2 Experimentos com Mistura

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1 Modelagem em Expermentos com Mstura e Mstura-Processo Expermentos com Mstura Formulações de Expermentos com Mstura (EM) são freuentemente encontradas nas ndústras uímcas, farmacêutcas, de almentos e em outros setores ndustras. Nesses expermentos, os fatores são proporções dos componentes de uma mstura e a resposta é uma aráel ue caracterza a ualdade do produto, admtda como função da proporção dos componentes. No caso de EM, a soma das proporções dos componentes é sempre gual a um. Seam x as aráes ue representam as proporções dos componentes da mstura. Tem-se então: x ; x 0;,, (.) As restrções apresentadas na Euação (.) são mostradas grafcamente na Fgura, para o caso de uma mstura de dos e três componentes. A regão possíel da mstura de dos componentes é representada por um segmento de reta e para o caso de mstura de três componentes é representada por um trângulo. a) b) Fgura - Regão possíel de msturas com e componentes (a e b respectamente) Em expermentos com msturas de três componentes, a regão expermental restrta pode ser representada utlzando um sstema de coordenadas trlnear, como mostrado na Fgura.

2 Modelagem em Expermentos com Mstura e Mstura-Processo Fgura - Sstema de coordenadas trlnear Cada lado do trângulo representa uma mstura bnára e os értces dos trângulos representam as formulações de componentes puros. No nteror do trângulo estão stuadas as possíes msturas ternáras. Utlzando este sstema de coordenadas são necessáras apenas duas dmensões para representar grafcamente o expermento. Como cada componente é representado por um értce, uma fgura geométrca com três értces e duas dmensões representa o espaço fatoral restrto de uma mstura ternára. A prncpal referênca sobre EM é apresentada em Cornell (00), onde se pode encontrar uma exposção abrangente e detalhada. Myers & Montgomery (00) dedcam os Capítulos e a EM, consttundo uma boa ntrodução ao assunto. Pepel (004) sumarza a pesusa relaconada com expermentos com mstura durante um período de 50 anos, entre os anos de 955 e Modelos de Scheffé para Expermentos com Mstura Para a aplcação em EM, os modelos mas utlzados são os polnômos canôncos de Scheffé (Scheffé, 958). O Modelo Quadrátco de Scheffé possu a segunte forma:, x x Q β x x (.) onde os s são os coefcentes dos parâmetros do modelo.

3 Modelagem em Expermentos com Mstura e Mstura-Processo Obsera-se ue este modelo não possu o termo ndependente, uma ez ue ele é elmnado por uma smplfcação proenente da restrção básca de EM apresentada na Euação (.). O Modelo Cúbco de Scheffé possu a segunte forma: C β, x x x x x x x x k x x x k k (.) O Modelo Cúbco Especal de Scheffé é gual ao Modelo Cúbco, exclundo os termos x x x x... Pseudocomponentes Nos casos de EM, pode ser necessáro restrngr a proporção de um ou mas componentes, ue, por motos técncos ou prátcos, podem não contemplar todas as proporções possíes, ue correspondem ao nteralo fechado entre 0 e. Sendo assm, o noo espaço expermental passa a ser uma sub-regão do espaço orgnal. Essas restrções dos componentes, ue são muto comuns nos casos ndustras, podem ser superores, nferores ou uma combnação dos dos tpos, e serão dscutdas a segur. Os lmtes superores e/ou nferores nas proporções são representados da segunte forma: 0 L x U ;, (.4), onde L é o lmte nferor e U é o lmte superor da proporção do componente. A Fgura a lustra um caso de expermento com mstura de três componentes com restrções nferores nas proporções dos três componentes e a Fgura b apresenta um caso de uatro componentes com restrção superor na proporção de apenas um componente. Quando são estabelecdos os lmtes nferor e superor para as proporções de uma mstura, a regão de expermentação fca reduzda a uma sub-regão da regão orgnal. Nesses casos pode-se redefnr as coordenadas da sub-regão em termos de pseudos componentes. Os pseudocomponentes são defndos em

4 Modelagem em Expermentos com Mstura e Mstura-Processo 4 função dos componentes orgnas e de um dos lmtes (nferor ou superor). Têmse então dos tpos de pseudocomponentes: os L-pseudocomponentes relatos ao lmte nferor e os U-pseudocomponentes relatos ao lmte superor. Segundo Cornell (00), a prncpal razão para utlzar pseudocomponentes é ue usualmente torna-se mas fácl planear o expermento e austar o modelo. a) b) Fgura - Restrções a) nferores e b) superores nas proporções dos componentes É recomendado o uso de pseudocomponentes para austar modelos de mstura uando há restrções nos componentes, o ue pode acarretar de moderados a altos níes de multcolneardade entre os níes dos componentes. Geralmente, um modelo de mstura ue utlza pseudocomponentes terá menores níes de multcolneardade do ue o mesmo modelo com os componentes orgnas. (Myers & Montgomery, 00). Os L-pseudocomponentes são defndos como (Cornell, 00): onde L L. x L ;,, (.5) L, Para se calcular os respectos componentes orgnas (x ), nerte-se a Euação (.5), obtendo-se a segunte relação: x L L (.6) Os U-pseudocomponentes são defndos como (Cornell, 00): u U x,,, (.7) U, onde U U.

5 Modelagem em Expermentos com Mstura e Mstura-Processo 5 Para se calcular os respectos componentes orgnas (x ), nerte-se a Euação (.7), obtendo-se a segunte relação: u x U U (.8).. Exemplo Este expermento é apresentado por Cornell (000) e Myers & Montgomery (00) e serrá de base para o Estudo de Caso, apresentado na Seção 4.4. O problema consste na formulação de um xampu, no ual Laurl Sulfato (A), Cocamda (B) e Lauramda (C) são os ngredentes do produto e cuos alores de proporção foram arados em um expermento cuo obeto é estudar a relação entre a altura da espuma e os componentes de mstura. Os três ngredentes compõem 50% do xampu, onde os outros componentes, ue foram mantdos fxos em todas as msturas, eram água, perfume e corante. O obeto do pesusador fo formular um produto no ual a altura da espuma excedesse 70,0mm. As restrções dos componentes da mstura, onde A B C 0, 5, são: 0,0 A 0,0 0,07 B 0,0 0, C 0,0 Os componentes da mstura A, B e C estão representados nas proporções erdaderas (actual components), dedo ao fato de não representarem 00% da mstura, sendo neste caso, 50% dela (Myers & Montgomery, 00). Sendo assm, transformando os componentes para proporções reas e satsfazendo as restrções conforme a Euação (.), tem-se: 0, 40 x 0, 60 0,4 x 0,6 x 0,0 0,40 Conforme apresentado na Seção., uando há a presença de restrções superores e nferores, recomenda-se a utlzação de pseudocomponentes. No exemplo em uestão foram utlzados os L-pseudocomponentes e as transformações conforme a Euação (.5). Em L-pseudocomponentes, têm-se as seguntes restrções para o problema:

6 Modelagem em Expermentos com Mstura e Mstura-Processo 6 0,00,00 0,00 0,00 0,0 0,70 Na Tabela é apresentado o planeamento expermental da espuma do xampu, bem como as respostas dos expermentos. Tabela - Expermento da altura da espuma do xampu em L-pseudocomponentes Std Run Altura (mm),000 0,000 0,000 5,0,000 0,000 0,000 40,0 0,700 0,00 0,000 50, ,700 0,00 0,000 45, ,000 0,00 0,700 4,0 6 0,000 0,00 0,700 8, ,00 0,000 0,700 5, ,00 0,000 0,700 47, ,850 0,50 0,000 65, ,650 0,000 0,50 70,0 0,50 0,00 0,50 48,0 0,750 0,075 0,75 75,0 9 0,400 0,075 0,55 6,0 Na Fgura 4 tem-se a representação gráfca do proeto de expermento e pontos expermentas. Fgura 4 - Expermento da espuma do xampu

7 Modelagem em Expermentos com Mstura e Mstura-Processo 7 Em termos de L-pseudocomponentes, o modelo seleconado por Cornell (000) é apresentado na Euação (.9) e o de Myers & Montgomery (00) na Euação (.0). Ressalta-se ue os modelos obtdos por Cornell (000) e Myers & Montgomery (00) são eualentes, sto ue na Euação (.9), fo substtuído conforme a restrção básca de EM, apresentado na Euação (.):. yˆ 94, 90 5, 05 8, 876, 64 4, 4 54, 99 89, 4 (.9) yˆ 46, 74 8, 70, 876, 64 94, 90 54, , 4 (.0) Na Seção 4 será apresentada uma metodologa orgnal de seleção de modelos ue permte a obtenção de modelos melhores do ue os obtdos por Cornell (000) e Myers & Montgomery (00), apresentados nas Euações (.9) e (.0), respectamente.