UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

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Pedro Lucas Amarante Antas
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1 NOTA DE AULA 01 UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 0) Coordenador: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo CAPÍTULO 16 OSCILAÇÕES 1. Oscilações Os ovientos que se repete são chaados de oscilações e estaos rodeados pelos esos. É o caso das cordas de violão, tabores, sinos, diafragas de telefones, sisteas de autofalantes, cristais de quartzo e relógio de pulso, etc. neste capítulo será abordado o coportaento desse fenôenos da natureza.. Moviento Harônico Siples Ua grandeza iportante no (MHS) oviento oscilatório é a freqüência, ou núero de oscilações copletadas a cada segundo. O síbolo é f e a unidade é o hertz (hz), onde: 1 hertz = 1 hz = 1 oscilação por segundo = 1 S -1 O período é o tepo necessário para ua oscilação copleta, ou seja: T = 1 f U oviento harônico siples é u oviento que obedece à relação: onde, x( t) = x cos( ωt, x aplitude: posição áxia do corpo ω - freqüência angular φ constante de fase t tepo

2 Nota de Aula I FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 0 Nota-se que esta equação horária te e coportaento senoidal. Assi, após percorrido u tepo equivalente ao período T, o corpo assue novaente a posição original. Então: x cosωt = x cos ω( t + T ) coo o período do cosseno é π, te-se: ω( t + T ) = ωt + π ω = π / T = π f A unidade da freqüência angular é o rad/seg. A VELOCIDADE NO MHS A velocidade de u oviento é obtida derivando-se a equação horária no tepo. Então: dx( t) d v( t) = = ( x cos ( ωt ) v( t) = ω x sen( ωt A grandeza ω x é a aplitude da velocidade, ou velocidade áxia. A Aceleração no MHS Para se obter a aceleração basta derivar a velocidade no tepo, ou seja: dv( t) d a( t) = = ( ωx sen( ωt ) a t x t ( ) = ω cos( ω onde ω x é a aceleração áxia da partícula. O gráfico a seguir ostra o coportaento da posição, velocidade e aceleração para u MHS.

3 03 Nota de Aula I CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES 3. Lei da Força para o Moviento Harônico Siples. Pode-se copreender o oviento harônico siples a partir do sistea assa-ola, representado na figura a seguir: Figura 01 O diagraa de corpo livre do bloco de assa indica as forças atuantes no eso: r F = xiˆ N r P r Fig.0 Na direção horizontal a força resultante é a força que a ola exerce no bloco. O sinal negativo indica ua força restauradora. Então:

4 Nota de Aula I FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 04 F res. a = x res d x = x. = x d x + 0 x = A últia equação é a eq. Diferencial do sistea assa-ola. Adotando a eq. Horária do MHS coo a solução desta e.d., te-se: x( t) = x cos( ωt d x ω xcos( ωt φ) = + substituindo as relações anteriores na e.d. te-se: ω x ω t φ ( + ) cos( + ) = 0 que resulta e: ω + = ω = 0 Assi obteos a freqüência angular para o (hs, e por tabé o) sistea assa-ola, e tabé o período: T = π

5 05 Nota de Aula I CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES 4. Energia no Moviento Harônico siples A energia ecânica associada a u oviento qualquer é resultado da adição das energias potencial e cinética. Para u oscilador harônico do tipo assa-ola a energia potencial e cinética são dadas por: 1 1 = = cos ( 1 1 K t v x sen t U x x ωt ( ) = = ω ( ω usando ω = /, obté-se para a energia ecânica: E = U + K 1 1 = cos ( ω + ( ω 1 = x E x t x sen t E A energia total desse sistea é constante, confore figura a seguir: Fig U Oscilador Harônico Siples Angular O oscilador harônico siples angular é constituído de u disco suspenso por u fio co ua constante de torça K.

6 Nota de Aula I FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 06 Ele é posto para oscilar na fora angular. Esse dispositivo é chaado de pêndulo de torção. O torque restaurador é dado por coo τ = θ τ = Iα = d θ I, te-se d θ I = θ d θ + θ = 0 I A últia relação é a equação diferencial do pêndulo de torção. Por analogia co a e.d. do sistea assa ola te-se: e θ ( t) = θ cos( ωt T = π w = I I 6. Pêndulos Pêndulos Siples O pêndulo siples é u dispositivo constituído de u fio inextensível e de assa desprezível, que sustenta u corpo de assa que oscila e u plano co ângulos de abertura inferiores a 5º, confore figura a seguir:

7 07 Nota de Aula I CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES Neste caso, o torque restaurador é dado por: τ = l. P senθ d θ I = lg senθ Para ângulo enores que 5º te-se que senθ θ considerando o oento de inércia coo I =. l te-se: d θ l = lgθ d θ g + = 0 l Tabé por analogia co o MHS ve: θ = θ cos( ωt l T = π g

8 Nota de Aula I FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 08 O Pêndulo Físico Considera-se coo pêndulo físico u corpo suspenso por u ponto qualquer e que oscila e torno de ua posição de equilíbrio. Por analogia co o pêndulo siples te-se: ou τ = P. h senθ r d θ I = Phθ d θ gd + θ = θ I Assi T = π θ = θ cos( ωt I gd (a) 7. Moviento Harônico Siples e Moviento Circular Unifore. Pode-se obter as relações do MHS a partir do oviento circular unifore. Então, seja o oviento circular da partícula P executado e u círculo de raio x. E u instante t a partícula percorreu u ângulo ωt + φ. Então (b) x( t) cos( ωt = x x( t) = x cos( ωt A relação anterior é a eq. Horária do MHS. A figura(b) ostra o coportaento da velocidade tangencial da partícula. A sua coponente horizontal será dada por: (c)

9 09 Nota de Aula I CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES vx sen( ωt = v v = v( t) = vsen( ωt x O sinal negativo indica que a velocidade está e sentido contrário ao da orientação positiva do eixo x. E u oviento circular, a velocidade tangencial é dada por v = ωr = ωx. Então v( t) = ωx sen( ωt A partir da figura (c) obté-se a aceleração para o MHS. a t x t ( ) = ω cos( ω Moviento Harônico Siples Aortecido E u oviento harônico aortecido o oviento harônico siples sofre ua força externa que tende a reduzi-lo. Coo exeplo cita-se o caso de u sistea assa-ola acoplado a ua pá que está iersa na água. Neste caso a força que a água exerce na pá será: Fd = bv, onde b é ua constante de aorteciento. Para este sistea te-se: F = x bv res a = x bv sendo a = d x / ve: d x dx + + = 0 b x

10 Nota de Aula I FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 010 A solução desta eq. Diferencial é dado por: onde x t x e t bt / ' ( ) = cos( ω ' ω = b 4

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