MEDIÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COM UM PÊNDULO SIMPLES

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1 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples MEDIÇÃO DA ACEERAÇÃO DA GRAVIDADE COM UM PÊNDUO SIMPES O Relatóro deste trabalho consste no preenchento dos espaços neste texto Fundaento Teórco O pêndulo sples é consttuído por u corpo suspenso nu o leve e nextensível. Quando é aastado da posção de equlíbro e solto, o pêndulo oscla no plano vertcal, e torno do ponto de xação do o, por acção da gravdade. Na gura. a), o dagraa de corpo lvre do corpo suspenso evdenca que o corpo está subetdo a duas orças aplcadas no centro de assa: o peso, g, e a tensão do o, T. θ θ T a t a n g (a) (b) Fgura. (a) Dagraa de corpo lvre do corpo suspenso, consderado coo u ponto ateral localzado no centro de assa. (b) Decoposção do vector a nas coponentes tangencal e noral, quando o pêndulo se aasta da posção de equlíbro. Sendo Σ F t = at a coponente tangencal da equação ΣF = a, a gura. ostra que essa coponente é: dv - g sn θ =, () dt onde θ é o ângulo entre a vertcal e o o. Ua vez que o corpo suspenso executa ovento de rotação e torno do ponto de xação do o, a velocdade nstantânea do seu centro de assa, v, satsaz: v = ω, () dθ onde é o coprento do pêndulo e ω = é a velocdade angular do pêndulo. dt Para o caso de a osclação ter ua apltude pequena, de ora que sn θ θ (3), obte-se, por substtução de () na equação (): d θ g + θ = 0. (4) dt Área Centíca de Físca DEEA ISE

2 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples A equação (4), característca do ovento harónco sples, é satseta por duas expressões partculares de θ : θ = sn g t e θ = cos g t, pelo que a solução geral da equação (4) é: g g θ = C + sn t C cos t, (5) onde C e C são constantes de ntegração. A expressão (5) evdenca que o ângulo θ é ua unção peródca do tepo e que θ vara co a requênca natural ω = 0 g /. Então, o período da osclação é: T = 0 π g (6) sendo, ass, ua unção exclusva do coprento do pêndulo e da aceleração da gravdade no local. O conhecento do período e do coprento do pêndulo perte calcular o valor da aceleração da gravdade no laboratóro através de (6), na edda e que seja váldas as aproxações assudas na dedução dessa expressão. Se ôr necessára aor exactdão, deve utlzar-se expressões do período que tê e conta certos actores que não ora consderados na dedução de (6): a) Quando não é válda a aproxação reerda e (3), o período passa a depender da apltude áxa, θ 0, da osclação, através da expressão: θ θ 0 T = T0 + sn + sn (7) b) Tendo e conta a orça de pulsão exercda pelo ar, o período do pêndulo passar a ter a expressão: ρ ar T = T + 0 (8) ρ pêndulo e que ρ é a densdade. c) Se a assa do o de suspensão,, não ôr desprezável e relação à assa do corpo suspenso, c, ve: = T T 0. (9) c d) Para pequenas osclações, se ôr tdo e conta o seu aortecento, obtese: / T 0 T = T0, (0) 4πτ e que τ é o tepo necessáro para que a apltude se reduza a ncal (tepo de relaxação). / e do seu valor Área Centíca de Físca DEEA ISE

3 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples Procedento experental. - Construa o pêndulo utlzando o o as curto. Deterne cudadosaente o coprento,, do pêndulo.. Desloque o pêndulo da posção de equlíbro e eça o tepo necessáro para realzar 0 osclações. Repta esta edda 5 vezes. Deterne o valor édo do período do pêndulo, T, e o respectvo erro estatístco, T, toando para este últo a éda do ódulo dos desvos: T = ΣT T. n Repta as nstruções. e., utlzando os restantes os.. Deternação do coprento de cada pêndulo Denção rgorosa do coprento do pêndulo, : O coprento do pêndulo,, é a dstânca do..... até ao Coprentos eddos drectaente, usados para a deternação de : Síbolo Noe Denção (explcando coo o eta a edda) l Coprento do o Dstânca do ponto de xação do o no suporte até ao ponto de xação do o à argola do corpo, edda co o corpo pendente na vertcal. Desenho do pêndulo ostrando o eto do corpo suspenso e assnalando o coprento do pêndulo,, e anda os coprentos eddos drectaente ( l, etc) desgnados pelos síbolos da lsta anteror: Área Centíca de Físca DEEA ISE 3

4 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples Tabela.. Coprentos eddos drectaente (coprentos l, etc desgnados pelos síbolos da lsta anteror): l ± l º pênd. ± º pênd. ± 3º pênd. ± 4º pênd. ± 5º pênd. ± Justcação do valor atrbuído a ± l : ± ± ± ± ± O erro de letura na edção de l o.. porque o nstruento usado nesta edda o ua co a qual podíaos edr a dstânca ína de. O erro total na edção de l o l = porque.... Justcação do valor atrbuído a : O erro de letura na edção de... o.... porque o nstruento usado nesta edda o ua co a qual podíaos edr a dstânca ína de. O erro total na edção de... o... =... porque Justcação do valor atrbuído a : O erro de letura na edção de... o.... porque o nstruento usado nesta edda o ua co a qual podíaos edr a dstânca ína de. O erro total na edção de... o... =... porque Expressão do coprento do pêndulo,, e unção dos coprentos drectaente eddos ( l, etc): = Expressão do erro que aecta o coprento do pêndulo, e unção dos erros dos coprentos drectaente eddos ( l, etc): = Área Centíca de Físca DEEA ISE 4

5 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples Tabela.. - Coprento eddo para cada pêndulo: º pêndulo º pêndulo 3º pêndulo 4º pêndulo 5º pêndulo. Deternação do período de cada pêndulo Tabela. Tepos eddos para 0 períodos (0 T ) e para o período (T) de cada pêndulo: º pênd. º pênd. 3º pênd. 4º pênd. 5º pênd. 0 T s 0 T s 0 T 3 s 0 T 4 s 0 T 5 s T s T s 3 - Cálculo da aceleração da gravdade no aboratóro 3. - Deterne a relação experental entre 4π e T, através da equação da recta que elhor se ajusta aos valores encontrados para estas grandezas. Dsponha os resultados nu gráco Relacone a expressão calculada e 3. co a expressão teórca (6), para deternar o valor g ± g da aceleração da gravdade no aboratóro Atrbua aos os dos 5 pêndulos a esa assa,, do o as coprdo e utlze as expressões teórcas (9) e (6) para calcular g ± g. Copare co o resultado obtdo e 3.. Daí, conclua se tera valdo a pena não desprezar a assa dos város os pendulares para obter u valor de g as exacto. 3. Deternação da relação experental entre 4π e T Expressão do erro (4π ) e unção de, calculada através da propagação de erros: (4π ) = Expressão do erro (T ) e unção de T, calculada através da propagação de erros: ( T ) = Área Centíca de Físca DEEA ISE 5

6 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples º pênd. º pênd. 3º pênd. 4º pênd. 5º pênd. Tabela 3. Valores de 4π e T : (4π ) y = 4π x = T s (T ) s Cálculo da equação da recta y = ax + b que elhor se ajusta aos pontos experentas ( x, y), usando o étodo dos desvos quadrátcos ínos: n ( x y ) ( x ) ( y ) a =, n ( x ) ( x ) b = ( y ) a ( x ) n e sendo os erros estatístcos assocados aos parâetros a e b : ( n ) ( y ax b) n a =, ( x ) ( x ) n b = a ( x ) n Resultados obtdos: a ± a = (... ±...).. b ± b = (... ±...).. Relação experental entre 4π e T, e undades do Sstea Internaconal: 4π =. T + Gráco 3. - Valores experentas obtdos para 4π (e ordenadas) e unção dos valores experentas obtdos para T (e abcssas). Neste gráco é traçada a recta que o obtda pelo étodo dos desvos quadrátcos ínos. Este gráco deve ser nserdo coo págna 6A. Área Centíca de Físca DEEA ISE 6

7 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples 3. Resultado obtdo para a aceleração da gravdade no aboratóro: Sgncado ísco do parâetro a, justcado por coparação da relação teórca (6) co a relação experental entre 4π e T : Dscussão do valor obtdo para o parâetro b, coparando o valor teórco de b na relação (6) co o resultado experental b ± b : Resultado da nossa experênca: Aceleração da gravdade edda no aboratóro, co base no sgncado ísco de a deduzdo aca, o: g = ( ±.. ).. (este resultado nal deve apresentar apenas os algarsos e as casas decas sgncatvas) Área Centíca de Físca DEEA ISE 7

8 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples 3.3 Inluênca da assa do o na edda da aceleração da gravdade Desgne a assa do o pendular por Atrbua aos 5 os pendulares a esa assa, e a assa do corpo suspenso por c., edda para o o as longo. Massas eddas: c = (... ±...)... = (... ±...)... Expressão de g, e unção de, através das expressões teórcas (6) e (9): c e do parâetro a 4π =, calculada T g = Expressão do erro g, e unção dos erros propagação de erros:, c e a, calculada através da g = Aceleração da gravdade no aboratóro, calculada para ua assa dos os pendulares superor à real vsto ter-se adtndo que os 5 os tnha a assa do o as longo e utlzando o valor a ± a = (... ±...).. : g = (.. ±... ). Conclusão acerca da utldade de ter e conta a assa dos os pendulares na edção que realzou, co base na coparação entre os resultados obtdos para g e 3.3 e e 3.: Área Centíca de Físca DEEA ISE 8

9 Medção da Aceleração da Gravdade co u Pêndulo Sples 4 Conclusões 4. - Copare o resultado obtdo e 3., co o valor: g = (9,80084 ± 0,000000).s - obtdo experentalente para a aceleração da gravdade e sboa, ao nível do ar. Dga se há concordânca ou dscrepânca entre os dos resultados, justcando Dscuta o resultado 3. obtdo na experênca que realzou Apresente sugestões de soluções concretas para a realzação desta experênca co elhores resultados. 4. Coparação co o resultado de outra experênca: 4. Dscussão do resultado da nossa experênca: 4.3 Sugestões: Data -././. Nº - Noe -.. Assnatura -.. Nº - Noe -.. Assnatura -.. Nº - Noe -.. Assnatura -.. Área Centíca de Físca DEEA ISE 9