Prof. Cláudio Serra, Esp. 1. Produção de Leite x índice Pluviométrico y = 0.8x R 2 =

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1 Análse de Regressão Cap.. Introdução Análse de regressão é uma técnca de modelagem utlzada para analsar a relação entre uma varável dependente () e uma ou mas varáves ndependentes,, 3,..., n. O ojetvo dessa técnca é dentfcar (estmar) uma função que descreve, o mas próxmo possível, a relação entre essas varáves e assm podermos predzer o valor que a varável dependente () rá assumr para um determnado valor da varável ndependente. Exemplos de relação entre varáves são o consumo em relação à taxa de nflação; a produção de lete e temperatura amente; a resstênca de um materal e sua composção químca; o número de peças com defetos e a experênca; receta e gasto com pulcdade e etc. O modelo de regressão poderá ser escrto genercamente como: f (,, 3,..., n), onde o termo representa uma perturação aleatóra na função, ou o erro da aproxmação. O número de varáves ndependentes vara de uma aplcação para outra, quando se tem apenas uma varável ndependente chama-se Modelo de Regressão Smples, quando se tem mas de uma varável ndependente chama-se de Modelo de Regressão Múltpla. A forma da função f (.) tamém vara, podendo ser representada por um modelo lnear, polnomal ou até mesmo uma função não lnear. A fgura aaxo mostra um modelo lnear para representar a relação entre a produção de lete e o índce pluvométrco de um muncípo Produção de Lete x índce Pluvométrco y = 0.8x R = Prof. Cláudo Serra, Esp.

2 Por sua vez, os dados somente de exportação de carne de frango poderão ser representados por um modelo polnomal conforme é mostrado na fgura aaxo. Exportações de carne de frango,500,000 y =.539x x x R = 0.994,500, Regressão Lnear Smples Este modelo é utlzado quando exste uma relação lnear entre a varável ndependente e a varável dependente (neste caso apenas uma). A função que expressa esse modelo será dada pela forma aaxo: 0, O gráfco acma é uma representação desse modelo. Verfca-se pelo mesmo que nem todos os pontos tocam a reta, e essa dferença é o erro (), que pode ter sdo ocasonado por um erro de letura dos dados; uma venda aaxo do preço real de mercado; uma produção aaxo do esperado por uma estagem não comum; retração do consumo por uma suda nesperada na taxa de juros; e assm va. Mas supõe-se que em méda esses erros tendem a se anular, ou seja: E 0 Uma vez escolhdo o modelo de regressão, deve-se estmar seus parâmetros, neste caso os coefcentes da equação da reta, 0,. Isso pode ser feto a partr da aplcação do Método dos Mínmos Quadrados. Trando a méda sore a equação acma, temos: 0 uma vez que a méda dos erros é zero. Prof. Cláudo Serra, Esp.

3 Sutrando as duas equações temos: ) ( )( ) ( 0 0 Chamando de y e x as dferenças centradas nas médas, ( ) e ( ) respectvamente, temos que: y x ou anda, y x Fazendo a soma dos quadrados dos erros, y x y x y como é uma constante, y x x y x Como o ojetvo é estmar uma equação que mnmze os erros, devemos então dervar a equação acma em relação a e gualar a zero. E como não se tem os verdaderos valores e sm uma amostra, ou seja o valor a ser determnado é um estmador do verdadero valor populaconal, a nova nomenclatura para será ˆ. Com sso temos: x y ˆ x 0 Que pode ser reescrta como: ˆ x y x E o estmador ˆ o, pode ser calculado a partr de: ˆ ˆ o Sendo que a equação de estmatva será dada por: ˆ ˆ ˆ o Prof. Cláudo Serra, Esp. 3

4 Exemplo Regressão Lnear Smples Em uma determnada regão do país foram coletados os índces pluvométrcos e a produção de lete do tpo c. Saendose que exste uma prevsão para o Anos C ( pluvométrco Produção de Lete Índce próxmo ano de um índce ltros) (mm) pluvométrco de 4mm determne então a produção de lete dessa regão Resolução y x y x xy Soma Méda ˆ x y 48, assm ˆ x e ˆ ˆ, que ˆ 8, , 9 o o Assm a equação pode ser escrta como: ˆ Prof. Cláudo Serra, Esp. 4

5 Mas será que a equação do exemplo fo em estmada, ou melhor, será que ela representa em a relação entre as varáves? Uma manera de avalar é através da dferença entre os valores amostras reas () e os valores estmados (ˆ ), essa dferença damos o nome de resíduo. Contnuando o exemplo, Contnuação do exemplo y x y x xy ˆ -ˆ (-ˆ ) Soma Méda Podemos perceer que as dferenças (-ˆ ) são relatvamente pequenas. Uma análse mas cudadosa pode ser feta através da aplcação de testes estatístcos, nesse caso ANOVA (teste de varânca) e teste t-student. Começaremos pela ANOVA, para tanto vamos precsar montar a taela aaxo: Taela ANOVA Soma dos Quadrados Graus de Lerdade (g.l.) Quadrados Médos (QM) Teste F SQE= ˆ x SQE/g.l. SQEmed/SQRmed SQR= Ŷ n- SQR/g.l. SQT= y n- SQE/g.l + SQR/g.l. Os: O grau de lerdade em relação ao SQE é devdo a termos apenas uma varável ndependente; Em relação a SQT, os graus devem ser guas a varânca amostral, ou seja, n- (onde n é o número da elementos da amostra); E o grau de lerdade para SQR sera dado pela dferença entre este, ou seja n-. Onde, Soma dos quadrados dos totas de y centrado SQT y Soma dos quadrados explcados SQE ˆ ˆ x ˆ x Prof. Cláudo Serra, Esp. 5

6 Soma dos quadrados dos resíduos SQR Ŷ Um outro parâmetro utlzado constantemente é o coefcente de determnação, R, que explca percentualmente a relação entre as varáves do prolema. R SQE SQT Contnuação do exemplo - ANOVA Taela ANOVA Soma dos Quadrados Graus de Lerdade (g.l.) Quadrados Médos (QM) SQE= SQR= SQT= Teste F 7.83 Agora que já temos o valor de F, precsamos testar a hpótese nula que as varâncas são dferentes, ou seja, Ho = Adotaremos um nível de sgnfcânca () de 5%. Com esse valor e os números de graus de lerdade, acha-se na taela um valor crítco de 5.3. Como o F calculado é maor que o F crítco então se rejeta a hpótese Ho, o que tamém quer dzer que as varâncas são guas, e conseqüentemente o modelo de regressão é váldo. Prof. Cláudo Serra, Esp. 6

7 Exemplo Resolução do Exemplo va Excel Resolução A varável dependente () será o índce pluvométrco, sendo a produção de lete tpo c a varável ndependente (). O gráfco dos dados do exemplo pode ser vsto ao lado. Pelo gráfco o ajuste lnear pode ser possível, mas talvez um ajuste polnomal sera mas ndcado, mas de qualquer forma, será testado um ajuste lnear. Será utlzada a ferramenta Regressão do software Excel, que pode ser aconado pelo segunte camnho: Ferramenta Análse de Dados Regressão. Em Intervalo de entrada: devemos seleconar na planlha o conjunto de células da varável dependente. Por sua vez, em Intervalo de entrada: devemos seleconar na planlha o conjunto de células da varável ndependente. Nesta janela, tamém podemos seleconar as opções relatvas aos resíduos. Uma vez seleconado as células, asta clcar no otão de Ok que serão gerados os dados na planlha Produção de Lete x índce Pluvométrco Para o exemplo em questão, podemos destacar das taelas geradas, as seguntes nformações: Na estatístca padrão: R-quadadro = Na Anova: gl total =9 F=9.5 Prof. Cláudo Serra, Esp. 7

8 E por fm: Interseção 8.9 Varável 0.8 Assm a equação do modelo poderá ser escrta como: ˆ O resultado é mostrado grafcamente aaxo. Então para um índce de 4mm a produção de lete sera de 8. mlhões de ltros de lete. É mportante ressaltar que o ajuste não fo tão om, sera mportante verfcar um novo modelo. Uma outra manera de fazer essa análse, porém sem as mesmas nformações sera utlzar o recurso de Adconar Lnha de Tendênca... No menu Gráfco da arra de menu do Excel. Seleconado o modelo Lnear, clcamos na aa Opções e marcamos as opções: Exr equação no gráfco e Exr valor do R-quadrado no gráfco. Não se esqueça, para nserr uma Lnha de tendênca o gráfco deve estar seleconado prevamente Produção de Lete x índce Pluvométrco y = 0.8x R = Prof. Cláudo Serra, Esp. 8

9 Exemplo Sére Temporal da Produção de Carne de Frango no Brasl ( ) De acordo com a Assocação Braslera de Exportadora dos Produtores e Exportadores de Frango, ABEF, a produção raslera de carne de frango (em ml toneladas) para o mercado nterno e externo no período de 989 a 003 é dada pela taela aaxo: Ano Mercado Interno Exportação Total 989,8 44, ,968 99,67 99,00 3,5 99,35 37,77 993, ,43 994, , , , , , , , ,6 6 4, , , , , ,486,49 6, ,97,600 7, ,9,9 7,843 Fonte: ABEF - Assocação Braslera dos Produtores e Exportadores de Frangos (www.aef.com.r). Resolução O prmero passo para avalar se os dados podem ser ajustados por um modelo lnear é plotar suas varáves em um gráfco. Prod.de carne de frango 0,000 8,000 6,000 4,000, Pelo gráfco percee-se uma tendênca que a relação entre a produção de carne de frango (varável dependente, ) e o tempo (varável ndependente, ) seja Prof. Cláudo Serra, Esp. 9

10 dado por uma equação lnear. Para determnar essa equação será utlzado o software Excel. No Excel será utlzada a ferramenta Regressão que é um módulo do Suplemento Análse de Dados. Aconando-se essa ferramenta, o passo segunte será preencher a caxa de dálogo da Regressão conforme os dados. Onde na opção Intervalo de Entrada deverá ser colocado o valor da varável dependente, e na opção Intervalo de Entrada, deverá ser colocado os valores da varável ndependente. Prof. Cláudo Serra, Esp. 0

11 Após o preenchmento das caxas de dálogo asta pressonar o otão de Ok, e o resultado aparecerá em uma nova planlha. A fgura aaxo mostra o resultado para o exemplo em questão. Dessa planlha se destacam os seguntes valores: Na estatístca padrão: R-quadadro = Na Anova: gl total =4 F=403.5 E por fm: Interseção 46,99 Varável 46,30 Assm a equação do modelo poderá ser escrta como: ˆ 46,99 46,30 Pode-se agora plotar os dados dos valores verdaderos com os valores do modelo. Tamém se pode fazer prognóstco para valores futuros. Por exemplo, para o ano de 004 o modelo prevê uma produção de toneladas de carne de frango Regressão Lnear Prod.Carne e Frango Prof. Cláudo Serra, Esp.

12 Mlhões de toneladas Uma outra manera de fazer essa análse, porém sem as mesmas nformações sera utlzar o recurso de Adconar Lnha de Tendênca... no Menu Gráfco da arra de menu do Excel. Seleconado o modelo Lnear, clca-se na aa Opções e marca-se as opções: Exr equação no gráfco e Exr valor do R-quadrado no gráfco. Não se esqueça, para nserr uma Lnha de tendênca o gráfco deve estar seleconado prevamente. 9 Produção raslera de carne de frango mlhões de toneladas 8 7 y = 46.3x + 47 R = Fonte: ABEF (www.aef.com.r). Ano Prof. Cláudo Serra, Esp.

13 Prof. Cláudo Serra, Esp. 3.3 Regressão Lnear Múltpla Em algumas stuações mas do que uma varável ndependente (,,..., n ) pode ser necessára para predzer o valor da varável ndependente (). O modelo matemátco para esse caso é dado aaxo: k k... 0 Que para as n oservações poderá se escrto da forma: 0... k k 0... k k n kn k n n n... 0 Que forma na realdade um sstema lnear, que podermos escrever na forma de matrz como: k k kn n n k k Que escrevendo anda em outra em sua forma mas compacta temos: O estmador para será dado por: ' ' ˆ Pela equação acma, há necessdade que o produto, tenha uma matrz nversa, o que mplca na condção orgatóra que nenhuma coluna da matrz seja comnação lnear das outras.

14 Exemplo 3 Manutenção do camnhão Uma agrondústra quer saer o custo de manutenção de seus camnhões durante o corrente ano, para tanto foram coletadas nformações de qulometragem e tempo do camnhão. A taela aaxo nos mostra esses valores. Custo de Manutenção Qulometragem (x000) Tempo do camnhão (em anos) Resolução Nesse caso será feto dretamente análse sem plotar o gráfco. O procedmento no software Excel é: Ferramenta Análse de Dados Regressão. No campo Intervalo de Entrada deve ser preenchda com a faxa de valores das varáves ndependentes, que nesse caso são a qulometragem e o tempo do camnhão. Da planlha de resultados se destacam os seguntes valores: Na estatístca padrão: R-quadadro = 0.99 Erro padrão:.06 Na Anova: gl total =8 F= E por fm: Interseção 7.73 Varável 4.06 e Assm a equação do modelo poderá ser escrta como: ˆ Assm para um camnhão com 5 anos com qulometragem de mlhas, o custo de manutenção será de $ Prof. Cláudo Serra, Esp. 4

15 .4 Regressão Não Lnear Nem sempre a relação entre a varável ndependente () e a varável dependente () possu uma relação lnear, em certos casos essa relação é não-lnear. A fgura aaxo mostra algumas dessas formas. Nesses casos, pode-se através de mudanças de varáves resolver o prolema utlzando ascamente as equações já menconadas nesse materal. Para os nteressados nesses procedmentos sugere-se a letura das referêncas ndcadas no fnal do texto. Para efeto de demonstração da Regressão-Lnear será utlzado o Excel através do seu recurso de Tendênca, todava conforme já menconado, esse não dá nformações estatístcas sore o ajuste. Exemplo 4 Sére Temporal da Produção de Carne de Frango no Brasl ( ) De acordo com a Assocação Braslera de Exportadora dos Produtores e Exportadores de Frango, ABEF, a produção raslera de carne de frango (em ml toneladas) para o mercado nterno e externo no período de 989 a 003 é dada pela taela aaxo: Ano Mercado Interno Exportação Total 989,8 44, ,968 99,67 99,00 3,5 99,35 37,77 993, ,43 994, , , , , , , , ,6 6 4, , , , , ,486,49 6, ,97,600 7, ,9,9 7,843 Fonte: ABEF - Assocação Braslera dos Produtores e Exportadores de Frangos (www.aef.com.r). Prof. Cláudo Serra, Esp. 5

16 Resolução Nesse exemplo será avalada somente a produção para o mercado externo, o gráfco que representa essa produção ao longo do ano pode ser vsto logo aaxo. Produção para o mercado nterno de carne de frango,500,000,500,000 Dados reas Analsando o gráfco acma, verfcase que o ajuste lnear talvez não seja o melhor modelo para representar esses dados. Assm, escolhe-se dentre os prováves o modelo polnomal de 3 o grau. Além dsso, na aa Opções marca-se as caxas Exr equação no gráfco e Exr valor de R-quadrado no gráfco. Com sso feto o resultado pode ser vsto na fgura segunte. Repare na qualdade do ajuste, o valor do coefcente de determnação fo de Produção para o mercado nterno de carne de frango,500,000,500,000 y =.539x x x R = Dados reas Ajuste Polnomal Assm, pode-se então 500 estmar a produção para o - mercado externo de carne de frango para 004. O valor prevsto por esse modelo é dá ordem de 49.87, pelo ste da ABEF (www.aef.com.r) verfcou-se que essa assocação preva 5, e a exportação real em 004 fo de 470. Prof. Cláudo Serra, Esp. 6

17 Reanho ovno raslero efetvo por estado (Ml caeças) Regões Norte 3,37 5,36 5,847 7,067 7,966 9,83 7,983 9,98,099,43 4,58 7,84 30,49 RO,79,86,774 3,86 3,470 3,98 3,937 4,33 5,04 5,44 5,664 6,605 8,040 AC ,033,673,87 AM RR PA 6,8 6,66 6,990 7,435 7,539 8,058 6,75 7,539 8,337 8,863 0,7,047,9 AP TO 4,309 4,44 4,64 5,39 5,374 5,544 5,43 5,35 5,44 5,83 6,4 6,57 6,979 Nordeste 6,90 6,669 6,9,57,85 3,74 3,88 3,83,98,875,567 3,44 3,89 MA 3,900 3,949 3,93 4,00 4,0 4,6 3,936 3,905 3,937 3,966 4,094 4,483 4,776 PI,974,046,09,98,054,35,730,737,75,756,779,79,804 CE,6,65,60,098,86,66,400,4,4,68,06,94,30 RN PB,345,35, ,054,305, PE,966,95,93,7,349,36,954,68,470,40,56,673,753 AL SE,030,047, BA,505,808,60 0,0 9,877 9,84 9,838 9,950 9,68 9,7 9,557 9,856 9,856 Sudeste 36,33 36,74 37,3 37,67 37,604 37,68 36,605 36,977 37,074 36,899 36,85 37,9 37,94 MG 0,47 0,764,066,034 0,707 0,46 0,48 0,378 0,50 0,08 9,975 0,9 0,559 ES,665,766,89,935,99,968,86,936,938,88,85,665,683 RJ,94,93,94,967,004,905,843,837,88,866,959,977,98 SP,63,6,394,690,974 3,48,798,87,753 3,069 3,09 3,58 3,70 SUL 5,36 5,7 5,45 5,77 6,49 6,64 6,4 6,683 6,600 6,90 6,98 6,784 7,537 PR 8,67 8,54 8,499 8,607 8,9 9,389 9,880 9,897 9,767 9,473 9,646 9,87 0,048 SC,994 3,057 3,047 3,07,960,993 3,098 3,087 3,090 3,053 3,05 3,096 3,8 RS 3,75 3,673 3,905 4,03 4,556 4,59 3,443 3,700 3,743 3,664 3,60 3,87 4,37 Centro-Oeste 45,946 48,09 48,788 5,86 53,40 55,06 53,398 54,67 56,40 57,7 59,64 6,787 65,567 MS 9,64 9,543 0,395,800,44,9 0,756 0,983,4,576,05,60 3,68 MT 9,04 9,89 0,38,68,654 4,54 5,573 6,338 6,75 7,43 8,95 9,9,84 GO 7,635 8,574 8,48 8,58 8,397 8,49 6,955 7,8 8,8 8,97 8,399 9,3 0,0 DF Brasl 47,0 5,36 54,9 55,34 58,43 6,8 58,89 6,46 63,54 64,6 69,876 76,389 85,347 Fonte: IBGE Pesqusa Pecuára Muncpal (www.ge.gov.r). Prof. Cláudo Serra, Esp. 7

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