Vamos apresentar um breve resumo dos conceitos mais importantes relativos ao funcionamento de circuitos em corrente alternada.

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1 Corrente Alternada amos apresentar um breve resumo dos concetos mas mportantes relatvos ao funconamento de crcutos em corrente alternada. Uma tensão alternada é uma dferença de potencal que vara no tempo. Uma tensão alternada que tem um grande número de aplcações prátcas é a que vara harmoncamente no tempo (do tpo senodal), e pode ser descrta como: t t (1.1) cos onde: é a tensão máxma ou tensão de pco ou, anda, ampltude, é a frequênca angular e é a fase da tensão alternada no nstante t=. A frequênca angular,, é dada por: f (1.) onde f é a frequênca da osclação e gual ao nverso do período, T. Fgura 1.1: Tensão alternada senodal em função do tempo. 3

2 A corrente alternada pode ser representada da mesma forma: t t (1.3) cos 1 amos estudar o caso de um crcuto de uma malha que consste de um gerador de tensão alternada, uma resstênca ôhmca, R 1, conhecda e um elemento qualquer de crcuto, que vamos chamar de elemento X: Fgura 1.: Crcuto para estudo do elemento X. Supondo que o elemento X seja um elemento resstvo ôhmco, a le de Ohm, é válda : R e R cte (1.4) sendo e a tensão e a corrente aplcadas ao elemento estudado, respectvamente. ortanto, no caso de tensão alternada, vamos ter a le de Ohm escrta como: 4

3 t t R e cte R (1.5) como (consderando, por uma questão de smplcdade, a fase ncal, gual a zero): t t Rt então, obrgatoramente, temos que : cos (1.6) t cos t e R cte (1.7) neste caso, então, as fases ncas da tensão e da corrente são obrgatoramente guas para que a le de Ohm (equação 1.5) seja válda. E a resstênca, R, é a razão entre a tensão de pco, ou máxma, aplcada ao resstor e a corrente de pco, ou máxma, que atravessa o resstor ôhmco estudado. 5

4 Fgura 1.3: Tensão e corrente alternadas, em função do tempo, para o resstor. amos ver agora o que ocorre no caso do elemento X ser um capactor, submetdo a uma tensão cossenodal, do tpo: t t q t cos (1.8) C onde q(t) é a carga do capactor e C é uma constante de proporconaldade chamada de capactânca. A carga pode ser escrta como a ntegral da corrente que passa pelo elemento: q t t dt t dt sent cos (1.9) A voltagem no capactor, em função do tempo, que é a razão entre a carga e a capactânca, fca, portanto: C t sen t (1.1) 6

5 essa expressão não é uma gualdade porque a tensão aplcada é (t)= cos (t) (equação 1.8). Então, para que a expressão 1.1 se torne uma gualdade a corrente (t) não pode ser smplesmente um cosseno com a fase do argumento gual a zero. Se (t) for: vamos ter: t t sent cos (1.11) 1 C (1.1) C t cost sent dt cost que é, de fato, uma gualdade se: (1.13) C A razão entre as ampltudes de pco, ou máxmas, da tensão aplcada e da corrente que atravessa o capactor é chamada de reatânca capactva, X C : X C 1 (1.14) C Concluímos, então, que num capactor submetdo a uma tensão alternada, a corrente está adantada de / em relação à tensão aplcada ao capactor (Atenção: a defasagem de / é entre a corrente e a tensão dretamente sobre o capactor e não quasquer outras). 7

6 Fgura 1.4: Tensão e corrente alternadas em função do tempo, para o capactor. No caso do elemento de crcuto X ser um ndutor submetdo a uma tensão alternada cossenodal, vamos ter: d t t L dt Se a corrente for dada por: t cos t cos (1.15) (1.16) e se qusermos obter a tensão sobre o ndutor a partr da corrente que o atravessa e da sua ndutânca L, vamos dervar a corrente, segundo a equação 1.15: t L sen t (1.17) 8

7 o que não é uma gualdade, porque (t) é um cosseno. ortanto, também neste caso a fase ncal da corrente não pode ser gual à da tensão no ndutor. ara que a expressão 1.17 se torne uma gualdade a corrente tem que ser da forma: t t sen t cos (1.18) assm, quando dervarmos a corrente, vamos obter: d dt t L L cos t (1.19) que, de fato, é uma gualdade, somente se: L (1.) A razão entre a tensão de pco, ou tensão máxma, aplcada ao ndutor e a corrente de pco, ou corrente máxma, que o atravessa é chamada de reatânca ndutva X L = L. Nota-se que nesse caso a corrente está atrasada de / em relação à tensão aplcada ao ndutor. Como no caso do capactor, a defasagem tem esse valor somente quando comparamos a corrente com a tensão aplcada ao ndutor, sendo que a defasagem entre a corrente e quasquer outras tensões exstentes no crcuto não tem necessaramente esse valor. De fato, pode-se representar essa defasagem ou na corrente ou na tensão, contanto que ela seja do valor correto e com o snal correto, veja a fgura 1.5 a segur: 9

8 Fgura 1.5: Tensão e corrente alternada, em função do tempo, para o ndutor. No caso de um resstor ôhmco não há defasagem entre tensão e corrente. Caso se tenha uma assocação de dos resstores, por exemplo, em sére, a tensão máxma ou de pco da assocação é a soma das tensões máxmas ou de pco de cada um: R R R (1.1) 1 1 R Esse resultado decorre da aplcação dreta da le de Ohm e das les de Krchhoff e torna fácl determnar, para qualquer assocação de resstores, os parâmetros dessa assocação. Entretanto, quando há defasagem entre tensão e corrente em determnados elementos, crcutos que contenham uma assocação msta desses elementos ou deles com resstores, não vão poder ter os parâmetros determnados de manera tão smples quanto para o caso de crcutos puramente resstvos. or exemplo, no caso de um ndutor (ou capactor) em sére com resstores, ou ndutor e capactor 1

9 em sére, a tensão de pco da assocação não é soma das tensões de pco de cada elemento, porque elas não estão em fase. ara achar a tensão de pco da assocação, teríamos que somar as tensões de cada um, nstante a nstante. Isso torna extremamente trabalhoso determnar parâmetros de crcutos que não sejam puramente resstvos. orém, esse tratamento fca analtcamente muto mas smples quando se representam as osclações de corrente e tensão por meo de quantdades complexas. Neste caso pode-se tratar crcutos ndutvos e/ou capactvos e resstvos como no caso de crcutos puramente resstvos. ara relembrar algumas propredades das quantdades complexas veja a apostla CFE (parte ), seção 11.. Esse formalsmo matemátco usado em corrente alternada aplca-se gualmente bem a qualquer tpo de osclação. 11

10 Impedânca Real e Complexa Contnuamos, então, o estudo do comportamento de um elemento passvo qualquer de crcuto, em corrente alternada, através do crcuto smples da fgura 1., proposto na seção anteror, que possu em sére um resstor, o elemento desconhecdo X e um gerador de tensão alternada: Fgura 1.: Crcuto para o estudo do elemento X. A caracterzação completa do elemento X, em regme de corrente alternada estaconára, é obtda muto mas faclmente, quando se conhece a mpedânca complexa, Z x, desse elemento em função da freqüênca. ara defnr essa grandeza precsamos ntroduzr a representação por complexos de tensões e correntes alternadas, que está dsponível na seção 11.3 da apostla CFE e nas referêncas aí ndcadas. 1

11 Resumndo, uma tensão alternada (t): t t (1.) cos pode ser representada pela parte real da quantdade complexa: t jt e ˆ 1 e uma corrente alternada (t): t t cos 1 j (1.3) (1.4) pode ser escrta como a parte real de: ˆ t j t e 1 (1.5) A mpedânca complexa do elemento X bpolar de crcuto, Z X, é defnda como a relação entre a tensão complexa e a corrente complexa que atravessa esse elemento: t t ˆ ˆˆ (1.6) Z X or smplcdade, como pode ser qualquer, a fase ncal da corrente pode ser colocada gual à zero, e, como qualquer número complexo pode ser expresso pela fórmula de Euler: Zˆ X e e j t jt Z e j m (1.7) então, para que a gualdade acma seja verdadera, temos que ter obrgatoramente: 13

12 Z e m (1.8) onde Z é a mpedânca real do elemento X e é a dferença de fase entre tensão e corrente nesse elemento, X, de crcuto, sendo que e são os valores máxmos ou valores de pco da tensão e da corrente, respectvamente, nesse elemento. Resumndo, se num bpolo com mpedânca complexa = Z e j, a corrente for (t) = cos t, a tensão nos termnas desse bpolo será: t t cos sendo Z Z X (1.9) ou seja, se a corrente é alternada, a tensão também é, mas com uma fase ncal dferndo da fase da corrente de um valor, e, com ampltude de pco, ou máxma, gual a Z (lembrando que é a ampltude máxma, ou de pco da corrente). Como Z X é um número complexo, pode-se escrevê-lo na forma: Z ˆ Z jz sen X (1.3) j e R jx Z cos onde R é a parte real da mpedânca ou parte resstva: R Z cos (1.31) No crcuto estudado (fgura 1.1) quando o elemento X for um resstor ôhmco, teremos = e a mpedânca é a resstênca R X. E X é a reatânca que é a parte magnára da mpedânca: X Z sen (1.3) 14

13 Como já menconado anterormente, a grande vantagem da notação complexa é que a mpedânca complexa equvalente de um crcuto qualquer pode ser obtda pelas mesmas regras smples das assocações de resstores. A demonstração dessas fórmulas é baseada na defnção de mpedânca complexa e nas les de Krchhoff e é análoga às demonstrações das assocações de resstores. Exste um artfíco que smplfca muto a soma de tensões (ou correntes) alternadas arbtráras, e, que, portanto, também smplfca as demonstrações acma, assm como as soluções de crcuto de corrente alternada em geral. Ele se basea no fato que, a soma de duas tensões alternadas arbtráras como exemplfcado na fórmula abaxo: t cost t 1 (1.33) 1 cos equvale a somar as componentes, no plano xy, de dos vetores de módulos 1 e, grando com velocdade angular e com ângulos ncas, em relação ao exo y, 1 e, respectvamente. ode se realzar a soma vetoral no nstante t=, porque a partr desse nstante o vetor soma, que é equvalente à tensão de pco da soma,, também gra com a mesma velocdade angular. Esses vetores grantes são chamados de fasores. A fgura a segur é um exemplo de como esses vetores funconam para encontrar a tensão soma da equação 1.33: 15

14 Fgura 1.6: Dagrama de fasores para soma de tensões alternadas (equação 1.33). or esse dagrama fca evdente que, devdo à defasagem, a ampltude da tensão soma,, não é gual à soma dos módulos das ampltudes das componentes, 1 e e sm: 1 x 1y x y (1.34) O método também funcona para crcutos em sére com elementos resstvos e não resstvos, porque como a corrente é a mesma para todos os elementos, as tensões de pco em cada elemento são dretamente proporconas às mpedâncas reas desses elementos e as defasagens das tensões também são guas às das mpedâncas complexas (veja as fórmulas 1.8). Então, a resstênca, R, e as reatâncas ndutvas e/ou capactvas podem ser representadas por fasores como mostrado na fgura 1.7 a segur: 16

15 Fgura 1.7: Dagrama de fasores representando mpedâncas em sére. Da mesma forma, podemos ver que a mpedânca real Z é gual à soma dos quadrados das mpedâncas reas de cada elemento: Z R X X... (1.35) 1 Representando as tensões num crcuto que contenha capactores, ndutores e resstores, em sére, a fase ncal da tensão no capactor (puro) em relação à tensão no resstor (que tem a mesma fase da corrente no resstor ou da corrente no crcuto, caso este seja um crcuto em sére) será de (-/). ara o caso de ndutor puro essa mesma fase (da tensão no ndutor em relação à tensão no resstor) será de (+/). No caso do ndutor real, ou bobna, equvalente a uma ndutânca pura mas uma resstênca, R B, podemos somar R B à resstênca R do crcuto e encontrar a tensão utlzando fasores. Um exemplo é o de um crcuto RLC, em sére, em que a bobna tem uma resstênca nterna R B que está ncluída na resstênca R, submetdo a um gerador de tensão alternada senodal. 17

16 A tensão soma pode ser encontrada pelo dagrama de fasores representado na fgura 1.8, a segur: Fgura 1.8: Dagrama de fasores para um crcuto RLC sére. Observação Importante 1 : ao fazer meddas, descrever o nstrumento de medda utlzado e seu erro de letura (embora não necessaramente esse vá ser o erro da medda). Quando for possível optar entre dos ou mas nstrumentos para a mesma medda, justfcar a escolha com argumentos baseados na precsão e confabldade dos nstrumentos. Não esquecer de anotar os erros expermentas assocados e ao fazer os cálculos não dexar de levá-los em consderação, assm como quasquer outros erros que porventura ocorrerem. Em todas as comparações com valores nomnas calcular os desvos relatvos porcentuas. 18

17 otênca Transferda a um Bpolo A potênca transferda de um crcuto qualquer a uma mpedânca, também qualquer, a cada nstante, é dada por: t t t (1.36) Como (t) e (t) são respectvamente: t t e t cos t cos pode-se escrever a equação 1.36 como: t cost cost Desenvolvendo esses dos cossenos como: (1.37) (1.38) cos t cost e jt e j e jt t jt e (1.39) substtundo na equação 1.38 e reagrupando os termos, obtém-se: 19

18 jt jt e e t e j e j (1.4) que é gual a: t cost cos (1.41) Esse é o valor nstantâneo da potênca, para encontrar o valor médo num período T, pela defnção de valor médo em tempo, ntegra-se (t) num período completo e dvde-se por esse período: 1 T T cos dt cos t t 1 T T dt (1.4) a segunda ntegral é nula, mas a prmera não. ortanto a potênca méda num período é: t 1 cos (1.43) Chama-se de valor efcaz da tensão, ef, o valor / e valor efcaz da corrente, ef, o valor /. Utlzando esses valores a potênca méda fca: t ef ef cos (1.44) O fator cos é chamado de fator de potênca da mpedânca e suas mplcações para o funconamento dos elementos de crcuto estudados nestes expermentos serão dscutdas a segur.

19 ara a medda de tensões e correntes alternadas utlzando voltímetros ou amperímetros analógcos ou dgtas os valores obtdos são os valores efcazes tanto da tensão quanto da corrente. Uma dscussão mas detalhada do funconamento desses aparelhos em tensão e corrente alternada é apresentada na seção 7.4 da apostla de CFE (parte 1). 1

20 Resstor Como já fo vsto, no caso do resstor ôhmco a defasagem entre tensão e corrente no resstor é nula e a mpedânca é real: Z R (1.45) Em geral, resstores comuns têm comportamento ôhmco até um determnado valor de potênca que é fornecdo pelo fabrcante. ara garantr o comportamento ôhmco e não chegar a danfcar o componente esses valores devem ser respetados. Além dsso, deve-se ter sempre em mente, que componentes reas não se comportam exatamente de acordo com as defnções, o que nesse caso quer dzer que resstores reas podem não ter um comportamento resstvo puro mas, dependendo das condções e característcas de construção do resstor, apresentar capactâncas e/ou ndutâncas parastas. Esse tpo de comportamento está dscutdo com mas detalhes na apostla CFE (parte ) seção 1.4. será: A potênca méda dsspada num resstor sob corrente alternada t ef (1.46) ef porque a defasagem entre tensão e corrente, num resstor, é gual a zero, e, portanto o fator de potênca, cos, é gual a 1. amos reproduzr a fgura 1.3 para a tensão e corrente alternadas num resstor e nclur nesse gráfco o comportamento da potênca nstantânea e da potênca méda para esse elemento. É a fgura 1.9 que, por uma questão de facltar a vsualzação está na próxma págna.

21 Fgura 1.9: Comportamento da potênca nstantânea e da potênca méda dsspada num resstor. 3

22 Capactor Colocando agora um capactor deal no lugar do elemento X do crcuto da fgura 1.1: Fgura 1.1: Crcuto para o estudo do comportamento do capactor. A tensão medda sobre o capactor será: t q 1 C t C C t dt (1.47) Como vamos utlzar o tratamento complexo, podemos escrever a corrente que passa no crcuto como sendo a parte real de: t j t ˆ e (1.48) A tensão sobre o capactor será, também, a parte real de: 4

23 ˆ 1 C t ˆ jt t dt e ˆ t 1 jc 1 jc (1.49) mas 1/j pode ser escrto como: 1 j j j j cos j jsen e j (1.5) ou seja, C (t), fca: C t 1 j e t (1.51) C Como a relação entre C (t) e (t) é a mpedânca complexa Z C, (o índce C denota o capactor): t t j ˆ C Zˆ C ˆ e Zˆ C Z e Xˆ C (1.5) assm sendo a mpedânca real de um capactor ou sua reatânca capactva real X C é: Z X C 1 C (1.53) e a defasagem entre a tensão no capactor e a corrente que o atravessa é : (1.54) 5

24 o que sgnfca que a tensão está atrasada de / em relação à corrente, que é o que se vê na fgura 1.4. Da mesma manera que o resstor, um capactor real pode ter desvos em relação ao comportamento deal. Esse comportamento está bem dscutdo na apostla de CFE (parte ) seção 1.. A proposta é, portanto, verfcar se o capactor que está dsponível pode ser consderado um capactor deal dentro dos ntervalos de freqüênca e tensão fornecdos pelo gerador de áudo freqüênca, e, que sejam tolerados pelos nstrumentos de medda. Em relação à potênca, para o caso de um capactor deal submetdo à corrente alternada, a potênca nstantânea é: cos cos t t (1.55) Mas, como a ntegral do segundo termo dessa equação, sobre um período é gual a zero (como já fo vsto) e é gual a / para um capactor deal, conclu-se que a potênca méda dsspada por um capactor deal é nula. O gráfco a segur mostra a tensão, a corrente e a potênca nstantânea sobre um capactor deal: 6

25 Fgura 1.11: Comportamento da potênca nstantânea e da potênca méda para o caso de um capactor deal. Observação Importante : não esquecer que as duas pontas de prova do oscloscópo têm terra comum, por sso não se deve lgar os dos termnas de terra das pontas de prova num crcuto smples. Se a lgação for feta num mesmo ponto, ela é supérflua e, em pontos dferentes resulta num curto crcuto. As tensões meddas com as pontas de prova são sempre as tensões exstentes entre a ponta de prova e o ponto de terra, prestar atenção, então, na lgação do terra em relação às duas pontas. 7

26 A partr dos valores meddos de tensão e corrente, (de pco ou efcazes), calcular a mpedânca ou reatânca do capactor e a freqüênca angular em cada caso. Colocar numa tabela. Fazer o gráfco que achar convenente para verfcar se o seu capactor está se comportando como um capactor deal e para determnar o valor expermental da capactânca. Compare esse valor com o valor nomnal. Analsar as meddas de defasagem, entre a tensão e a corrente no capactor, em função da freqüênca e comparar com o valor esperado. Que conclusões pode trar dessas meddas? Justfque sua resposta. Observação Importante 4: Todas as meddas realzadas devem ter assocados níves de confabldade e precsão, e, deve ser feta uma análse crítca das condções de realzação da experênca e qual a nfluênca que tas condções possam ter sobre as meddas. Todas as conclusões que trar de qualquer experênca que fzer, devem ser justfcadas através de argumentos físcos levando em conta os erros expermentas assocados e desvos relatvos quando possível. Caso seja necessára uma revsão dos concetos de teora de erros, uma boa referênca é o lvro Fundamentos de Teora de Erros de J. H. uolo, além da apostla de CFE, parte 1, capítulo 5. Indutor Consderando que se coloque um ndutor deal no lugar do elemento X, no crcuto da fgura 1.: 3

27 Fgura 1.13: Crcuto para o estudo do comportamento de um ndutor. A tensão no ndutor, L (t), será dada por: t d L t L (1.56) dt Adotando a notação complexa: t dˆ ˆ t L (1.57) dt L e consderando que a representação complexa da corrente no crcuto seja: t ˆ e jt (1.58) 31

28 a tensão no ndutor será a parte real de: ˆ L t t j t jl e jlˆ (1.59) pode-se escrever j como: j cos jsen e j (1.6) ortanto, a tensão complexa no ndutor deal tem a forma: j ˆ L t t Le ˆ (1.61) Como sabemos que a mpedânca complexa é a razão entre a tensão complexa e a corrente complexa no ndutor deal em estudo, concluímos que: t t ˆ Zˆ ˆ e L L Zˆ L Xˆ (1.6) L Le j portanto, a mpedânca real ou reatânca, X L, desse ndutor é : Z X L L L (1.63) a dferença de fase da tensão no ndutor em relação à corrente, no mesmo, é: (1.64) portanto, a tensão, no ndutor, L (t), está adantada de / em relação à corrente. Isso pode ser vsto na fgura

29 Quanto à potênca nstantânea dsspada no ndutor deal, como já calculado é gual a: cos cos t t (1.65) e, como é o caso do capactor também, a potênca méda dsspada num ndutor deal é nula, porque a ntegral do segundo termo da equação acma é nula num período e cos é gual a zero, porque para um ndutor deal é gual a /. Isso pode ser observado na fgura 1.14 a segur. Fgura 1.14: Tensão, corrente e potênca dsspada num ndutor deal. orém, raramente, o modelo de um ndutor deal pode ser usado para bobnas, pos como elas são fos condutores muto longos enrolados, sua resstênca elétrca é, em geral, sgnfcatva e não 33

30 pode ser desprezada. Na seção 1.3 da apostla de CFE é feta uma dscussão de como essa característca e alguns outros efetos podem nvablzar a adoção do modelo de ndutor deal para uma bobna comum. ara as condções do laboratóro, quer dzer, para a bobna, crcuto e ntervalo de freqüênca dsponível, não é possível adotar o modelo de ndutor deal. elo menos a resstênca da bobna deve ser levada em conta. Isso sgnfca que o modelo adotado para a bobna, não é mas o de uma ndutânca pura, mas de uma ndutânca pura lgada, em sére, a uma resstênca ôhmca. ortanto, o crcuto expermental não é o da fgura 1.13, mas o da fgura 1.15, a segur: Fgura 1.15: Crcuto para o estudo do comportamento de uma bobna. ara um crcuto, em sére, de uma resstênca e de uma ndutânca pura, a mpedânca complexa equvalente é a soma das mpedâncas complexas de cada elemento. A mpedânca da resstênca da bobna é R B e a mpedânca complexa do ndutor puro é X L : 34

31 X L jl (1.66) ortanto a mpedânca complexa da assocação é: Zˆ j R jl Z e (1.67) B A mpedânca real é o módulo de Z : ˆ ˆ Z ZZ RB L (1.68) e a defasagem entre a tensão da assocação em sére R B mas L e a corrente que a percorre, pode ser escrta a partr da equação 1.66 como sendo: L tg (1.69) R B ou: arctg L R (1.7) B Nota-se que a essa defasagem não é mas /, mas um outro ângulo que depende da freqüênca, da ndutânca L e da resstênca do ndutor R B. Do ponto de vsta da potênca dsspada pela bobna é fácl demonstrar que a expressão para a potênca nstantânea é: t t t (1.71) B B t t cost L L cos (1.7) 35

32 e a potênca méda é, pela defnção de valor médo, a potênca nstantânea ntegrada num período e dvdda pelo período. Refazendo o mesmo cálculo já feto anterormente obtém-se: t Lef Lef cos (1.73) só que agora não é gual a /, porque o ndutor não é puro. De acordo com o cálculo já feto para esse caso, é: arctg L R B (1.74) portanto a potênca méda não é nula como no caso do ndutor puro. A fgura 1.16 a segur mostra o comportamento da tensão, da corrente e da potênca nstantânea e méda para o caso de uma bobna: 36

33 Fgura 1.16: Comportamento da potênca nstantânea e da potênca méda para uma bobna. 37