Laboratório de Mecânica Aplicada I Determinação de Centros de Gravidade

Transcrição

1 Laboratóro de Mecânca Aplcada I Determnação de Centros de Gravdade Em mutos problemas de mecânca o efeto do peso dos corpos é representado por um únco vector, aplcado num ponto denomnado centro de gravdade. Esta stuação é tão comum que mutas vezes o neófto nestes assuntos não se apercebe que esta representação não é fundamental mas sm uma consequênca das les físcas e válda apenas em determnadas crcunstâncas, embora muto comuns. De facto, a força da gravdade faz-se sentr (no conto da mecânca clássca onde os corpos são consderados contínuos) em cada elemento nfntesmal de volume dos corpos, com ntensdade proporconal à massa deste. Também é comum os concetos de centro de gravdade, centro de massa conceto assocado com a dnâmca de partículas e de corpos ensos e centróde conceto puramente geométrco sejam confunddos entre s devdo a mutas vezes serem concdentes. Determnar o centro de gravdade é mportante em mutas stuações. Por exemplo, em problemas de mecânca de corpos rígdos, quando as forças nternas não são mportantes, permte smplfcar bastante os cálculos por redução do peso, uma força dstrbuída, a uma únca força resultante. é mportante contudo que se tenha conscênca parte da carga suportada é devda ao peso, a utlzação do conceto de centro de gravdade pode orgnar resultados completamente dferentes dos reas. O centro de massa é mportante em problemas de dnâmca pos do ponto de vsta da translação um corpo rígdo pode ser reduzdo a uma partícula pontual stuada nesse ponto e a sua localzação, por exemplo numa peça móvel de uma máquna, pode nflur bastante no comportamento e durabldade desta. Os procedmentos expermentas e os cálculos propostos neste gua permtem que o aluno ganhe experênca e sensbldade em relação a estes concetos. Centro de Gravdade. A atracção que a Terra exerce num corpo a força da gravdade ou peso do corpo é na realdade aplcada em cada uma das partículas que consttuem o corpo pos esta força faz-se sentr em tudo o que tem massa e a massa de um corpo é orgnada pela massa das suas partículas consttuntes. No conto da mecânca clássca, onde se consdera que os corpos são ensos. e. que as partículas consttuntes são sufcentemente pequenas e estão sufcentemente próxmas entre s para que se possa consderar os corpos como dstrbuções contínuas de matéra, a força total que a Terra exerce num corpo deve ser representada por uma mríade de pequenas forças, cada uma delas aplcada em cada elemento nfntesmal de volume do corpo e proporconal à sua massa. Ou seja, cada elemento de volume d tem um peso nfntesmal dp dado por d P g dm g d (1) onde g densdade de massa que relacona o volume do elemento com a sua massa. Se o corpo em questão pode ser consderado como sendo rígdo. e. que a dstânca relatva entre todas as suas partículas consttuntes se mantém nalterada, os prncípos da mecânca estabelecem que um sstema de forças aplcadas (como este dos pesos de todos os elementos que consttuem o corpo) pode ser reduzdo a uma únca força resultante P (o peso do corpo) aplcada num ponto qualquer O mas um bnáro de momento determnados por M O P dp (2) M O r dp (3) onde r é o vector posção de cada elemento de volume em relação a O (o domíno de ntegração, a não ser quando explctado em contráro, é sobre todos os pontos do corpo). A redução do sstema de forças orgnal a

2 resultante P aplcada num outro ponto G mas bnáro de momento M G pode ser obtda a partr dos cálculos utlzados no ponto O. A resultante é dêntca, uma vez que é sempre a soma de todas as forças que consttuem o sstema enquanto que M G se relacona com M O através da expressão MG MO rgo P (4) Em determnadas crcunstâncas é possível descobrr um ponto G onde o bnáro se anula ou seja M G 0 (5) Tal é possível por exemplo no caso de sstemas de forças paralelas que é o caso do peso de corpos de dmensões todos os efetos prátcos o campo gravtaconal pode ser consderado um sstema de forças paralelas. É possível então reduzr os efetos da gravdade num corpo rígdo a uma únca força resultante (sem bnáro) aplcada no ponto G que verfque a equação (5). Este ponto é denomnado Centro de Gravdade do corpo e é uma escolha lógca para stuar a resultante dos efetos da gravdade uma vez que a ausênca do bnáro (ou mas exactamente um bnáro desprezável) torna mas smples a descrção do sstema. É fácl verfcar que, se a resultante do peso for colocada no centro de gravdade, a soma dos momentos dos pesos dos elementos nfntesmas em relação a um ponto O qualquer guala o momento do peso total do corpo (a resultante) em relação a esse mesmo ponto O. e. r OG P r dp (6) Determnação Expermental do Centro de Gravdade. Para determnar o centro de gravdade expermentalmente podemos utlzar as les da estátca que estabelecem que um corpo rígdo estará em equlíbro se a soma de todas as forças ernas aplcadas e a soma dos momentos de todas as forças ernas em relação a um ponto O forem zero: F 0 (7a) O M 0 (7b) Suspendendo um corpo rígdo num únco ponto através de um fo, as úncas forças ernas aplcadas no corpo serão a tensão do fo e o peso. As equações (7a,b) determnam então que se o corpo está em equlíbro a tensão do fo deve gualar o peso do corpo e que as duas forças tensão e peso são colneares. Deste modo fca determnada a lnha de acção do peso. Suspendendo o corpo num segundo ponto localzado fora dessa lnha de acção, o corpo em equlíbro tomará outra orentação e obter-se-á uma nova lnha de acção do peso. O centro de gravdade estará localzado na ntersecção das duas lnhas de acção uma vez que a localzação de centro de gravdade não depende da orentação do corpo em relação ao campo gravítco. Centro de Massa. O conceto de Centro de Massa aparece na dnâmca assocado ao movmento dos sstemas como um todo. No caso dos corpos rígdos, o movmento ndvdual das suas partículas consttuntes é lmtado pelo facto de terem de manter uma dstânca constante entre s um corpo rígdo tem que se mover como um todo. Movmento de um corpo rígdo no qual um ou dos pontos são mantdos fxos é conhecdo por movmento de rotação. e. alteração da orentação do corpo. Por outro lado, um caso especal é o caso em que todos os pontos de um corpo rígdo se movem na mesma drecção em qualquer nstante com a mesma velocdade e aceleração este tpo de movmento é denomnado movmento de translação. é possível demonstrar que o movmento mas geral possível de um corpo rígdo tem apenas 6 graus de lberdade e fca completamente determnado conhecendo o movmento de um qualquer dos seus pontos (3 graus de lberdade translação de um ponto) e o movmento dos outros pontos relatvamente a este (3 graus de lberdade rotação. e. alteração da orentação do corpo no espaço). É possível provar que o centro de massa, defndo no caso de corpos ensos por 1 1 r r dm r d m m (8)

3 onde m é a massa total do corpo, se move de acordo com a segunda le de Newton como se o corpo fosse uma partícula pontual com a massa total do corpo localzada nesse ponto e com todas as forças ernas aí aplcadas. e. F mr (9) é portanto fácl determnar o movmento do centro de massa sendo uma escolha lógca para estudar o movmento de translação dos corpos rígdos. Estudar o movmento de rotação é bastante mas complcado mas vale a pena afrmar que o conceto de centro de massa permte também smplfcar a sua análse. Apresenta-se apenas a condção de ausênca de rotação. e. movmento de translação puro: um corpo rígdo ncalmente sem movmento de rotação apresentará apenas movmento de translação se a soma dos momentos de todas as forças ernas aplcadas em relação ao centro de massa for zero tot M r F 0 (10) Determnação Expermental do Centro de Massa. A condção de translação pura permte dvsar um prncípo que pode ser útl num método para determnar expermentalmente o centro de massa: se um corpo rígdo estver em movmento por acção de uma únca força, se o seu movmento for de translação pura então o centro de massa encontra-se na sua lnha de acção. Relação entre Centro de Massa e Centro de Gravdade. Já fo dscutdo que para todos os efetos prátcos o campo gravítco à superfíce da Terra pode ser consderado paralelo. Para além dsso, pode também ser consderado constante: para sstemas de dmensões comparáves às humanas a varação da aceleração da gravdade é evdente desprezável. Nestas condções g é ndependente do ntegral em (2) e (6) obtendo-se P dp g dm g dm mg (11) rog P rog mg r g dm r dm g m r g r m g (12) ou seja os centros de gravdade e de massa concdem. Centro de Massa e Centróde. A massa e o volume por ela ocupado estão relaconados através da densdade (cf. eq. 1). Se a densdade do corpo rígdo consderado for constante (corpo homogéneo) então ela não depende do ntegral e (8) pode escrever-se r r d rd rd (13) m onde é o volume total do corpo. O centro de massa passa a depender uncamente da dstrbução do corpo no espaço e não da massa (nem da densdade). e. passa a ser um conceto puramente geométrco. Note-se que a expressão 1 r C pode ser sempre calculada, mesmo que o corpo não seja homogéneo, caso em que já não concdrá com o centro de massa. Este conceto denomna-se Centróde do corpo. Decomposção de Corpos Rígdos. Consdere-se um corpo rígdo conceptualmente dvddo em duas partes. Cada uma dessas partes também é um corpo rígdo: basta cortar o corpo ncal pela dvsão magnada. Então cada uma dessas partes também tem um centro de massa/gravdade. Já se observou que os corpos rígdos podem ser consderados em determnadas crcunstâncas como partículas concentradas no centro de massa. Então deve ser possível calcular o centro de massa do corpo total à custa dos centros de massa das suas partes consttuntes rd (14)

4 de modo análogo ao cálculo do centro de massa de um sstema de partículas. Pode-se demonstrar sso mesmo com o exemplo da dvsão do corpo em duas partes (para n partes é smlar): Seja então um corpo de volume e massa m consttuído por duas partes de volumes e massas, respectvamente, 1, m 1 e 2, m 2. Então = 1 + 2, (15) m = m 1 + m 2. (16) Os centros de massa das duas partes são por defnção respectvamente ( 1) 1 1 r rdm m r d (17) 1 1 ( 2) 1 1 rdm m r r d (18) 2 2 Utlzando a defnção de centro de massa (8), as equações anterores e o facto de a operação de ntegração num domíno se poder decompor em soma de ntegrações em sub-domínos (adtvdade relatvamente aos domínos de ntegração) obtém-se (1) 1 (2) 2r m r m m r rdm rdm rdm m r m (19) ou seja r 1 (1) (2) m1r m2r m1 m (20) 2 É possível então obter o centro de massa de um corpo rígdo à custa do cálculo dos centros de massa das suas partes consttuntes o que pode ser uma vantagem se for possível decompor o corpo orgnal em partes geometrcamente smples onde seja fácl determnar o centro de massa. Comentáros sobre Smetra e Corpos não trdmensonas. A determnação do centro de massa é bastante smples no caso de corpos smétrcos. Exo de smetra sgnfca que para cada elemento de massa a uma certa dstânca do exo exste um outro, gual e à mesma dstânca, do lado oposto. é muto fácl verfcar que o centro de massa do conjunto dos dos elementos se encontra sobre o exo. Calculando o centro de massa de todos os pares de elementos de massa correspondentes obtém-se sempre um resultado sobre o exo de smetra. Também é fácl verfcar que se só se tem centros de massa parcas sobre um exo então o centro de massa global anda está sobre o exo o que sgnfca que o centro de massa está sempre sobre os exos de smetra que exstam. é mportante notar que é requerda smetra de massa. e. a densdade de massa para cada dos pontos correspondentes tem que ser gual (caso contráro é o centróde que está a ser determnado, num caso em que não concde com o centro de massa). Se o corpo é uma placa fna (como va ser o caso do corpo de teste das experêncas propostas abaxo) é mutas vezes possível tratar o problema como sendo bdmensonal desprezando na prátca a espessura da placa. Nesse caso, a densdade passa a ser massa por undade de área e não massa por undade de volume. Isso corresponde a (3d) for a densdade trdmensonal e e a espessura em cada ponto (com um valor pequeno) então a densdade bdmensonal escreve-se smplesmente (2d) (3d) = e (21) Podepequena.. e. corpos em que a secção seja muto

5 Laboratóro de Mecânca Aplcada I Determnação de Centros de Gravdade Procedmentos Expermentas 1 Objectvo Com esta experênca pretende-se a determnação do centro de gravdade de um corpo rígdo expermentalmente e a sua comparação com os cálculos teórcos. 2 Lsta Geral de Equpamento Na realzação desta experênca serão utlzados os seguntes equpamentos e materas Cravera Folha de papel mlmétrco Fo-de-prumo Alfnetes e fta-cola Ímans (2) Régua 3 Determnação das característcas da placa 3.1 Determnação da Massa, olume e Densdade da Placa e dos ímanes Para a determnação da massa da placa esta será pesada utlzando a balança. Para tal colocar a placa na balança e regstar o valor ndcado. Repetr a pesagem. Depos de retrar a placa, medr a sua espessura, utlzando o nóno, em város pontos. Pesar os ímanes em conjunto 3.2 Preparação do materal para efectuar medções e cálculos Colocar a placa de teste bdmensonal sobre a folha de papel mlmétrco com as marcações voltadas para cma tendo o cudado de acertar dos dos lados da placa com lnhas prncpas do papel mlmétrco. Prender a placa à folha utlzando fta-cola, mantendo-a assm numa posção fxa no papel. Transferr os contornos da placa para o papel nclundo o do recorte crcular da placa. erfcar se o papel está estcado e que os contornos da placa desenhados no papel estejam acertados com esta.

6 3.3 Determnação Expermental do Centro de Gravdade #1 Utlzando um dos pequenos furos da placa, localzados longe do meo da mesa, suspender a placa no fo exstente no laboratóro utlzando o gancho respectvo. Utlzando o fo-de-prumo suspenso no referdo gancho desenhar uma lnha no papel mlmétrco assnalando-se a posção do furo utlzado. Utlzar o procedmento anteror para mas dos furos smlares. 3.4 Determnação Expermental do Centro de Gravdade #2 Neste passo o centro de gravdade da placa será alterado colocando-se dos ímanes na placa colocando-os na placa fxando-os com fta-cola para garantr a sua posção ao longo da experênca. Marcar a posção do íman na folha. Utlzar o procedmento descrto no ponto 3.3.