3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potência

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1 3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potênca Neste trabalho assume-se que a rede de comuncações é composta por uma coleção de enlaces consttuídos por um par de undades-rádo ndvdualmente denomnadas de transmssor e receptor, que operam em uma dentre dversas faxas de freqüêncas denomnadas de canas. Na realdade é possível pensar que o enlace utlza um recurso de comuncação que não necessaramente é uma faxa de freqüêncas. Pode ser uma janela de tempo, um comprmento de onda (no caso de redes óptcas) ou uma outra grandeza qualquer. Assm o termo canal será aqu ndstntamente aplcado a qualquer uma destas stuações. O termo canal ortogonal descreve a stuação em que não ocorre nterferênca entre canas dstntos. Enlaces que ocupam o mesmo canal apresentam o fenômeno ndesejável de nterferênca mútua (co-canal) e este é o únco caso consderado neste trabalho. No caso específco de freqüêncas, enlaces em canas adjacentes podem se nterferr devdo à resposta dos fltros de entrada empregados. Entretanto este tpo partcular de nterferênca não será aqu abordado. Enlaces bdreconas podem ser desmembrados em dos enlaces undreconas onde o transmssor de um é o receptor do outro e vce-versa. Do mesmo modo a comuncação entre duas undades rádo que seja transmtda em város passos pode ser desmembrada por seus múltplos enlaces entre cada nó que compõe a rota de comuncação. Assm o esquema de descrção de cenáro como defndo acma é extremamente geral. Assume-se que o sstema de comuncações é composto por uma coleção L de enlaces ndexados pelos nteros de 1 a L como abaxo: L = {1,2,3,..., L} (3.1)

2 Elementos de modelagem para o problema de controle de potênca 35 De forma semelhante o conjunto de canas passíves de utlzação por estes enlaces formam uma coleção fnta como descrta abaxo: = {1,2,3,..., C} (3.2) Consdere o conjunto L c de enlaces operando no canal c. A famíla de conjuntos {L c, c } consttu uma partção de L e especfca a dstrbução dos enlaces nos város canas. Estas alocações de canas são realzadas por algum tpo de algortmo de alocação de recursos (AAR), e fundamentalmente são lmtadas pelo nível de nterferênca que um enlace em um canal exerce em outro enlace que use o mesmo canal. Assm o AAR deverá evtar que na admssão de um novo usuáro (e conseqüentemente a formação de um enlace) ao sstema, este enlace cause uma nterferênca excessva nos outros que ocupam o mesmo canal. Para sso os níves de nterferênca em todos os enlaces exstentes serão determnados e assm se pretende propor esquemas de partção dos enlaces de modo a atender crtéros de qualdade. Defne-se P l como a potênca transmtda no enlace l L e defne-se como G lk > 0 o ganho de potênca entre o transmssor do enlace k e o receptor do enlace l. Conseqüentemente o produto G lk. P k reflete a potênca de nterferênca no enlace l nduzda pelo enlace k ( l), enquanto a potênca de snal desejado no receptor do enlace l é dada por G ll. P l. Como anterormente menconado, assume-se que os canas são perfetamente ortogonas e por conseqüênca a nterferênca de canal adjacente é nula. Cada ganho de potênca G lk depende prncpalmente de fatores como a topologa o posconamento dos enlaces l e k entre s, e dos város espalhadores exstentes no ambente de comuncações. Este ganho de potênca flutua estocastcamente no tempo e é susceptível a efetos típcos de propagação tas

3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potênca 36 como desvanecmento e sombreamento. A nclusão de um tratamento estocástco ntroduz um elevado nível de complexdade, porém não é sgnfcante para a abordagem aqu desenvolvda. Este problema é tratado por város autores como Kandukur e Boyd [55] que estudaram as varações estatístcas em um canal sujeto a desvanecmento Raylegh. Assm utlza-se neste trabalho um tratamento determnístco onde esta grandeza estocástca é substtuída pelo seu valor médo, retrando assm as flutuações aleatóras ao longo da escala de tempo. Este nível médo é o valor que será usado para defnr a SINR que o móvel está expermentando, que juntando com a nformação de modulação (e das característcas partculares de cada equpamento) e da taxa de transmssão desejada, se obtêm uma probabldade de erro. As flutuações estocástcas apenas alteraram o valor da probabldade de erro, e a grosso modo bastara aumentar a margem do enlace para corrgr os efetos desta varação (uma abordagem mas aprofundada permte resultados que não mplquem um excesso de margem adconal). O fenômeno de nterferênca entre enlaces pode ser caracterzado por meo de uma matrz quadrada G cujo elemento de coordenadas l,k é o ganho G lk prevamente defndo. G11 G12.. G1 L G21 G22.. G2L G = GL 1 GL2.. G LL (3.3) Tecncamente não só os valores dos elementos da matrz são varantes no tempo, mas a sua dmensão também é dnâmca na medda em que enlaces são ncorporados ou removdos ao sstema. Será aqu entenddo como parâmetro fundamental a que se pretende controlar, a SINR expermentada pelo enlace. Como exste uma relação entre a SINR, a taxa de transmssão de dados, e a probabldade de erro, valores de nteresse para esta taxa de transmssão e erro mínmo podem ser mpostos pela

4 Elementos de modelagem para o problema de controle de potênca 37 exgênca da SINR não ser nferor a um lmar γ. Alguns pares de taxa e probabldade de erro foram expostos na tabela 2. Formalmente a segunte nequação precsa ser atendda para cada um dos enlaces que compõem o sstema: R G. P = γ G. P + η j j j (3.4) onde R é a SINR observada no enlace, {1,2,3,...,L}. P é a potênca transmtda no enlace, enquanto η > 0 é a potênca méda de ruído térmco no receptor do enlace. A SINR descrta na expressão (3.4) pode ser reescrta como: R = P Gj η P j + j G G (3.5) onde o denomnador da equação (3.5) pode ser vsto como a nterferênca normalzada no receptor do enlace. A desgualdade (3.4), quando vsta em conjunto para todos os enlaces, pode ser reescrta numa forma vetoral: ( ) I H P u (3.6) onde P = (P 1, P 2, P 3,..., P L ) é o vetor coluna das potêncas transmtdas onde cada elemento é postvo, γ η γ η γ η γη γ η G G G G G L L u = (,,,...,,..., ) (3.7) LL é o vetor coluna não negatvo que caracterza as potêncas normalzadas de ruído, e H é uma matrz quadrada de dmensão L e dagonal nula cujos elementos são defndos por:

5 Elementos de modelagem para o problema de controle de potênca 38 H γ G = (3.8) j j 1 { j } G A matrz H tem todos os seus elementos não negatvos e assume-se que ela não possu lnha e coluna de mesmo índce com elementos nulos. Caso contráro, o enlace em questão podera ser removdo uma vez que ele não nterfere em nenhum outro enlace e nem é nterferdo por nenhum outro. Exstem város tpos de problemas de nteresse que poderam ser formulados a partr da dscussão acma. Vejamos alguns deles: 1. Sob que condções, em relação à matrz H, a nequação defnda em (3.6) admte soluções não negatvas para o vetor P? Observe que se não exstr solução postva para este sstema, sgnfca dzer que os enlaces envolvdos não podem compartlhar de um mesmo canal. Isto não sgnfca dzer que caso haja solução postva, exsta uma que atenda a lmtações de potênca como será analsado abaxo. 2. Anda em relação a nequação (3.6), se o vetor P sofrer restrções de valores (normalmente potênca máxma e mínma), ou seja se ele tver que pertencer a uma regão bem defnda do R L, como descobrr se sso é possível. Em outras palavras, como resolver o problema anteror agora com a exgênca do vetor P pertencer a subconjunto abaxo defndo: L mn max { x tas que x x x p/todo L } Ω= 3. Dado um conjunto de enlaces L, como partconá-lo de modo a que cada elemento da partção seja vável no sentdo do problema 1 acma defndo. Este problema será a base para outros que se segurão. Um a solução para este problema que seja computaconalmente efcente poderá permtr que outros problemas mas complexos possam ter solução factível sob o ponto de vsta prátco.

6 Elementos de modelagem para o problema de controle de potênca É possível achar uma partção vável no sentdo de 3. que tenha o menor número de elementos? A solução deste problema é conhecda como alocação ótma de canas, pos revela o número mínmo necessáro de canas que atendam um conjunto de enlaces com requstos de qualdade. Embora a solução deste problema não seja de elevado valor prátco, ela é uma excelente referênca quando se deseja avalar estratégas sub-ótmas ou heurístcas. A dstânca destas soluções à solução ótma é um bom ndcador da qualdade dos procedmentos sub-ótmos. 5. É possível achar uma partção vável no sentdo de 3. que caracterze uma stuação de mínma potênca? A solução para este problema é conhecda com a de mínma potênca máxma, pos ela descreve a stuação onde a potênca no enlace de maor consumo é mnmzada. Isto sgnfca dzer que qualquer outra solução vável no sentdo do problema 3, terá algum enlace que consuma mas potênca do que a obtda neste problema. 6. É possível achar algortmos sub-ótmos, mas de esforço computaconal reduzdo que resolvam os problemas acma? Os problemas anterores possuem uma característca comum de apresentar um grau elevado de esforço computaconal. Assm o relaxamento de algumas condções assocadas ao problema pode produzr uma grande redução neste esforço computaconal. 7. Levando em conta que problemas de otmzação correm o rsco de gerar soluções ótmas locas, como usar novos paradgmas para tentar buscar soluções ótmas globas? Métodos convenconas de otmzação, assm como métodos de natureza gulosa (buscam sempre o ganho máxmo a cada nstante, o que pode não levar ao máxmo ou mínmo global), são métodos que produzem soluções ótmas ou sub-ótmas locas até porque grande parte das funções objetvo destes problemas são multmodas. Surge então espaço para que sejam nvestgadas algumas heurístcas baseadas em técncas evoluconas que tentam produzr soluções que escapem dos poços de atração de mínmos locas. Esta é a coleção de problemas que serão detalhados em capítulos subseqüentes e que compõem os estudos realzados durante a execução da

7 Elementos de modelagem para o problema de controle de potênca 40 presente tese. Pretende-se apresentar uma solução para cada um destes problemas sendo que algumas destas, até onde a pesqusa do autor pôde ser feta, contém elementos de novação e são vantajosas sobre o aspecto de efcênca computaconal.