1ºAula Cap. 09 Sistemas de partículas
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- Eduardo Ávila Porto
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1 ºAula Cap. 09 Sisteas de partículas Introdução Deterinação do Centro de Massa, Centro de assa e sietrias, a Lei de Newton/sistea de partículas. Velocidade/Aceleração do centro de assa Referência: Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. undaentos de ísica, Vol. Cap. 09 da 7 a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 996. Tipler, Paul. ísica, Vol cap a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 000.
2 Moviento do Centro de Massa O oviento dos sisteas acia é uito coplicado, as o centro de assa descreve ua parábola coo ua partícula.
3 Moviento do Centro de Massa O oviento dos sisteas acia é uito coplicado, as o centro de assa descreve ua parábola coo ua partícula.
4 Moviento do Centro de Massa O oviento dos sisteas acia é uito coplicado, as o centro de assa descreve ua parábola coo ua partícula.
5 Moviento do Centro de Massa O oviento dos sisteas acia é uito coplicado, as o centro de assa descreve ua parábola coo ua partícula.
6 Centro de Massa Há u ponto, denoinado centro de assa do sistea, que se ove coo se toda a assa do sistea estivesse concentrada nele, e as forças eternas atuantes sobre o sistea estivesse agindo eclusivaente sobre ele. O oviento de qualquer corpo, ou qualquer sistea de partículas, pode ser descrito e teros do oviento do centro de assa. y M A coordenada do centro de assa é X c dada por: X c
7 Cálculo do centro de assa Média ponderada das posições, tendo as assas coo pesos Eeplos: (a) (b) >> (c) E geral, o centro de assa é u ponto interediário entre e : 0 /3 /3 < < L 0 L 3 3 L
8 0 4 4 kg 3 0 kg 0 0 kg y y y y Eeplo de cálculo de centro de assa de u sistea de partículas
9 Centro de Massa: É a posição édia de toda a assa do corpo ou sistea. Nu corpo hoogêneo e siétrico o centro de assa está no centro geoétrico.
10 Eeplo: partículas de assas iguais forando u triângulo Baricentro do triângulo: Interseção das edianas /3 /3
11 Centro de assa e sietrias: Se u corpo possui u ponto, ua linha ou u plano de sietria, o situa-se nesse ponto, linha ou plano. Linhas de sietria Centro de sietria Planos de sietria Note que para que u ponto, linha ou plano seja de sietria, é preciso que, para cada eleento de assa, eista u outro igual na posição siétrica e relação ao ponto, linha ou plano. Note que o centro de assa pode cair nua região onde não há assa!
12 CENTRO DE GRAVIDADE CENTRO DE GRAVIDADE de u corpo é o ponto de aplicação do seu peso. Corpos que adita eios de sietria, o centro de gravidade localiza-se na interseção destes eios. Nu capo gravitacional unifore o coincide co o CG.
13 Para placas planas e hoogêneas o centro de gravidade pode ser deterinado através da equação: A A A y A y X cg Y cg A A A A y y A A
14 Placas planas e hoogêneas: Deterine as coordenadas ( cg, y cg ) do centro de gravidade da placa plana e hoogênea da figura indicada.
15 Placas planas e hoogêneas: A ordenada y do centro de assa de ua placa triangular, hoogênea e de espessura constante é igual a u terço da altura (figura). Mostre que a ordenada do centro de assa de ua placa trapezoidal, hoogênea e de espessura constante, e função da altura h do trapézio e de suas bases a e b pode ser dada por: h ( a b ) y c 3 ( a b )
16 Placa Plana co orifício: cg A A A A y y cg A y A A A y A A
17 Placa Plana co orifício: A figura ostra ua placa etálica unifore P de raio R da qual foi retirado u disco de raio R. pelo processo de estapage, e ua linha de produção industrial. Localize o centro de assa "" usando o sistea de coordenadas y ostrado. cg A A A A y cg A y A A A y Resp. a) c R/3, y c 0.
18 Centro de assa de corpos contínuos unifores Se u corpo consiste de ua distribuição contínua de assa, podeos dividi-lo e porções infinitesiais de assa d e a soa transfora-se nua integral: c. d M d r c L/ c Copriento L e assa M λ M/L
19 Centro de assa de corpos contínuos unifores Se u corpo consiste de ua distribuição contínua de assa, podeos dividi-lo e porções infinitesiais de assa d e a soa transfora-se nua integral: M N i i i Se alé disso o corpo tiver densidade unifore: M d ρdv dv V M d y z V V V y M dv ydv zdv yd z M zd Integrais triplas! Não precisareos por enquanto.
20 Centro de assa de corpos contínuos unifores Silbury Hill Inglaterra (4600 anos atrás) z zdv V
21 Eeplo: Centro de assa de corpos contínuos unifores Silbury Hill Inglaterra (4600 anos atrás)
22 Moviento do Centro de Massa a Lei de Newton para u sistea de partículas. Velocidade do centro de assa, Aceleração do centro de assa. Centro de assa e velocidade constante. Referência: Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. undaentos de ísica, Vol. Cap. 09 da 7 a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 996. Tipler, Paul. ísica, Vol cap a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 000.
23 a Lei de Newton para u sistea de partículas: Considere u sistea de partículas cujas assas são,,., n, e seja v, v,..., v n, respectivaente,suas velocidades nu certo instante. Neste instante, o centro de assa possui velocidade v dada por ua édia ponderada das velocidades das partículas do sistea: quantidade de oviento total do sistea ( )v quantidade v de v oviento v A quantidade de oviento de u sistea de partículas é igual à quantidade de oviento do centro de assa, considerando que toda a assa do sistea está concentrada nele.
24 a Lei de Newton para u sistea de partículas: Considere duas partículas de assas e e ua diensão: (et) (et) d a R d d ( et) ( et) Note coo distinguios forças internas ( e ) de forças eternas ( (et) e (et) ). Soando-se as equações tero a tero: Da 3 a lei de Newton, - d d ( et) d d ( et) ( et) (et) é a força eterna resultante. As forças internas se cancela. ( et) ( et)
25 a Lei de Newton para u sistea de partículas: Considere duas partículas de assas e e ua diensão: (et) (et) d a R d d ( et) ( et) Note coo distinguios forças internas ( e ) de forças eternas ( (et) e (et) ). Soando-se as equações tero a tero: Da 3 a lei de Newton, - d d ( et) d d ( et) ( et) (et) é a força eterna resultante. As forças internas se cancela. ( et) ( et)
26 Usando a Definição: a Lei de Newton para u sistea de partículas: d d ( et) d tal que onde M é a assa total do sistea. ( ) ( ) ( et) ( et ) d M ( d O sistea age coo se toda assa estivesse concentrada no ponto (centro de assa) ) (et) ( et) (et) M (et) M d a Lei de Newton para u sistea de partículas E particular, se (et) 0, a velocidade do é constante d v cte.
27 Eeplo e que o centro de assa te velocidade constante 80 kg 60 kg Dois patinadores no gelo (se atrito co o chão) encontra-se inicialente a ua distância de. Eles pua as etreidades de ua corda até se encontrare. E que ponto eles se encontra? O resultado depende das forças eercidas por eles? Só há forças internas ao sistea O centro de assa te velocidade constante , Os patinadores se encontrarão a 5, da posição inicial do patinador da esquerda, não iporta as forças eercidas por eles.
28 Moviento do centro de assa.
29 Moviento do centro de assa.
30 Moviento do centro de assa.
31 Moviento do centro de assa. U projétil é disparado sobre u capo horizontal, co ua velocidade inicial de 4,5 /s sob u ângulo de 36,9º. No ponto ais elevado da trajetória o projétil eplode e se divide e dois fragentos de assas iguais. U deles cai na vertical até o solo. E que ponto outro fragento atinge o solo? Resp. R 58,8 e,5r 88,.
32 ) ( d M et r N i i i N N N N i i i N N N N i i i N N N z M z z z z y M y y y y M L L L L L L N i i i r M r ) ( d M d d d N N et r r r r L O sistea responde à resultante das forças eternas coo se a assa total M estivesse toda concentrada no centro de assa. a Lei de Newton para u sistea de partículas Generalização para 3 diensões:
33 orças eternas e udanças de energia interna: Considere a situação ao lado, e que ua patinadora epurra u corrião (força ) e adquire velocidade e energia cinética no processo. Nessa situação: a) Energia (uscular) é gasta pela patinadora, que se transfora e energia cinética. Há apenas transferência de energia entre partes do sistea, não entre o sistea e o abiente eterno. b) A situação envolve u sistea de partículas e não ua partícula apenas: as diferentes partes da patinadora ove-se diferenteente. Para analisar essa situação, utilizaos a a lei de Newton para u sistea de partículas, e que este é substituído por toda sua assa concentrada no Centro de Massa (et) M dv
34 orças eternas e udanças de energia interna: O trabalho realizado pela força no centro de assa ao deslocá-lo de ua distância d se traduz nua udança da energia cinética da patinadora: d cosφ ΔK Se parte do trabalho é utilizada para auento de energia potencial (p. e., a patinadora sobe ua rapa), o resulta se generaliza: d cosφ ΔK d ΔU Δ E ec Essa energia foi perdida pela patinadora, que despendeu energia interna na esa proporção: cosφ ΔEec ΔE int
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