Capítulo 16. Ondas 1

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1 Capítulo 6 Ondas

2 Outline Tipo de Ondas Ondas Longitudinais e Transversais Copriento de Onda e Frequência A velocidade de ua Onda Progressiva Energia e Potencia de ua Onda Progressiva A equação de Onda Superposição de Ondas Interferência de Ondas Ondas Estacionárias Ressonância

3 Tipos de Ondas Ondas Mecânicas: Entre elas estão as ondas do ar e as ondas. São governadas pelas leis de Newton e existe apenas e u eio aterial, coo água e ar. Ondas eletroagnéticas: São por exeplo a luz visível, a luz ultravioleta, as ondas de rádio e tv, as icroondas e os raios X. Estas não precisa de u eio aterial para se propagar, pode se propagar no vácuo. No vácuo elas se propaga co velocidade c ~ 3x0 8 /s Ondas de atéria: Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas eleentares, e eso átoos e oléculas. Elas sáo chaadas de ondas de atéria porque noralente pensaos nessas partículas coo eleentos básicos da atéria.

4 Ondas Longitudinais e Transversais Onda transversal: os deslocaentos do eio são perpendiculares ou transversais à direção de propagação da onda ao longo do eio. Onda longitudinal: as partículas do eio oscila ao longo da esa direção de propagação da onda.

5 Copriento de Onda e Frequência (e u tepo qualquer) Copriento de onda λ de ua onda é a distância (paralela à direção de propagação) entre repetições da fora da onda. Núero de Onda k deterina quantos radianos da onda estão contidos e. k y x, t y senkx t Equação que descreve a posição vertical, y, e teros de cada eleento da corda e do tepo. Nessa equação y, k e ω são constantes. Aplitude y de ua onda é definida pela grandeza física que ultiplica a função seno (ou cosseno), neste caso, consiste no áxio deslocaento dos eleentos da onda. No SI: radiano por etro = rad/

6 y x, t y senkx t Copriento de Onda e Frequência (Considerando u eleento x da corda) Frequência Angular ω deterina quantos radianos são percorridos e cada segundo. Equação que descreve a posição vertical, y, e teros de cada eleento da corda e do tepo. Nessa equação y, k e ω são constantes. Período T de ua onda é definido pelo intervalo de tepo característico de ua repetição da onda. (Subida e descida de u eleento da onda ou intervalo de tepo necessário para que a crista alcance a posição da crista vizinha). T No SI: radiano por segundo = rad/s

7 y x, t y senkx t Copriento de Onda e Frequência Os Sinais que antecede a Frequência Angular ω deterina a direção do sentido de propagação da onda. - ω : indica sentido positivo de propagação no eixo x + ω : indica sentido negativo de propagação no eixo x Equação que descreve a posição vertical, y, e teros de cada eleento da corda e do tepo. Nessa equação y, k e ω são constantes. A Constante de Fase Φ de ua onda deterina o deslocaento y do eleento x = 0 de ua corda no instante t = 0. As figuras ao lado representa ondas progressivas senoidais no instante t = 0 co ua conste de fase Φ de (a) 0 rad e (b) π/5 rad.

8 y x, t y senkx t Copriento de Onda e Frequência

9 Coo deterinar a velocidade de propagação de ua onda? x, t y senkx t y Considerar a esa onda e dois instantes diferentes de tepo. Nessa situação a fase da onda peranece constante! kxt constante Derivando dos dois lados teos: k v dx dt k 0 f T Velocidade da onda O eso raciocínio pode ser obtido por eio das equações da cineática: x vt vt v f

10 Exeplo 6.) pg. Ua onda que se propaga e ua corda é descrita pela equação y(x,t) = 0,0037sen(7,x,7t), onde as constantes estão no SI. a) Qual a aplitude da onda? b) Qual o copriento de onda, o período e a frequência da onda? λ = π k c) Qual a velocidade da onda? T = π ω T = f v = λ T d) Qual a velocidade transversal do eleento da corda x =,3 c no instante t =, s? dy x, t ux, t y( ) coskx t dt

11 A figura abaixo ostra a velocidade transversal e função do tepo, para u ponto de ua corda situado e x = 0, quando ua onda passa por ele. A escala do eixo vertical é definida por u s = 4 /s. Qual é o valor de? (0,64 rad) dy x, t ux, t y( ) cos dt u x, t u kx t cos u y kx t

12 Velocidade de ua Onda e ua Corda Esticada Podeos aproxiar a crista da onda na corda por ua trajetória circular co arco Δl e raio R. A corda está esticada por ua tensão τ. No eixo x a tensão se anula restando apenas duas coponentes do eixo y. Nessa condição teos: F = Δ v R = τsen(θ) Para ângulos pequenos, senθ ~ θ: θ = Δl R Δ = µδl µδl v R = τ Δl R v = τ µ Velocidade e ua corda esticada por ua tensão τ.

13 Energia e Potencia de ua Onda Progressiva A energia cinética de u eleento infinitesial da corda pode ser descrito por: K = Δu(x, t) K = Δ[y ω cos(kx ωt)] K éd = μdx(y ω) 4 [cos (kx ωt)] éd = / E = K éd + U éd K éd = U éd P = de dt = dk éd dt = μdx(y ω) 4dt E = K éd P = μv(y ω) Potência édia de ua onda e ua corda.

14 Exeplo 6.4) Na figura abaixo, duas cordas fora aaradas ua na outra co u nó e esticadas entre dois suportes rígidos. As cordas te assas específicas lineares de µ =,4x0-4 kg/ e µ =,8x0-4 kg/. Os coprientos são L = 3,0 e L =,0. A tensão na corda é de 400 N. Dois pulsos são enviados siultaneaente e direção ao nó a partir dos suportes. Qual dos pulsos chega prieiro? Resposta: O pulso que chegará prieiro é aquele que copleta o percurso no enor tepo. v = τ µ t = L v = L µ τ =,77x0 3 s t = L v = L µ τ =,67x0 3 s A onda chega antes ao nó.

15 Para que ua equação possa ser usada para descrever o coportaento de ua onda, ela deverá satisfazer a condição abaixo: ), ( ), ( t t x y v x t x y

16 Quando ua onda atinge as fronteiras do eio, ocorre reflexão da onda inteira ou de ua parte da onda. Ex: corda co extreidade fixa, so ecoando, etc. Fig.: Exeplos de Reflexão de u pulso ondulatório e ua corda co extreidade fixa e co extreidade livre.

17 O que acontece quando duas ondas senoidais se passa siultaneaente na esa região? Ocorre u cobinação de ondas, ua superposição. Princípio de Superposição x,t y x,t y x,t y Ondas superpostas se soa algebricaente para produzir ua onda resultante ou onda total. Ondas superpostas não se afeta ultuaente. Fig.: Superposição de dois pulsos ondulatórios se deslocando e sentidos opostos.

18 O fenôeno de cobinação de ondas recebe o noe de INTERFERÊNCIA. Ex. Duas ondas, de esa aplitude e copriento de onda se propaga no MESMO SENTIDO de ua corda, sofre interfere para produzir ua onda resultante senoidal que se propaga nesse eso sentido. y x,t y senkx t x,t y senkxt y Fig.: (a), (b) e (c) Ondas se propagando. (f), (g) e (h) onda sultante y (x,t). x, t y x, t y x t y,

19 A interferência do ponto de vista ateático: x,t y senkx t y y x,t y senkxt x, t y x, t y x t y, y'( x, t) y y sen sena senb sen x, t y cos sen kx t kx t y senkx t A Bcos A B y'( x, t) y sen kx t kx tcos kx t kx t B A kx t kx t Aplitude Coponente Periódica

20 Interferência Interferência Construtiva: Interferência Destrutiva: ou L L L n n ou L L L (n ) ( n ) n 0,,... n 0,,...

21 Exeplo. Duas ondas senoidais iguais, propagando-se no eso sentido e ua corda, interfere entre si. A aplitude y das ondas é 9,8 e a diferença de fase entre elas é 00. a) Qual a aplitude y da onda resultante e qual é o tipo de interferência? (3) b) Que diferença de fase, e radianos, faz co que a aplitude da onda resultante seja 4,9? (0,6 rad)

22 Exeplo: Ua antena transite ua sinal de rádio de f = 00, MHz. U rádio receptor localizado a 0 k de distância da antena, sente ua interferência quando u avião sobrevoa exataente na etade da distância entre a antena e o rádio. A interferência ocorre devido a sobreposição do sinal que sai da antena e chega ao rádio, e, do sinal que sai da antena e é refletido pelo avião chegando ao rádio. Deterine a altura ínia que o avião necessita voar para geral tal interferência. c f c f 8 3x0 00.x0 6 3 A condição de interferência destrutiva será satisfeita quando a diferença entre os dois cainhos será eio copriento de onda. x d x d h x d h x x x 0000, 75 h x d h, 5

23 Ondas Estacionárias Ondas estacionárias são obtidas a partir da interferência de duas ondas idênticas (de esa aplitude, k e ω) as que se ove e SENTIDOS OPOSTOS. A analise dos 5 instantes que aparece na figura acia nos ostra que a onda resultante possui pontos que nunca se ove ditos de nós. Os pontos da onda resultante que pode atingir de áxia aplitude são chaados de anti-nós.

24 Ondas Estacionárias

25 Ondas Estacionárias x, t y senkx t x, t y senkx t x, t y x, t y x t y y y, y'( x, t) y sen kx t y senkx t sen A B kx t kx t A B sen A Bcos A B y'( x, t) y sen kx t kx tcos kx t kx t x, t y sen( kx) cos t y Posições dos nós: Posições dos antinós: x n, para n 0,,,... x n, para n 0,,,...

26 Ressonância A condição de ressonância é satisfeita quando o espaço de confinaento, o copriento útil da corda, equivale a u ultiplo inteiro de eios coprientos de onda. Fig.: Cada corda do violino oscila naturalente co ua ou ais frequências harônicas. Fig.: onda e corda esticada.

27 Ressonância L n (n,, 3,...) n L n (n,, 3,...) As frequências de ressonância corresponde a esses coprientos de onda. Fig.: onda e corda esticada. (a) n = : Prieiro harônico; (b) n = : segundo harônico; (c) n = 3: terceiro harônico. f n v n v n L (n,, 3,...) Onde n é o núero harônico.

28 Exeplo 6.8) pg. 38. A figura ostra a oscilação ressonante de ua corda de assa =,500g e copriento L = 0,80 sob ua tensão F = 35 N. (a) Qual é o copriento de onda das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária ostrada na figura e qual o núero harônico n? (b) Qual é a frequência das ondas transversais e das oscilações dos eleentos de corda? (c) Qual o ódulo áxio da velocidade u do eleento da corda que oscila no ponto de coordenada x = 0,80? (0,40 e 4; 806 Hz; 6,6 /s )

29 Exeplo: - A enor frequência de ressonância de ua certa corda de violino é a da nota lá de concerto (440 Hz). Qual é a frequência (a) do segundo e (b) do terceiro harônico siples? (880 Hz; 30 Hz) - Ua corda sujeita a ua tensão de 00 N e fixa nas duas extreidades oscila no segundo harônico de ua onda estacionária. O deslocaento da corda é dado por: x, t (0,0) sen x cos t y Onde x = 0 e ua das extreidade da corda, x está e etros e t está e segundos. Quais são (a) o copriento da corda, (b) a velocidade das ondas na corda e (c) a assa da corda? (d) Se a corda oscila no terceiro harônico de ua corda estacionária, qual o período de oscilação? (4; 4 /s;,4 kg; 0, s)

30 Lista de Exercícios:, 3, 5, 7, 9, 3, 5, 7, 9,, 6, 9, 33, 4, 43, 5, 79, 85, 93 Referências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundaentos de Física: Eletroagnetiso. 8 a ed. Rio de janeiro: LTC, 009. Vol.. TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 000. v.. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletroagnetiso. a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 008. v..