Medidas e resultados em um experimento.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Medidas e resultados em um experimento."

Transcrição

1 Meddas e resultados em um expermento. I- Introdução O estudo de um fenômeno natural do ponto de vsta expermental envolve algumas etapas que, mutas vezes, necesstam de uma elaboração préva de uma seqüênca de trabalho - um projeto. Antes de tudo, deve-se ter clareza sobre o problema que se pretende estudar, ou seja, ter um entendmento da proposta de estudo. Para sto é fundamental que se consga elaborar os objetvos pretenddos. Obvamente, antes de se começar o expermento propramente, o materal necessáro à sua realzação equpamentos e nstrumentos, ferramentas de cálculo e tratamento de meddas, etc. deve ser preparado e colocado em um ambente adequado. Após a determnação das etapas a serem desenvolvdas e a manera de desenvolvê-las, ou seja, o procedmento a ser segudo, passa-se à sua execução. É comum, sobretudo em cêncas naturas, a obtenção de nformações através da realzação de um conjunto de meddas. O resultado dessas meddas passa por uma análse devendo, posterormente, ser preparado para apresentação (tabelas, gráfcos, tratamento matemátco). Chega-se, então, à parte onde a partcpação de quem está trabalhando no expermento, o expermentador, é das mas sgnfcatvas: a nterpretação dos resultados e a conclusão e análse crítca geral de tudo o que fo feto. Geralmente, escreve-se um relatóro de manera a dexar regstrado todo o trabalho realzado. Ao se escrever o relatóro, o expermentador deve consderar que ele tem que ser sufcentemente claro e completo de manera a permtr que uma pessoa com um nível de formação semelhante ao seu compreenda o quê, como e por que fo feto o trabalho, e qual a relevânca dos resultados encontrados. O presente texto pretende servr como um gua ntrodutóro, resumdo e de rápdo acesso, para os estudantes de dscplnas expermentas de Físca básca. ão se tem aqu a ntenção de ser completo e exaustvo; algumas referêncas bblográfcas serão dadas, no sentdo de permtr um aprofundamento maor em alguns pontos, caso seja do nteresse do estudante. II.- Meddas: os resultados e seus desvos ou erros Conforme fo dto anterormente, em cêncas naturas a coleta de nformações é comumente feta através da realzação de um conjunto de meddas de grandezas relaconadas dreta ou ndretamente com a análse do fenômeno em questão. II.- Meddas dretas e ndretas, algarsmos sgnfcatvos e valor mas provável Medr uma grandeza sgnfca compará-la com uma outra de mesma natureza, escolhda como undade. O resultado dessa comparação denomna-se medda da grandeza e nela estão contdas três nformações: - o valor numérco, que é um número ntero ou fraconáro; - a precsão, expressa pelo número de algarsmos sgnfcatvos e pelo desvo; - a undade correspondente utlzada. O sstema de undades normalmente utlzado é o Sstema Internaconal (SIU); o APÊDICE SIU traz uma lsta das undades fundamentas neste sstema. Em expermentos realzados com uma qualdade acetável, as meddas são fetas com nstrumentos calbrados tas como réguas, paquímetros, cronômetros, voltímetros, termômetros e mutos outros. A menor graduação do nstrumento representa o menor valor que ele é capaz de medr com confança. Por exemplo, não faz sentdo querer medr o dâmetro de um fo de cabelo usando uma régua graduada em mlímetros; a maor precsão que se pode ter de uma medda

2 realzada com esta régua, é a precsão de um mlímetro, podendo-se estmar o valor entre duas dvsões. Ao se medr o dâmetro de uma moeda de real com a régua graduada em mlímetros, uma pessoa pode escrever como resultado d = 7, mm. Aqu o valor numérco da grandeza é 7, e a undade é o mlímetro; esse resultado tem 3 algarsmos sgnfcatvos sendo que o últmo é ncerto ou duvdoso. Analsemos um pouco mas esse resultado. Prmeramente, é claro que se trata de uma medda dreta: fo feta uma comparação dreta do dâmetro da moeda com uma régua graduada em mlímetros. O resultado tem 3 algarsmos sgnfcatvos sendo um duvdoso (em qualquer resultado tem-se, em geral, apenas um algarsmo duvdoso!). Essa pessoa podera querer escrever seu resultado usando outra undade de comprmento, como por exemplo o metro; nesse caso ela devera escrever d = 0,07 m ou d =,7 x 0 - m e, em ambos os casos, contnuaríamos tendo 3 algarsmos sgnfcatvos, com um duvdoso, e com a precsão na casa dos décmos de mlímetro. Ou seja, o smples fato de mudar a undade escolhda para descrever um resultado não pode alterar a sua precsão. Os algarsmos zero que aparecem antes do prmero algarsmo dferente de zero não são sgnfcatvos; depos, sm. Sendo assm, não é correto escrever d = 7,0 mm pos, nesse caso, teríamos 4 algarsmos sgnfcatvos com o algarsmo duvdoso sendo o zero; nessa stuação o resultado expressara uma precsão centésmo de mlímetro que a régua não tem! Poder-se-a dzer que numercamente é a mesma cosa mas do ponto de vsta centífco não é: não se pode alterar a precsão de um resultado acrescentando algarsmos sgnfcatvos a ele. O perímetro p da moeda de real pode ser calculado a partr da medda do seu dâmetro, usando a relação p = πr sendo r o rao da moeda. Assm, tem-se p = 85,5 mm podendo-se dzer que fo feta uma medda ndreta do perímetro da moeda uma vez que a grandeza medda dretamente fo o dâmetro e a partr dele é que se encontrou o perímetro. Sera possível medr dretamente o perímetro da moeda utlzando-se uma fta métrca flexível, mas não fo esse o caso. Outra grandeza que podera ser encontrada a partr da medda do dâmetro da moeda é a área da sua face S = πr. Assm, teríamos S = 58 mm que é a área da face da moeda, obtda ndretamente. Observa-se que fo mantdo o número de algarsmos sgnfcatvos gual a 3 nos resultados obtdos tanto para o perímetro quanto para a área. Sempre que se opera com meddas o resultado também deverá conter apenas um algarsmo duvdoso. O valor do dâmetro da moeda apresentado é o resultado de uma únca medda feta por uma únca pessoa. É possível, e provável, que outras pessoas encontrem valores lgeramente dferentes. Mesmo a própra pessoa, ao realzar a medda váras vezes, pode encontrar um conjunto de valores dferentes entre s, dstrbuídos em torno de um determnado valor. Em stuações desse tpo, o que se faz comumente é encontrar o valor médo e utlzá-lo como o valor mas provável para a grandeza. Supondo que quatro meddas do dâmetro d da moeda tenham fornecdo os valores 7, mm; 7,0 mm; 7, mm e 7, mm, o valor numérco mas provável sera d = 7,5 mm. (Atenção: por enquanto, está sendo apresentado apenas o valor numérco; o resultado correto, consderando-se o número de algarsmos sgnfcatvos, é apresentado na próxma seção.) Aqu fo feta uma méda artmétca smples para se encontrar o valor mas provável. Há stuações em que são utlzados métodos estatístcos mas complexos; alguns casos serão apresentados durante o curso.

3 II.- Incerteza ou desvo de uma medda II..- Meddas dretas: erro de letura e desvo médo Como no caso que fo descrto anterormente, repetndo-se a medda de uma grandeza váras vezes, são encontrados valores nem sempre guas. Os valores dferentes encontrados podem ser devdos tanto à habldade de quem realzou as meddas quanto ao nstrumento utlzado, ao método empregado, às dfculdades ntrínsecas ao processo, etc. As flutuações nos valores meddos são chamadas de erro, ou ncerteza ou desvo. Durante um processo de medda podem ocorrer erros sstemátcos e erros aleatóros. Os erros sstemátcos são devdos a problemas de calbração ou fabrcação de um aparelho ou a um erro de procedmento; quando acontece esse tpo de erro os valores encontrados nas meddas são afetados sstematcamente para mas ou sstematcamente para menos. Os erros aleatóros, também chamados erros estatístcos, afetam desordenadamente a medda, às vezes para mas, às vezes para menos. Esse tpo de erro é ntrínseco a qualquer processo de medda e é mportante saber calculá-lo ou estmá-lo para que o resultado fnal de um trabalho expermental seja expresso corretamente. o caso de meddas dretas, os desvos podem ser faclmente encontrados. Quando se realza uma únca medda de uma grandeza, o desvo pode ser encontrado usando dferentes procedmentos mas é sempre mportante usar o bom senso. Uma regra amplamente dfundda é a de que, no caso de medda únca, o desvo (erro de letura) deve ser a metade da menor dvsão da escala do nstrumento de medda. Por exemplo, para se medr a largura l de uma folha de papel A4 com uma régua de 300 mm alguém podera consderar como desvo, a metade de uma undade correspondente à menor dvsão, ou seja, 0,5 mlímetro. Assm a medda da largura da folha sera escrta como l = (,5 ± 0,5) mm. O resultado escrto dessa manera ndca que há uma ncerteza de 0,5 mm (desvo absoluto) na determnação da largura da folha. Entretanto, se essa régua for usada para medr a altura da porta da sala de aula, é claro que o desvo não mas poderá ser de 0,5 mm. O procedmento de posconar a régua váras vezes para completar a medda eleva muto o erro na determnação da altura da porta, devendo este ser da ordem de centímetro. Portanto, essa regra tão dfundda de que o desvo é a metade da menor dvsão da escala deve ser usada com muto cudado, sendo poucas as vezes em que ela pode ser aplcada corretamente. Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógco ou qualquer nstrumento com pontero, tem-se que prestar atenção se a letura é estável ou se o pontero oscla em torno de um valor. Se o aparelho ndcar um valor fxo, pode-se consderar como desvo a própra precsão do nstrumento ou, no caso de não se ter essa nformação, usar uma undade da menor dvsão da escala utlzada. Se houver osclação, é mas razoável calcular o desvo a partr dos lmtes desta osclação: o resultado de uma medda poderá ser qualquer valor dentro da faxa de osclação! o caso de aparelhos dgtas, pode acontecer também de o resultado se apresentar sem flutuações, ou se apresentar osclando. A avalação do desvo deverá, então, ser feta como no caso anteror. Freqüentemente é possível e aconselhável realzar váras meddas da mesma grandeza para se encontrar um resultado mas precso. Quando se realzam meddas de uma mesma grandeza, deve-se encontrar o seu valor médo o qual será o valor mas provável e tomar como desvo, a méda dos valores absolutos das dferenças entre o valor mas provável e cada valor ndvdual. 3

4 O segunte expermento lustra uma stuação deste tpo. Para se determnar a altura de uma cachoera, algumas pessoas medram o tempo de queda de pedrnhas soltas em queda lvre de um mesmo local. Conhecendo-se o tempo de queda t, pode-se calcular a altura h a partr da relação cnemátca h = ½ g t onde g é a aceleração da gravdade. Fo utlzado um cronômetro com precsão de centésmos de segundo e os valores t obtdos em 8 meddas foram:,30 s;,09 s;,03 s;,7 s;,8 s;,3 s;,4 s; e,5 s. A dspersão dos valores, entre,03 s e,3 s, se deve à dfculdade ntrínseca do processo partcular de medda e ao fato de que a precsão do nstrumento utlzado (centésmo de segundo) é bem maor do que a capacdade das pessoas de medr tempo com um tal cronômetro. Para se encontrar o valor mas confável para a altura h deve-se, então, usar o valor mas provável de tempo < t > e o respectvo erro ou desvo absoluto t; numercamente teremos: t = t = (eq. ) = 8 (,30 +,09 +,3 +,7 +,8 +,3 +,4 +,5) s =,96 s t = = t t (eq. ) = 8 (0,04 + 0,06 + 0, , ,06 + 0,4 + 0, ,046) s = 0.07 s e, respetando-se o crtéro de se escrever o desvo com um algarsmo sgnfcatvo, a resposta correta para o resultado encontrado para o tempo de queda: t = t ± t = (,0 ± 0,07) s. Utlzando-se esse resultado e consderando-se g = (9,784 ± 0,00) m/s, chega-se ao valor h = (7,0 ± 0,8) m. O desvo de 0,8 m fo encontrado usando os processos que estão descrtos na seção II... Deve-se observar que a repetção da medda de uma grandeza váras vezes pode melhorar a precsão na sua determnação mas esta não deve r além da precsão do nstrumento utlzado para med-la. Ao se escrever o valor de uma grandeza com o seu respectvo desvo, está-se ndcando um ntervalo de valores acetáves para ela, de acordo com o procedmento em questão. II..a- Desvo absoluto e desvo relatvo os resultados encontrados anterormente, estão expressos os valores das grandezas e seu desvo absoluto, ou seja, tempo de queda fo determnado como sendo,0 s com um desvo absoluto de 0,07 s e para a altura, fo encontrado o valor de 7,0 m com desvo absoluto de 0,8 m. a medda do tempo cometeu-se um erro de 0,07 segundos em,0 e na medda da altura o erro fo de 0,8 metros em 7,0. É muto comum e muto útl expressar resultados em termos do desvo relatvo, t / < t >, no caso do tempo, e h / h no caso da altura. O desvo relatvo é quem melhor ndca a precsão da medda e é comum expressá-lo em termos percentuas. o presente caso ele é de aproxmadamente 0,058, ou ~6%, para o valor do tempo de queda das pedrnhas, e de aproxmadamente 0,7, ou ~%, para a altura da cachoera. Comparando-se os desvos relatvos, pode-se ver qual grandeza fo determnada com maor precsão. 4

5 II..- Meddas ndretas: propagação de erros Uma medda é ndreta quando é obtda a partr de expressões matemátcas que a relaconam com outras grandezas meddas dretamente. Em um exemplo anteror, a altura da cachoera fo medda ndretamente, através de meddas dretas do tempo de queda das pedrnhas. De manera geral, uma grandeza f pode ser função de outras grandezas x, y, z, t, etc., cada uma com seu respectvo erro x, y, z, t, etc.: f = f (x ± x, y ± y, z ± z, t ± t, ) Ao expressar o resultado de f, obtdo ndretamente a partr de cálculos, é mportante apresentar qual é o desvo assocado, ou seja, qual é o resultado da propagação dos erros. Consdere a segunte stuação físca: um corpo se desloca em lnha reta com aceleração constante, de tal forma que a dstânca percorrda X (em metros) vara com o tempo t (em segundos) de acordo com a equação X = 5t (eq. 3) Coloca-se a segunte questão: após um tempo meddo de t = (7,5 ± 0,4) s, qual a dstânca percorrda pelo corpo? A resposta trval para a questão é X = 8,5 m. Entretanto, do ponto de vsta de tratamento de meddas, esta resposta está ncompleta e ncorreta. Consderando que a medda de tempo tem um erro de ±0,4 s, fca a pergunta: como este erro afeta o valor calculado da dstânca? Ou seja, qual desvo X deverá ser atrbuído à dstânca calculada X? Para responder a esta questão, será dada aqu uma vsão rápda do que se chama propagação de erros. Exstem váras maneras de acompanhar a propagação dos erros em meddas ndretas; aqu serão lustrados dos métodos. II..a- Método baseado no cálculo dferencal A manera formal utlzada no cálculo de propagação de erros é baseada no cálculo dferencal. Para lustrar este método, apelaremos para um processo mas ou menos ntutvo, dexando o rgor e o detalhamento matemátco para o estudo de dferencas e dervadas parcas abordado em dscplnas de Cálculo Matemátco. A fgura mostra o gráfco da dstânca percorrda X em função do tempo t. dstânca X (m) X t tempo t (s) Fg. Gráfco da dstânca X em função do tempo t para X = 5t Consdere que as meddas de tempo foram todas tomadas com o mesmo desvo t = ±0,4 s. Então, tempos dferentes, por exemplo t = 7,5 s e t = 0,0 s, com o mesmo erro t, resultam em erros bastante dferentes nos valores correspondentes de dstâncas, conforme se vê na fgura. Quanto maor a nclnação da curva (que é a sua dervada), mas sgnfcatva é a 5

6 conseqüênca do erro da varável tempo para a função dstânca. A assocação da dervada de uma função com a propagação de erro permte uma analoga útl no cálculo do erro no caso de uma grandeza que é função de outras. A dervada f'(x) de uma função de váras varáves pode ser escrta como o quocente entre os dferencas da função e da varável: d f( X ) f'(x) = d X d f(x) = f (X). d X É razoável usar a aproxmação de que a dferencal (acréscmo nfntesmal) de uma grandeza pode ser tomada como um erro (acréscmo mensurável) nesta grandeza e pode-se escrever: f (X) f'(x) X ou melhor f(x) f'(x) X (eq. 4) onde o valor absoluto f'(x) é tomado para garantr sempre um valor postvo para o erro f, que determnará a faxa de valores possíves de f. A partr dessas consderações, pode-se aplcar a equação 4 no cálculo da propagação do erro para o presente exemplo, ou seja, encontrar o erro X a partr do erro t = 0,4s. Teremos, então: X X'(t) t = 0t t já que a dervada de X = 5 t em relação a t é 0t e, assm, { X = (0 x 7,5 x 0,4)m = 30m = (3 x 0) m para t X = (0 x 0,0 x 0,4)m = 80m = (8 x 0) m para t. Os valores para as dstâncas serão: { X = 5 t = 5 x 56,5 = 8,5 m X = 5 t = 5 x 400 = 000 m. e os resultados corretos, lembrando-se de usar apenas um algarsmo sgnfcatvo para o erro, deverão ser escrto como: X = (,8 ± 0,3) x 0 m X = (,00 ± 0,08) x 0 3 m Fo necessáro usar potênca de dez para expressar o resultado corretamente pos os números 30 e 80 têm dos algarsmos sgnfcatvos. a forma de erros relatvos, os resultados acma seram X =,8 x 0 m com um erro de %, e X =,00 x 0 3 m com um erro de 4%. Observe que o número de algarsmos sgnfcatvos do valor da grandeza tem que respetar a precsão dada pelo erro absoluto calculado a partr do erro percentual.; por exemplo, não é correto escrever X = (,8 x 0 m ± %). Esse processo pode ser estenddo aos casos onde a grandeza a ser determnada depende de váras varáves, ou seja, depende da medda de váras outras grandezas com seus respectvos erros. Seja a função f dependente de x, y, z, etc. Estas varáves são grandezas meddas e assm, a cada uma delas tem um erro expermental x, y, z, etc. Assm: f = f (x ± x, y ± y, z ± z, t ± t, ) 6

7 Para encontrar o erro f de f, basta generalzar o resultado obtdo para uma varável, equação 4, para essa stuação de váras varáves. Assm, pode-se escrever: f f f f f = x + y + z + t + (eq. 5) x y z t f onde representa a dervada parcal de f com relação a x. A dervada parcal de uma função x com relação a uma de suas varáves é calculada como uma dervada normal, consderando todas as outras como constantes. Como um exemplo de aplcação de propagação de erros em uma grandeza calculada através de outras duas ou mas grandezas, consdere a stuação em que foram meddas a massa m e a velocdade v de um carro e deseja-se calcular qual é sua energa cnétca E. Sejam m = (, ± 0,) x 0 3 Kg, e v = (0,0 ± 0,5) m/s A energa cnétca E é dada pela fórmula E = ½ m v. Usando a eq. 5, o desvo em E será: E E v E = m + v E = m + mv v m v Efetuando-se os cálculos com os valores das meddas tem-se x 0 4 J para o erro e 4 x 0 4 J para o valor da energa cnétca. Assm, o resultado escrto corretamente é E = (4 ± ) x 0 4 J = (,4 ± 0,) x 0 5 J Como exemplo de aplcação da eq. 5 em outros casos, fca aqu, como exercíco, a demonstração das seguntes afrmações: Se f é a soma ou subtração de grandezas x, y, z, então f = x + y + z + (o desvo absoluto em f é a soma dos desvos absolutos das grandezas x, y, z, ). Se f é a multplcação de uma grandeza x por uma constante k então f = k x (o desvo absoluto em f é k vezes o desvo absoluto da grandeza x). Se f é a dvsão de uma grandeza x por uma constante k então f = x / k (o desvo absoluto em f é o desvo absoluto da grandeza x dvddo por k). Se f é a multplcação ou dvsão de grandezas x, y, z, então f/f = x/x + y/y + z/z + (o desvo relatvo em f é a soma dos desvos relatvos das grandezas x, y, z, ). Se f é a potênca n de uma grandeza x, então f/f = n x/x (o desvo relatvo em f é n vezes o desvo relatvo da grandeza x). 7

8 II..b - Método dos valores lmtes Uma outra manera de se estmar o desvo de uma grandeza f obtda ndretamente é calculando-se os valores lmtes que f pode assumr a partr dos valores máxmos (x + x, y + y, ) e mínmos (x x, y y, ) das grandezas x, y, z, Consdere, como exemplo, um expermento de movmento retlíneo com aceleração constante a, onde uma partícula percorre uma dstânca d, em um tempo t. Foram meddos valores para a dstânca e o tempo, com desvos d e t respectvamente, ou seja, (d ± d) e (t ± t), encontrando-se (,0 ± 0,4) m, e (4,0 ± 0,) s. O valor da aceleração é dado por a = a máx = a mín = ( d + d) ( t t) ( t + t) ( d d) d. Então, os seus valores lmte serão: t = x (,4 m) / (3,8 s) =,775 m/s (eq. 6) = x (,6 m) / (4, s) =,35 m/s (eq. 7) O valor médo da aceleração (anda sem consderar o número correto de algarsmos sgnfcatvos) será a = a máx + a mín = (,775 +,35) / =,563 m/s (eq. 8) e o desvo em a sendo dado (com um algarsmo sgnfcatvo) por amáx a a = mín. = (,775 -,35) / = 0, m/s (eq. 9) O valor para a aceleração deverá ser expresso corretamente como: a = (,5 ± 0,) m/s ou a =,5 m/s com 3% de desvo. Através do cálculo do erro propagado, tem-se uma déa de quão sensível é o resultado à medda de cada uma das varáves. o exemplo anteror, o erro no valor da aceleração é mas sensível ao erro na medda de tempo (dependênca com o quadrado) do que o erro na medda de dstânca (dependênca lnear). Os cálculos de desvos, mutas vezes, são fetos com a ajuda de calculadoras e programas de computador. Entretanto, é de grande mportânca que o expermentador tenha uma boa noção dos processos empregados nesses cálculos e anda saba, usando o bom senso, estmar a precsão de um resultado. II.3- Precsão e confabldade de uma medda Os concetos de precsão e de confabldade são, freqüentemente, confunddos. Uma medda pode ser muto precsa e não ser confável, por exemplo, quando for feta usando um nstrumento de alta precsão, porém descalbrado. O contráro também pode acontecer, ou seja, uma medda ser pouco precsa mas ser confável. É mportante, portanto, dstngur os dos concetos: medda confável é aquela onde os erros sstemátcos são muto pequenos; medda precsa é aquela onde os erros aleatóros são muto pequenos. 8

9 III- Apresentação de resultados expermentas: Tabelas e Gráfcos III.- Tabelas O prmero estágo de apresentação de uma sére de meddas resultante de um expermento é através de tabelas que, em geral, já são montadas durante o processo de obtenção de dados. Embora em cada expermento se deva decdr pela forma de tabela mas convenente, é mostrado a segur um padrão de tabela que se adapta à maora dos expermentos que serão fetos nas dscplnas expermentas de Físca. Consdere um expermento onde se aplca tensão elétrca V entre 0 e 50 V em um resstor e mede-se a corrente I gerada. A tabela mostra uma forma convenente de apresentar os valores obtdos: Tab. - Valores da tensão aplcada no resstor e a correspondente corrente. Tensão (V ± %) Corrente (0 3 A),3,5 ± 0, 5,8 3,8 ± 0,3 9,5 40,0 ± 0,4,7 44,4 ± 0,4 9, 59, ± 0,6 38,4 76, ± 0,8 4,3 83,8 ± 0,8 50,0 99,3 ± 0,9 Deve-se observar que: toda tabela deve ter uma legenda; no cabeçalho da tabela é mportante vr a especfcação das grandezas que foram meddas com suas undades e a estmatva dos erros, absolutos ou relatvos, a elas assocados; se cada medda apresentar um erro dferente, deve-se especfcá-lo após cada uma; o número de algarsmos sgnfcatvos das meddas deve ser compatível com os erros especfcados. III.- Gráfcos A construção de gráfcos assocando as varáves meddas em um expermento é bastante nteressante, pos permte uma vsualzação rápda do tpo de dependênca exstente entre as grandezas estudadas. Exstem város tpos de gráfcos, cada um se adequando melhor às grandezas meddas e ao tpo de relações que se deseja fazer entre elas. Uma forma de gráfco bastante comum em expermentos de físca é aquele relaconando duas grandezas onde cada valor de uma está assocado a um valor correspondente da outra. O gráfco a segur, mostrando a relação entre as grandezas tensão e corrente representadas na tabela anteror, lustra uma forma comumente utlzada. 9

10 Tensão elétrca V (V) Relação entre tensão e corrente em um resstor Corrente elétrca I (ma) Fg. Exemplo de um gráfco: Tensão elétrca V versus corrente I em um resstor. Deve-se ter atenção que um gráfco deve conter: título e/ou legenda; nome da grandeza em cada exo com sua respectva undade; dmensonamento correto da escala. Uma observação rápda do gráfco anteror permte dentfcar uma relação lnear entre as duas grandezas analsadas. IV- Tratamento matemátco de dados: Ajuste de uma reta por regressão lnear O gráfco da seção anteror sugere, vsualmente, que exste uma relação lnear entre a tensão elétrca aplcada e a corrente no resstor. Isso sgnfca que, procurando-se uma relação matemátca que assoce a corrente I no resstor sujeto a uma tensão V, deve-se encontrar a equação de uma reta, ou seja, uma equação do tpo: y = A + Bx (eq. 0) onde a constante B representa a nclnação da reta e a constante A o valor da grandeza y quando x = 0. Para o caso do resstor podemos escrever especfcamente V = A + BI É possível traçar no gráfco uma reta que, vsualmente, melhor equlbra os pontos meddos e, então, determnar os valores de A e B (faça sso). Entretanto, exstem processos matemátcos objetvos que estabelecem a melhor reta que se ajusta aos pontos meddos. O processo mas utlzado com esse ntuto é chamado regressão lnear. Geralmente, todo processo operaconal de ajuste, ou seja, a obtenção das constantes A e B que defnem a reta, será feto por calculadora ou computador. o entanto é nteressante que se tenha conhecmento da orgem das fórmulas empregadas e do processo de cálculo envolvdo. 0

11 IV.- Regressão Lnear: Pode-se dzer que regressão lnear é a: determnação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados de meddas relaconando grandezas lnearmente dependentes. Consdere a sére de pontos expermentas genércos (x, y ) colocados na tabela e no gráfco da fgura 3. Tab. - Resultados expermentas de duas grandezas hpotétcas x e y y (u.a.) x (u.a.) y x y x y n x n y (u.a.) A + Bx y } δ 4 x 0 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 x (u.a.) Fg. 3 Pontos expermentas defnndo uma reta; δ.é a dferença entre a ordenada y medda para x e o correspondente valor calculado pela equação da reta. Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos escrever sua equação na forma y = A + B x,onde A é o ponto onde a reta corta o exo vertcal, em x = 0, e B a nclnação da reta escolhda. Observando o gráfco da fgura 3 notamos que para o ponto x, o valor expermental corresponde é y, mas, pela reta escolhda, a ordenada correspondente a x será A + B x. Desta forma, para cada ponto x exste uma dferença δ, ou resíduo, entre o valor expermental meddo e o valor de y calculado pela reta: δ = y (A + Bx ). Alguns resíduos são postvos e outros negatvos. Uma grandeza que dara uma vsão de quão boa é a reta calculada, sera: D = (δ ) = [ (A + Bx y )] (eq. ) a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos. A melhor reta que ajusta os pontos expermentas é aquela que mnmza D, ou seja, deve-se achar os valores de A e B tas que D seja mínmo. Como D é uma função de A e B, para que ele seja mínmo devemos ter: D = 0 A D e = 0 B Dervando a equação tem-se: D = - [ y A Bx ] A e D B [ y A Bx ] x =

12 Assm, para que D seja mínmo, devemos ter: [ y - A - Bx ] = 0 (eq. a) [ y - A - Bx ] x = 0 (eq. b) que é um sstema de duas equações com duas ncógntas A e B que determnam a melhor reta y = A + Bx, que passa pelos pontos expermentas (x, y ). A solução de é smples e dá como resultado os seguntes valores para A e B: B = A x y x x x ) ( y [ y B x ] = = = xy x y x x x x y x x ) ( x y (eq. 3) (eq. 4) Todos os somatóros apresentados aqu são para de até, onde é o número de pares de valores expermentas (x, y ). Uma descrção mas completa do método nos permtra anda determnar estatstcamente os desvos (ncertezas) assocadas às constantes A e B calculadas. Aqu serão dados apenas os resultados dos cálculos destes desvos: B = ( - ) D x ( x ) e A = D ( - ) Obs. ) Exste um parâmetro estatístco, chamado coefcente de determnação, que permte avalar a qualdade do ajuste. Para os propóstos das atvdades aqu propostas esse parâmetro tem pouca relevânca e, portanto, não será tratado. Obs. ) o método da regressão lnear, todos os pares ordenados têm a mesma mportânca. Em alguns casos, condções físcas mpõem que alguns pontos tenham mas mportânca que outros (mutas vezes, por exemplo, a reta deve passar pela orgem). este caso, você pode entrar com os correspondentes pares de valores váras vezes para aumentar sua mportânca nos cálculos. A reta tenderá a passar mas próxma deste ponto. IV.- Consderações geras O processo de superpor uma curva descrta por uma equação a um conjunto de pontos expermentas não se aplca apenas quando a relação entre as grandezas é lnear. Sempre que exstr algum modelo ou prevsão teórca para a relação matemátca entre as grandezas, é possível encontrar os parâmetros que ajustem a curva correspondente com os resultados expermentas. O método matemátco genérco que permte esse tpo de ajuste é chamado de Método de Mínmos Quadrados pos, como fo exemplfcado no caso partcular do ajuste da reta, são procurados os parâmetros que mnmzem o quadrado das dferenças δ (eq.) entre o valor meddo e o correspondente valor calculado. Mutos programas atuas de tratamento de dados permtem se fazer um ajuste dretamente de uma função matemátca estabelecda pelo usuáro. a seção segunte será apresentado um procedmento que permtrá, através da lnearzação de um gráfco, usar anda a regressão lnear apresentada na seção IV.. x x ( x )

13 V- Tratamento matemátco de dados: lnearzação de gráfcos É muto freqüente em físca se ldar com fenômenos onde duas grandezas x e y se relaconam lnearmente, ou seja, y = A + Bx. esses casos, a partr da regressão lnear dos pares de resultados obtdos (x, y), é possível encontrar as constantes A e B da reta que melhor se ajusta aos pontos expermentas, conforme descrto na seção anteror. Usando os valores dessas constantes é possível trar nformações mportantes relatvas ao expermento. Há, obvamente, expermentos onde a relação entre as grandezas estudadas não é lnear, o que sgnfca que essas grandezas não estão relaconadas por uma equação de reta. Em stuações como esta, a obtenção de nformações relevantes ao expermento pode ser feta de mas de uma manera. Apresenta-se a segur o procedmento de lnearzação, usando a Le de Coulomb com exemplo. V.- Lnearzação Consdere uma stuação físca onde duas pequenas esferas carregadas postvamente com cargas q e q estão separadas de uma dstânca r; exste uma repulsão elétrca mútua entre elas com forças guas e opostas F e F, como ndcado na fgura abaxo. q q + + F F r Fg. 4 - Duas cargas postvas q e q separadas por uma dstânca r, se repelem com forças F e F Fo realzado um expermento, dspondo-se de um equpamento aproprado, onde se varou a dstânca r entre as cargas e medu-se o valor do módulo F da força de repulsão.os resultados encontram-se na tabela e um gráfco de F versus r é mostrado na fgura 5. Tabela 3- Valores da força F em função da dstânca r entre duas cargas q e q F (± 0,004 ) r (± 0, x 0 m),93,0,489,,4,5 0,957,8 0,783,0 0,53,5 0,357 3,0 0,99 4,0 0,8 5,0 0,089 6,0 0,065 7,0 0,050 8,0 0,039 9,0 0,03 0,0 F () 3,0,5,0,5,0 0,5 0, r (x0 - m) Fg. 5 Módulo da força F de repulsão elétrca entre duas pequenas esferas carregadas em função da dstânca r de separação entre elas. Uma abordagem formal desse problema de força elétrca entre duas cargas pontuas mostra que a relação matemátca entre F, q, q e r é: q q F = K onde K é uma constante que vale 9,0 x 0 9.m /C. (eq. 5) r Esta relação é conhecda como Le de Coulomb. 3

14 Consderando-se que as cargas q e q nas esferas não varam, deve-se esperar que a força entre elas vare com o nverso do quadrado da dstânca. Pode-se colocar, então, a segunte questão: como verfcar se os dados expermentas concordam com a prevsão teórca? Esta questão já fo respondda anterormente em stuações onde a relação entre as grandezas estudadas é lnear e o método de regressão lnear pôde ser usado para se achar a equação da reta que melhor se ajusta aos dados obtdos. o presente caso, a relação entre F e r não é lnear e não se pode aplcar este método dretamente. Exstem maneras de se ajustar qualquer tpo de equação a dados expermentas; entretanto aqu será mostrado um método que aproveta os conhecmentos já empregados no uso da regressão lnear. Prmeramente tem-se que passar o gráfco obtdo por um processo de lnearzação. Tal procedmento consste em se encontrarem novas grandezas, que sejam funções das orgnas, e que tenham entre s uma relação lnear. A Le de Coulomb afrma que a força elétrca entre duas cargas pontuas vara com o nverso do quadrado da dstânca entre elas, ou seja, para valores de cargas constantes, pode-se escrever a le físca que deve corresponder ao presente expermento na forma: F = C onde C = K q r q = constante. Defnndo-se uma outra varável X gual ao nverso do quadrado de r, tem-se uma relação entre F e X que é lnear, ou seja, defnndo-se uma grandeza X= / r, tem-se F = C X. Assm, construndo-se o gráfco de F (ordenada) em função de X (abscssa), se encontrará uma reta pos F vara lnearmente como o nverso do quadrado de r. Sendo assm, pode-se fazer uma regressão lnear consderando as novas grandezas: Y = A + BX onde Y = F X = r A 0 B = C Esses resultados são apresentados na fgura 6. F () 3,0,5,0,5,0 0,5 Y = A + BX => F = C X' A = (-0,0± 0,04) B = (3, ± 0,) x 0-4.m 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0, X = /r (x 0 4 m - ) Fg. 6 - A força F entre duas cargas elétrcas é lnear com o nverso do quadrado da dstânca entre elas X = /r. Os parâmetros do ajuste por regressão lnear estão ncluídos no gráfco. O procedmento para se lnearzar um gráfco depende de cada stuação pos as equações envolvdas na análse do problema é que rão dar a receta do que deve feto para se 4

15 encontrarem novas varáves, que serão funções das anterores, de manera que elas tenham relação lnear entre s. o caso aqu apresentado, o procedmento fo smplesmente representar a força e o nverso do quadrado da dstânca. V..- O uso da função logartmo. Uma manera muto comum de se procurarem relações que lnearzem um gráfco é aplcar a função logartmo. Entretanto, deve-se ter o cudado em utlzar esse expedente apenas em stuações em que pelo menos uma das varáves envolvdas no expermento esteja no expoente. Por exemplo, város fenômenos físcos têm uma descrção formal entre as varáves x e y do tpo: α x y α 0 + αe = ou y = β + β 0 β / x sendo α e β constantes quasquer, os quas necesstam da função logartmo para a lnearzação. O uso do logartmo na stuação do exemplo anteror de força entre cargas elétrcas pode levar a um mascaramento do comportamento das grandezas. Por exemplo, tomando-se o logartmo de ambos os lados da eq. 5 tem-se uma nova relação matemátca correspondente ao expermento: ln F = ln r + ln C com = K q q. C A equação anteror tem a forma de equação de uma reta: Y' = A' + B' X' onde, agora, Y' = ln F X' = ln r B' A' = ln C Ao se fazer a regressão lnear nos novos dados, o parâmetro B' será ajustado por métodos de mínmos quadrados podendo ser encontrado um valor dferente de. Isto é feto pos, ao buscar o mínmo da soma dos quadrados das dferenças δ (ver eq. ), o método leva as flutuações naturas a qualquer processo de coleta de dados, para os parâmetros ajustáves A' e B'. Entretanto, sabe-se muto bem que o expoente da dstânca entre as cargas pontuas na Le de Coulomb é (exatamente!) e não tem sentdo se querer ajustar esse valor, ou seja, esta não é uma varável no problema. É mportante chamar a atenção de que o processo de lnearzação de um gráfco consste smplesmente em encontrar as ordenadas e abscssas adequadas de forma que a relação entre elas seja lnear. Em váras stuações o uso da função logartmo pode ser o processo mas convenente, mas não é sempre assm. A escolha da manera mas convenente para se fazer a lnearzação de um gráfco deve ser orentada no sentdo de se obter, de forma mas smples, as constantes procuradas. 5

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca NOTA II TABELAS E GRÁFICOS II.1 - TABELAS A manera mas adequada na apresentação de uma sére de meddas de um certo epermento é através de tabelas.

Leia mais

Algarismos Significativos Propagação de Erros ou Desvios

Algarismos Significativos Propagação de Erros ou Desvios Algarsmos Sgnfcatvos Propagação de Erros ou Desvos L1 = 1,35 cm; L = 1,3 cm; L3 = 1,30 cm L4 = 1,4 cm; L5 = 1,7 cm. Qual destas meddas está correta? Qual apresenta algarsmos com sgnfcado? O nstrumento

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Prof. Lorí Val, Dr. UFRG Insttuto de Matemátca

Leia mais

7 - Distribuição de Freqüências

7 - Distribuição de Freqüências 7 - Dstrbução de Freqüêncas 7.1 Introdução Em mutas áreas há uma grande quantdade de nformações numércas que precsam ser dvulgadas de forma resumda. O método mas comum de resumr estes dados numércos consste

Leia mais

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear Estatístca II Antono Roque Aula 18 Regressão Lnear Quando se consderam duas varáves aleatóras ao mesmo tempo, X e Y, as técncas estatístcas aplcadas são as de regressão e correlação. As duas técncas estão

Leia mais

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos Curso de extensão, MMQ IFUSP, feverero/4 Alguns exercíco báscos I Exercícos (MMQ) Uma grandeza cujo valor verdadero x é desconhecdo, fo medda três vezes, com procedmentos expermentas dêntcos e, portanto,

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ 1 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das

Leia mais

Figura 8.1: Distribuição uniforme de pontos em uma malha uni-dimensional. A notação empregada neste capítulo para avaliação da derivada de uma

Figura 8.1: Distribuição uniforme de pontos em uma malha uni-dimensional. A notação empregada neste capítulo para avaliação da derivada de uma Capítulo 8 Dferencação Numérca Quase todos os métodos numércos utlzados atualmente para obtenção de soluções de equações erencas ordnáras e parcas utlzam algum tpo de aproxmação para as dervadas contínuas

Leia mais

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA AV. FERNANDO FERRARI, 514 - GOIABEIRAS 29075-910 VITÓRIA - ES PROF. ANDERSON COSER GAUDIO FONE: 4009.7820 FAX: 4009.2823

Leia mais

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência.

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência. MODELO DE REGRESSÃO DE COX Os modelos de regressão paramétrcos vstos anterormente exgem que se suponha uma dstrbução estatístca para o tempo de sobrevvênca. Contudo esta suposção, caso não sea adequada,

Leia mais

1 Objetivo da experiência: Medir o módulo da aceleração da gravidade g no nosso laboratório com ajuda de um pêndulo simples.

1 Objetivo da experiência: Medir o módulo da aceleração da gravidade g no nosso laboratório com ajuda de um pêndulo simples. Departamento de Físca ICE/UFJF Laboratóro de Físca II Prátca : Medda da Aceleração da Gravdade Objetvo da experênca: Medr o módulo da aceleração da gravdade g no nosso laboratóro com ajuda de um pêndulo

Leia mais

RISCO. Investimento inicial $ $ Taxa de retorno anual Pessimista 13% 7% Mais provável 15% 15% Otimista 17% 23% Faixa 4% 16%

RISCO. Investimento inicial $ $ Taxa de retorno anual Pessimista 13% 7% Mais provável 15% 15% Otimista 17% 23% Faixa 4% 16% Análse de Rsco 1 RISCO Rsco possbldade de perda. Quanto maor a possbldade, maor o rsco. Exemplo: Empresa X va receber $ 1.000 de uros em 30 das com títulos do governo. A empresa Y pode receber entre $

Leia mais

UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ENSINO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO NÍVEL MÉDIO E INÍCIO DO CURSO SUPERIOR

UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ENSINO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO NÍVEL MÉDIO E INÍCIO DO CURSO SUPERIOR UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ENSINO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO NÍVEL MÉDIO E INÍCIO DO CURSO SUPERIOR

Leia mais

Contabilometria. Aula 8 Regressão Linear Simples

Contabilometria. Aula 8 Regressão Linear Simples Contalometra Aula 8 Regressão Lnear Smples Orgem hstórca do termo Regressão Le da Regressão Unversal de Galton 1885 Galton verfcou que, apesar da tendênca de que pas altos tvessem flhos altos e pas axos

Leia mais

CQ110 : Princípios de FQ

CQ110 : Princípios de FQ CQ 110 Prncípos de Físco Químca Curso: Farmáca Prof. Dr. Marco Vdott mvdott@ufpr.br 1 soluções eletrolítcas Qual a dferença entre uma solução 1,0 mol L -1 de glcose e outra de NaCl de mesma concentração?

Leia mais

Introdução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas

Introdução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas Introdução à Análse de Dados nas meddas de grandezas físcas www.chem.wts.ac.za/chem0/ http://uregna.ca/~peresnep/ www.ph.ed.ac.uk/~td/p3lab/analss/ otas baseadas nos apontamentos Análse de Dados do Prof.

Leia mais

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO PARALELA 4º BIMESTRE

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO PARALELA 4º BIMESTRE EXERCÍCIOS DE RECUERAÇÃO ARALELA 4º BIMESTRE NOME Nº SÉRIE : 2º EM DATA : / / BIMESTRE 4º ROFESSOR: Renato DISCILINA: Físca 1 VISTO COORDENAÇÃO ORIENTAÇÕES: 1. O trabalho deverá ser feto em papel almaço

Leia mais

Análise de Regressão

Análise de Regressão Análse de Regressão método estatístco que utlza relação entre duas ou mas varáves de modo que uma varável pode ser estmada (ou predta) a partr da outra ou das outras Neter, J. et al. Appled Lnear Statstcal

Leia mais

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas 3.6. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas

Leia mais

Notas Processos estocásticos. Nestor Caticha 23 de abril de 2012

Notas Processos estocásticos. Nestor Caticha 23 de abril de 2012 Notas Processos estocástcos Nestor Catcha 23 de abrl de 2012 notas processos estocástcos 2 O Teorema de Perron Frobenus para matrzes de Markov Consdere um processo estocástco representado por um conunto

Leia mais

2 Principio do Trabalho Virtual (PTV)

2 Principio do Trabalho Virtual (PTV) Prncpo do Trabalho rtual (PT)..Contnuo com mcroestrutura Na teora que leva em consderação a mcroestrutura do materal, cada partícula anda é representada por um ponto P, conforme Fgura. Porém suas propredades

Leia mais

AEP FISCAL ESTATÍSTICA

AEP FISCAL ESTATÍSTICA AEP FISCAL ESTATÍSTICA Módulo 11: Varáves Aleatóras (webercampos@gmal.com) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Conceto de Varáves Aleatóras Exemplo: O expermento consste no lançamento de duas moedas: X: nº de caras

Leia mais

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA CAPÍTULO DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA. A MÉDIA ARITMÉTICA OU PROMÉDIO Defnção: é gual a soma dos valores do grupo de dados dvdda pelo número de valores. X x Soma dos valores de x número de

Leia mais

Programa de Certificação de Medidas de um laboratório

Programa de Certificação de Medidas de um laboratório Programa de Certfcação de Meddas de um laboratóro Tratamento de dados Elmnação de dervas Programa de calbração entre laboratóros Programa nterno de calbração justes de meddas a curvas Tratamento dos resultados

Leia mais

ANÁLISE DA VARIÂNCIA DA REGRESSÃO

ANÁLISE DA VARIÂNCIA DA REGRESSÃO ANÁLISE DA VARIÂNCIA DA REGRESSÃO PROCEDIMENTO GERAL DE REGRESSÃO Em um modelo de análse de varânca, como no DIA, o fator em estudo pode ser quanttatvo ou qualtatvo. FATOR QUANTITATIVO: é aquele cujos

Leia mais

Análise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA

Análise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA Análse de Regressão Profa Alcone Mranda dos Santos Departamento de Saúde Públca UFMA Introdução Uma das preocupações estatístcas ao analsar dados, é a de crar modelos que explctem estruturas do fenômeno

Leia mais

MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS. Professor: Rodrigo A. Scarpel

MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS. Professor: Rodrigo A. Scarpel MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EPERIMENTOS Professor: Rodrgo A. Scarpel rodrgo@ta.br www.mec.ta.br/~rodrgo Prncípos de cração de modelos empírcos: Modelos (matemátcos, lógcos, ) são comumente utlzados na

Leia mais

CARGA E DESCARGA DE UM CAPACITOR

CARGA E DESCARGA DE UM CAPACITOR EXPEIÊNCIA 06 CAGA E DESCAGA DE UM CAPACITO 1. OBJETIVOS a) Levantar, em um crcuto C, curvas de tensão no resstor e no capactor em função do tempo, durante a carga do capactor. b) Levantar, no mesmo crcuto

Leia mais

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha)

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha) Estatístca p/ Admnstração II - Profª Ana Cláuda Melo Undade : Probabldade Aula: 3 Varável Aleatóra. Varáves Aleatóras Ao descrever um espaço amostral de um expermento, não especfcamos que um resultado

Leia mais

1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 014 Estatístca Descrtva e Análse Exploratóra Etapas ncas. Utlzadas para descrever e resumr os dados. A dsponbldade de uma grande quantdade de dados e de

Leia mais

4. MODELAMENTOS EM POLUIÇÃO DO AR: PREDITIVOS E RECEPTORES

4. MODELAMENTOS EM POLUIÇÃO DO AR: PREDITIVOS E RECEPTORES 4. MODELAMENTOS EM POLUIÇÃO DO AR: PREDITIVOS E RECEPTORES Para o Curso de Físca da Polução do Ar FAP346, º Semestre/006 Prof. Amérco Sansgolo Kerr Montora: Mara Emíla Rehder aver 4. INTRODUÇÃO No modelamento

Leia mais

1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem.

1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem. Les de Krchhoff Até aqu você aprendeu técncas para resolver crcutos não muto complexos. Bascamente todos os métodos foram baseados na 1 a Le de Ohm. Agora você va aprender as Les de Krchhoff. As Les de

Leia mais

8.16. Experimentos Fatoriais e o Fatorial Fracionado

8.16. Experimentos Fatoriais e o Fatorial Fracionado 8.6. Expermentos Fatoras e o Fatoral Fraconado Segundo Kng (995) os arranos fatoras e fatoral fraconado estão dentre os arranos mas usados em expermentos ndustras. Veremos aqu alguns casos mas geras e

Leia mais

2 Lógica Fuzzy Introdução

2 Lógica Fuzzy Introdução 2 Lógca Fuzzy 2.. Introdução A lógca fuzzy é uma extensão da lógca booleana, ntroduzda pelo Dr. Loft Zadeh da Unversdade da Calfórna / Berkeley no ano 965. Fo desenvolvda para expressar o conceto de verdade

Leia mais

Física C Intensivo V. 2

Física C Intensivo V. 2 Físca C Intensvo V Exercícos 01) C De acordo com as propredades de assocação de resstores em sére, temos: V AC = V AB = V BC e AC = AB = BC Então, calculando a corrente elétrca equvalente, temos: VAC 6

Leia mais

AULA EXTRA Análise de Regressão Logística

AULA EXTRA Análise de Regressão Logística 1 AULA EXTRA Análse de Regressão Logístca Ernesto F. L. Amaral 13 de dezembro de 2012 Metodologa de Pesqusa (DCP 854B) VARIÁVEL DEPENDENTE BINÁRIA 2 O modelo de regressão logístco é utlzado quando a varável

Leia mais

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens O problema da superdspersão na análse de dados de contagens 1 Uma das restrções mpostas pelas dstrbuções bnomal e Posson, aplcadas usualmente na análse de dados dscretos, é que o parâmetro de dspersão

Leia mais

Robótica. Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário FEI 2016

Robótica. Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário FEI 2016 Robótca Prof. Renaldo Banch Centro Unverstáro FEI 2016 6 a Aula IECAT Objetvos desta aula Momentos Lneares, angulares e de Inérca. Estátca de manpuladores: Propagação de forças e torques. Dnâmca de manpuladores:

Leia mais

Diferença entre a classificação do PIB per capita e a classificação do IDH

Diferença entre a classificação do PIB per capita e a classificação do IDH Curso Bem Estar Socal Marcelo Ner - www.fgv.br/cps Metas Socas Entre as mutas questões decorrentes da déa de se mplementar uma proposta de metas socas temos: Qual a justfcatva econômca para a exstênca

Leia mais

PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2010/2011

PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2010/2011 Instruções: PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 00/0 Cada uestão respondda corretamente vale (um) ponto. Cada uestão respondda ncorretamente vale - (menos um) ponto. Cada uestão

Leia mais

Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S

Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Unversdade Federal da Baha Insttuto de Físca Departamento de Físca da Terra e do Meo Ambente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Físca I SALVADOR, BAHIA 013 1 Prefáco Esta apostla é destnada

Leia mais

CAPITULO II - FORMULAÇAO MATEMATICA

CAPITULO II - FORMULAÇAO MATEMATICA CAPITULO II - FORMULAÇAO MATEMATICA II.1. HIPOTESES BASICAS A modelagem aqu empregada está baseado nas seguntes hpóteses smplfcadoras : - Regme permanente; - Ausênca de forças de campo; - Ausênca de trabalho

Leia mais

Estudo quantitativo do processo de tomada de decisão de um projeto de melhoria da qualidade de ensino de graduação.

Estudo quantitativo do processo de tomada de decisão de um projeto de melhoria da qualidade de ensino de graduação. Estudo quanttatvo do processo de tomada de decsão de um projeto de melhora da qualdade de ensno de graduação. Rogéro de Melo Costa Pnto 1, Rafael Aparecdo Pres Espíndula 2, Arlndo José de Souza Júnor 1,

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Não Lnear com Restrções Aula 9: Programação Não-Lnear - Funções de Váras Varáves com Restrções Ponto Regular; Introdução aos Multplcadores de Lagrange; Multplcadores de Lagrange e Condções

Leia mais

Gabarito da Lista de Exercícios de Econometria I

Gabarito da Lista de Exercícios de Econometria I Gabarto da sta de Exercícos de Econometra I Professor: Rogéro lva Mattos Montor: eonardo enrque A. lva Questão Y X y x xy x ŷ ˆ ˆ y ŷ (Y - Y ) (X - X ) (Ŷ - Y ) 360 00-76 -00 35.00 40.000 36-4 30.976 3076

Leia mais

Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Cálculo do Conceito Preliminar de Cursos de Graduação

Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Cálculo do Conceito Preliminar de Cursos de Graduação Mnstéro da Educação Insttuto Naconal de Estudos e Pesqusas Educaconas Aníso Texera Cálculo do Conceto Prelmnar de Cursos de Graduação Nota Técnca Nesta nota técnca são descrtos os procedmentos utlzados

Leia mais

Dinâmica do Movimento de Rotação

Dinâmica do Movimento de Rotação Dnâmca do Movmento de Rotação - ntrodução Neste Capítulo vamos defnr uma nova grandeza físca, o torque, que descreve a ação gratóra ou o efeto de rotação de uma força. Verfcaremos que o torque efetvo que

Leia mais

Resoluções dos testes propostos

Resoluções dos testes propostos da físca Undade B Capítulo 9 Geradores elétrcos esoluções dos testes propostos 1 T.195 esposta: d De U r, sendo 0, resulta U. Portanto, a força eletromotrz da batera é a tensão entre seus termnas quando

Leia mais

CAPÍTULO 2 - Estatística Descritiva

CAPÍTULO 2 - Estatística Descritiva INF 16 Prof. Luz Alexandre Peternell CAPÍTULO - Estatístca Descrtva Exercícos Propostos 1) Consderando os dados amostras abaxo, calcular: méda artmétca, varânca, desvo padrão, erro padrão da méda e coefcente

Leia mais

MOQ-14 PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

MOQ-14 PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES MOQ-14 PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 1. Obtenha os estmadores dos coefcentes lnear e angular de um modelo de regressão lnear smples utlzando o método

Leia mais

Curvas Horizontais e Verticais

Curvas Horizontais e Verticais Insttução: Faculdade de Tecnologa e Cêncas Professor: Dego Queroz de Sousa Dscplna: Topografa Curvas Horzontas e ertcas 1. Introdução Exstem dversas ocasões na engenhara em que os projetos são desenvolvs

Leia mais

Prof. Cláudio Serra, Esp. 1. Produção de Leite x índice Pluviométrico y = 0.8x R 2 =

Prof. Cláudio Serra, Esp. 1. Produção de Leite x índice Pluviométrico y = 0.8x R 2 = Análse de Regressão Cap.. Introdução Análse de regressão é uma técnca de modelagem utlzada para analsar a relação entre uma varável dependente () e uma ou mas varáves ndependentes,, 3,..., n. O ojetvo

Leia mais

Referências: No mínimo, para cada experimento o Caderno de Laboratório deve sempre conter:

Referências: No mínimo, para cada experimento o Caderno de Laboratório deve sempre conter: Sstemas Mecâncos III - EXPERIMETO - Dlatação Térmca Prof.: Dr. Cláudo S. Sartor Técnco: Fernando ITRODUÇÃO: Forma Geral dos Relatóros É muto desejável que seja um caderno grande (formato A) pautada com

Leia mais

Representação e Descrição de Regiões

Representação e Descrição de Regiões Depos de uma magem ter sdo segmentada em regões é necessáro representar e descrever cada regão para posteror processamento A escolha da representação de uma regão envolve a escolha dos elementos que são

Leia mais

5 Métodos de cálculo do limite de retenção em função da ruína e do capital inicial

5 Métodos de cálculo do limite de retenção em função da ruína e do capital inicial 5 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal Nesta dssertação serão utlzados dos métodos comparatvos de cálculo de lmte de retenção, onde ambos consderam a necessdade de

Leia mais

NOTA I MEDIDAS E ERROS

NOTA I MEDIDAS E ERROS NOTA I MEDIDAS E ERROS O estudo de um fenômeno natural do ponto de vista experimental envolve algumas etapas que, muitas vezes, necessitam de uma elaboração prévia de uma seqüência de trabalho. Antes de

Leia mais

Aula 6: Corrente e resistência

Aula 6: Corrente e resistência Aula 6: Corrente e resstênca Físca Geral III F-328 1º Semestre 2014 F328 1S2014 1 Corrente elétrca Uma corrente elétrca é um movmento ordenado de cargas elétrcas. Um crcuto condutor solado, como na Fg.

Leia mais

3 Subtração de Fundo Segmentação por Subtração de Fundo

3 Subtração de Fundo Segmentação por Subtração de Fundo 3 Subtração de Fundo Este capítulo apresenta um estudo sobre algortmos para a detecção de objetos em movmento em uma cena com fundo estátco. Normalmente, estas cenas estão sob a nfluênca de mudanças na

Leia mais

Experiência I (aulas 01 e 02) Medidas de Tempo e Pêndulo simples

Experiência I (aulas 01 e 02) Medidas de Tempo e Pêndulo simples Experênca I (aulas 01 e 02) Meddas de Tempo e Pêndulo smples 1. Objetvos 2. Introdução 3. O pêndulo smples 4. Medda do período de osclação de um pêndulo 5. Arranjo e procedmento expermental 6. Análse de

Leia mais

LQA - LEFQ - EQ -Química Analítica Complemantos Teóricos 04-05

LQA - LEFQ - EQ -Química Analítica Complemantos Teóricos 04-05 LQA - LEFQ - EQ -Químca Analítca Complemantos Teórcos 04-05 CONCEITO DE ERRO ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Embora uma análse detalhada do erro em Químca Analítca esteja fora do âmbto desta cadera, sendo abordada

Leia mais

Análise Descritiva com Dados Agrupados

Análise Descritiva com Dados Agrupados Análse Descrtva com Dados Agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas descrtvas

Leia mais

(B) Considere X = antes e Y = depois e realize um teste t para dados pareados e um teste da ANOVA de um DBC com 5 blocos. Compare os resultados.

(B) Considere X = antes e Y = depois e realize um teste t para dados pareados e um teste da ANOVA de um DBC com 5 blocos. Compare os resultados. INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell (B) Consdere X antes e Y depos e realze um teste t para dados pareados e um teste da ANOVA de um DBC com 5 blocos. Compare os resultados.

Leia mais

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 1

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 1 Análse Complexa Resolução de alguns exercícos do capítulo 1 1. Tem-se:. = (0, 1) = (0, 1) =. 3. Sejam a, b R. Então Exercíco nº1 = (0, 1).(0, 1) = (0.0 1.1, 0.1 + 1.0) = ( 1, 0) = 1. a + b = a b = a +

Leia mais

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF)

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF) PMR 40 - Mecânca Computaconal CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Fntos (MEF). Formulação Teórca - MEF em uma dmensão Consderemos a equação abao que representa a dstrbução de temperatura na barra

Leia mais

Programação Dinâmica. Fernando Nogueira Programação Dinâmica 1

Programação Dinâmica. Fernando Nogueira Programação Dinâmica 1 Programação Dnâmca Fernando Noguera Programação Dnâmca A Programação Dnâmca procura resolver o problema de otmzação através da análse de uma seqüênca de problemas mas smples do que o problema orgnal. A

Leia mais

INTRODUÇÃO... 4 CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO

INTRODUÇÃO... 4 CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO 1 ÍNDICE INTRODUÇÃO... 4 CAPÍTULO 1... 6 INTRODUÇÃO... 6 Tpos de erros... 8 Erros aleatóros e sstemátcos em análses ttrmétrcas... 10 Manpulando erros sstemátcos... 1 CAPÍTULO... 16 ERROS EM ANÁLISES CLÁSSICAS...

Leia mais

Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO

Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO Professor Maurco Lutz 1 CORRELAÇÃO Em mutas stuações, torna-se nteressante e útl estabelecer uma relação entre duas ou mas varáves. A matemátca estabelece város tpos de relações entre varáves, por eemplo,

Leia mais

FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. Modelo Cinemático de Robôs Manipuladores

FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. Modelo Cinemático de Robôs Manipuladores FUNDMENTOS DE ROBÓTIC Modelo Cnemátco de Robôs Manpuladores Modelo Cnemátco de Robôs Manpuladores Introdução Modelo Cnemátco Dreto Modelo Cnemátco de um Robô de GDL Representação de Denavt-Hartenberg Exemplos

Leia mais

Física I LEC+LET Guias de Laboratório 2ª Parte

Física I LEC+LET Guias de Laboratório 2ª Parte Físca I LEC+LET Guas de Laboratóro 2ª Parte 2002/2003 Experênca 3 Expansão lnear de sóldos. Determnação de coefcentes de expansão térmca de dferentes substâncas Resumo Grupo: Turno: ª Fera h Curso: Nome

Leia mais

Atividade em Soluções Eletrolíticas

Atividade em Soluções Eletrolíticas Modelo de solução eletrolítca segundo Debye-Hückel. - A le lmte de Debye-Hückel (LLDH) tem o lmte que está em: I 0,01. log z.z A I 1/ valêncas do íons + e do eletrólto I 1 [ z b / b ] constante que depende

Leia mais

Matemática. Veículo A. Veículo B. Os gráficos das funções interceptam-se quando 50t = 80t

Matemática. Veículo A. Veículo B. Os gráficos das funções interceptam-se quando 50t = 80t Matemátca 0 Dos veículos, A e B, partem de um ponto de uma estrada, em sentdos opostos e com velocdades constantes de 50km/h e 70km/h, respectvamente Após uma hora, o veículo B retorna e, medatamente,

Leia mais

Covariância e Correlação Linear

Covariância e Correlação Linear TLF 00/ Cap. X Covarânca e correlação lnear Capítulo X Covarânca e Correlação Lnear 0.. Valor médo da grandeza (,) 0 0.. Covarânca na propagação de erros 03 0.3. Coecente de correlação lnear 05 Departamento

Leia mais

AULA Espaços Vectoriais Estruturas Algébricas.

AULA Espaços Vectoriais Estruturas Algébricas. Note bem: a letura destes apontamentos não dspensa de modo algum a letura atenta da bblografa prncpal da cadera Chama-se a atenção para a mportânca do trabalho pessoal a realzar pelo aluno resolvendo os

Leia mais

Introdução e Organização de Dados Estatísticos

Introdução e Organização de Dados Estatísticos II INTRODUÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 2.1 Defnção de Estatístca Uma coleção de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resum-los, analsá-los, nterpretá-los e deles extrar

Leia mais

Capítulo 24: Potencial Elétrico

Capítulo 24: Potencial Elétrico Capítulo 24: Potencal Energa Potencal Elétrca Potencal Superfíces Equpotencas Cálculo do Potencal a Partr do Campo Potencal Produzdo por uma Carga Pontual Potencal Produzdo por um Grupo de Cargas Pontuas

Leia mais

x Ex: A tabela abaixo refere-se às notas finais de três turmas de estudantes. Calcular a média de cada turma:

x Ex: A tabela abaixo refere-se às notas finais de três turmas de estudantes. Calcular a média de cada turma: Professora Janete Perera Amador 1 8 Meddas Descrtvas Vmos anterormente que um conjunto de dados pode ser resumdo através de uma dstrbução de freqüêncas, e que esta pode ser representada através de uma

Leia mais

Regressão e Correlação Linear

Regressão e Correlação Linear Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula 5 Regressão e Correlação Lnear Até o momento, vmos técncas estatístcas em que se estuda uma varável de cada vez, estabelecendo-se sua dstrbução de freqüêncas,

Leia mais

Física. Setor A. Índice-controle de Estudo. Prof.: Aula 37 (pág. 88) AD TM TC. Aula 38 (pág. 88) AD TM TC. Aula 39 (pág.

Física. Setor A. Índice-controle de Estudo. Prof.: Aula 37 (pág. 88) AD TM TC. Aula 38 (pág. 88) AD TM TC. Aula 39 (pág. ísca Setor Prof.: Índce-controle de Estudo ula 37 (pág. 88) D TM TC ula 38 (pág. 88) D TM TC ula 39 (pág. 88) D TM TC ula 40 (pág. 91) D TM TC ula 41 (pág. 94) D TM TC ula 42 (pág. 94) D TM TC ula 43 (pág.

Leia mais

Introdução a Combinatória- Aplicações, parte II

Introdução a Combinatória- Aplicações, parte II Introdução a Combnatóra- Aplcações, AULA 7 7.1 Introdução Nesta aula vamos estudar aplcações um pouco dferentes das da aula passada. No caso estudaremos arranjos com repetção, permutações crculares e o

Leia mais

Electromagnetismo e Óptica

Electromagnetismo e Óptica Electromagnetsmo e Óptca aboratóro - rcutos OBJETIOS Obter as curvas de resposta de crcutos do tpo sére Medr a capacdade de condensadores e o coefcente de auto-ndução de bobnas por métodos ndrectos Estudar

Leia mais

Eletromagnetismo. Distribuição de grandezas físicas: conceitos gerais

Eletromagnetismo. Distribuição de grandezas físicas: conceitos gerais Eletromagnetsmo Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras Eletromagnetsmo» Dstrbução de grandezas físcas: concetos geras 1 Introdução Pode-se caracterzar um problema típco do eletromagnetsmo como o

Leia mais

ANÁLISE DE ERROS. Todas as medidas das grandezas físicas deverão estar sempre acompanhadas da sua dimensão (unidades)! ERROS

ANÁLISE DE ERROS. Todas as medidas das grandezas físicas deverão estar sempre acompanhadas da sua dimensão (unidades)! ERROS Físca Arqutectura Pasagístca Análse de erros ANÁLISE DE ERROS A ervação de u fenóeno físco não é copleta se não puderos quantfcá-lo Para é sso é necessáro edr ua propredade físca O processo de edda consste

Leia mais

Realimentação negativa em ampliadores

Realimentação negativa em ampliadores Realmentação negatva em ampladores 1 Introdução necessdade de amplfcadores com ganho estável em undades repetdoras em lnhas telefôncas levou o Eng. Harold Black à cração da técnca denomnada realmentação

Leia mais

Índices de Concentração 1

Índices de Concentração 1 Índces de Concentração Crstane Alkmn Junquera Schmdt arcos André de Lma 3 arço / 00 Este documento expressa as opnões pessoas dos autores e não reflete as posções ofcas da Secretara de Acompanhamento Econômco

Leia mais

MODELO RECEPTOR MODELO RECEPTOR MODELO RECEPTOR. Princípio do modelo:

MODELO RECEPTOR MODELO RECEPTOR MODELO RECEPTOR. Princípio do modelo: MODELO RECEPTOR Não modela a dspersão do contamnante. MODELO RECEPTOR Prncípo do modelo: Atacar o problema de dentfcação da contrbução da fonte em ordem nversa, partndo da concentração do contamnante no

Leia mais

2. Validação e ferramentas estatísticas

2. Validação e ferramentas estatísticas . Valdação e ferramentas estatístcas Mutos aspectos relaconados à socedade são suportados, de alguma forma, por algum tpo de medção analítca. Mlhões de medções analítcas são realzadas todos os das, em

Leia mais

MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS

MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS PROF: Claudo Saldan CONTATO: saldan.mat@gmal.com PARTE 0 -(MACK SP/00/Janero) Se y = x, sendo x= e =, o valor de (xy) é a) 9 9 9 9 e) 9 0 -(FGV/00/Janero)

Leia mais

2 - Análise de circuitos em corrente contínua

2 - Análise de circuitos em corrente contínua - Análse de crcutos em corrente contínua.-corrente eléctrca.-le de Ohm.3-Sentdos da corrente: real e convenconal.4-fontes ndependentes e fontes dependentes.5-assocação de resstêncas; Dvsores de tensão;

Leia mais

CQ110 : Princípios de FQ

CQ110 : Princípios de FQ CQ110 : Prncípos de FQ CQ 110 Prncípos de Físco Químca Curso: Farmáca Prof. Dr. Marco Vdott mvdott@ufpr.br Potencal químco, m potencal químco CQ110 : Prncípos de FQ Propredades termodnâmcas das soluções

Leia mais

Hoje não tem vitamina, o liquidificador quebrou!

Hoje não tem vitamina, o liquidificador quebrou! A U A UL LA Hoje não tem vtamna, o lqudfcador quebrou! Essa fo a notíca dramátca dada por Crstana no café da manhã, lgeramente amenzada pela promessa de uma breve solução. - Seu pa dsse que arruma à note!

Leia mais

Tipo tratamento idade Tipo tratamento sexo

Tipo tratamento idade Tipo tratamento sexo Modelos de Regressão em Saúde Rejane Sobrno Pnhero Tâna Zdenka Gullén de Torres Modelos de Regressão Famíla de técncas estatístcas város fatores meddos (predtor, covarável, varável ndependente) relaconados

Leia mais

AVALIAÇÃO NA PRECISÃO DE RECEPTORES GPS PARA O POSICIONAMENTO ABSOLUTO RESUMO ABSTRACT

AVALIAÇÃO NA PRECISÃO DE RECEPTORES GPS PARA O POSICIONAMENTO ABSOLUTO RESUMO ABSTRACT AVALIAÇÃO NA PRECISÃO DE RECEPTORES GPS PARA O POSICIONAMENTO ABSOLUTO Rodrgo Mkosz Gonçalves John Alejandro Ferro Sanhueza Elmo Leonardo Xaver Tanajura Dulana Leandro Unversdade Federal do Paraná - UFPR

Leia mais

ALTERNATIVA PARA DETERMINAR ACURÁCIA DA PREVISÃO DO MBAR UTILIZANDO ÍNDICE DE BRIER. Reinaldo Bomfim da Silveira 1 Juliana Maria Duarte Mol 1 RESUMO

ALTERNATIVA PARA DETERMINAR ACURÁCIA DA PREVISÃO DO MBAR UTILIZANDO ÍNDICE DE BRIER. Reinaldo Bomfim da Silveira 1 Juliana Maria Duarte Mol 1 RESUMO ALTERNATIVA PARA DETERMINAR ACURÁCIA DA PREVISÃO DO MBAR UTILIZANDO ÍNDICE DE BRIER Renaldo Bomfm da Slvera 1 Julana Mara Duarte Mol 1 RESUMO Este trabalho propõe um método para avalar a qualdade das prevsões

Leia mais

Estudo e Previsão da Demanda de Energia Elétrica. Parte II

Estudo e Previsão da Demanda de Energia Elétrica. Parte II Unversdade Federal de Paraná Setor de Tecnologa Departamento de Engenhara Elétrca Estudo e Prevsão da Demanda de Energa Elétrca Parte II Prof: Clodomro Unshuay-Vla Etapas de um Modelo de Prevsão Objetvo

Leia mais

NOVA METODOLOGIA PARA RECONCILIAÇÃO DE DADOS: CONSTRUÇÃO DE BALANÇÃO HÍDRICOS EM INDÚSTRIA UTILIZANDO O EMSO

NOVA METODOLOGIA PARA RECONCILIAÇÃO DE DADOS: CONSTRUÇÃO DE BALANÇÃO HÍDRICOS EM INDÚSTRIA UTILIZANDO O EMSO I Congresso Baano de Engenhara Santára e Ambental - I COBESA NOVA METODOLOGIA PARA RECONCILIAÇÃO DE DADOS: CONSTRUÇÃO DE BALANÇÃO HÍDRICOS EM INDÚSTRIA UTILIZANDO O EMSO Marcos Vnícus Almeda Narcso (1)

Leia mais

γ = C P C V = C V + R = q = 2 γ 1 = 2 S gas = dw = W isotermico

γ = C P C V = C V + R = q = 2 γ 1 = 2 S gas = dw = W isotermico Q1 Um clndro feto de materal com alta condutvdade térmca e de capacdade térmca desprezível possu um êmbolo móvel de massa desprezível ncalmente fxo por um pno. O rao nterno do clndro é r = 10 cm, a altura

Leia mais

CAPÍTULO 9 REGRESSÃO LINEAR PPGEP REGRESSÃO LINEAR SIMPLES REGRESSÃO LINEAR SIMPLES REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UFRGS. Regressão Linear Simples

CAPÍTULO 9 REGRESSÃO LINEAR PPGEP REGRESSÃO LINEAR SIMPLES REGRESSÃO LINEAR SIMPLES REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UFRGS. Regressão Linear Simples CAPÍTULO 9 REGREÃO LINEAR IMPLE REGREÃO LINEAR IMPLE UFRG Em mutos problemas há duas ou mas varáves que são relaconadas, e pode ser mportante modelar essa relação. Por exemplo, a resstênca à abrasão de

Leia mais

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG 1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnlesteMG Dscplna: Introdução à Intelgênca Artfcal Professor: Luz Carlos Fgueredo GUIA DE LABORATÓRIO LF. 01 Assunto: Lógca Fuzzy Objetvo: Apresentar o

Leia mais

Física I p/ IO FEP111 ( )

Física I p/ IO FEP111 ( ) ísca I p/ IO EP (4300) º Semestre de 00 Insttuto de ísca Unversdade de São Paulo Proessor: Antono Domngues dos Santos E-mal: adsantos@.usp.br one: 309.6886 4 e 6 de setembro Trabalho e Energa Cnétca º

Leia mais

2 Agregação Dinâmica de Modelos de Turbinas e Reguladores de Velocidade: Teoria

2 Agregação Dinâmica de Modelos de Turbinas e Reguladores de Velocidade: Teoria Agregação Dnâmca de Modelos de urbnas e Reguladores de elocdade: eora. Introdução O objetvo da agregação dnâmca de turbnas e reguladores de velocdade é a obtenção dos parâmetros do modelo equvalente, dados

Leia mais