PÊNDULO ELÁSTICO. Fig. 1. Considere o sistema da figura 1. Quando se suspende uma massa, m, na mola, o seu comprimento aumenta de l 0

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1 Protocoos das Auas Prátcas 7/8 DF - Unversdade do Agarve PÊNDULO ELÁSTICO. Resuo U corpo gado a ua oa é posto e ovento oscatóro. Deterna-se as característcas do ovento e estuda-se a conservação da energa ecânca.. Tópcos teórcos Y Fg. F r P r X Consdere o sstea da fgura. Quando se suspende ua assa,, na oa, o seu coprento auenta de para. À grandeza = dá-se o noe de ongação da oa. Quando o corpo se encontra e equíbro estátco, o seu peso é totaente copensado pa força ástca produzda pa oa, o que perte escrever a condção: g =, () onde g é a aceração da gravdade e a constante da oa. Esta equação estabece ua proporconadade drecta entre a ongação sofrda pa oa e a assa do corpo que na se suspende. Consdereos agora a stuação dnâca, sto é, a stuação e que o pênduo ástco não se encontra e equíbro (fg ). PE - 43

2 Físca Gera I MIEET, Físca Protocoos das Auas Prátcas 7 / 8 ADF - Unversdade do Agarve Y X Fg. F r P r Nesta stuação o peso ( P r ) e a força ástca ( F r ) não se anua entre s e as es da dnâca perte escrever: F = a () r F + P= a onde a r é a aceração adqurda po corpo. O desenvovento dos cácuos perte deternar a ongação da oa (desocaento do corpo) ratvaente à posção de equíbro estátco e função do tepo. No caso e que o pênduo ástco é posto e ovento partndo do repouso e co ua ongação nca, a e do ovento será: (3) ( t) = cos t onde as grandezas (t) e são eddas ratvaente à posção de equíbro estátco defnda por (). Verfca-se que o ovento adqurdo po sstea é u ovento oscatóro caracterzado por ua frequênca anguar própra de ω = e período: T = π (4) O período do ovento depende, desta fora, das característcas do pênduo ástco, noeadaente da sua assa e da constante da oa. Ua fora aternatva de abordar o estudo do pênduo ástco consste e verfcar que todas as forças que sobre e actua (força ástca e força gravítca) são conservatvas. Ao consderar apenas estas forças coete-se, obvaente, a aproxação de desprezar as forças de atrto de frcção e de resstênca do ar que actua sobre o sstea. Nesta aproxação pode-se escrever: QL - 44

3 Protocoos das Auas Prátcas 7/8 DF - Unversdade do Agarve te E p + Ep + Ec = c (5) g quando o corpo se encontra nua posção genérca de ongação. As grandezas E Pg, E P e E c tê, respectvaente, o sgnfcado de energa potenca gravítca, energa potenca ástca e energa cnétca. Defne-se a orge do referenca da fgura, ua vez as, na posção de equíbro estátco dada pa equação (). Consdera-se anda que essa posção defne a orge da energa potenca gravítca. Nestas condções, pode-se escrever a conservação da energa ecânca na fora: A + va = B + vb. (6) Se, e partcuar, o ponto A for o ponto de ongação áxa do pênduo e o ponto B for o de passage pa posção de equíbro estátco, tereos A =, v A = e B =. Resuta então: = v v= Esta equação estabece ua dependênca drecta da vocdade de passage pa posção de equíbro na aptude do ovento do pênduo. (7) 3. Probeas propostos Pretende-se, neste trabaho experenta: 3.. deternar a constante da oa; 3.. anasar o coportaento do período do ovento oscatóro e função da assa; 3.3. estudar a e de conservação da energa ecânca durante o ovento. 4. Matera Caha vertca co oa ncorporada. Massas arcadas. Rógo ectrónco. Detector fotoéctrco. Régua graduada co cursores. Fos de gação. PE - 45

4 Físca Gera I MIEET, Físca Protocoos das Auas Prátcas 7 / 8 ADF - Unversdade do Agarve 5. Procedento experenta Tenha o cudado de anotar os erros de etura de escaa assocados a todos os aparhos de edda que usar. 5.. Deternação da constante da oa Marque na régua graduada a posção de equíbro da oa na ausênca de assas Suspenda ua assa na oa e eça a nova posção de equíbro Repta o procedento vezes, auentando graduaente a assa suspensa (sugere-se que auente de g e g até 8 g), edndo, para cada vaor da assa, a posção de equíbro da oa. 5.. Estudo do ovento oscatóro do pênduo Estudo do período do ovento Escoha ua assa para o pênduo. Ponha o sstea e ovento, conferndo-he ua certa ongação e argando-o se vocdade nca Meça vezes o período do ovento se aterar as condções da experênca. Anote nua taba adequada a ongação nca (que poderá ser de cerca de c), a assa e os tepos eddos Repta para 5 assas dferentes (sugere-se que seja de 3 g e 3 g até perfazer 5 g) Estudo da conservação da energa ecânca 5... Escoha ua assa para o pênduo (convé que seja grande para que o vaor nca da assa do pênduo tenha pouco sgnfcado) e ponha-o e ovento nas condções de Deterne a vocdade de passage do pênduo pa posção de equíbro, edndo vezes o tepo de passage da assa po detector fotoéctrco. Anote nua taba adequada a assa, a ongação nca e os tepos Repta a experênca 5 vezes auentando, e cada ua das, a ongação nca de c (coece, por exepo, por 6 c e prossga até c). QL Anáse dos resutados obtdos 6.. Deternação da constante da oa Eabore u gráfco da ongação sofrda pa oa e função da assa na suspensa.

5 Protocoos das Auas Prátcas 7/8 DF - Unversdade do Agarve 6... Deterne, a partr de ua regressão near dos resutados, a constante da oa. 6.. Estudo do ovento oscatóro do pênduo Estudo do período do ovento Cacue o vaor édo e o erro estatístco assocados às eddas do período do ovento Verfque a e de varação do período co a assa aborando u gráfco de T e função de e ajustando-he ua nha recta Estudo da conservação da energa ecânca Cacue os vaores édos e os erros estatístcos assocados aos tepos referdos e 5... Deterne, a partr desses vaores, as vocdades de passage da assa pa posção de equíbro Eabore u gráfco da vocdade e função da ongação nca. Procure verfcar a e de conservação da energa ecânca ajustando ua nha recta a este gráfco. PE - 47

6 Físca Gera I MIEET, Físca Protocoos das Auas Prátcas 7 / 8 ADF - Unversdade do Agarve Apêndce Estudo do pênduo ástco Y Fg A. F r P r X Consdere o sstea da fgura A.. Quando se suspende ua assa,, da oa, o seu coprento auenta de para. À grandeza = dá-se o noe de ongação da oa. Atendendo a que o corpo se encontra e equíbro, as es da ecânca perte escrever: r F F F = + P= P= (A.) já que a nha de acção do peso, P r, e da força ástca, F r, é a esa e segundo YY. Resuta, então, atendendo a = P= g F onde representa a constante da oa e g a aceração gravítca:, (A.) - = g = g g = Verfca-se por (A.3) que a ongação é ua função near da assa do pênduo. (A.3) Consdereos agora a stuação dnâca, sto é, a stuação e que o pênduo ástco não se encontra e equíbro (fg. A.). QL - 48

7 Protocoos das Auas Prátcas 7/8 DF - Unversdade do Agarve Y X F r P r Fg. A. Nesta stuação o peso e a força ástca não se anua entre s e as es da dnâca perte escrever: F = a r F + P= a (A.4) g = a ( + ) + g = a já que o ovento ocorre apenas segundo YY e se consdera a orge deste exo na posção de equíbro estátco, defnda pa equação (A.3). Atendendo anda a esta equação, pode-se escrever: = a d + = d t d + = d t (A.5) que é ua equação dferenca ordnára de ª orde, near, de coefcentes constantes e hoogénea. A sua soução é: ( t) t = c e + c t e (A.6) onde c e c são duas constantes de ntegração que deve ser deternadas pas condções ncas do ovento do pênduo. Ua vez que, nas experêncas a reazar, o pênduo será posto e ovento a partr do repouso, conferndo-se-he ua certa ongação nca,, as condções ncas são: ( ) = v( ) = e perte cacuar: c = c = /. Resuta então: (A.7) PE - 49

8 Físca Gera I MIEET, Físca Protocoos das Auas Prátcas 7 / 8 ADF - Unversdade do Agarve (A.8) ( t) = cos t onde as grandezas (t) e são eddas ratvaente à posção de equíbro estátco defnda por (A.3). Verfca-se que o ovento adqurdo po sstea é u ovento oscatóro caracterzado por ua frequênca anguar própra de ω =. O período do ovento, T, será dado por: ou seja, ( t+ T) = ( t) cos = t+ T cos t (A.9) T = π T = π (A.) O período do ovento depende, desta fora, das característcas do pênduo ástco, noeadaente da sua assa e da constante da oa. Ua fora aternatva de abordar o estudo do pênduo ástco consste e verfcar que todas as forças que sobre e actua (força ástca e força gravítca) são conservatvas. Ao consderar apenas estas forças coete-se, obvaente, a aproxação de desprezar as forças de atrto de frcção e de resstênca do ar que actua sobre o sstea. Nesta aproxação, e fazendo referênca à fgura A., pode-se escrever: QL - 5 E pg + E p + E g+ g+ c = c te ( + ) + v te ( ) + v = c = c te (A.) quando o corpo se encontra nua posção genérca de ongação e E Pg, E P e E c tê o sgnfcado de energa potenca gravítca, energa potenca ástca e energa cnétca, respectvaente. Consdera-se que a orge do referenca da fgura A. se encontra, ua vez as, na posção de equíbro estátco defnda pa equação (A.3). Consdera-se anda que essa posção defne a orge da energa potenca gravítca. Nestas condções, e fazendo uso novaente da equação (A.3), pode-se escrever a conservação da energa ecânca (soa da energa potenca co a energa cnétca) na fora: te ( + ) + v = c. (A.)

9 Protocoos das Auas Prátcas 7/8 DF - Unversdade do Agarve O facto desta quantdade se anter constante ao ongo de toda a trajectóra do corpo perte secconar dos pontos dessa trajectóra, A e B, para os quas se pode escrever: ( + ) + v = ( + ) + v A A B B. (A.3) Se, e partcuar, o ponto A for o ponto de ongação áxa do pênduo e o ponto B for o de passage pa posção de equíbro estátco, tereos A =, v A = e B =. Resuta então: v = v B = B (A.4) Esta equação estabece ua dependênca drecta da vocdade de passage pa posção de equíbro na aptude do ovento do pênduo. PE - 5