Resumo do capítulo. Mecânica, Termologia, Óptica, Acústica, Eletricidade, Física Nuclear.

Transcrição

1 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo Introdução à ísca palara físca te orge grega (physké) e sgnfca Natureza. RMOS D ÍSI Mecânca, Terologa, Óptca, cústca, Eletrcdade, ísca Nuclear. MÉTODO EM ÍSI Os percursos trlhados pelos centstas para a forulação de teoras e les que eplque os fenôenos que ocorre na Natureza são uto arados. U dos processos de aqusção do conhecento é o denonado étodo eperental ou centífco. E sta de seu caráter hstórco, aos apresentar, splfcadaente, as etapas que são sugerdas por esse étodo: o fenôeno é obserado repetdas ezes, destacando-se fatos notáes; ede-se as prncpas grandezas enoldas no fenôeno; procura-se algua relação entre tas grandezas tentando descobrr algua le ou prncípo que descrea o fenôeno. No processo de descobertas centífcas, o centsta não costua segur, necessaraente, regras preaente estabelecdas. UNIDDES DE OMRIMENTO E TEMO k 0 3 c c 0 3 n 60 s h 60 n s da 4 h s ano 3, 0 7 s

2 Os fundaentos da ísca Volue apítulo LGRISMOS SIGNIITIVOS L correto dudoso L 9,6 c L 9,65 c corretos dudoso Os algarsos sgnfcatos de ua edda são os algarsos corretos e o prero dudoso. OERÇÕES OM LGRISMOS SIGNIITIVOS Multplcação e dsão O resultado dee apresentar u núero de algarsos sgnfcatos gual ao do fator que possu o enor núero de algarsos sgnfcatos. dção e subtração O resultado dee apresentar u núero de casas decas gual ao da parcela co enos casas decas. Notação centífca onsste e eprr u núero da segunte fora: N 0 n, e que n é u epoente ntero e N 0. Orde de grandeza N 0 orde de grandeza: 0 n N 0 orde de grandeza: 0 n

3 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo Introdução ao estudo dos oentos INEMÁTI Rao da ísca que descree os oentos, deternando a posção, a elocdade e a aceleração de u corpo e cada nstante. onto ateral é u corpo cujas densões não nterfere no estudo de deternado fenôeno. TRJETÓRI DE UM MÓVEL É o conjunto das posções sucessas ocupadas pelo óel no decorrer do tepo e relação a u dado referencal. Espaço é a grandeza que deterna a posção de u óel nua deternada trajetóra, a partr de ua orge arbtrára (orge dos espaços). s undades de espaço são: c,, k etc. s O (orge dos espaços) REERENIL U corpo está e oento e relação a u deternado referencal quando sua posção, nesse referencal, ara no decurso do tepo. U corpo está e repouso e relação a u deternado referencal quando sua posção, nesse referencal, não ara no decurso do tepo. Os concetos de oento, repouso e trajetóra depende do referencal adotado. VELOIDDE ESLR MÉDI ( ) É o quocente da aração de espaço ( s) pelo nteralo de tepo correspondente ( t): s t

4 Os fundaentos da ísca Volue apítulo VELOIDDE ESLR INSTNTÂNE () É o alor-lte a que tende s t escalar são: c/s, /s, k/h etc. quando t tende a zero. s undades de elocdade onersão de k/h para /s e ce-ersa: k h : 3,6 3,6 s

5 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo 3 Estudo do oento unfore MOVIMENTO ROGRESSIVO É o oento e que o óel canha a faor da orentação posta da trajetóra. 0 0 No oento progresso os espaços cresce co o decorrer do tepo e a elocdade escalar é posta. MOVIMENTO RETRÓGRDO É o oento e que o óel canha contra a orentação posta da trajetóra. 0 0 No oento retrógrado os espaços decresce co o decorrer do tepo e a elocdade escalar é negata. MOVIMENTO UNIORME (MU) É o oento que possu elocdade escalar constante (e não-nula). No oento unfore (MU) a elocdade escalar é a esa e todos os nstantes e concde co a elocdade escalar éda, qualquer que seja o nteralo de tepo consderado. s t constante 0 unção horára do MU s s 0 t

6 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 3 VELOIDDE RELTIV ( rel. ) Os óes canha no eso sentdo. rel. (co ) Os óes canha e sentdos opostos. rel.

7 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 4 Moentos co elocdade escalar aráel. Moento unforeente arado ELERÇÃO ESLR celeração escalar éda (α ) É o quocente da aração de elocdade ( ) pelo nteralo de tepo correspondente ( t): α t celeração escalar nstantânea (α) É o alor-lte a que tende t /s, k/h etc. quando t tende a zero. Suas undades são c/s, MOVIMENTO ELERDO É o oento e que o ódulo da elocdade escalar auenta no decurso do tepo. No oento acelerado e α tê o eso snal. MOVIMENTO RETRDDO É o oento e que o ódulo da elocdade escalar dnu no decurso do tepo. No oento retardado e α tê snas contráros. MOVIMENTO UNIORMEMENTE VRIDO (MUV) É o oento que possu aceleração escalar constante (e não-nula). No oento unforeente arado (MUV) a aceleração escalar é a esa e todos os nstantes e concde co a aceleração escalar éda, qualquer que seja o nteralo de tepo consderado. α α t constante 0

8 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 4 unções horáras do MUV unção horára dos espaços s s 0 0 t α t unção horára da elocdade 0 αt EQUÇÃO DE TORRIELLI R O MUV 0 α s VELOIDDE ESLR MÉDI NO MUV No MUV, a elocdade escalar éda entre dos nstantes é gual à éda artétca das elocdades escalares nstantâneas: t t t t

9 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo 5 Moento ertcal no ácuo MOVIMENTO VERTIL NO VÁUO É u oento unforeente arado cuja aceleração é a da gradade: s s 0 0 t α t 0 αt 0 α s s t α g α g (orentação da trajetóra para bao) α g (orentação da trajetóra para ca) Subda: oento retardado Descda: oento acelerado onto as alto: udança de sentdo ( 0) TEMO DE SUID (t s ) 0 e 0 g t t s 0 α g h á. 0 0 g t s t s 0 g 0 TEMO DE DESID (t d ) t t d t s TEMO TOTL (t T ) t T t s t d 0 g

10 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 5 LTUR MÁXIM (h á. ) 0 e 0 g s 0 0 gh á. h á. 0 g TEMO DE QUED (t q ) s H e s gt (s 0 0; 0 0) t H H g t q t q H g Solo H α g VELOIDDE O TINGIR O SOLO () s H e g s gh gh

11 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 6 Gráfcos. Gráfcos do MU e do MUV GRÁIOS DO MU GRÁIOS DO MUV rogresso ( 0) Retrógrado ( 0) s s s α 0 s α 0 0 s 0 θ 0 t s 0 θ 0 t Retardado celerado t Retardado celerado t 0 t t 0 t 0 Retardado celerado θ t 0 0 Retardado celerado θ t 0 α α α α α 0 0 t α 0 0 t α 0 t t 0 t α No gráfco do espaço e função do tepo, a tg θ nos fornece a elocdade tg θ escalar (s ); no gráfco da elocdade escalar e função do tepo, a tg θ nos tg θ fornece a aceleração escalar ( α). tg θ tg θ s α No gráfco da aceleração escalar e função do tepo, nuercaente a área equale à aração de elocdade (α ); no gráfco da elocdade escalar e função do tepo, nuercaente a área equale à aração de espaço área ( s). área α área área s

12 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo 7 Vetores GRNDEZS ESLRES E GRNDEZS VETORIIS grandeza escalar fca perfetaente defnda quando dela se conhece o alor nuérco e a correspondente undade (eeplos: olue, assa, teperatura, energa). grandeza etoral, alé do alor nuérco e da undade, necessta de dreção e sentdo para ser defnda (eeplos: elocdade, aceleração, força, pulso, quantdade de oento). VETOR É u ente ateátco caracterzado por ódulo, dreção e sentdo. DIÇÃO VETORIL V S V V V S V ou V V S V V SUTRÇÃO VETORIL V D V V V D V V V D V V V V D V ou V V D V V V V D V V V V D V V V V ou V V D V V D V V V

13 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 7 RODUTO DE UM NÚMERO REL OR UM VETOR a b a c a OMONENTES DE UM VETOR V V θ V V θ ' V ' ' V ' V V cos θ V V cos θ V V ' V V V ' ' ' V 0

14 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 8 Velocdade e aceleração etoras VETOR DESLOMENTO Vetor deslocaento (d) de u ponto ateral entre os nstantes t e t é o etor representado por u segento orentado de orge e (posção do ponto ateral no nstante t ) e etredade e (posção do ponto ateral no nstante t ). (t ) s d (t ) s s d s Trajetóra curlínea Trajetóra retlínea d s d s VELOIDDE VETORIL MÉDI ( ) É o quocente entre o etor deslocaento d e o correspondente nteralo de tepo t. d t te a esa dreção e o eso sentdo de d. VELOIDDE VETORIL INSTNTÂNE elocdade etoral ( ) de u óel nu nstante t te as característcas: Módulo: gual ao ódulo da elocdade escalar no nstante t. Dreção: da reta tangente à trajetóra pelo ponto (posção que o óel ocupa no nstante t). Sentdo: do oento. Sentdo do oento Trajetóra

15 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 8 ELERÇÃO VETORIL MÉDI (a ) É o quocente entre a aração de elocdade etoral e o correspondente nteralo de tepo t. a t a te a dreção e o sentdo de. a (t ) (t ) ELERÇÃO VETORIL INSTNTÂNE (a) celeração centrípeta (a cp ) É a aceleração que ndca aração na dreção da elocdade etoral. Este aceleração centrípeta sepre que o óel percorre trajetóra cura. aracterístcas de a cp : Módulo: a cp, e que é a elocdade escalar e R, o rao da cura descrta. R Dreção: perpendcular à elocdade etoral e cada ponto. Sentdo: orentado para o centro () de curatura da trajetóra. a cp Trajetóra celeração tangencal (a t ) É a aceleração que ndca a aração no ódulo da elocdade etoral. Este aceleração tangencal nos oentos arados. aracterístcas de a t : Módulo: a t α, e que α é a aceleração escalar. Dreção: tangente à trajetóra.

16 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 8 3 Sentdo: o eso de, se o oento for acelerado, ou oposto ao de, se o oento for retardado. a t a t Moento acelerado Moento retardado celeração etoral (a) É a soa etoral da aceleração centrípeta e da aceleração tangencal: a a cp a t Seu ódulo é dado por: a a cp a t a t a Trajetóra a cp Velocdade celeração Módulo Dreção a t a cp a MRU constante constante nula nula nula MRUV aráel constante não-nula nula a a t MU constante aráel nula não-nula a a cp MUV aráel aráel não-nula não-nula a a t a cp OMOSIÇÃO DE MOVIMENTOS res. rel. arr. Ro abao Ro aca 3 Eo do barco 4 arco parte de perpendcular e chega a rel. à correnteza res. rel. arr. arr. res. rel. res. rel. res. arr. arr. res. rel. arr. res. rel. arr. res. rel. arr. rel. res. arr.

17 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo 9 Lançaento horzontal e lançaento oblíquo no ácuo LNÇMENTO HORIZONTL NO VÁUO O lançaento horzontal no ácuo, nas prodades da superfíce terrestre, pode ser consderado coo sendo a coposção de dos oentos. oento ertcal: queda lre. s gt e y gt (eo orentado para bao) oento horzontal: unfore. h s O 0 y 0 g Solo 0 t elocdade resultante do óel é: 0 y Tepo de queda h gt q t h q g lcance horzontal 0 t q, e que t q h g LNÇMENTO OLÍQUO NO VÁUO y y 0 g (,y) 0 H y 0y 0 θ

18 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 9 0 cos θ 0y 0 sen θ Moento horzontal: MU t Moento ertcal: MUV y 0y t α t y 0y αt y 0 y αy α g (eo orentado para ca) Tepo de subda lcance horzontal t s 0 sen θ g 0 sen θ g ltura áa Velocdade nu nstante t H sen θ y g y 0

19 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 0 Moentos crculares GRNDEZS NGULRES Relações: ϕ: espaço angular (rad) ω: elocdade angular (rad/s) γ: aceleração angular (rad/s ) s ϕr; ωr; α γr; a cp R ω R ERÍODO E REQÜÊNI eríodo T É o enor nteralo de tepo para u fenôeno peródco se repetr. Undades: s, n, h etc. reqüênca f nu fenôeno peródco É o núero de ezes que o fenôeno se repete na undade de tepo. Undades: hertz (cclos/s), rp (rot./n) etc. Relações: f T ou T f MOVIMENTO IRULR UNIORME (MU) ω ϕ t constante 0 ω π T ; ω πf γ 0

20 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 0 unção horára angular do MU: ϕ ϕ 0 ωt TRNSMISSÃO DE MOVIMENTO IRULR UNIORME ω ω ω ω R R R R ω R ω R f R f R MOVIMENTO IRULR UNIORMEMENTE VRIDO (MUV) γ ω t constante 0 unção horára angular ϕ ϕ 0 ω 0 t γ t unção elocdade angular ω ω 0 γt Equação de Torrcell ω ω 0 γ ϕ

21 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo Os prncípos fundaentas da Dnâca Dnâca estuda os oentos e as causas que os produze ou os odfca. RINÍIO D INÉRI (RIMEIR LEI DE NEWTON) O prncípo da nérca estabelece que u ponto ateral solado peranece e repouso ou e oento retlíneo unfore. orça é a causa que produz nu corpo aração de elocdade e, portanto, aceleração. undade de ntensdade de força no SI é o newton (N). Referencas nercas são os referencas e relação aos quas ale o prncípo da nérca. Inérca é a propredade da atéra de resstr a qualquer aração e sua elocdade. Massa é a edda da nérca da atéra. No SI sua undade é o qulograa (síbolo: kg). U corpo e repouso tende, por nérca, a peranecer e repouso. Quando e oento retlíneo e unfore, te a tendênca natural de anter constante sua elocdade. RINÍIO UNDMENTL D DINÂMI (SEGUND LEI DE NEWTON) O prncípo fundaental da Dnâca estabelece que a resultante das forças aplcadas a u ponto ateral é gual ao produto de sua assa pela aceleração adqurda: R a eso de u corpo é a força de atração que a Terra eerce no corpo.

22 Os fundaentos da ísca Volue apítulo celeração da gradade g é a aceleração de u corpo e oento sob ação eclusa de seu peso: g RINÍIO D ÇÃO E REÇÃO (TEREIR LEI DE NEWTON) O prncípo da ação e reação estabelece que toda ez que u corpo eerce ua força e outro corpo, este tabé eerce e ua força tal que, sto é, e tê esa ntensdade, esa dreção e sentdos opostos. Ua deforação é elástca quando, cessada a força que a proocou, a fora do corpo é resttuída. s deforações elástcas são regdas pela le de Hooke k (as ntensdades das forças são proporconas às deforações). constante k é ua propredade característca do corpo denonada constante elástca (undade de k: N/). Se o corpo for ua ola, k é a constante elástca da ola.

23 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo orças de atrto TRITO É a propredade de superfíces e contato nteragre co forças tangentes às superfíces quando há oento relato (atrto dnâco) ou tendênca de oento (atrto estátco). ORÇS DE TRITO orça de atrto dnâco É contrára ao oento relato das superfíces e contato. Sua ntensdade é proporconal à ntensdade da força noral: f at. µ d N e que µ d é o coefcente de atrto dnâco. orça de atrto estátco É contrára à tendênca de oento das superfíces e contato. Sua ntensdade ara de f at. 0 até f at.(á.) µ e N (nênca de escorregaento), e que µ e é o coefcente de atrto estátco. Verfca-se, eperentalente, que µ d µ e. Gráfco f at. ersus é a ntensdade da força solctadora. f at. Inênca de oento f at.(á.) f at.(d) Repouso Moento f at. N 0 orpo e repouso: 0 f at. µ e N orpo e oento: f at. µ d N

24 Os fundaentos da ísca Volue apítulo Este casos e que os alores de µ e e µ d são uto próos. Nessas stuações, consderareos µ e µ d e ndcareos esse alor por µ, chaando-o splesente de coefcente de atrto. Nessas condções, teos: orpo e repouso: 0 f at. µ N orpo e oento: f at. µ N orça de resstênca do ar Te ntensdade proporconal ao quadrado da elocdade para u corpo e queda no ar: R k O coefcente k depende da fora do corpo e da aor área da seção transersal do corpo perpendcular à dreção da elocdade. Velocdade lte É a elocdade que u corpo e queda atnge no ar quando seu peso é equlbrado pela força de resstênca do ar. Ua aplcação da noção de elocdade lte é o páraquedas. Todo corpo atnge sua elocdade lte quando suas forças otoras são equlbradas pelas forças resstentes.

25 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo 3 orças e trajetóras curlíneas ORÇ RESULTNTE ( R ) SORE UM RTÍUL QUE DESREVE UM TRJETÓRI URVILÍNE R 3... n n 3 R OMONENTE TNGENIL ( t ) E OMONENTE ENTRÍET ( cp ) D ORÇ RESULTNTE ( R ) R t cp () R a t t () R Reta tangente à trajetóra por a cp a cp entro da trajetóra t a t, co a t α e cp a cp, co a cp R ω R

26 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 3 MOVIMENTO URVILÍNEO UNIORME t 0 e R cp a cp LOO RESO UM IO EM MU NUM LNO HORIZONTL N T cp T N T R a cp ÊNDULO SIMLES osção as baa O T cp T R R a cp () T ESTRD EM LOMD E OM DERESSÃO N() entro N() entro N() cp() N() cp() N() R N() R

27 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 3 3 GLOO D MORTE osção as alta N cp N a cp N R R Quando N 0, teos: ín. Rg ESTRD OM URV EM IST HORIZONTL N f at. cp N f at. R a cp f at. R ÊNDULO ÔNIO E IST SORELEVD T θ cp θ R tg θ cp tg θ R g N θ θ cp R tg θ Rg ROTOR f at. ω R N cp N ω R f at. N

28 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo 4 Trabalho TRLHO DE UM ORÇ ONSTNTE RLEL O DESLOMENTO d $ d (trabalho otor) d $ d (trabalho resstente) TRLHO DE UM ORÇ ONSTNTE NÃO-RLEL O DESLOMENTO θ d $ d cos θ undade de trabalho no SI é o joule (síbolo: J)

29 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 4 ÁLULO GRÁIO DO TRLHO orça constante orça qualquer 3 0 t s 0 t t tn s t t t N $ 0 s d 0 s d TRLHO DE ESO $ h e que h é o desníel ertcal entre as posções ncal e fnal. $ h quando o corpo desce. $ h quando o corpo sobe. TRLHO D ORÇ ELÁSTI $ k e que k é a constante elástca e, a deforação do sstea. $ k Obseração $ k quando a ola olta à sua posção de equlíbro. quando a ola for alongada ou coprda. orças conseratas, coo o peso e a força elástca, tê trabalhos ndependentes da fora da trajetóra.

30 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 4 3 OTÊNI otênca éda Relação entre o trabalho realzado e o correspondente nteralo de tepo: ot $ t otênca nstantânea ot l t 0 t $ ara constante e paralela ao deslocaento, teos: ot e que é a elocdade éda; ot e que é a elocdade nstantânea. undade de potênca no SI é o watt (síbolo: W) undade prátca de trabalho é o qulowatt-hora (síbolo: kwh) RENDIMENTO DE UM MÁQUIN É a relação entre a potênca útl (ot u ) e a potênca total recebda (ot t ) ot u (potênca útl) ot t (potênca total recebda) Máquna ot p (potênca perdda na operação) η ot ot u t

31 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 5 Energa ENERGI INÉTI É a energa que u corpo possu assocada ao seu estado de oento. E c e que é a assa do corpo e sua elocdade. Teorea da energa cnétca aração da energa cnétca de u corpo entre dos nstantes é dada pelo trabalho da força resultante entre os nstantes consderados: $ E c E c E c(0) e que E c é a energa cnétca no nstante fnal e E c(0), a energa cnétca no nstante ncal. ENERGI OTENIL É a energa que u corpo possu e rtude de sua posção, ou da posção relata de suas partes, e relação a u dado referencal. Energa potencal grataconal h lano horzontal de referênca E p h ou E p gh h é a altura e que o corpo se encontra e relação a u plano horzontal de referênca.

32 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 5 Energa potencal elástca Mola não deforada k E p k Sstea elástco deforado e que k é a constante elástca e, a deforação da ola. ENERGI MEÂNI energa ecânca de u corpo é a soa de sua energa cnétca co sua energa potencal: E ec. E c E p onseração da energa ecânca Desprezadas as forças dsspatas, a energa ecânca peranece constante. undade de energa no SI é o joule (síbolo: J).

33 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 6 Ipulso e quantdade de oento IMULSO DE UM ORÇ ONSTNTE É o produto da força pelo nteralo de tepo de sua ação: I t O pulso I te a dreção e o sentdo da força. undade de ntensdade do pulso no SI é o N s. I t ÁLULO GRÁIO D INTENSIDDE DO IMULSO orça constante orça de ntensdade aráel e dreção constante N I 0 t t 0 t t QUNTIDDE DE MOVIMENTO (OU MOMENTO LINER) É o produto da assa do corpo por sua elocdade: Q quantdade de oento Q te a dreção e o sentdo da elocdade. undade do ódulo da quantdade de oento no SI é o kg /s. Q

34 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 6 TEOREM DO IMULSO O pulso da força resultante nu nteralo de tepo é gual à aração da quantdade de oento do corpo no eso nteralo: I Q Q Q 0 e que Q é a quantdade de oento no nstante fnal e Q 0, no nstante ncal. SISTEM ISOLDO DE ORÇS EXTERNS or sstea solado de forças eternas, entenda: ) não atua forças eternas, podendo haer forças nternas entre os corpos; ) este ações eternas, as sua resultante é nula; 3) este ações eternas, as tão pouco ntensas, e relação às ações nternas, que pode ser deprezadas. ONSERVÇÃO D QUNTIDDE DE MOVIMENTO quantdade de oento de u sstea de corpos solado de forças eternas é constante: I 0 Q 0 Q Q 0 Durante u choque ou colsão de dos corpos, as forças de nteração entre eles (forças nternas) são tão ntensas que o sstea pode ser consderado solado de forças eternas. Tpos de choque erfetaente elástco: há conseração da energa cnétca; após o choque, os corpos retoa sua fora ncal. erfetaente nelástco: a perda de energa cnétca é áa; os corpos antê-se deforados após o choque e não se separa. arcalente elástco: há perda de energa cnétca; após o choque, os corpos antê parte da deforação sofrda e se separa. Obseração Qualquer que seja o tpo de choque, sepre há conseração da quantdade de oento.

35 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 6 3 oefcente de resttução e elocdade relata de afastaento (depos) elocdade relata de aproação (antes) hoque perfetaente elástco: e hoque perfetaente nelástco: e 0 hoque parcalente elástco: 0 e hoque frontal e perfetaente elástco entre corpos de assas guas orpos de assas guas e colsões perfetaente elástcas e frontas troca de elocdade. ntes Depos

36 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 7 gratação unersal S LEIS DE KELER Le das órbtas Os planetas descree órbtas elíptcas e torno do Sol, que ocupa u dos focos da elpse descrta. Le das áreas O segento agnáro que une o centro do Sol e o centro do planeta (rao-etor) arre áreas proporconas aos nteralos de tepo dos percursos. onseqüênca: os planetas são as rápdos quando estão as próos do Sol e as lentos quando estão as afastados. Le dos períodos O quadrado dos períodos de reolução de cada planeta é proporconal ao cubo do rao édo (se-eo aor) da respecta órbta. T kr 3 e que k é ua constante que depende da assa do Sol. LEI D GRVITÇÃO UNIVERSL Dos pontos ateras atrae-se co forças cujas ntensdades são dretaente proporconas às suas assas e nersaente proporconas ao quadrado da dstânca que os separa. d G d e que G 6,67 0 N /kg é a constante de gratação unersal.

37 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 7 ELERÇÃO D GRVIDDE Nos pontos da superfíce da Terra (suposta estaconára) g G M R e que M é a assa e R, o rao da Terra. ua alttude h g h M G ( R h) No nteror da Terra g 4 3 Gd π r e que d é a densdade da Terra e r, a dstânca ao centro. OROS EM ÓRIT Velocdade orbtal de u satélte e torno da Terra GM r e que r é o rao da órbta (dstânca ao centro da Terra) e M, a assa da Terra. eríodo do satélte π T 4 3 GM r epressão do período é a tercera le de Kepler. ara o Sstea Solar, M é a assa do Sol.

38 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 7 3 Energa potencal grataconal (referencal no nfnto) E p G M r e que é a assa do satélte. Velocdade de escape Menor elocdade de lançaento a partr da superfíce para que o corpo se lre da atração da Terra: 0 GM R 0,3 k/s Velocdade de satélte rasante (R r) GM R e que R é o rao da Terra. Iponderabldade Sensação de ausênca de peso, deda ao fato de a força de atração grataconal estar atuando coo resultante centrípeta. Satélte geoestaconáro Te órbta no plano equatoral e período gual ao de rotação da Terra (T 4 h).

39 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo 8 Sstea de forças aplcadas a u ponto ateral. Equlíbro do ponto ateral RESULTNTE DE UM SISTEM DE ORÇS Sstea de duas forças colneares R R R R R R ( ) Sstea de duas forças não-colneares R R α R cos α R R 60 0 R R R 3 R

40 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 8 Sstea de n forças n R n n Ω: orge arbtrára Ω EQUILÍRIO DE UM ONTO MTERIL resultante do sstea de forças aplcadas a u ponto ateral e equlíbro dee ser constanteente nula. O estudo do equlíbro pode ser feto por eo dos seguntes étodos: Método da lnha polgonal das forças lnha polgonal das forças dee ser fechada. No trângulo de forças, teos: 3 α 3 α cos α 3 3 cos α sen α 3 3 sen α Método das projeções São nulas as soas algébrcas das projeções das forças, supostas coplanares, sobre dos eos perpendculares e pertencentes ao plano das forças. y rojeções e : 3 sen α 3 3 cos α 0 3 cos α α 3 cos α rojeções e y: 3 sen α 0 3 sen α

41 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 9 Equlíbro dos corpos etensos MOMENTO OU TORQUE DE UM ORÇ LID NUM ONTO EM RELÇÃO UM ONTO O É o produto da ntensdade da força pela dstânca do ponto O à lnha de ação da força. M o d dota-se o snal () se a força tende a grar o segento O e torno de O no sentdo ant-horáro e () no sentdo horáro. O O d d Lnha de ação de Se a lnha de ação da força passa pelo ponto O, seu oento e relação a O é nulo. O Lnha de ação de d 0 M 0 O EQUILÍRIO DE UM ORO EXTENSO ara u corpo etenso e equlíbro, o sstea de forças dee ser tal que: a) a resultante do sstea de forças seja nula; b) a soa algébrca dos oentos das forças do sstea e relação a qualquer ponto seja nula.

42 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 9 TEOREM DS TRÊS ORÇS Se u corpo ester e equlíbro sob ação eclusa de três forças, estas deerão ser coplanares e suas lnhas de ação serão, necessaraente, concorrentes nu únco ponto ou paralelas. 3 3 O ou 3 3 TIOS DE EQUILÍRIO DE UM ORO Equlíbro estáel N N N Equlíbro nstáel N N N Equlíbro ndferente N N

43 Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos Teste sua letura apítulo 0 Hdrostátca RESSÃO É a grandeza escalar dada pela relação entre a ntensdade da força que atua perpendcularente e a área na qual ela se dstrbu. p undade de pressão no SI é o N/ ou pascal (a). assa específca (µ) de ua substânca é a relação entre a assa de ua aostra dela e seu olue V. µ V densdade (d ) de u corpo é a relação entre sua assa e seu olue V. d V No corpo acço e hoogêneo, a densdade d concde co a assa específca µ da substânca que o consttu. TEOREM DE STEVIN pressão p e u ponto stuado a ua profunddade h no nteror de u líqudo e equlíbro é dada pela pressão na superfíce, eercda pelo ar (p ), soada à pressão eercda pela coluna de líqudo stuada aca do ponto e epressa pelo produto dgh, e que d é a densdade do líqudo. p p dgh d h

44 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 0 RESSÃO HIDROSTÁTI É a pressão que ua coluna líquda eerce na sua base dedo ao seu peso. p H dgh Undades prátcas de pressão Defndas a partr da pressão eercda por colunas de ercúro: centíetro de ercúro (chg) líetro de ercúro (Hg) atosfera (at) Relações: at 76 chg 760 Hg chg 0 Hg RESSÃO TMOSÉRI É a pressão eercda pelo ar atosférco sobre os objetos na superfíce da Terra. ressão atosférca noral p at at 76 chg VSOS OMUNINTES (EQUILÍRIO DE LÍQUIDOS IMISÍVEIS) h d h d h d h d RINÍIO DE SL Os acréscos de pressão sofrdos por u ponto de u líqudo e equlíbro são transtdos ntegralente a todos os pontos do líqudo e das paredes do recpente que o conté. RENS HIDRÁULI

45 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 0 3 TEOREM DE RQUIMEDES Todo corpo sóldo ergulhado parcal ou totalente nu fludo (gás ou líqudo) e equlíbro sofre a ação de ua força (denonada epuo) de dreção ertcal e sentdo de bao para ca, cuja ntensdade é gual ao peso do fludo deslocado. E d f V f g e que d f é a densdade do fludo e V f, o olue de fludo deslocado. Stuações partculares orpo flutuante parcalente erso (d c d f ): E V f V c E orpo flutuante totalente erso (d d f ): E V f V E orpo totalente erso e as denso que o fludo (d d f ): E E (resultante para bao) E (peso aparente)

46 S S Os fundaentos da ísca Volue Menu Eercícos propostos Testes propostos apítulo Hdrodnâca VZÃO azão de u fludo atraés da seção S de u tubo é, por defnção, a grandeza: Z V t e que V é o olue do fludo que atraessa a seção S no nteralo de tepo t. S V t Sendo a área da seção S e, a elocdade do fludo, a azão pode ser tabé calculada pela fórula: Z undade de azão no SI é o 3 /s. Outra undade de azão bastante utlzada é o º/s. Relação: 3 /s 0 3 º/s EQUÇÃO D ONTINUIDDE partr da equação aca podeos conclur que no trecho e que a área é enor, a elocdade é aor.

47 Os fundaentos da ísca Volue apítulo EQUÇÃO DE ERNOULLI p d d dgh p dgh g d p p h h α aso partcular e que h h : p d d p d h h α Efeto ernoull No trecho e que é aor, p é enor. enôenos eplcados pelo efeto ernoull Destelhaento (eterna) (nterna) r Vento rasante e ua janela

48 Os fundaentos da ísca Volue apítulo 3 ola de pngue-pongue suspensa por u jato de ar p p p p p r Efeto Magnus a) b) c) bola ola e translação. ola e rotação. ola transladando e grando ao eso tepo. d) e) f) bola Equação de Torrcell h gh

49 Os fundaentos da ísca Menu Deonstrações especas a ) MÓDULO D ELERÇÃO ENTRÍET onsdere u óel descreendo u oento crcular unfore. Na fgura representaos as posções dos óes e dos nstantes t e t. (t ) R θ O R (t ) Vaos representar o etor. O ângulo entre e é gual ao ângulo θ entre os raos. θ Sendo o oento crcular unfore podeos escreer: seelhança entre os trângulos destacados fornece: R R onsderando os nstantes t e t uto próos ( t t t 0), podeos supor que a corda concde co o arco. Este, por sua ez, é gual ao produto t. ss, para t 0, teos: R t t R a cp R

50 Os fundaentos da ísca Deonstrações especas a ) DS LEIS DE KELER À LEI D GRVITÇÃO UNIVERSL s ecentrcdades das órbtas elíptcas, que os planetas descree e torno do Sol, são uto pequenas. or sso, podeos consderar o oento orbtal crcular. De acordo co a a le de Kepler, esse oento crcular é unfore. De fato, ao arrer áreas guas e nteralos de tepo guas, o planeta descree arcos guas. ss, o ódulo da elocdade é constante e a aceleração é centrípeta. Seja e S as assas do planeta e do Sol e R o rao da órbta. t S t S R D S () (D) R ω R π R T 4π R T Multplcando abos os ebros por R, e: 4π R R T 3 De acordo co a 3 a le de Kepler, teos que R T é constante e portanto 4 T tabé constante, o que ndcareos por. ss, e: R R 3 π 3 R é Do prncípo da ação e reação podeos escreer que a ntensdade da força que o planeta eerce no Sol é dada por: S R De e, e: S S constante

51 Os fundaentos da ísca 3 Deonstrações especas constante é ndcada por G, resultando: S G G S Logo, substtundo e, e: G S R 3 a ) ONSTNTE k D 3 a LEI DE KELER Seja M o centro de assa do sstea Sol-planeta. dstânca do centro do planeta até M é dada por: M M r M laneta () M Sol (M) M r O planeta e o Sol descree e torno do M órbtas crculares. O rao da órbta descrta pelo planeta é M. ela le da gratação unersal, teos: G M or outro lado, é a resultante centrípeta: De e, e: 4 π M r ω M T M r G M 4 π M r T 4π r T 3 M r GM ( ) ortanto a constante k da 3 a le de Kepler é dada por: k 4π GM ( ) constante k depende da assa do Sol (M) e da assa do planeta ().

52 Os fundaentos da ísca 4 Deonstrações especas Sendo a assa do Sol utas ezes aor do que a assa do planeta, resulta M M. Nessas condções, teos k 4 π, sto é, a constante k depende eclusa- GM ente da assa do Sol. Dentro dessas consderações, resulta M r, sto é, o centro de assa do sstea Sol-planeta concde pratcaente co o centro do Sol. 4 a ) EQUÇÃO DE ERNOULLI O fludo estente entre as seções S e S estará entre S e S, após u nteralo de tepo t. É coo se a porção de fludo de assa, entre S e S, subsse, ocupando a regão entre S e S. S p S' p S S' p h h lé do peso ( g), age na porção de fludo as forças de pressão ( p ) e ( p ). Essas forças são eercdas sobre o fludo estente entre S e S pelo restante do fludo que escoa pela canalzação. elo teorea da energa cnétca, teos: $ $ $ g(h h ) g(h h ) p p Sendo d, e: g(h h ) p d p d dg(h h ) p p d d p dgh d p dgh d

53 tea especal entro de assa. ENTRO DE GRVIDDE E ENTRO DE MSS,. RORIEDDE D ONENTRÇÃO DE MSSS, 3 3. RORIEDDE DE SIMETRI, 4 4. VELOIDDE DO ENTRO DE MSS, 7 5. ELERÇÃO DO ENTRO DE MSS, 7 Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de entro de gradade e centro de assa onsdere dos pontos ateras, e, de pesos e, localzados nu eo horzontal. Seja e, respectaente, suas abscssas (fgura ). Vaos localzar u ponto do eo, de abscssa, e relação ao qual é nula a soa dos oentos de e de. gura. d d M M 0 d d 0 d d ( ) ( ) ( ) O ponto recebe o noe de centro de gradade do sstea de pontos ateras e. Se os pontos e estere localzados nua barra de peso desprezíel, suspendendo-se a barra pelo ponto, o sstea fca e equlíbro (fgura ). onsderando no local o capo grataconal unfore, sto é, a aceleração da gradade g constante, e sendo e as assas dos pontos e, respectaente, teos: g e g Substtundo as epressões e na epressão, teos: gura. g g g g Nesse caso, o centro de gradade chaa-se tabé centro de assa. TEM ESEIL ENTRO DE MSS

54 Dado u sstea de pontos ateras de assas,,...,,..., n e de coordenadas cartesanas (, y, z ), (, y, z ),..., (, y, z ),..., ( n, y n, z n ) que defne as posções desses pontos (fgura 3), teos de odo geral que a posção do centro de assa é defnda pelas coordenadas cartesanas (, y, z ), dadas por: n n n ou n n 0 gura 3. z y z n y y y y... y... y n n n ou y n n y z z z... z... z n n n ou z Obsere que cada coordenada do centro de assa é a éda ponderada das correspondentes coordenadas dos pontos ateras e os pesos da éda são as respectas assas. Eercíco resoldo R. Três pontos ateras,, e D, de assas guas a estão stuados nas posções ndcadas na fgura ao lado. Deterne as coordenadas do centro de assa do sstea de pontos ateras. Solução: abscssa do centro de assa é dada por: D Sendo 0, c e D 4 c, e: n n z 3 y (c) D (c) = = D = Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de c ara a ordenada do centro de assa, teos: y y y y D Sendo y 0, y 3 c e y D 0, e: y y c Resposta: ( c, c) OS UNDMENTOS D ÍSI

55 Eercícos propostos. nco pontos ateras de assas guas a estão stuados nas posções ndcadas na fgura. Deterne as coordenadas do centro de assa do sstea consttuído pelos cnco pontos ateras. 7 y (c) TEM ESEIL (c) Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de Deterne a posção do centro de assa do sstea forado por duas partículas de assas e, fas nas etredades de ua barra de peso desprezíel. nalse os casos:. ropredade da concentração de assas Seja u sstea de pontos ateras de assas,,...,,,..., n e co centro de assa. Vaos separar esse sstea e dos outros ssteas: U de assas,,...,, de centro de assa e de assa total.... E outro de assas,..., n, de centro de assa e de assa total... n. O centro de assa do sstea todo é obtdo a partr dos centros de assa e, consderando concentradas nesses pontos as assas e, respectaente. De fato: a) b) c) 5 n n n n n 60 c Mas: e Logo, substtundo as epressões e na epressão, teos: nalogaente, deonstra-se para as coordenadas y e z que: y y y e z z z TEM ESEIL ENTRO DE MSS 3

56 3. ropredade de setra Se u sstea de pontos ateras adte u eleento de setra, então o centro de assa do sstea pertence a esse eleento. O eleento de setra pode ser u ponto (centro de setra), u eo ou u plano. Vaos supor que u ponto O seja u centro de setra. roeos que O concde co o centro de assa. onsdere o sstea de pontos ateras stuados nu plano e seja y u sstea cartesano co orge no ponto O (fgura 4). Se este, este tabé ( ). Logo: 0 0 De odo análogo, teos y 0, ndcando que o ponto O concde co o centro de assa. y y O gura 4. y Na fgura 5, co base na propredade de setra, apresentaos o centro de assa de alguns corpos hoogêneos. Obsere que ele concde co o centro geoétrco desses corpos. gura 5. or eo das propredades dos tens e 3, podeos deternar o centro de assa de ua placa hoogênea, de espessura constante e de assa, coo por eeplo a ndcada na fgura 6a. ara tanto, ddos a placa e duas partes, e, de assas e, e pela propredade de setra localzaos os centros de assa e dessas partes (fgura 6b). ela propredade da concentração de assas, concluíos que o centro de assa da placa toda concde co o centro de assa dos pontos e, cujas assas e estão concentradas neles (fgura 6c). a) b) c) Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de 998. y y y ' ' '' '' y ' (') '' ('') gura 6. O centro de assa da placa de assa pertence ao segento de reta que passa pelos pontos (de assa ) e (de assa ). 4 OS UNDMENTOS D ÍSI

57 Eercíco resoldo R. Deterne as coordenadas do centro de assa da placa hoogênea de espessura constante, cujas densões estão ndcadas na fgura. y (c) a TEM ESEIL a a a 0 3a (c) Solução: Vaos ddr a placa e dos quadrados. O prero, de lado a e cujo centro de assa é o ponto de coordenadas (a, a), e o segundo, de lado a e de centro de assa cujas coordenadas são (,5a; 0,5a). Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de 998. abscssa do centro de assa da placa toda é dada por: a 0 y (c) a a oo a placa é hoogênea e de espessura constante, teos que as assas são proporconas às respectas áreas, ou seja: K e K a a a (c) e que K é a constante de proporconaldade. ss, substtundo as epressões e na epressão, teos: K K K K Sendo (a) 4a, a, a e,5a, e: ara a ordenada do centro de assa, teos: 4a a a,5a 4a a,3a y y y Sendo y a e y 0,5a, resulta: y 4a a a 0,5a 4a a y 0,9a Resposta: (,3a; 0,9a) TEM ESEIL ENTRO DE MSS 5

58 Eercícos propostos.3 Deterne as coordenadas do centro de assa da placa hoogênea e de espessura constante, cujas densões estão ndcadas na fgura. 30 c y 0 c 30 c 5 c 0 0 c.4 Três placas crculares dêntcas, hoogêneas, de espessura unfore e de rao R estão dspostas confore a fgura. Deterne as coordenadas do centro de assa do sstea consttuído pelas três placas..5 ordenada do centro de assa de ua placa trangular, hoogênea e de espessura constante é gual a u terço da edda da altura do trângulo (fgura I). Deterne a ordenada do centro de assa de ua placa tra pe zodal, hoogênea e de espessura constante, e função da edda h da altura do trapézo e das eddas a e b de suas bases (fgura II). 0 y gura I h 3 h R R y 0 gura II y a b R h Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de placa crcular, hoogênea e de espessura constante, te rao R e possu u furo crcular de rao r. Deterne, e função de r e R, as coordenadas do centro de assa da placa. R y r R.7 assa da Terra é aproadaente 80 ezes a assa da Lua. dstânca entre os centros da Terra e da Lua é 60R, e que R é o rao da Terra. Deterne a dstânca do centro da Terra ao centro de assa do sstea Terra-Lua. R 60R Lua Terra 6 OS UNDMENTOS D ÍSI

59 4. Velocdade do centro de assa onsdere u sstea de pontos ateras cujas assas são,,..., n, e seja,,..., n, respectaente, suas elocdades nu certo nstante. Nesse nstante, o centro de assa possu elocdade dada pela éda ponderada das elocdades dos pontos ateras do sstea, sendo os pesos dessa éda as respectas assas, ou seja:... n n... n TEM ESEIL haeos de a assa total do sstea, sto é:... n Substtundo a epressão na epressão, resulta:... n n Mas... n n representa a quantdade de oento total do sstea de pontos ateras (Q sstea ). Logo: Q sstea ortanto: Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de 998. quantdade de oento de u sstea de pontos ateras é gual à quantdade de oento do centro de assa, consderando que toda a assa do sstea está concentrada nele. 5. celeração do centro de assa onsdere u sstea de pontos ateras,,..., n, e seja a, a,..., a n, respectaente, suas acelerações nu certo nstante. Nesse nstante, o centro de assa possu aceleração a dada pela éda ponderada das acelerações dos pontos ateras do sstea, sendo os pesos dessa éda as respectas assas, ou seja: Seja a assa total do sstea, sto é: a a a... n a n... n... n Substtundo a epressão na epressão, resulta: a a a... n a n Mas a, a,..., n a n representa, respectaente, as forças resultantes,,..., n, que age nos pontos ateras. ortanto: a... n Entretanto,... n representa a resultante de todas as forças eternas que age no sstea de pontos ateras ( et. ), ua ez que a resultante das forças que ua partícula do sstea eerce sobre as outras (forças nternas) é nula, dedo ao prncípo da ação e reação. ss, teos: ortanto: et. a O centro de assa se oe coo se fosse ua partícula de assa gual à assa total do sstea e sob ação da resultante das forças eternas que atua no sstea. TEM ESEIL ENTRO DE MSS 7

60 or eeplo, consdere u corpo lançado oblquaente nas prodades da superfíce terrestre (fgura 7). Ebora seus pontos descrea u oento copleo, o centro de assa (ponto arcado e erelho) desloca-se coo se fosse u ponto ateral de assa gual à assa do corpo e sob ação do peso do corpo. Nessas condções, o centro de assa descree ua trajetóra parabólca e relação à Terra. gura 7. oo conseqüênca das consderações anterores, concluíos que: s forças nternas não altera o oento do centro de assa. Quando ua atleta pula de u trapol, realzando u salto ornaental, ela oenta seus braços, pernas e cabeça, alterando a posção do centro de assa de seu corpo. s forças responsáes por essas alterações são nternas e não altera o oento do centro de assa, que descree ua trajetóra parabólca e relação à Terra (fgura 8). gura 8. Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de 998. Eercícos resoldos R.3 s partículas e, de assas e, desloca-se ao longo do eo, co elocdades escalares 5,0 /s e 8,0 /s. Qual é a elocdade escalar do centro de assa? Solução: elocdade do centro de assa é dada por: oo as elocdades e tê a esa dreção, a gualdade etoral anteror transfora-se nua gualdade escalar. ss, e: Eo adotado Resposta: 7,0 /s 5,0 8,0 7,0 /s 8 OS UNDMENTOS D ÍSI

61 R.4 s partículas e, de assas,5 kg e,0 kg, desloca-se co elocdades e perpendculares entre s e de ódulos,0 /s e 4,0 /s. alcule o ódulo da elocdade do centro de assa do sstea consttuído pelas duas partículas. Solução: quantdade de oento de u sstea de pontos ateras é a quantdade de oento do centro de assa, consderando que toda assa do sstea está concentrada nele, ou seja: TEM ESEIL Q sstea Vaos, ncalente, deternar o ódulo da quantdade de oento do sstea e que: Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de 998. álculo de Q : Q sstea Q Q Q Q,5,0 Q 3,0 kg /s álculo de Q : Q Q,0 4,0 Q 4,0 kg /s No trângulo destacado na fgura ao lado, teos: Q sstea Q Q Q sstea (3,0) (4,0) Q sstea 5,0 kg /s Mas: Q sstea, e que,5 kg,0 kg,5 kg ortanto: 5,0,5 Resposta:,0 /s,0 /s R.5 s esferas e possue assas e 3, respectaente. esfera é abandonada de ua altura h 0,45 do solo e está e repouso. Seja g 0 /s a aceleração da gradade. Deterne: a) o ódulo da aceleração do centro de assa do sstea consttuído pelas esferas e, enquanto ester e queda lre. b) o ódulo da elocdade do centro de assa do sstea, no nstante e que a esfera atnge o solo. Solução: a) aceleração do centro de assa é dada por: a Sendo, 3, a g e a 0, e: a E ódulo, teos: a g 4 a a 0 a a,5 /s 4 b) elocdade da esfera no nstante e que atnge o solo é: g g g a a gh 0 0,45 3,0 /s Q 4,0 Kg /s h Q 3,0 Kg /s Q sstea 0 0 g elocdade do centro de assa é dada por: Sendo 0, teos, e ódulo: 3,0 3 3,0 0,75 /s 4 Respostas: a),5 /s ; b) 0,75 /s R.6 Duas partículas, e, de assas 0, kg e 0,4 kg, são abandonadas no nstante t 0 0, na posção ndcada na fgura. a) Localze a posção do centro de assa das partículas no nstante t 0 0. b) Sabendo-se que as partículas se atrae, pos fora eletrzadas co cargas elétrcas de snas opostos, a que dstânca da posção ncal da partícula ocorrerá a colsão? onsdere o sstea solado de forças eternas. t 0 0 d 3 TEM ESEIL ENTRO DE MSS 9

62 Solução: a) Sendo 0 e 3, teos para o centro de assa : 0, 0 0, 4 3,4 0, 0,4 0 3 () b) O sstea de partículas está solado de forças eternas. oo o centro de assa estaa ncalente e repouso, pos as partículas fora abandonadas, ele peranece e repouso. Logo, a colsão ocorre eataente na posção do centro de assa, sto é, a,4 da posção ncal da partícula : t 0 0 t Respostas: a),4 ; b),4 Eercícos propostos.8 s partículas e, de assas e 3, desloca-se na dreção do eo, co elocdades de ódulos 0 /s e,0 /s. Deterne o ódulo da elocdade do centro de assa para cada u dos casos abao: a) b) Instante da colsão.9 (U-E) U conjunto de três partículas, todas de gual assa, está stuado na orge de u sstea de coordenadas cartesanas y. E dado nstante, ua delas é atrada na dreção, co elocdade constante de ódulo X 9,0 /s e outra é atrada na dreção y, co elocdade constante de ódulo y,0 /s, fcando a tercera e repouso na orge. Deterne o ódulo da elocdade do centro de assa do conjunto. Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de Nu certo nstante, duas partículas e possue elocdades ndcadas na fgura. s partículas possue esa assa e suas elocdades são guas, e ódulo, a 0 /s. Deterne, no nstante consderado, o ódulo da elocdade do centro de assa do sstea consttuído pelas duas partículas (EI-S) Duas esferas, e, de assas M 0,0 kg e M 0,0 kg consttue u sstea físco e não nterage entre s. Na esfera atua ua força eterna constante e de ntensdade 30 N. alcule: a) Os ódulos das acelerações das esferas e. b) O ódulo da aceleração do centro de assa do sstea (). 0 OS UNDMENTOS D ÍSI

63 . (U-RJ) Duas partículas carregadas e estão ncalente e repouso. partícula está à dstânca d 6,0 c da partícula, que está na orge do sstea de coordenadas, coo ostra a fgura. partícula te carga q e assa. partícula te carga q e assa. 0 6,0 onsdere as partículas consttundo u sstea físco solado de forças eternas. que dstânca da orge elas coldrão? Eercícos propostos de recaptulação d (c) TEM ESEIL M.3 (UE) Duas partículas, de assa M M e M, estão presas por ua haste de coprento L 48 c e assa desprezíel, confore a fgura. Qual a dstânca, e centíetros, do centro de assa do sstea e relação à posção da partícula de assa M? M M L Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de (UE) fgura ostra ua estrutura ertcal for ada por três barras guas, hoogêneas e de espessuras desprezíes. Se o coprento de cada barra é 90 c, deterne a altura, e centíetros, do centro de assa do sstea, e relação ao solo..5 (Un-D) Na fgura ao lado, que representa ua placa hoogênea, adta que cada quadrado tenha lado gual a 0 c. Deterne, e centíetros, a soa das coordenadas do ponto correspondente ao centro de assa da placa, caso esta. 0 y 90 c.6 (Un-D) dtndo-se, no sstea de coordenadas da fgura ao lado, que cada quadradnho tenha 0 c de lado, deterne as coordenadas do centro de assa do sstea consttuído de duas placas hoogêneas, ua crcular e outra trangular, cu jas assas são guas. alcule, e centíetros, o alor da soa das coordenadas obtdas e despreze a parte fraconára de seu resultado, caso esta y TEM ESEIL ENTRO DE MSS

64 .7 (U-E) Dos dscos, de densdades unfores e espessuras desprezíes, são colocados no plano y, confore ostra a y fgura. Se R 0 c, calcule, e centíetros, a dstânca entre o centro de assa do conjunto e a orge, do sstea cartesano y. 4 R R 0 R R.8 (U-E) Três dscos de raos R c, R R e R 3 4R são fetos de u eso ateral, todos eles co densdade unfore e co esa espessura. Os dscos são eplhados sobre o plano y confore se ostra na fgura. Note que o centro de cada dsco te projeção sobre o eo. Deterne a coordenada do centro de assa do conjunto. y.9 (U-E) fgura ao lado ostra ua peça etálca plana, de espessura e densdade unfores. parte horzontal te coprento L e largura D e os raos ertcas tê coprento e largura D, cada u deles. Se L 98 c e D 6 c, deterne o alor do coprento, e centíetros, sabendo que o centro de assa da peça está sobre a lnha MN. Veja a fgura. M D 0 L D D N Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de (uest-s) Ua placa retangular de coprento L é consttuída pela unão de duas partes e, coo ostra a fgura ao lado. parte é feta de ateral de assa específca ρ e a parte de ateral de assa específca ρ. Suspendendo-se a placa pelo ponto, de acordo co a fgura ( horzontal), L ela peranece e equlíbro. Sabe-se que. 9 a) que dstânca do lado,d, encontra-se o centro de assa da placa? b) Deterne a razão ρ ρ. D L 3 L 3. Duas pequenas esferas, e, de esa assa, desloca-se ao longo do eo, co elocdades ndcadas na fgura. Entre as esferas ocorre ua colsão frontal, cujo coefcente de resttução ale 0,5. Deterne: 5,0 /s 3,0 /s a) a elocdade do centro de assa do sstea consttuído pelas duas esferas, antes de ocorrer a colsão; b) as elocdades das esferas após a colsão; c) a elocdade do centro de assa do sstea, após a colsão. OS UNDMENTOS D ÍSI

65 . (U-E) Dos pequenos blocos, u de assa e outro de assa, são abandonados sultaneaente no nstante t 0 0 na parte supe ror de dos planos nclnados, conjugados, coo ostra a fgura abao Deterne, e /s, o ódulo da coponente horzontal da elocdade do centro de assa, no nstante t 3 s. onsdere os planos se atrto e sufcenteente longos de odo a garantr que os blocos anda estarão sobre eles no nstante consderado. São dados: g 0 /s 3 ; sen 30 cos 60 e sen 60 cos 30.3 (undação arlos hagas) Na fgura abao estão representadas as elocdades etoras de duas pequenas esferas dêntcas que consttue u sstea solado. Qual a ntensdade da elocdade do centro de assa do sstea?,0 c/s TEM ESEIL,0 c/s Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de (U-E) Dos hoens e, abos de assa M, estão nas etredades de ua platafora hoogênea, de coprento L,6 e assa 5M, que pode se deslocar sobre ua superfíce horzontal plana se atrto. O hoe joga ua bola de assa M para o hoe, que a segura freente. Deterne, e centíetros, 5 o deslocaento da platafora co relação à posção ncal..5 (U-E) U hoe de assa está de pé sobre ua superfíce horzontal perfetaente lsa, separado de ua dstânca d de u bloco pesado de assa M. O hoe tenta puar para s o bloco por eo de ua corda netensíel de assa desprezíel. Ele dá u rápdo puão na corda e abos deslza u para o outro até se encontrare e certo ponto. Deterne, e função da dstânca d e das assas e M, a posção de encontro entre o hoe e o bloco a partr da posção ncal do hoe..6 (Un-D) gura I gura II gura III o base nas três fguras aca, que ostra agens do oento de três dferentes atletas saltando de ua prancha, nas quas os pontos ndcados representa os respectos centros de assa dos atletas, julgue os tens a segur, consderando que a aceleração da gradade é gual nas stuações ostradas. () Desprezando-se as forças dsspatas, as trajetóras dos centros de assa das atletas nos três casos são parabólcas. () O tepo durante o qual cada atleta peranece no ar é dretaente proporconal à aceleração da gradade. (3) Se as assas das três atletas fore guas e as trajetóras dos seus centros de assas fore dêntcas, então a energa ecânca total da atleta na fgura I será gual à da atleta na fgura II. (4) Na fgura III, a trajetóra da cabeça da atleta é ua parábola. TEM ESEIL ENTRO DE MSS 3

66 Testes propostos T. (IT-S) Dadas três partículas e suas respectas posções, (, y), e que é a assa e qulograas, e y as posções e etros, tas que (3, 6), 4 (4, 4), (, ). 6 y (c) y (c) Dsco Dsco 4 D 0 Dsco 4 4 Dsco 3 3 E (c) 0 Indque qual dos pontos do gráfco representa o centro de assa do sstea. a) b) c) d) D e) E 4 6 (c) T. (Vunesp) Duas esferas hoogêneas, de raos R e R e assas e, fora fadas ua à outra de odo a forar u sstea rígdo, ndcado na fgura a segur. dstrbução de assa e cada dsco é hoogênea. s coordenadas (, y) do centro de assa desse conjunto de dscos são dadas, e centíetros, pelo par ordenado: a) (40, 40) b) (0, 3) c) (0, 60) d) (40, 3) e) (40, 0) T.4 (MSS-S) Na fgura a segur, é o centro de assa de u sstea consttuído por três esferas (e, e e e 3 ) de esa assa. 5 Y (c) Reprodução probda. rt. 84 do ódgo enal e Le 9.60 de 9 de feerero de 998. O O R R Sendo R R e, o centro do sstea ass consttuído encontra-se: a) no centro da esfera aor. b) no centro da esfera enor. c) no ponto de fação das esferas. d) a ea dstânca entre o centro O e o ponto de fação. e) a ea dstânca entre o centro O e o ponto de fação. T.3 (U-E) Quatro dscos,,, 3 e 4, todos de eso rao R 0 c, e de assas kg, kg, 3 3 kg e 4 4 kg, estão arruados no plano horzontal, y, confore ostra a fgura a segur tercera esfera não aparece na fgura. X e Y são eos de u sstea de referênca. Quas são as coordenadas X e Y do centro da esfera e 3? (Os centros de assa das três esferas estão contdos no plano XY.) a) X 5,0 e Y,5 b) X 5,0 e Y,5 c) X,5 e Y,5 d) X,5 e Y,5 e) X,5 e Y,5 e e X (c) 4 OS UNDMENTOS D ÍSI