ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) CLÁSSICA: TÉCNICA ÚTIL, PORÉM RESTRITIVA!

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1 ANÁLSE DE VARÂNCA (ANOVA) CLÁSSCA: TÉCNCA ÚTL, PORÉM RESTRTVA! Questões assocadas à verfcação de suas suposções: (adtvdade, ndependênca, homocedastcdade e normaldade) k..d.~n(0, ) quadrados mínmos ordnáros 1) Os dados provêm de expermento? (pesqusa expermental: repetção, casualzação) (pesqusa de observação natural) SM reúne as condções prévas p/ a análse, o que não é garanta de sua valdade verfcá-las (sempre)! NÃO não reúne as condções prévas p/ a análse (mesmo se não houver volação, o uso da análse deve ser justfcado) ) Os dados (expermentas) são qualtatvos? SM A análse NÃO se aplca (há uma varação com prncípo smlar AMOVA: uso comum em genétca molecular ). 3) Dados quanttatvos? SM A análse pode ser aplcada, PORÉM, as conclusões estão condconadas ao atendmento das pressuposções. a) Varáves dscretas ou contínuas truncadas (ex. contagens; escalas de notas etc.) A prncípo, não reúnem condções para garanta de NORMALDADE verfcá-las (sempre)! (sobretudo se n é pequeno e tratar-se de escala com poucos valores ex. 1 a 5). A ANOVA, porém, pode ser válda, se atenddas as pressuposções, ou sob: - Uso de transformação adequada (mudança da escala dos dados) ex. Box-Cox (1964) verfcá-las (sempre). - Obtenção de dados, por exemplo, como médas de contagens (T.L.C. médas ~ Normal, se n for grande). - Porcentagens (truncadas em 0% e 100%): dados entre 30-70% (ou 0-80%) maor chance de atender ~ Normal. (0%-0%) e (80%-100%): necessdade de transformação transf. angular: arco seno[raz(y/100)] verfcá-las! b) Varáves contínuas sem truncamento (ex. altura, peso, massa, temperatura etc.) A prncípo, reúnem as condções; mas não se tem garanta de sua valdade verfcá-las sempre! Caso as pressuposções sejam voladas: buscar alternatvas (transformações ou outros métodos) Atenção p/ possíves dados dscrepantes ( outlers ): podem ser a razão das volações (mas, não os elmne sem razão).

2 SÍNTESE: nferêncas a partr de ANOVA só devem ser fetas se as pressuposções forem mnmamente atenddas. (sto, apesar da reportada robustez de testes assocados ex. F-Snedecor; t-student; Tukey; etc). Então, faça: ANOVA Valores predtos e resíduos Análse de resíduos: verfcação das condções de valdade. - Regras prátcas: ex. F max < 3ou4 (homog.varâncas); Ampl()/méd(), var()/méd(), s()/méd() (heteroc. regular) - Gráfco de resíduos: confgurações de pontos outlers, heterocedastcdade e/ou falta de ndependênca. - Hstograma dos resíduos: avalação de smetra/curtose/ outlers desvos de normaldade. - Q-Q plot (resíduos): outlers e normaldade // (correlação de resíduos x resíduos padronzados teste) - Testes estatístcos: (maor parte deles aplcada aos resíduos do ajustamento ANOVA) - Tukey (1949); Box et al. (1978): adtvdade (exclusvo para delneamento em blocos) (teora ncpente) - Durbn-Watson (1ª, ª,... ordem): ndependênca (vde últma págna deste documento tem..3) - Barttlet; Cochran; F max (Hartley); Levene: homogenedade de varâncas - Shapro-Wlk; Kolmogorov-Smrnov; Lllefors; Cramer-von Mses; Qu-quadrado etc.: normaldade Busca de transformação: a) experênca préva (tradção da área) e regras prátcas (ex. dados de contagem e porcentagens; méd(t ) muto dstntas) - médas varâncas (dstrb. Posson): raz quadrada (Y); se houver zeros, raz (Y+1) ou raz (Y+0,5) - médas desvos padrão (dstr. Log-normal): logartmo - ln(y) ou log 10 (Y); se houver zeros, ln(y+k) ou log 10 (Y+k); k- c te. - porcentagens (dstrb. Bnomal): transformação angular arc_sen [raz(y/100)]; em que Y é expressa em %. - verfcação da unformdade de relações como: Ampl./méd Log(Y); Ampl./raz(méd.) Raz(Y) - outras transformações específcas: f (tpo de dstrbução dos resíduos) b) crtéros técncos: - Transformação ótma de Box & Cox (1964): Y = (Y 1)/, se 0; ou Y = ln(y), se 0. ( ótma p/ normaldade) (o parâmetro é estmado por máxma verossmlhança 1 ou quadr.mín- aplcatvos). - Transformação establzadora da varânca (Tukey, 1971): Y = Y, em que 1 b/, sendo b a estmatva do coefcente da regressão lnear smples: ln( ) = + ln( ) Vde Tabela 1 ao fnal deste texto. Apresentação dos resultados Se uma transformação fo necessára : testes estatístcos só com os dados transformados. (paralelamente podem ser apresentadas as médas dos dados orgnas sem qualquer teste 3 ). 1 L = -( /) ln(s T ) +( -1)( /n) ln(y); é GL Erro ; S T é QM Erro(Y ) ; é o expoente de Y ; n é número total de obs.; e Y são os dados orgnas. Mas de uma transformação pode soluconar o problema de volação das pressuposções encontrado. 3 Alguns autores recomendam apresentá-las pela reversão da transformação utlzada (outros não).

3 SE AS TRANSFORMAÇÕES DSPONÍVES FALHAREM? * Buscar métodos de análse menos restrtvos: acomodam, por exemplo, heterocedastcdade e/ou correlação entre observações; admtem outras dstrbuções de probabldade ou são lvres de dstrbuções teórcas; adotam modelos lneares generalzados ou modelos não-lneares análses mas complexas (não trvas)*. Alguns exemplos assocados ao tpo de volação: - Falta de adtvdade: abordagem de modelos não-lneares (ex. modelos exponencas e multplcatvos). - Falta de normaldade: testes não-paramétrcos; testes de permutação ou de randomzação (ou va bootstrap); modelos lneares generalzados. - Heterocedastcdade rregular: elmnação de tratamentos com varâncas muto dscrepantes; método dos resíduos específcos (dvsão do erro em componentes aplcáves aos dstntos grupos de tratamentos com varâncas comuns); quadrados mínmos ponderados ou generalzados. - Falta de ndependênca*: quadrados mínmos generalzados, assocado a algum tpo de análse estatístca espacal; análse de meddas repetdas (dados longtudnas) e/ou análse de séres temporas. * Há também outras abordagens para análse de dados, como, por exemplo, a nferênca Bayesana. * Autocorrelação postva pode resultar de especfcação nadequada do modelo (ex. ajuste de regressão lnear smples para relações com comportamento quadrátco Hoffmann & Vera, 1998, p. 5)

4 Tabela1. Correspondêncas entre transformações clásscas e valores de b resultante da relação ln(var ) = a + b ln(méd ). Relação de proporconaldade ( ) entre Varânca ( ) e méda ( ) b = 1- (b/) Transf. Y = Y Transf. clássca constante 0 1 Y = Y 1 = Y (nenhuma) nenhuma 1 (Y~ Posson) 1 ½ Y =Y ½ = Y raz quadrada* (Y~ Log-Normal) 0 Y =log(y) ou Y =ln(y) logartmca * 3 3 -½ Y =Y -½ = 1/ Y raz recíproca * Y =Y -1 = 1/Y recíproca * Y (<0%; >80%)** y = 1,,..., n; y ~ Bnomal Y = arc_sen ( Y/100) * - Para estas transformações, sob a presença de zeros, recomenda-se somar uma constante k; ex. (Y+0,5), log(y+1) etc. (Noguera, 1994). ** - Na faxa 0-80% (ou 30-70%, para alguns autores), pouco ou nada se ganha com o uso da transformação angular (Zmmermann, 004). Notas: - Obvamente essa famíla de transformações potêncas (Y = Y ), assm como a de Box & Cox, possblta a adoção de potêncas ntermedáras àquelas que resultam nas transformações clásscas (Y Y ; Y ; Y etc.). - O emprego da constante k, usualmente gual a 1,0 ou 0,5, obrgatóro no caso da presença de zeros e uso da transformação logarítmca, é útl também para evtar supercorreção, por exemplo, da transformação raz quadrada, sobretudo quando ocorrem valores (contagens) muto pequenos (Zmmermann, 004). Nota: Excesso de zeros exgem outras abordagens.

5 Teste de Adtvdade do Modelo (Tukey, 1949): Em DBC: SQ NA = n.[ (Y (Y. Y..)(Y. Y..)] /(SQ.SQ ), com GL NA =1 e novo Resíduo: QM E(na) = (SQe-SQ NA )/(GLe-1) j Em qualquer delneamento: De posse de: ê, Ŷ e SQe = ê, com GLe graus de lberdade: Tr Bl 1) Calcula-se: q = Ŷ, com =1,,... tratamentos e j=1,,...j repetções. ) ANOVA: q = m + t + b j + e # sto p/ D.B.C.(ajustar outro modelo de delneamento, se for o caso) 3) Obtenha: ê = q - qˆ ; com qˆ mˆ tˆ bˆ # (ou outra expressão de predção se for o caso). A = ê' ; B = ê q = (Y - Ŷ ) Ŷ j 4) SQ N_Adt = B /A, com 1 grau de lberdade => QM N_Adt = SQ N_Adt /1 = SQ N_Adt 5) SQ Res = SQe - SQ N_Adt, com GLe-1 graus de lberdade => QM Res = SQ Res /(GLe 1) 6) F N_Adt = QM N_Adt /QM Res => p-valor na dstrbução F-Snedecor com gaus de lberdade (1; GLe-1). Testes de Homogenedade de Varâncas (homocedastcdade): Teste de Hartley (F máx ) - presta-se para conjuntos balanceados de dados (j=1,,...j repetções): s (máx) Fmáx s (mín) A estatístca tem dstrbução H (ou F máx ) de Pearson & Hartley, tabulada com entradas (grupos) e J-1 (graus de lberdade das varâncas em teste) => H (; J-1). Para o nível de sgnfcânca, se F máx H (; J-1) rejeta-se H 0 (hpótese de homocedastcdade) e conclu-se que as varâncas são heterogêneas; caso contráro, não se rejeta H 0 e admte-se que as varâncas são homogêneas. Teste de Bartlett (B a ) - presta-se para conjuntos de dados desbalanceados (j=1,,...j repetções). De posse das varâncas s dentro de tratamentos (=1,,...,) e seus graus de lberdade ( ν ) tem-se:,306[a(log s ) C] p 1 Ba, em que: A ν ; s p ν s / ν ; C ν log s e D. 1 1 ν 1 D 3(- 1) A Sob ~Normal, B a tem dstrbução χ ( 1) ; logo, para o nível de sgnfcânca, se B a χ ( 1) rejeta-se H 0 e conclu-se que não há homocedastcdade; caso contráro, não se rejeta H 0 e admtem-se varâncas homogêneas.

6 1/ Fonte: DUARTE, J. B. Sobre o emprego e a análse estatístca do delneamento em blocos aumentados no melhoramento genétco vegetal. 000, 93 f. Tese (Doutorado em Agronoma: Genétca e Melhoramento de Plantas) - Escola Superor de Agrcultura Luz de Queroz, Unversdade de São Paulo, Praccaba, /