estatística. 8 Teste de Aderência. UNESP FEG DPD Prof. Edgard

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1 Estatístca 8 Teste de Aderênca UNESP FEG DPD Prof. Edgard

2 Teste de Aderênca IDÉIA: descobrr qual é a Dstrbução de uma Varável Aleatóra X, a partr de uma amostra: {X 1, X,..., X n } Problema: Seja X: nº que sa na jogada de um dado A partr da amostra abaxo, exste evdênca estatístca para afrmar que o dado é honesto, ou seja, que X tem Dstrbução Equprovável??? Total f = O UNESP FEG DPD Prof. Edgard

3 Método de solução de Problemas: Teste de hpóteses H 0 : Hpótese a ser testada Hpótese Básca H 1 : Hpótese Alternatva (negação de H 0 ) Resultados de Teste de Hpóteses acerca de Parâmetros e suas probabldades ( e ) condconadas à realdade: REALIDADE H 0 Verdadera H 0 Falsa D E C I S Ã O Acetar H 0 Rejetar H 0 Decsão Correta (1-) Erro Tpo I () Erro Tpo II () Decsão Correta (1-) : Probabldade cometer Erro Tpo I Rejetar H 0, sendo H 0 Verdadera Rsco do Vendedor (Produtor) : Probabldade cometer Erro Tpo II Acetar H 0, sendo H 0 Falsa Rsco do Comprador (Consumdor) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

4 Método de Solução do Problema TESTE DE HIPÓTESES: H 0 : X tem Dstrbução Equprovável H 1 : Tal não ocorre Crtéro: Rejetar H 0 se...???... Consderando: X equprovável então p Pr(X ) Logo, espera-se que em 100 jogadas saa 00 vezes cada número: 1 E np Total f = O E O - E ,13 7,61 0,18 0,7 3,38 0,3 13, (O E E ) k 1 (O E E ) Calculado Crtéro: Rejetar H 0 se Calculado for grande! UNESP FEG DPD Prof. Edgard

5 Teste de Aderênca H 0 : X tem Dstrbução Equprovável H 1 : Tal não ocorre Crtéro: Rejetar H 0 se ou seja: Calculado for grande! onde: : Tabelado ν k 1m Rejetar H 0 se Crítco Calculado ; Tabelado nível de sgnfcânca (próxmo slde) k : número de classes m : número de parâmetros estmados, a partr da amostra No caso: ν k 1m ν UNESP FEG DPD Prof. Edgard

6 : nível de sgnfcânca Problema: H 0 : X tem Dstr. Equprovável (dado honesto) H 1 : Tal não ocorre (dado vcado) Rejetar H 0 se Possbldades: Calculado H 0 : Falsa Crítco Decsão Correta Decsão Rejetar H 0 Acetar H 0 H 0 : Verd. H 0 : Falsa Erro Tpo I Erro Tpo II : H 0 : Verd. Probabldade admssível de se cometer o erro de Rejetar H 0 e H o é Verdadera Decsão Correta No Problema acma: pode-se consderar admssível correr um rsco de 5% de decdr que o dado é não honesto quando de fato ele é honesto, ou seja admtr uma probabldade de 5% de se errar ao tomar tal decsão. UNESP FEG DPD Prof. Edgard

7 ESQUEMA PARA TOMADA DE DECISÃO H 0 : hpótese básca H 1 : hpótese alternatva é o nível de sgnfcânca do teste = Pr(Rejetar H 0 H 0 é verdadera) Rejetar Ho 5% % Acetar Ho 10% 1% 0% Valor-p é o nível de sgnfcânca calculado a partr da amostra 0,5% 50% Exste FORTÍSSIMA evdênca estatístca p/ Rejetar Ho (valor-p<0,5%) Exste MUITO FORTE evdênca estatístca p/ Rejetar Ho (valor-p<1%) Exste FORTE evdênca estatístca p/ Rejetar Ho (valor-p<%) Exste RAZOÁVEL evdênca estatístca p/ Rejetar Ho (valor-p<5%) Exste RAZOÁVEL evdênca estatístca p/ Acetar Ho (valor-p>5%) Exste FORTE evdênca estatístca p/ Acetar Ho (valor-p>10%) Exste MUITO FORTE evdênca estatístca p/ Acetar Ho (valor-p>0%) Exste FORTÍSSIMA evdênca estatístca p/ Acetar Ho (valor-p>50%) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

8 ESQUEMA PARA TOMADA DE DECISÃO H 0 : hpótese básca H 1 : hpótese alternatva Rejetar Ho 5% % Acetar Ho 0,5% 1% 0% 10% 50% Exste FORTÍSSIMA evdênca estatístca p/ Rejetar Ho (=0,5%) Exste MUITO FORTE evdênca estatístca p/ Rejetar Ho (=1%) Exste FORTE evdênca estatístca p/ Rejetar Ho (=%) Exste RAZOÁVEL evdênca estatístca p/ Rejetar Ho (=5%) Exste RAZOÁVEL evdênca estatístca p/ Acetar Ho (=5%) Exste FORTE evdênca estatístca p/ Acetar Ho (=10%) Exste MUITO FORTE evdênca estatístca p/ Acetar Ho (=0%) Exste FORTÍSSIMA evdênca estatístca p/ Acetar Ho (=50%) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

9 : Problema: H 0 : X tem Dstr. Equprovável (dado honesto) H 1 : Tal não ocorre (dado vcado) Rejetar H 0 se onde: nível de sgnfcânca Calculado Crítco 13,33 (vde slde 10-3) Para: 5% 1% Calculado Crítco ; ν ; Logo: Portanto: 11,07 15,08 Calculado Calculado Crítco Rejetar H 0 Acetar H 0 Comentáro: exste razoável ( = 5%) evdênca estatístca para Rejetar H 0, para afrmar que X não tem Dstr. Equprovável, sto é, que o dado não é honesto. Por outras palavras: pode-se decdr que o dado não é honesto, se consderar admssível correr um rsco de 5% de errar ao tomar tal decsão. Crítco UNESP FEG DPD Prof. Edgard

10 Teste de Aderênca H 0 : H 1 : Dstrbução da População é Normal, ou Exponencal, ou Bnomal, etc., etc. Tal não ocorre Teste de Aderênca pelo Método Varável de Teste: Onde: k O = Freqüênca observada O E E 1 1 k O E n E = Freqüênca esperada (segundo a Dstrbução testada) E = n * p E 5 (aproxmação Bnomal Normal) p = probabldade (segundo a dstrbução testada) de se obter um valor da Varável Aleatóra na classe n k 1 k O E 1 = k - 1 m ( Graus de Lberdade da ) k = número de classes, tal que E 5 m = número de parâmetros estmados ndependentemente, a partr da amostra Método mas ndcado para Dstrbuções Dscretas UNESP FEG DPD Prof. Edgard

11 Teste de Aderênca pelo Método H 0 : Dstrbução da População é Normal, ou Exponencal, ou Bnomal, etc., etc. H 1 : Tal não ocorre CRITÉRIO ou REGRA DE DECISÃO: Rejetar H 0 se calculado CRÍTICO Onde: calc k O E E 1 1 k O E n, CRÍTICO ( Tabelado) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

12 Teste de Aderênca pelo Método Exemplo: amostra de tamanho n = 100 Nº de defetos (x ) Nº de aparelhos (f ) Testar: H 0 : Dstrbução do nº de defetos é Posson H 1 : Tal não ocorre Crtéro: Rejetar Ho se CRÍTICO Dstrbução Posson: p r Pr( X r) r * e r! (r 0,1,,...) Parâmetro da Posson estmado por: x x x n * f 0 * 5 1* 35 * 18 3* 13 4 * 4 5 * 6 * 7 * , Logo: 0 1,55 1,55 (1,55) * e 1* e p0 Pr( X 0) 0! 1 0,1 1 1,55 (1,55) * e 1,55 p Pr( X 1) 1,55* e 1 1! e assm por dante... 0,39 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

13 Teste de Aderênca pelo Método Exemplo: amostra de tamanho n = 100 Nº de defetos (x ) Nº de aparelhos (f ) x f = O x * f p E = n*p O - E (O E ) (O E ) / E ,1 1, 3,8 14,44 0, ,39 3,9,1 4,41 0, ,55 5,5-7,5 56,5, ,13 13, -0, 0,04 0, ,051 5, ,016 1,6 7, 1,8 3,4 0, ,004 0, ,001 0, , ,474 = Determnação de, (crítco) = k m = = classes E 5 (exgênca) 1 só parâmetro estmado Para = 5%, tem-se: 3, 5% = 7,815 (Tabelado) Logo: <, (crítco) ACEITA-SE H 0 (3,474 < 7, 815) Conclusão: para um nível de sgnfcânca de 5%, não pode-se rejetar que o número de defetos por aparelho ADERE à Dstrbução de Posson. No entando, nada nos garante que de fato a Dstrbução seja Posson!!! UNESP FEG DPD Prof. Edgard

14 Teste de Aderênca pelo Método Exemplo : (Exercíco 04, p.148, COSTA NETO): H 0 : Dstrbução dos pontos é unforme (proporconal à área do alvo) R 1 R Oscloscópo H 1 : Tal não ocorre 16 Crtéro: Rejetar Ho se E = n * p onde: p = Prob. de exstr pontos na regão Dstrbução Unforme: p p 1 5 p p 6 p 3 p 7 p 4 p 8 A A T A A T CRÍTICO 1 4 R R R 1 4 R R R 5 R R 7 R R 3 R Regão f = O p E =n.p (O - E ) (O - E ) /E /16,5-6,5 1, /16,5-8,5 3, /16,5-3,5 0, /16,5-1,5 0, /16 7,5 0,5 0, /16 7,5 4,5, /16 7,5 5,5 4, /16 7,5 9,5 1,03 Total ,53 Determnação de, (crítco) com = k-1-m = = 7 Para = 5%: 7, 5% = 14,067 (Tabela) Logo: >, (crítco) (4,79 > 14,067) REJEITA-SE H 0 UNESP FEG DPD Prof. Edgard 011 Para um nível de sgnfcânca de 5%, o número de pontos por regão NÃO ADERE à Dstrbução Unforme 8-14

15 Teste de Aderênca pelo Método K-S Método devdo à Kolmogorov - Smrnov H 0 : Dstrbução da População é Normal, ou Exponencal, ou Bnomal, etc., etc. H 1 : Tal não ocorre CRITÉRIO: REJEITAR H 0 se d > d Crítco (slde 10-14) d max F( x) G( x) onde: F (x) = P (X x) : Função Dstrbução Acumulada da Dstrbução consderada na hpótese básca (H 0 ) G (x) : Função Dstrbução Acumulada da amostra (freqüêncas relatvas acumuladas) Método K-S é exato para Dstrbuções contínuas de parâmetros conhecdos, não dependendo do tamanho da amostra, como é o caso do Método Qu-quadrado. Método K-S é mas sensível no entorno do centro da Dstrbução do que nas extremdades Método K-S é aproxmado para Dstrbuções dscretas, Dstrbuções com parâmetros desconhecdos, ou quando os dados estão agrupados em classes. Nesses casos utlzar o Método Qu-quadrado UNESP FEG DPD Prof. Edgard

16 Teste de Aderênca pelo Método K-S Valores Crítcos: d CRÍTICO Para n>40, os Valores Crítcos ( d CRÍTICO ) podem ser aproxmados pelas seguntes expressões: UNESP FEG DPD Prof. Edgard

17 Teste de Aderênca pelo Método K-S Exemplo: (Exemplo 01, p , COSTA NETO) Amostra: n = 10, apresentou os seguntes valores: 7,8 9, 30,6 7,0 33,5 9,5 7,3 5,4 8,0 30, H 0 : Dstrbução dos valores é Normal de = 30 e = H 1 : Tal não ocorre Crtéro: Rejetar Ho se d> d CRÍTICO) onde: d max F( x) x z = (x - )/ F (x) G (x) F (x) - G (x) (A 6.) ESQ. DIR. 0,00 5,4 -,30 0,0107 0,10 0,0107 0,0893 7,0-1,50 0,0668 0,0 0,033 0,133 7,3-1,35 0,0885 0,30 0,1115 0,115 7,8-1,10 0,1357 0,40 0,1643 0,643 8,0-1,00 0,1587 0,50 0,413 0,3413 9, - 0,40 0,3446 0,60 0,1554 0,554 9,5-0,5 0,4013 0,70 0,1987 0,987 30, 0,10 0,5398 0,80 0,160 0,60 30,6 0,30 0,6779 0,90 0,11 0,1 33,5 1,75 0,9959 1,00 0,0599 0,0401 G( x d max F( x) G( x) = 0,3413 < d Crítco = 0,369 (tab. 6., = 10%) ACEITA-SE H 0 Conclusão: para um nível de sgnfcânca de 10%, pode-se consderar que os valores obtdos ADEREM à Dstrbução Normal, logo há forte evdênca estatístca que a Dstrbução seja Normal de = 30 e = UNESP FEG DPD Prof. Edgard

18 Teste de Aderênca pelo Método A-D Método de Anderson-Darlng (A-D): Varável de teste: A n S Onde: S n ( 1) ln( F( Y ) ln( 1F( Yn 1 n 1 F (Y ) : Função Dstrbução Acumulada da amostra (freqüêncas relatvas acumuladas) CRITÉRIO: REJEITAR H 0 se A > Valor Crítco (Tabelado) Os valores crítcos dependem da específca Dstrbução que está sendo testada Método A-D é mas sensível nas extremdades da Dstrbução )) (acesso: 05/08/004) UNESP FEG DPD Prof. Edgard