7 - Distribuição de Freqüências

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1 7 - Dstrbução de Freqüêncas 7.1 Introdução Em mutas áreas há uma grande quantdade de nformações numércas que precsam ser dvulgadas de forma resumda. O método mas comum de resumr estes dados numércos consste em apresentá-los em forma de tabelas ou gráfcos. Os dados da Tabela 7.1 representam o tempo gasto durante o semestre (mnutos) para consultas em revstas da área de 30 alunos de um curso de graduação. Tabela 7.1 Tempo gasto para consultas em revstas da área A partr desses dados desorganzados, é dfícl ter vsão rápda e global do fenômeno. Obteríamos alguma nformação a mas se colocássemos os dados segundo uma certa ordenação, mas sto ndcara somente a ampltude de varação dos dados. O procedmento mas satsfatóro é organzar os dados em uma dstrbução de freqüêncas, de modo a mostrar a freqüênca com que ocorrem certos ntervalos. O propósto da construção de uma dstrbução de freqüêncas é tornar evdente o que há de essencal nos dados e permtr o uso de técncas analítcas para sua descrção. Com as tabelas de freqüêncas, podemos dentfcar a natureza geral da dstrbução dos dados, bem como construr gráfcos que facltem a vsualzação dessa dstrbução. Antes era vantajoso agrupar os dados antes de calcular váras meddas descrtvas. Hoje, as condções são outras, pos os cálculos necessáros podem ser fetos em questão de segundos por um computador ou uma calculadora. Contudo, alguns dados (cfras de governo, por exemplo) só são acessíves em forma de dstrbuções de freqüênca. A segur veremos alguns concetos báscos e no fnal trabalharemos com os dados da Tabela 7.1. Dados Brutos: são aqueles obtdos dretamente da pesqusa, sto é, que anda não sofreram qualquer processo de síntese ou análse. Em geral são apresentados em tabelas e freqüentemente omtdos na maora das publcações por questão de espaço. O conjunto de dados consttu uma amostra. Rol: é uma lsta em que os valores estão dspostos em uma determnada ordem, crescente ou decrescente. Estatístca II... 4

2 Tabela de Freqüêncas ou Dstrbução de Freqüêncas Uma manera de resumr os dados é através de dstrbução de freqüêncas, que consste na construção de uma tabela a partr dos dados brutos em que se leva em conta a freqüênca com que cada observação ocorre. Defnção Uma tabela de freqüêncas relacona categoras (ou classes) de valores, juntamente com contagens (ou freqüêncas) do número de valores que se enquadram em cada categora. As tabelas de freqüêncas podem representar tanto valores ndvduas como valores agrupados em classes: Dstrbução de Freqüêncas de Dados Tabulados não Agrupados em Classes Tabela onde os valores da varável aparecem ndvdualmente. Este tpo de apresentação é utlzado para representar uma varável dscreta. O exemplo é dado pela Tabela 7.2. Tabela 7.2 Freqüêncas dos empregados, segundo o número de flhos Número de flhos (x ) Freqüênca (f ) Total 1 f 20 Observações: x corresponde os valores que a varável pode assumr; f representa as freqüêncas, ou seja, número de vezes que ocorrem x 1, x 2,... ; a soma de freqüêncas absolutas será gual ao total de observações (n). Estatístca II... 46

3 Dstrbução de Freqüêncas de Dados Tabulados Agrupados em Classes Os valores observados não mas aparecerão ndvdualmente, mas agrupados em classes. Quando a varável objeto do estudo for contínua, será sempre convenente agrupar os valores observados em classes. Se, por outro lado, a varável for dscreta e o número de valores representatvos dessa varável for muto grande, recomenda-se o agrupamento dos dados em classes. Veja a Tabela 7.3. Tabela 7.3 Dstrbução do número de vendedores, segundo as vendas semanas ( em saláros mínmos) Vendas semanas Número de vendedores Total 8 f O símbolo ndca nclusão na classe do valor stuado à sua esquerda e exclusão do valor stuado à sua dreta, adotaremos esta notação. Assm, na Tabela 7.3 a quarta classe (4 0) congrega valores de 4, nclusve, até 0, exclusve. Há outros símbolos para representar o ntervalo de classe: 4 0: a classe compreende valores de 4, exclusve, até 0, nclusve. 4 0: a classe compreende valores de 4, exclusve, até 0, exclusve. 4 0: a classe compreende valores de 4, nclusve, até 0, nclusve. Estatístca II... 47

4 7.2 Elementos de uma Dstrbução de Freqüêncas Para construr uma tabela de freqüêncas, é necessáro conhecer alguns termos própros, bem como o procedmento técnco mas adequado. Esses termos serão lstados a segur: Freqüênca Smples Absoluta (f ) É o número de repetções de um valor ndvdual ou de uma classe de valores. A soma das freqüêncas smples absolutas é chamada de freqüênca total e corresponde ao número total de observações. Freqüênca Smples Relatva (fr ) Representa a proporção de observações de um valor ndvdual ou de uma classe, em relação ao número total de observações. Para calcular a freqüênca relatva, basta dvdr a freqüênca absoluta da classe ou do valor ndvdual pelo número total de observações. f fr n Desejando expressar o resultado em termos percentuas, multplca-se o quocente obtdo por 100. f fr *100 n Exemplo: A Tabela 7.4 é uma tabela de freqüêncas com classes. A freqüênca de determnada classe é o número de observações orgnas que se enquadram naquela classe. Por exemplo, a prmera classe na tabela abaxo tem uma freqüênca de 10. A tabela abaxo também apresenta as freqüêncas relatvas e porcentagens. A prmera classe tem uma freqüênca relatva de 10/36 = 0,28 (27,78%). A segunda classe tem uma porcentagem de 33,33% etc. Quando calculadas corretamente, a soma das freqüêncas relatvas deve ser 1 (ou 100%), admtndo-se pequenas dscrepâncas como conseqüênca de arredondamentos. Tabela 7.4 Freqüêncas e porcentagens dos 36 empregados da seção de orçamentos por faxa de saláro Classe de Freqüênca fr fr % saláros f ,28 27, ,33 33, ,22 22, ,14 13, ,03 2,78 f 36 fr 1 fr 100% Estatístca II... 48

5 Freqüênca Absoluta Acumulada Abaxo de (F ) A freqüênca absoluta acumulada abaxo de uma classe ou de um valor ndvdual é a soma da freqüênca absoluta dessa classe ou desse valor com as freqüêncas smples absolutas das classes ou dos valores anterores. A expressão abaxo de refere-se ao fato de que as freqüêncas a serem acumuladas correspondem aos valores menores ou anterores ao valor ou à classe cuja freqüênca acumulada se deseja obter, nclundo no cálculo a freqüênca do valor ou da classe. Toda vez que se procura saber quantas observações exstem até uma determnada classe ou valor ndvdual, recorre-se à freqüênca acumulada abaxo de. Freqüênca Relatva Acumulada Abaxo de ( Fr ) A freqüênca relatva acumulada da classe ou do valor ndvdual é gual à soma da freqüênca smples relatva dessa classe ou desse valor com as freqüêncas smples relatvas das classes ou dos valores anterores. Freqüênca Absoluta Acumulada Acma de (F ) A freqüênca absoluta acumulada acma de uma classe ou de um valor ndvdual representa o número de observações exstentes além do valor ou da classe, nclundo no cálculo as observações correspondentes a esse valor ou a essa classe. Para obter a freqüênca absoluta acumulada (acma de), basta somar à freqüênca smples absoluta da classe ou do valor ndvdual as freqüêncas absolutas das classes ou dos valores ndvduas posterores. Freqüênca Relatva Acumulada Acma de (Fr ) A freqüênca relatva acumulada acma de da classe ou do valor ndvdual é gual à soma da freqüênca smples relatva dessa classe ou desse valor com as freqüêncas smples relatvas das classes ou dos valores posterores. Ampltude Total (AT ) É a dferença entre o maor e o menor valor observado da varável em estudo. Estatístca II... 49

6 Classe (K) Classe de freqüênca, ou, smplesmente classe, é cada um dos grupos de valores em que se subdvde a ampltude total do conjunto de valores observados da varável. O número de classes, em uma dstrbução de freqüêncas, é representado por K. Embora exstam fórmulas apropradas para esse fm, em geral, não se conhecem regras precsas que levam a uma decsão fnal, a qual depende, em parte, de um julgamento pessoal. Se o número de classes for muto pequeno, é comum acontecer que característcas mportantes da varável, fquem ocultas. Por outro lado, um número elevado de classes, fornecerão maor número de detalhes, mas resumrão de forma menos precsa os dados. Em geral, convém estabelecer de a 20 classes. Uma forma de se determnar um número razoável de classes K consste em aplcar a fórmula de Sturges. K = 1 + 3,3 log n onde n é o número total de dados. O número de classes é um ntero próxmo de k. É mportante dexar claro, aqu, que o resultado obtdo por esta fórmula pode ser usado como referênca, mas cabe ao pesqusador determnar o número de classes que pretende organzar. Para entender como se aplca a fórmula, consdere que o número de observações seja 00, tem-se que, k = 1 + 3,3. log (00) k = 9,9 = 10 Ampltude do Intervalo de Classe (c) Defndo o número de classes a ser utlzado, deve-se determnar o ntervalo de classe (c), ou seja, a ampltude de cada classe. Um camnho para sso é dado por: c = AT / K onde AT é a ampltude total dos dados, sto é, a dferença entre o maor e o menor valor observado. Também aqu, é mportante dexar claro que, o resultado obtdo por esta fórmula será usado como referênca, mas cabe ao pesqusador determnar o ntervalo de classe exato. Lmtes de Classes Denomna-se lmtes de classe os extremos dos ntervalos de classe. O menor número é o lmte nferor (l ) e o maor é o lmte superor (L s ). Estatístca II... 0

7 Ponto Médo (x ) Em uma dstrbução de freqüênca também podem ser apresentados os pontos médos de classe (x ). O ponto médo é dado pela soma dos lmtes de classe, dvddo por 2. As tabelas de dstrbução de freqüêncas mostram a dstrbução da varável, mas perdem em exatdão. Isso porque todos os dados passam a ser representados pelo ponto médo da classe a que pertencem. 7.3 Exemplo Para os dados da Tabela 7.1, agrupá-los em classes e determnar a freqüênca smples absoluta e relatva (%), a freqüênca absoluta acumulada abaxo de e acma de e o ponto médo de cada classe. Adotaremos o segunte crtéro para construção de uma tabela de freqüêncas. Dspor os dados em ordem Encontrar a ampltude total Determnar o número de classes (usaremos a fórmula de Sturges) Determnar a ampltude do ntervalo de classe Estatístca II... 1

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