DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES ELASTICAS DE MOLAS

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1 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8 RABALHO RÁICO Nº - LICENCIAURA E FÍSICA DEERINAÇÃO DAS CONSANES ELASICAS DE OLAS Objectvo - Neste trabalho pretende-se medr as constantes elástcas de duas molas e as das respectvas assocações em sére e em paralelo. Deste modo se verfcarão as correspondentes "equações de assocação".. Introdução.. Constante elástca de uma mola e período de osclação Se suspendermos um corpo de massa m, da extremdade de uma mola em hélce que tenha a outra extremdade fxa, a mola dstende-se até fcar em equlíbro com o peso do corpo. Se o corpo for em seguda deslocado da posção de equlíbro, ele passa a osclar, executando um movmento vbratóro. rata-se de um movmento peródco que não sofre amortecmento se o atrto for desprezado. A força responsável por este movmento tem as característcas que se descrevem.. A sua ntensdade é proporconal à grandeza do deslocamento - x - do corpo, meddo a partr da r posção de equlíbro: F x. Na equação desgna a chamada constante elástca da mola.. O sentdo de F r é sempre oposto ao do deslocamento,. é, em cada nstante o corpo está sujeto a uma força que tende a fazê-lo voltar à posção de equlíbro; por sso se lhe chama força restauradora. ode então escrever-se: F - x. O sstema que se vem referndo, corpo e mola de suspensão, é exemplo de um osclador harmónco smples, já que entre a aceleração a(t) e a abcssa x(t) do ponto materal, em relação à posção de equlíbro, se verfca a(t) -kx(t) com k>. Na fgura representa-se as posções nstantâneas do corpo, bem como as elongações da extremdade da mola a que está lgado, em função do tempo. Deve notar-se que as posções no exo vertcal regstadas ao longo do tempo desenham uma snusóde, cuja equação é da forma y ( t) Asen( ω t + α ), sendo A a ampltude do movmento, ω a frequênca angular, ou pulsação, e α a fase na orgem. O corpo osclante tem aceleração da forma: a( t) Aω sen ωt + α ω. Sendo esta ( ) x Fgura. ovmento osclatóro de um corpo lgado à extremdade de uma mola suspensa [reproduzdo de: docenca/fisi/fis-a-olas.pdf] devda a uma força do tpo F - k x e, usando a le fundamental da dnâmca, vem: F ma x m( ω ) Asen( ωt + α ) x mω x ω m A frequênca angular do movmento - ω - relacona-se com o período - - por ω π. ara o m corpo de massa m, tem-se então um período de osclação dado por: π () Departamento de Físca da FCUC /9

2 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8.. Efeto da massa da mola no período de osclação Na dedução da expressão () não fo levada em consderação a massa da mola. De seguda mostra-se que se a massa da mola - - não puder ser desprezada em face da massa - m - do corpo osclante, o sstema comporta-se como se tvesse uma massa equvalente a m + / 3. Consdere-se que o sstema mola e corpo representado na fgura se encontra em osclação. Seja v a velocdade de um elemento da mola, de comprmento dl e massa dm. O elemento está à dstânca l da extremdade fxa - O - e v é a velocdade da extremdade A ( O A l ). v l Das condções enuncadas vem: v l dl Elevando ao quadrado esta expressão e multplcando por l tem-se: v dm v dm l Consderando a massa volúmca da mola - μ - tem-se dm, dm μdl e, Fgura substtundo na expressão anteror, vem: l v v dm v μ dl μ l l l dl O prmero membro da equação anteror representa a energa cnétca E C de um elemento da mola, de comprmento dl e massa dm. A energa cnétca de toda a mola é a ntegração da expressão sobre a totaldade da massa e sobre a totaldade do comprmento: E 3 l μv l μv l v μl C v dm l dl l l 3 3 l A massa da mola é dm μ dl μl. Substtundo na expressão anteror: l v E C 3 Assm se conclu que a massa responsável pela osclação da mola, sem qualquer corpo suspenso, é apenas de 3. Então, se a massa da mola não for desprezável em relação à massa do corpo, para cálculo do período de osclação, a sua contrbução deve ser adconada. A partr da expressão (), tem-se para período de osclação do sstema massa-mola a expressão segunte, onde m é a massa do corpo e é a massa da mola: m + π 3 ().3. Assocação de molas em sére Consderem-se duas molas lgadas do modo representado na fgura 3, que se desgna por assocação em sére. Se um corpo de massa m e peso mg for suspenso da extremdade lvre, exerce uma força que se transmte a todos os pontos do sstema formado pelas duas molas. Departamento de Físca da FCUC /9

3 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8 Se, num caso mas genérco, as duas molas tverem constantes elástcas dferentes - e - cada uma delas sofrerá uma deformação dferente - e. No entanto a acção da força r faz-se sentr do mesmo modo sobre qualquer uma das molas. ortanto, quando se suspender o corpo de massa m, a extremdade do sstema afasta-se de +, da posção de equlíbro. Desgnando por S a constante elástca do sstema das duas molas e consderando a equação F - k x, tem-se: l S S S + l ou: + (3) S Atendendo ao que se escreveu atrás, e, ou seja: e e, da equação (3), a constante elástca do sstema equvalente verfca a expressão: + S (4) O período de osclação do sstema corpo e duas molas em sére vem, de acordo com a equação (): Fgura 3 m + π 3 S m 3 π + (5) +.3. Assocação de molas em paralelo Consdere-se o sstema representado na fgura 4 em que duas molas têm as extremdades lvres undas por uma barra (de peso desprezável) e onde é suspenso um corpo de peso r. ela sua confguração, as molas encontram-se lgadas em paralelo. O corpo exerce uma força que se transmte a todos os pontos do sstema. As duas mola são forçadas a deformações guas,, anda que tenham constantes elástcas dferentes - e. Sobre as extremdades lvres de cada uma das molas exercem-se forças F r e F r, tas r r r que: F + F. m Desgnando por a constante elástca Fgura 4. Assocação de molas em paralelo do sstema das duas molas e consderando Departamento de Físca da FCUC 3/9

4 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8 a equação F - k x, tem-se: A partr da grandeza da força r, a gualdade anteror pode escrever-se: F + F F + F Atendendo à defnção da constante elástca de cada mola: F F e F F, a expressão anteror pode escrever-se: + (5) O período de osclação do sstema corpo e duas molas em paralelo vem, segundo a equação (): π m + 3 π m + (6) 3 +. rocedmento expermental ateral necessáro: duas molas em hélce, massas marcadas, suporte para as molas, régua graduada e cronómetro... Determnação da constante elástca de cada uma das molas Esta determnação pode ser efectuada por dos processos desgnados de método estátco e método dnâmco. Aplcar-se-á o prmero a uma das molas e o segundo à outra.... étodo estátco. Determne o valor da massa da mola - - e anote-o na folha de regsto de dados.. Dependure a mola do respectvo suporte e meça a posção l ncal do extremo nferor da mola - l - como sugerdo na fgura 5. Regste o valor. l 3. Suspenda da extremdade lvre uma prmera massa - m - e anote na tabela da folha de regsto de dados a nova posção do extremo nferor - l. 4. Repta os pontos e 3 para sucessvos ncrementos da m massa suspensa, até um máxmo de 5 g. Consdere mas 4 meddas, como sugerdo na tabela de dados. Fgura 5. étodo estátco de determnação da constante elástca de uma mola... étodo dnâmco. Determne o valor da massa da segunda mola - - e anote-o na folha de regsto de dados.. Dependure a mola do respectvo suporte e aplque no extremo nferor uma massa m. 3. Imprma à massa um movmento vbratóro smples (m.v.s.) de pequena ampltude e meça o período deste movmento. ara o efeto regste 5 vezes o tempo de osclações completas. Departamento de Físca da FCUC 4/9

5 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8 ome como resultado o valor médo e calcule o respectvo erro padrão na méda artmétca. Regste os dados na tabela. 4. Incrementando sucessvamente a grandeza da massa suspensa, proceda a mas 4 meddas, como sugerdo na tabela de dados... Determnação da constante elástca de duas molas assocadas em sére Nesta determnação va-se aplcar o método estátco.. Calcule o valor da massa de ambas as molas - - e anote-o na folha de regsto de dados.. Dependure as molas do respectvo suporte, tal como sugerdo na fgura 3. Não aplque anda qualquer massa e meça a posção ncal do extremo nferor da segunda mola - l. Regste o valor. 3. Suspenda da extremdade lvre uma prmera massa - m - e anote na tabela 3 da folha de regsto de dados a nova posção do extremo nferor - l. 4. Repta os pontos e 3 para sucessvos ncrementos da massa suspensa, até um máxmo de 5 g. Consdere mas 4 meddas como sugerdo na tabela 3 de dados..3. Determnação da constante elástca de duas molas assocadas em paralelo as uma vez se va aplcar o método estátco, nesta determnação.. Comece por anotar na folha de regsto de dados o valor da massa de ambas as molas - - já determnado em... Dependure as molas do respectvo suporte, tal como sugerdo na fgura 4. É fundamental que o extremo nferor das molas fque à mesma altura, a fm de a barra de unão fcar horzontal. ara sso, suspenda a mola menos comprda através de um fo. Não aplque anda qualquer massa e meça a posção ncal da barra - l. Regste o valor. 3. Suspenda da barra uma prmera massa - m - e anote na tabela 3 da folha de regsto de dados a nova posção do extremo nferor - l. 4. Repta os pontos e 3 para sucessvos ncrementos da massa suspensa, até um máxmo de 5 g. Consdere mas 4 meddas como sugerdo na tabela 4 de dados. 3. ratamento dos dados 3.. Determnação da constante elástca de cada uma das molas 3... étodo estátco. Comece por completar a tabela da folha de regsto de dados, calculando os dversos valores de elongação da mola ( ), de massa equvalente do sstema (Μ ) e, por fm, do valor de constante elástca resultante da expressão segunte, onde tomará g 9,8 m.s - : F g. ome como resultado da experênca o valor médo das determnações fetas e calcule o respectvo erro padrão na méda artmétca. Departamento de Físca da FCUC 5/9

6 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8 3. Em segundo processo de tratamento dos mesmos dados, represente grafcamente os valores de F ( g) em função de. De seguda trace a recta que melhor se aproxma do andamento dos dados. A partr das característcas dessa recta, calcule o valor da constante elástca e a respectva precsão de cálculo. Na análse dos resultados compare ambos os valores obtdos e analse a confança na obtenção de cada um deles étodo dnâmco. Comece por completar a tabela da folha de regsto de dados, calculando os dversos valores de massa equvalente do sstema (Μ ), de período (Τ ), de Τ e, por fm, do valor de constante elástca resultante da expressão (): m π. ome como resultado da experênca o valor médo das determnações fetas e calcule o respectvo erro padrão na méda artmétca. Na análse dos resultados comente o valor obtdo e conclua a propósto da respectva precsão. 3.. Determnação da constante elástca de duas molas assocadas em sére. Comece por completar a tabela 3 da folha de regsto de dados, calculando os dversos valores de elongação das molas ( ), de massa equvalente do sstema (Μ ) e, por fm, do valor de constante elástca resultante da expressão segunte, onde tomará g 9,8 m.s - : F g. ome como resultado da experênca o valor médo das determnações fetas e calcule o respectvo erro padrão na méda artmétca. Na análse dos resultados comece por calcular o valor de S usando a correspondente equação de assocação das molas em sére. ara o efeto recorra à expressão (4) e tome como valor de constante elástca de cada uma das molas os já determnados em 3.. e 3... Calcule também a precsão da determnação. De seguda compare este valor e o respectvo ntervalo de confança, com os obtdos expermentalmente. Até que ponto conseguu verfcar a equação de assocação de molas em sére? 3.3. Determnação da constante elástca de duas molas assocadas em paralelo. Comece por completar a tabela 4 da folha de regsto de dados, calculando os dversos valores de elongação das molas ( ), de massa equvalente do sstema (Μ ) e, por fm, do valor de constante elástca resultante da expressão segunte, onde tomará g 9,8 m.s - : F g. ome como resultado da experênca o valor médo das determnações fetas e calcule o respectvo erro padrão na méda artmétca. Departamento de Físca da FCUC 6/9

7 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8 Na análse dos resultados comece por calcular o valor de usando a correspondente equação de assocação das molas em paralelo. ara o efeto recorra à expressão (5) e tome como valor de constante elástca de cada uma das molas os já determnados em 3.. e 3... Calcule também a precsão da determnação. De seguda compare este valor e o respectvo ntervalo de confança, com os obtdos expermentalmente. Até que ponto conseguu verfcar a equação de assocação de molas em paralelo? 4. Relatóro Elabore um relatóro do trabalho efectuado, segundo as drectvas que lhe foram propostas. O ponto de análse dos resultados obtdos deve ser desenvolvdo de acordo com as propostas que neste guão são ncluídas em "tratamento dos dados". Deverá salentar o efeto dos erros expermentas e sugerr modo de o mnmzar. Bblografa []..R.R. Costa e.j.b.. de Almeda, Fundamentos de Físca, ª edção, Combra, Lvrara Almedna (4). []. Alonso e E. Fnn, Físca, Addson-Wesley Iberoamercana (999) [3] Introdução à análse de dados nas meddas de grandezas físcas, Combra, Departamento de Físca da Unversdade (5/6). [4].C. Abreu, L. atas e L.F. eralta, Físca Expermental - Uma ntrodução, Lsboa, Edtoral resença (994). Departamento de Físca da FCUC 7/9

8 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8 - DEERINAÇÃO DAS CONSANES ELASICAS DE OLAS REGISO DE DADOS e alguns CÁLCULOS Vsto do rofessor. Determnação da constante elástca de uma mola pelo método estátco osção ncal do extremo nferor da mola: l ± cm assa da mola: ± g abela. Dados expermentas e alguns cálculos osção da extremdade l (cm) l -l (cm) assas suspensas m (g) m + /3 (g) Valor de constante elástca - (N.m - ). Determnação da constante elástca de uma mola pelo método dnâmco assa da mola: ± g assas suspensas m (g) abela. Dados expermentas e alguns cálculos m + /3 (g) empo de osclações (s) eríodo de osclação (s) (s ) Valor de constante elástca - (N.m - ) Departamento de Físca da FCUC 8/9

9 Físca Laboratoral I Ano Lectvo 7/8 3. Determnação da constante elástca de duas molas assocadas em sére assa das molas: ± g osção ncal do extremo nferor da segunda mola: l ± cm abela 3. Dados expermentas e alguns cálculos osção da extremdade l (cm) l -l (cm) assas suspensas m (g) m + /3 (g) Valor de constante elástca - (N.m - ) 4. Determnação da constante elástca de duas molas assocadas em paralelo assa das molas: ± g osção ncal da barra de lgação: l ± cm abela 4. Dados expermentas e alguns cálculos osção da barra l (cm) l -l (cm) assas suspensas m (g) m + /3 (g) Valor de constante elástca - (N.m - ) Departamento de Físca da FCUC 9/9