Uma onda se caracteriza como sendo qualquer perturbação que se propaga no espaço.

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Antônio Madureira Padilha
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1 16 ONDAS 1

2 16.3 Uma onda se caracteriza como sendo qualquer perturbação que se propaga no espaço. Onda transversal: a deformação é transversal à direção de propagação. Deformação Propagação 2

3 Onda longitudinal: a deformação é paralela à direção de propagação. Deformação Propagação A descrição matemática de um pulso de onda que caminha para a direita com velocidade constante v, é feita por uma função y(-vt) y v 3

4 Quando o pulso caminha para a esquerda com velocidade v, é descrito por uma função y(+vt). y v Eemplo: seja a função gaussiana centrada em =0. y 2,5 2,0 1,5 1,0 y= 2 e ( 2 /100) = 0 y =2 =± y =0 0,5 0,

5 Considere a variável z = -vt substituindo. Esta variável faz com que a gaussiana se desloque com velocidade v no sentido positivo. Supondo v=1m/s, z assume o valor z= -t, y 2,5 y= 2 e ( 2 /100) 2,0 1,5 y= 2 e (z 2 z= - t /100) 1,0 0,5 y= 2 e (( t) 2 /100) Pulso se deslocando no sentido de positivo com velocidade de 1 m/s. 0, (m) 5

6 Considere z = +vt. Agora a variável z faz com que o pulso se desloque com velocidade v no sentido negativo. Supondo v=1m/s, z assume o valor z= +t, y 2,5 y= 2 e ( 2 /100) 2,0 1,5 y= 2 e (z 2 z= + t /100) 1,0 0,5 y= 2 e ((+ t) 2 /100) 0, (m) y= 2 e ((+ vt) 2 /100) y Neste caso, o pulso propaga-se para a esquerda com velocidade v. 6

7 16.4,5 ONDAS SENOIDAIS PROGRESSIVAS Uma onda senoidal se propagando no eio dos no sentido positivo é descrita pela função: y = y ma sen ( k-ωt +φ) = y ma sen(k(-ω/k t)+φ) y ma v = ω / k y ma é a amplitude da onda, k é o número de onda, ω é a freqüência angular, φ é a constante de fase e v é a velocidade de propagação. Uma onda senoidal se propagando no eio dos no sentido negativo é descrita pela função: y = y ma sen ( k+ωt +φ) y ma v = ω / k Comprimento de onda Período da onda Velocidade de propagação λ = 2π/ k T = 2π/ ω v = ω / k = λ / T 7

8 Comprimento de onda λ = 2π/ k = vt Período T = 2π/ ω Freqüência f = 1/T Velocidade de propagação v = ω / k = λ / T= λf 2,5 Comprimento de onda λ = 2π/ k = vt 2,0 1,5 1,0 amplitude λ 0,5 0,0 X(m) -0,5-1,0-1,5-2, ,5 λ = 2π/k = 50m 8

9 λ = vt A onda percorre uma distância λ no tempo T( período) Considere uma onda progressiva propagando-se em uma corda no sentido dos positivo. Para calcular a velocidade e a aceleração de um ponto da corda, fia-se a posição e verifica-se o movimento da corda. y = y ma sen ( k-ωt + ϕ) 1 u(,t)= y/ t Velocidade u(,t) = y/ t da corda no ponto =4 9

10 VELOCIDADE dos pontos da corda u = y / t = -y ma ω cos(k ωt + ϕ) ACELERAÇÃO dos pontos da corda a y = u/ t = 2 y / t 2 a y = -y ma ω 2 sen(k ωt + ϕ) 10

11 Observa-se que o ponto da corda realiza um movimento MHS. Análogo ao movimento da massa presa a uma mola. 11

12 Em uma dada posição a diferença de fase da onda entre dos instantes diferentes pode ser escrita como: φ = ω t A fase da onda varia ao longo do eio em cada instante. 12

13 Y y = y ma sen ( k 1 -ωt + ϕ) 1 Y y = y ma sen ( k 2 -ωt + ϕ) 2 φ 13

14 Y y = y ma sen ( k 3 -ωt + ϕ) φ 3 Y y = y ma sen ( k 4 -ωt + ϕ) φ 4 14

15 Y y = y ma sen ( k 5 -ωt + ϕ) φ 5 Y y = y ma sen ( k 6 -ωt + ϕ) 6 φ 15

16 Y y = y ma sen ( k 7 -ωt + ϕ) 7 φ Y 8 1 = λ φ = 2π

17 Y A diferença de fase da onda entre os pontos A, A φ Y e o ponto B ao longo do eio está representada pelo ângulo φ φ A B φ = k 17

18 A fase da onda depende de e t φ = k ±ωt +φ ο y = y ma sen φ A diferença de fase entre duas ondas pode ser devida a um atraso entre elas ou a uma diferença no caminho percorrido por elas. φ = k ou ω t Prob. 16.2, 3 Uma onda que se propaga ao longo de uma corda é descrita por y (,t) = sen ( 70 2,7 t ) Onde as constantes numéricas estão no SI. (a) Qual é a amplitude? (b) Quais são λ, T e f da onda? (c) Qual é a velocidade da onda? (d) Qual é o deslocamento do ponto da corda na posição = 20 cm em t = 10 s? (e) Qual é a velocidade transversal da corda nessa posição, nesse mesmo instante? (f) Qual sua aceleração transversal? 18

19 16.6 Velocidade de propagação da onda A velocidade de propagação v de uma onda depende de características do meio. Em uma corda v depende da tração τ e da densidade linear µ da corda. Análise dimensional µ = m / L (massa por unidade de comprimento) τ = m L / t 2 (força = massa aceleração) v = τ µ 16.7 ENERGIA TRANSPORTADA PELA ONDA 19

20 Uma onda transporta energia. Uma partícula colocada em uma corda sente a passagem da onda adquirindo energia cinética, que faz com que ela se desloque acompanhando a deformação da corda. Um pedaço de corda de massa m adquire uma energia cinética E c m E c =1/2 m u 2 µ Α massa m pode ser escrita como m = µ onde µ é a densidade linear da corda. 20

21 Supondo m muito pequeno a energia cinética E c se escreve como: dec = ½ dm u 2 dm = µ d u = y/ t u = - y m ω cos (k ωt + φ) de c = ½ µ d u 2 de c =½ µ d y m 2 ω 2 cos 2 (k ωt + φ) de c /dt = ½ µ d/dt y m 2 ω 2 cos 2 (k ωt+φ) Sendo v = d/dt a velocidade de propagação da onda, a variação no tempo da energia cinética se escreve: de c /dt = ½ µ v u 2 de c /dt = ½ µ v y ma2 ω 2 cos 2 (k ωt + φ) A média no tempo da derivada da energia cinética é proporcional a média do <cos 2 >=½. <de c /dt> = ½ µ v y ma 2 ω 2 <cos 2 (k ωt+φ)> 21

22 Média de <cos 2 > = ½ <de c /dt> = ½ µ v y ma 2 ω 2 <cos 2 (k ωt+ φ)> <de c /dt> = ½ (½ µ v y ma 2 ω 2 ) A energia total E t = E c + E p A média da taa de variação da energia total <de t /dt> = <de c /dt > + <de p /dt> como < de c /dt> = <de p /dt> de t /dt média = 2 ½ (½ µ v y ma 2 ω 2 ) Potência média = de t /dt média = ½ µ v y ma 2 ω 2 A potência média é proporcional ao quadrado da amplitude y ma2. 22

23 SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS Interferência de ondas caminhando no mesmo sentido A deformação resultante é a soma das deformações das ondas na corda. 23

24 Considere duas ondas senoidais caminhando no sentido dos positivo com uma diferença de fase φ entre elas. y 1 = y m sen( k-ωt) y 2 = y m sen( k-ωt+φ) A onda resultante é y R = y 1 +y 2 isto é, y R =y m sen( k-ωt) + y m sen( k-ωt+φ) B Utilizando a relação trigonométrica sena + senb = 2 cos [(A-B)/2]. sen [(A+B)/2] A =k-ωt+φ B=k-ωt (A + B)/2 = k-ωt+φ/2 ; (A - B)/2 = φ/2 A 24

25 y R = 2 cos [(A-B)/2] sen [(A+B)/2] y R = 2y m cos φ/2 sen(k-ωt+φ/2) amplitude 4,0 No eemplo, as ondas têm mesma amplitude e diferença de fase φ = π/2. 3,0 2,0 y (cm) 1,0 0,0-1,0-2,0-3,0-4,0 A onda resultante, a verde, tem amplitude y m = 4,0 cos π/4 = 2,83 cm. Quando a diferença de fase for um número par de π, as ondas estão fase. A onda resultante tem amplitude igual à soma das amplitudes. 5,0 4,0 3,0 2,0 y (cm) 1,0 0,0-1,0-2,0-3,0-4,0-5,0 25

26 Quando a diferença de fase é um número ímpar de π, as ondas estão em oposição de fase. 2,5 2,0 y (cm) 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-2,5 A onda resultante tem amplitude igual à diferença das amplitudes. ONDAS ESTACIONÁRIAS Superposição de ondas caminhando em sentidos opostos 26

27 REFLEXÃO DE PULSO EM UMA PAREDE RÍGIDA O pulso refletido sofre uma mudança de fase de 180 o Na refleão em uma corda aberta, o pulso refletido retorna em fase com o incidente. 27

28 Uma onda estacionária é a onda resultante da superposição de ondas caminhando em sentidos opostos. y D = y o sen (k - ωt ) y E = y o sen (k + ωt ) y = y D + y E 28

29 y R = y o (sen (k - ωt )+ sen (k +ωt)) A =k-ωt ; B=k+ωt sena + senb = 2 sen [(A+B)/2] cos [(A-B)/2] (A + B)/2 = k ; (A - B)/2 = - ωt y R = 2 y o sen k cos ωt Quando a corda tem as etremidades fias, nos pontos fios a amplitude da onda deve ser nula. O primeiro modo de vibração de uma corda de comprimento L com as duas etremidades fias. L = λ/2 29

30 O segundo modo de vibração ventre ventre nó L = 2 λ/2 O terceiro modo de vibração L= 3λ/2 30

31 Modos normais de vibração de uma corda presa nas etremidades. L = n λ / 2 λ = 2 L / n sendo v = ω / k = λ / T = λ f As freqüências correspondentes aos modos normais são: f n = n v / 2L n =1,2,3,4 Caso de uma corda com somente uma das etremidades presa L L= λ /4 L= 3λ /4 Número ímpar de λ/4 31

32 Modos normais de vibração da corda com uma etremidade presa L = (2n+1) λ / 4 λ n = 4 L / (2n+1) f n = (2n+1) v / 4L n= 0,1,2,3,4 32

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