Mecânica Newtoniana: Trabalho e Energia
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- Martim Brandt Domingues
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1 Mecânica Newtoniana: Trabalho e Energia 2018 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. E-ail: walter@azevedolab.net 1
2 Trabalho Realizado por Ua Força Constante Considereos o sistea abaio, onde teos ua força constante (F) aplicada a u bloco de assa que está nua superfície se atrito. y F θ 2
3 Trabalho Realizado por Ua Força Constante O bloco apresenta u deslocaento (Δ). y F Δ θ 3
4 Trabalho Realizado por Ua Força Constante A força (F) faz u ângulo θ co a horizontal. y F Δ θ 4
5 Trabalho Realizado por Ua Força Constante Para ua força F constante, teos a coponente F ao longo do deslocaento (Δ), coo indicado abaio. y F F Δ θ 5
6 Trabalho Realizado por Ua Força Constante A coponente horizontal da força te a seguinte epressão: F = F.cosθ. y F θ F = F.cosθ Δ 6
7 Trabalho Realizado por Ua Força Constante Para ua força F constante, o trabalho (W) realizado por esta força é igual à coponente da força no sentido do deslocaento (F.cosθ) vezes a agnitude do deslocaento (Δ). y F θ F = F.cosθ Δ W = F.cosθ.Δ 7
8 Trabalho Realizado por Ua Força Constante Coo podeos ver, o trabalho (W) é ua grandeza escalar, que te unidades de N., chaada de Joule (J). y F θ F = F.cosθ Δ W = F.cosθ.Δ 8
9 Trabalho Realizado por Ua Força Constante Considerando-se u sistea co diversas forças que atua sobre o bloco, teos que o trabalho total (W total ) é dado pela coponente da força resultante (F res ) ao longo do deslocaento (Δ), coo indicado abaio. y F res θ F res =F res.cosθ Δ W Total = F res.cosθ.δ 9
10 Teorea do Trabalho-Energia Cinética O sistea abaio te ua energia devido ao oviento, chaada de energia cinética (K). Alé da energia cinética, o bloco te ua energia potencial, devido à sua posição. De ua fora geral, podeos dizer que a energia de u sistea é ua edida da sua habilidade de realizar trabalho. y F res θ F res =F res.cosθ Δ W Total = F res.δ = F res.cosθ.δ 10
11 Teorea do Trabalho-Energia Cinética Considerando-se que o sistea abaio te aceleração constante (a ), podeos epressar sua velocidade final (v f ) e função da velocidade inicial (v i ), aceleração (a ) e deslocaento (Δ) pela epressão abaio. v f2 = v i2 + 2a Δ => y F res θ F res =F res.cosθ Δ W Total = F res.δ = F res.cosθ.δ 11
12 Teorea do Trabalho-Energia Cinética Da segunda lei de Newton, sabeos que a projeção da força resultante (F res ) é o produto da assa pela aceleração (a ), assi teos: v f2 = v i2 + 2a Δ => (1) y F res Δ θ F res =F res.cosθ W Total = F res.δ = a Δ (2) 12
13 Teorea do Trabalho-Energia Cinética Podeos substituir a equação (1) na equação (2), coo segue: (1) y F res Δ θ F res =F res.cosθ W Total = F res.δ = a Δ = 13
14 Teorea do Trabalho-Energia Cinética Assi teos que o trabalho é a variação da energia cinética. A energia te a esa unidade do trabalho, Joule. (1) y F res θ F res =F res.cosθ Δ W Total = F res.δ = a Δ = = W Total = = K f K i = ΔK 14
15 Trabalho Realizado por Ua Força Constante Abaio teos o gráfico da força (F ) e função da posição (). F Δ
16 Trabalho Realizado por Ua Força Constante O trabalho (W) realizado pela força (F ) é a área sobreada sob a reta no intervalo entre 1 e 2, coo indicado abaio. F W = F.Δ Δ
17 Trabalho Realizado por Ua Força Variável Quando teos ua força variável, coo a indicada abaio, ainda teos que o trabalho é dado pela área sob a curva. O desafio é deterinaros a área. F Δ i
18 Trabalho Realizado por Ua Força Variável Se pegaros u deslocaento infinitesial (Δ i ), podeos considerar, co boa aproiação, que a força (F i ) é aproiadaente constante neste intervalo, coo indicado. F F i Δ i
19 Trabalho Realizado por Ua Força Variável Assi, no pequeno retângulo e destaque, o trabalho infinitesial (W i ) é dado por: F W i = F i. Δ i F i Δ i
20 Trabalho Realizado por Ua Força Variável Podeos pensar que área sob a curva é a soa de todos os trabalhos (W i ) quando o deslocaento (Δ i ) é be pequeno. F W i = F i. Δ i F i Δ i
21 Trabalho Realizado por Ua Força Variável Usando a linguage do cálculo, teos que o deslocaento (Δ i ) tende a zero, assi a soatória dos trabalhos infinitesiais nos dá a área sob a curva. F F i Δ i
22 Trabalho Realizado por Ua Força Variável O liite da soatória nos dá a área sob a curva, que é o trabalho (W) realizado pela força variável (F ). F F i Δ i
23 Trabalho Realizado por Ua Força Variável No cálculo, chaaos este liite de integral, indicado abaio. F F i Δ i
24 Trabalho Realizado por Ua Mola U sistea assa-ola apresenta ua força variável co o deslocaento, coo indicado pela equação abaio. Vaos deterinar o trabalho (W) realizado por ua ola. i F = -k 24
25 Trabalho Realizado por Ua Mola Vaos considerar u oviento geral, onde o bloco ligado à ola, realiza u oviento da posição i até a posição f. i f F = -k 25
26 Trabalho Realizado por Ua Mola O trabalho é calculado a partir da integral da força da posição i até a posição f, coo indicado abaio. i f F = -k 26
27 Trabalho Realizado por Ua Mola Substituindo-se a epressão da força na integral, teos: i f F = -k 27
28 Trabalho Realizado por Ua Mola O valor da constante elástica da ola (k) não varia, assi pode ser tirada da integral. i f F = -k 28
29 Trabalho Realizado por Ua Mola O resultado da integral de d é 2 /2, assi teos: i f F = -k 29
30 Trabalho Realizado por Ua Mola Deterinaos para os etreos. i f F = -k 30
31 Trabalho Realizado por Ua Mola Continuando, teos o trabalho realizado pela ola. i f F = -k 31
32 Aplicações Eeplo 1. U bloco de 4 kg está sobre ua esa se atrito e preso a ua ola horizontal co k = 400 N/. A ola é inicialente copriida de 5 c. Encontre (a) o trabalho realizado sobre o bloco pela ola enquanto o bloco se ove de 1 = -5 c até sua posição de equilíbrio 2 = 0 c, e (b) a velocidade do bloco e 2 = 0 c. TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 32
33 Aplicações Solução. Inicialente a ola está copriida de 5 c. 1 = -5 c 33
34 Aplicações Solução. Depois desloca-se para a posição de equilíbrio e 0 c. 1 = -5 c 2 = 0 c v 2 34
35 Aplicações Solução. (a) O trabalho realizado sobre o bloco pela ola é a integral de F d de 1 até 2, coo indicado abaio. 1 = -5 c 2 = 0 c v 2 35
36 Aplicações Solução. (a) Substituindo-se os valores nuéricos, teos: 1 = -5 c 2 = 0 c v 2 36
37 Aplicações Solução. (b) Aplicando-se o teorea do trabalho-energia cinética, teos: 1 = -5 c 2 = 0 c v 2 37
38 Forças Conservativas e Não-Conservativas Considere u teleférico que sobe ua ontanha de altura h. U esquiador sai da altura zero e é levado até o topo da ontanha pelo teleférico. No percurso de subida, o trabalho realizado sobre o esquiador pela força gravitacional é gh, onde é a assa do esquiador. Vaos supor que o esquiador retornou à base da ontanha (altura h = 0) esquiando, o trabalho realizado pela força gravitacional é +gh. O trabalho total realizado sobre o esquiador pela força gravitacional é zero, independente da trajetória. Nesta situação, onde o trabalho total realizado depende apenas das posições inicial e final do corpo, e não do cainho percorrido, a força que realiza trabalho é chaada de força conservativa. h TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 38
39 Forças Conservativas e Não-Conservativas Ua força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre ua partícula é zero quando a partícula percorre qualquer cainho fechado, retornando à sua posição inicial. h TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 39
40 Forças Conservativas e Não-Conservativas Considere u deslocaento de u bloco sobre ua superfície co atrito, do ponto A até o ponto B e linha reta. Depois o bloco é epurrado de volta do ponto B para o ponto A. O atrito se opõe ao oviento, assi a força aplicada para o deslocaento do corpo é positiva e abos os trechos, de fora que o trabalho total realizado pela força que epurra o bloco não é nulo. Esta força é dita não-conservativa. TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 40
41 Função Energia Potencial Ireos considerar o eso eeplo do esquiador que sobe a ontanha de teleférico e desce esquiando. Analisareos este sistea para introduziros o conceito de função energia potencial (U) associada a ua força conservativa. h TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 41
42 Função Energia Potencial Considere o sistea esquiador-terra coo u sistea de duas partículas. Quando o teleférico leva o esquiador para o topo da ontanha, ele realiza trabalho sobre o sistea, +gh. Este trabalho é arazenado na fora de energia potencial gravitacional do sistea esquiador-terra. Quando o esquiador desce a ontanha esquiando, esta energia potencial (gh) é transforada e energia cinética (v 2 /2). Note que na descida o trabalho realizado pela força gravitacional diinui a energia potencial do sistea. gh v 2 /2 h TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 42
43 Função Energia Potencial Definios a função energia potencial (U) de fora que o trabalho realizado por ua força conservativa é igual à diinuição da função energia potencial (-ΔU), coo segue: De fora alternativa, teos: 2 W = න F. Ԧ dԧl = U 1 2 U = U 2 U 1 = න F. Ԧ dԧl 1 Esta equação fornece a variação da energia potencial devida a ua variação da configuração do sistea quando u corpo se ove do ponto 1 para u ponto 2. Para u deslocaento infinitesial dԧl, a variação da energia potencial (du) é dada por: du = ԦF. dԧl 43
44 Energia Potencial Gravitacional Considerando u deslocaento infinitesial dԧl, vios que a variação da energia potencial (du) é dada por: du = ԦF. dԧl Podeos calcular a energia potencial associada à força gravitacional próios à superfície da Terra. Para a força ԦF = gj, Ƹ teos: onde usaos: j. Ƹ i Ƹ = jk Ƹ = 0 e j. Ƹ j Ƹ = 1 Integrando, obteos: du = ԦF. dԧl = gj Ƹ. di Ƹ + dyj Ƹ + dzk = ghdy U = න gdy = gy + U 0 U = U 0 + gy onde U 0, a constante de integração arbitrária, é o valor da energia potencial e y = 0. 44
45 Energia Potencial Elástica Podeos calcular a energia potencial elástica associada à força eercida pela ola. i = 0 1 Para a força ԦF = ki, Ƹ teos: onde usaos: i. Ƹ j Ƹ = ik Ƹ = 0 e i. Ƹ i Ƹ = 1 du = ԦF. dԧl = ki Ƹ. di Ƹ + dyj Ƹ + dzk = kd 45
46 Energia Potencial Elástica Podeos calcular a energia potencial elástica associada à força eercida pela ola. i = 0 1 Integrando, obteos: U = න kd = 1 2 k2 + U 0 U = U k2 onde U 0, a constante de integração arbitrária, é o valor da energia potencial e = 0. 46
47 Conservação da Energia Mecânica O trabalho total (W total ) realizado por todas as forças que atua sobre u sistea é igual ao trabalho realizado por todas as forças eternas (W et ), ais o trabalho realizado por todas as forças internas não-conservativa (W nc ), ais aquele realizado por todas as forças conservativas (W c ), Rearranjando-se os teros, teos: W total = W et + W nc + W c W et + W nc = W total - W c W c é a variação da energia potencial do sistea (ΔU sis ), assi teos: W et + W nc = W total + ΔU sis Sabeos que: W total = ΔK sis, o que leva à seguinte epressão: W et + W nc = ΔK sis + ΔU sis = Δ (K sis + U sis ) 47
48 Conservação da Energia Mecânica A soa da energia cinética do sistea (K sis ) co a energia potencial do sistea (U sis ) é a energia ecânica total do sistea (E ec ), E ec = K sis + U sis Assi: W et + W nc = ΔK sis + ΔU sis = ΔE ec W et = ΔE ec - W nc (Teorea do Trabalho-Energia para Sisteas) A energia ecânica de u sistea é conservada se o trabalho total realizado por todas as forças eternas e por todas as forças internas não conservativas é zero. ΔE ec = 0 E ec = K sis + U sis = constante 48
49 Conservação da Energia Mecânica Se E ec i é a energia ecânica inicial do sistea e E ec f é a energia ecânica final do sistea, teos: E ec i = E ec f ou seja E ec i = K sis i + U sis i = E ec f = K sis f + U sis f K sis i + U sis i = K sis f + U sis f A aplicação da conservação da energia ecânica nos perite resolver probleas que seria de difícil resolução por eio da aplicação direta das leia de Newton. 49
50 Aplicações Eeplo 2. Considere u esquiador coo velocidade inicial zero e altura inicial h i, coo indicado na figura abaio. Considere o atrito desprezível e a resistência do ar nula. Deterine a velocidade (v) quando o esquiador estiver a ua altura h, abaio da altura inicial (h i ). Ԧv h h i TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 50
51 Aplicações Solução: A energia ecânica do sistea esquiador-terra é conservada, visto que a única força que atua no sistea é a força gravitacional que é conservativa. Se escolheros U = 0 na base da ontanha, a energia potencial no topo da ontanha é gh i. Quando o esquiador atingir a altura h, sua energia potencial será gh e terá energia cinética (1/2)v 2, a partir da conservação da energia ecânica teos: E ec i = E ec f gh i = gh v2 Ԧv h h i TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 51
52 Aplicações Solução: A energia ecânica do sistea esquiador-terra é conservada, visto que a única força que atua no sistea é a força gravitacional que é conservativa. Se escolheros U = 0 na base da ontanha, a energia potencial no topo da ontanha é gh i. Quando o esquiador atingir a altura h, sua energia potencial será gh e terá energia cinética (1/2)v 2, a partir da conservação da energia ecânica teos: E ec i = E ec f gh i = gh v2 gh i = gh v2 Ԧv h h i TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 52
53 Aplicações Solução: Isolando-se a velocidade (v), teos: gh i = gh v2 1 2 v2 = gh i gh v 2 = 2g(h i h) v = 2g(h i h) Ԧv h i h TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. 53
54 Aplicações Eeplo 3. Considere u bloco de 2,0 kg sobre ua superfície horizontal se atrito que é epurrado contra ua ola co constante elástica de 500 N/. A ola sofre ua copressão de 20 c. O bloco é liberado. Depois, o bloco desliza ao longo de ua superfície e sobe u plano inclinado co u ângulo de 45 º co a horizontal. Qual a distância (s) que o bloco percorre rapa acia até atingir oentaneaente o repouso. 54
55 Aplicações Solução: Abaio teos o digraa esqueático do sistea. i = -20 c s 45 o h 55
56 Aplicações Solução: Aplicando-se o teorea do trabalho-energia para o sistea, teos: E ec i = E ec f 1 2 k2 = gh i = -20 c s 45 o h 56
57 Aplicações Solução: Isolando-se a altura, teos: 1 2 k2 = gh h = k2 2g i = -20 c s 45 o h 57
58 Aplicações Solução: Isolando-se a altura, teos: 1 2 k2 = gh h = k2 = 500.(0,2)2 2g 2.2.9,8 = 20 39,2 = 0,51 i = -20 c s 45 o h 58
59 Aplicações Solução: Analisando-se a geoetria do sistea, teos: h = s. sen 45 o s = h = 0,51 sen(45 o ) 2 2 = 0,72 i = -20 c s 45 o h 59
60 Referências Bibliográficas TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. Últia atualização e: Acesso e: 07 de aio de
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