Física Geral I - F -128

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1 ísca Geral I - -8 Aula 9 Ssteas de partículas 0 seestre, 0

2 Sstea de partículas: centro de assa Consdere duas partículas de assas e e ua densão: (et) (et) d d ( et) ( et) Aqu, dstnguos forças nternas ( e ) de forças eternas ( (et) e (et) ). Soando-se as equações tero a tero: d d ( et) ( et) d d ( et) ( et) ( et) (pos - ) é a força eterna resultante. As forças nternas se cancela. (et) 8 o Seestre de 0

3 Sstea de partículas: centro de assa (et) ( ) d d d ( et) ( et ) Defnos: ( et) d C C Então: a C onde é a assa total do sstea. O sstea se coporta coo se toda assa estvesse concentrada no ponto C (centro de assa) e a força eterna agsse sobre ele.. C (et) ( et) d C E partcular, se ( a Le de ewton para u sstea de partículas) ( et ) 0 d C v C cte. (et) 8 o Seestre de 0 3

4 Cálculo do centro de assa Eeplos: (a) C C C (b) C >> C (c) E geral, o centro de assa é u ponto nteredáro entre e : < < C 0 /3 /3 C L 0 L C 3 3 L 8 o Seestre de 0 4

5 Q: C sstea Terra-Sol A quantos qulôetros do centro do Sol encontra-se o C do sstea Terra-Sol? Dados: Sol 0 30 kg, Terra kg, d.50 8 k " 450 " 0 8 o Seestre de 0 5

6 Generalzação para partículas: ) ( ) ( 3 ) ( 3 et et et d d d ) ( ) ( ) ( ) ( et et et et d d d C ( ) ) ( d et ) ( d C et Soando-se as equações, as forças nternas se cancela aos pares: 6 8 o Seestre de 0

7 Generalzação para 3 densões: C et a ) ( C C C z z z z z y y y y y C r r C et a r d r d r d ) ( (esta é a ª le de ewton para u sstea de partículas: o sstea responde à resultante das forças eternas coo se a assa total estvesse toda concentrada no centro de assa) 7 8 o Seestre de 0

8 a Le de ewton para u sstea de partículas: O ovento dos ssteas aca é uto coplcado, as o centro de assa descreve ua parábola, coo ua partícula. 8 o Seestre de 0 8

9 ª Le de ewton para u sstea de partículas: O ovento dos ssteas aca é uto coplcado, as o centro de assa (eo do taco) descreve ua parábola, coo ua partícula. 8 o Seestre de 0 9

10 ª Le de ewton para u sstea de partículas: O ovento dos ssteas aca é uto coplcado, as o centro de assa (eo do taco) descreve ua parábola, coo ua partícula. 8 o Seestre de 0 0

11 Eeplo: sstea de 3 partículas Calcule a posção do centro de assa do sstea abao. 3 kg kg 4 kg y y y C, y C 0,9 4 8 o Seestre de 0

12 Centro de assa de corpos contínuos unfores Se u corpo consste de ua dstrbução contínua de assa, podeos dvdlo e porções nfntesas de assa d e a soa transfora-se nua ntegral: C λdl d y C yd z C zd A assa nfntesal d pode pertencer a u fo, ua superfíce ou u volue: λ σ ρ : densdade lnear de assa σ da d : densdade superfcal de assa ρdv : densdade voluétrca de assa Se o corpo (volue) tver densdade unfore: d ρ dv dv : V ; ; C dv V y C ydv V z C zdv V oralente, não precsaos calcular estas ntegras trplas! 8 o Seestre de 0

13 Centro de assa e setras Se u corpo possu u ponto, ua lnha ou u plano de setra, o C stua-se nesse ponto, lnha ou plano. Centro de setra Lnhas de setra C C Planos de setra Ø ote que para que u ponto, lnha ou plano seja de setra, é precso que, para cada eleento de assa, esta u outro eleento gual na posção sétrca e relação ao ponto, lnha ou plano. (confra sso para os eleentos de setra das fguras desta págna) 8 o Seestre de 0 3

14 Posção do Centro de assa ota: o centro de assa de u corpo não é necessaraente u ponto do corpo! Eeplos: donut, ferradura, corpo huano. C de u atleta de salto e altura pode passar abao do sarrafo! 8 o Seestre de 0 4

15 Eercíco U dsco etálco de rao R te u orfíco de rao R, coo ostra a fgura. Localze as coordenadas do centro de assa do dsco, sabendo-se que sua assa está unforeente dstrbuída co densdade superfcal σ. O dsco co orfíco pode ser pensado coo ua superposção de dos dscos: u co assa ( R) σ π e outro co assa σπ R y Então, toando coo orge o centro do dsco de rao R: 3.0 ( R) σπ R C σπ (R) σπ R R 3 R C R Obvaente, por setra, y C 0. 8 o Seestre de 0 5

16 oento lnear O oento lnear (ou quantdade de ovento) de ua partícula é ua quantdade vetoral defnda coo: p v d v d p A a le de ewton pode ser escrta coo: O oento lnear de u sstea de partículas é a soa vetoral dos oentos lneares ndvduas: P p p... p v v Dervando e relação ao tepo a epressão do centro de assa: rc r v P vc Dervando novaente e usando a a le de ewton para u sstea de partículas: ( et) dp ac 8 o Seestre de 0 6

17 Conservação de oento lnear Ua conseqüênca edata da a le de ewton para u sstea de partículas é a conservação do oento lnear total do sstea na ausênca de forças eternas: ( et ) 0 P cte. Ass coo no caso da conservação da energa ecânca, essa le pode ser uto útl para resolver probleas, se ter que ldar co a dnâca detalhada do sstea. ote que a únca condção para a conservação do oento lnear total é a ausênca de forças eternas. ão há nenhua restrção quanto à presença de forças dsspatvas, desde que elas seja nternas. Por outro lado, forças nternas não pode udar o oento lnear total do sstea! 8 o Seestre de 0 7

18 Q: Barco a ventlador U físco tenta pulsonar u barco a vela lgando u ventlador a plha dreconado à vela do barco (o físco está dentro do barco). Assnale a alternatva correta A. O sstea não funconará, pos todas as forças são nternas, e portanto a C 0. B. O sstea funconará (poré co baa efcênca) devdo ao consuo de energa quíca do ventlador, que por conservação de energa se converte e energa cnétca do barco. [Default] [C Any] [C All] 8 o Seestre de 0 8

19 ísca uclear esta fgura, u neutrno (ν) colde co u próton (p) estaconáro. O neutrno se transfora nu úon (µ-) e há a cração de u píon (π). O neutrno, por ser neutro, não dea rastro na câara de bolhas. Observe que não havera conservação de oento lnear, se não houvesse ua partícula neutra coldndo pela dreta. (p ν à p µ - π ) 8 o Seestre de 0 9

20 Eeplo: v C constante 80 kg 60 kg Só há forças nternas ao sstea velocdade constante. Dos patnadores no gelo (se atrto co o chão) encontra-se ncalente a ua dstânca de. Eles pua as etredades de ua corda até se encontrare. E que ponto eles se encontra? O resultado depende das forças eercdas por eles? o centro de assa te C , Os patnadores se encontrarão a 5, da posção ncal do patnador da esquerda. ão porta as forças eercdas por eles (nternas). 8 o Seestre de 0 0

21 oento de u sstea de partículas no R C Se v C constante, u referencal aarrado ao centro de assa (C) é u referencal nercal, chaado referencal do centro de assa (R C ). Ele te nteresse físco, pos dado u sstea de partículas, ele está naturalente defndo, não dependendo da escolha que se faça para o referencal. Vos: vc v v P vc v C 0 Coo no R C 0 P no R C. Ou seja, no R C o oento total de u sstea de partículas é nulo, quer o sstea seja solado ou não. Vantage: o R C é o referencal de enor energa cnétca do sstea. De fato, para u sstea de duas partículas: v V vc ; v V vc onde V e V são as velocdades das partículas e e relação ao C., 8 o Seestre de 0

22 oento de u sstea de partículas no R C É claro que: V V K v v ( V vc ) ( V v V V ( (K) RC 0 Então, consderando a energa cnétca: C K C ) ) v C ( V V 0 ) v C O prero tero é a energa cnétca do sstea no referencal do C e o segundo é a energa assocada ao ovento do C. o referencal do C, esta parcela é nula. 8 o Seestre de 0

23 Eeplo U canhão de assa 00 kg dspara ua bala de assa,0 kg co velocdade de 300 /s e relação ao canhão. Iedataente após o dsparo, quas são a velocdade da bala e do recuo do canhão? Ø Tanto ncalente coo edataente após a eplosão, o oento lnear total do sstea é nulo, pos as forças que atua durante a eplosão são todas forças nternas. V0 v0 Os ódulos das velocdades estão ass relaconados: v v V Ø ote que v rel v 0 V 0 Resolvendo o sstea de equações, encontraos: V 0 v rel V v 0 0 rel 0 vrel,97 /s v V 97 /s O ovento de recuo do canhão sugere u étodo de propulsão! v 0 rel o Seestre de 0 3

24 Trabalho das forças eternas e nternas Vos que as forças nternas não contrbue para a varação do oento total de u sstea de partículas. E contrbue para a energa? et nt Para a partícula : ( ΔK) ds f ds Para o sstea todo, a varação da energa cnétca é a soa do trabalho total das forças eternas e do trabalho total das forças nternas. O trabalho total das forças nternas pode não ser nulo. Eeplos: a) Patnadora Consdere a stuação ao lado, e que ua patnadora epurra u corrão (co ua força ) e adqure energa cnétca no processo. essa stuação, a força acelera o C da patnadora, as não realza trabalho. A patnadora gasta energa (uscular), que se transfora e energa cnétca. Há apenas transferênca de energa entre partes nternas do sstea. 8 o Seestre de 0 4

25 Trabalho das forças eternas e nternas b) Propulsão de u carro: a força eterna que acelera o C do carro é a soa das quatro forças de atrto estátco (só duas ostradas). Poré, ela não transfere energa cnétca para o carro, pos não realza trabalho; o auento da energa cnétca se deve à transferênca de energa nterna arazenada no cobustível. Durante a freada de u carro se derrapar, o atrto co o solo é tabé estátco, portanto não realza trabalho. É o trabalho do atrto nterno (rodas-freo) que dsspa a energa cnétca do veículo. o entanto: atr a C 8 o Seestre de 0 5

26 Q3: orças Internas Qual a únca alternatva verdadera, na ausênca de forças eternas: A. orças nternas pode udar a energa cnétca do sstea, eso se realzar trabalho. oento lnear é sepre conservado. B. orças nternas pode udar a energa cnétca do sstea, as neste caso o oento lnear não se conserva, pos trabalho fo realzado. C. orças nternas nunca uda a energa cnétca do sstea. O oento lnear é sepre conservado. [Default] [C Any] [C All] 8 o Seestre de 0 6

27 Ssteas de assa varável (propulsão de foguetes, etc) U foguete co velocdade nstantânea v e assa nstantânea ejeta produtos de eaustão co assa d e velocdade U. Depos de u tepo, o foguete te assa -d e velocdade vdv. Todas as velocdades são eddas no referencal nercal da Terra. Antes Depos d - d Coo o sstea (foguete produtos de eaustão) é fechado e solado, aplcaos a conservação do oento lnear: Antes: Depos: P v ( d ) ( v dv) d U P f dv P P f ( v dv U) d () 8 o Seestre de 0 7

28 Propulsão de foguetes Introduzndo a velocdade dos produtos de eaustão e relação ao foguete (é essa quantdade que é controlada, pos está lgada ao processo de cobustão): vrel U rel ( v dv) U v ( v dv) e teros dos ódulos U Então, reescrevendo (): v d v rel v v rel v rel (é claro que a velocdade relatva aponta na dreção de negatvo, daí o snal) dv d v rel (Equação fundaental da propulsão de foguetes) Copare co o resultado anteror do canhão (V 0 dv ; d): V 0 vrel V v >> 0 rel 8 o Seestre de 0 8

29 Propulsão de foguetes onde dv d d R é a f f d dv vrel dv vrel v v v rel dv d v R rel v rel taa de consuo de assa de cobustível Reescrevendo: Rv rel a, donde se nota que o epuo Rv rel te o eso efeto de ua força resultante! Entretanto, eso que Rv rel seja constante o ovento do foguete não é unforeente acelerado, pos a assa é varável: d v f v Δv v, rel ln onde corrgu-se o snal de d para consderaros a varação de assa do foguete, e não do cobustível ejetado. f 8 o Seestre de 0 9

30 Propulsão de foguetes: ( t) Rt Rt ( ) v t v 0 vrel ln A curva v(t) não é lnear por causa da perda de assa. Para alguns cobustíves: Querosene e ogêno líqudo (prograa Apolo): v rel» k/h Hdrogêno líqudo e ogêno líqudo (ônbus espacal): v rel».500 k/h Valores no vácuo: 0-0% aores Consderações de establdade lta / f»0 Þ Dv»,3 v rel < k/h as, v escape» k/h!!!!!!! Þ O que fazer?? 8 o Seestre de 0 30

31 oguetes ult-estágos: Ø Ao fnal de u estágo de aceleração, descarta-se a carcaça do estágo anteror (tanques de cobustíves, otores...) Por que sso é vantajoso? Prero estágo : Δ 0 v vrel ln Segundo estágo : descarte de assa δ δ δ Δ v vrel ln Aceleração total co descarte da carcaça: Δv desc Δv Δ v vrel ln 0 δ δ δ δ 0

32 oguetes ult-estágos Aceleração total co descarte da carcaça: Δ Δ Δ δ δ 0 ln v v v v rel desc Aceleração total se descarte da carcaça: Δ Δ Δ 0 0 ln ln v v v v v rel rel se Coparando: (ostre sso!) > > δ δ desc v se v Δ > Δ Ø Quanto aor a carcaça d descartada aor o ganho no descarte!

33 Dados do sstea Saturno V-Apolo (vagens à Lua) δ total, kg Δv ln 9.70 k/h k/h 6 E 3,9 0 kgf vácuo vácuo Epuo t Δv vrel ln cob vrel gn f Quer. e O v rel»9.70 k/h H e O : v rel».50 k/h Vácuo: 0-0% aores Δv E 3 Δv E , ln.50 k/h k/h 4, kgf , ln.50 k/h k/h 86,4 0 3 kgf