Física Geral I. 1º semestre /05. Indique na folha de teste o tipo de prova que está a realizar: A, B ou C

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1 Física Geral I 1º seestre /05 EXAME - ÉPOCA NORMAL ENSINO DE FÍSICA E QUÍMICA OPTOMETRIA E OPTOTECNIA - FÍSICA APLICADA 26 de Janeiro 2005 Duração: 2 horas + 30 in tolerância Indique na folha de teste o tipo de prova que está a realizar: A, B ou C Nas prieiras seis perguntas de escolha últipla, indique apenas ua das opções. MOMENTOS DE INÉRCIA DE ALGUNS SÓLIDOS, RELATIVAMENTE AOS EIXOS INDICADOS R R R 1 R 2 R L R L Anel e torno do eixo de sietria cilíndrica Anel e torno du eixo ao longo do diâetro Cilindro oco e torno do eixo de sietria cilíndrica Cilindro aciço e torno do eixo de sietria cilíndrica Cilindro aciço e torno du eixo que passa pelo diâetro central MR MR M(R 1 + R ) 2 2 MR MR + ML 4 12 L L 2R 2R b a Esfera oca fina e torno du eixo que passa pelo centro MR Esfera aciça e torno du eixo que passa pelo centro MR Barra fina e torno du eixo ao copriento e que passa pelo centro 1 MR 2 12 Barra fina e torno du eixo ao copriento e que passa pela extreidade MR Placa rectangular e torno do eixo que passa pelo centro M(a + b ) 12

2 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae A FÍSICA GERAL I UBI 1 CONSTANTES FÍSICAS E OUTROS DADOS Constante Síbolo Valor velocidade da luz no vácuo c 3, /s unidade de assa atóica u 1, kg constante de Avogadro N A 6, assa do electrão e repouso e 9, kg assa do protão e repouso p 1, kg assa do neutrão e repouso n 1, kg aceleração da gravidade à superfície da Terra g 9, 81 /s 2 assa da Terra 5, kg raio édio da Terra 6, ESCOLHA MÚLTIPLA 1. U estudante, à beira de u penhasco de altura h, atira ua prieira bola co ua deterinada velocidade, v o, dirigida verticalente para cia. Seguidaente, da esa posição, atira ua segunda bola, idêntica à prieira, co a esa velocidade, v o, dirigida verticalente para baixo (ver Figura). Despreze qualquer força de atrito. Qual das bolas atinge o solo co aior velocidade? (a) A prieira. (b) A segunda. (c) As bolas atinge o solo co a esa velocidade. (d) Nada podeos concluir pois o valor de h não é conhecido. v o v o h

3 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae A FÍSICA GERAL I UBI 2 2. Considere u bloco de assa e cia de u outro bloco. Este conjunto está algures sobre a superfície da Terra (ver Figura). Todos os vectores força indicados na Figura vale g e representa correctaente alguas das forças que actua nos corpos e questão. E qual das situações, as duas forças representadas, constitue u par acção-reacção? (a) (b) (c) (d) 3. U bloco de assa, executa u oviento descendente co aceleração constante, a, ao longo de u plano inclinado que faz u ângulo θ co a horizontal (ver Figura). Existe atrito entre o bloco e o plano, sendo o coeficiente de atrito cinético igual a µ c. A aceleração, a, do bloco é, a (a) (sin θ µ c cos θ) g. ( (b) 1 µ ) c g. tan θ (c) (sin θ µ c ) g. (d) (1 µ c ) g. θ 4. A Terra te u período de rotação e torno do Sol de 365, 24 dias. Sendo o raio édio da órbita terrestre de 1, k, a aceleração centrípeta édia, a c, que a Terra está sujeita é (a) 1, /s 2. (b) 9, /s 2. (c) 5, /s 2. (d) 29, /s 2. a c

4 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae A FÍSICA GERAL I UBI 3 5. Considere ua colisão entre u bloco de assa, co ua velocidade inicial de 35 /s, e u segundo bloco de assa 2, inicialente e repouso (ver Figura - situação I). Após a colisão (situação II), a velocidade do bloco de assa é de 5, 0 /s. A velocidade, v f, do bloco de assa 2, após a colisão, é (a) 30 /s. (b) 20 /s. 35 /s 5 /s v f (c) 15 /s. (d) 10 /s. 2 2 I II 6. Considere ua ola de constante de elasticidade k = 25 N/ deslocada desde ua posição inicial de copressão (ver Figura - situação I), até ua posição de extensão (situação II). As distâncias ao ponto de equilíbrio, de copressão inicial e extensão final, são iguais e vale x = 30 c. O trabalho realizado pela força da ola, neste trajecto, é de (a) 2, 25 J. I II (b) 1, 13 J. (c) 0. (d) 1, 13 J. x posição de equilíbrio posição de equilíbrio x

5 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae A FÍSICA GERAL I UBI 4 PARTE PRÁTICA 7. U deterinado projéctil é lançado do solo, no instante t = 0, co ua velocidade, v o = 50, 0 /s, nua direcção que faz u ângulo θ = 67 co a horizontal (ver Figura). Tendo e consideração o referencial da Figura, deterine (a) o vector posição no instante t = 7, 00 s. (b) a altura áxia alcançada pelo projéctil. (c) o vector velocidade quando o projéctil atinge o solo, à esa altura do lançaento. y O v o θ x (3,5 valores) 8. Considere u corpo rígido coposto por cinco assas pontuais de valores indicados na Figura. Quatro dessas assas estão localizadas nos vértices de u quadrado de lado d, estando a quinta assa localizada no centro do quadrado. As referidas assas, estão ligadas entre si, através de hastes finas de assa desprezável (ver Figura). Tendo e consideração o referencial da Figura, deterine d (a) o vector centro de assa deste sistea de partículas. (b) a inércia rotacional deste sistea e torno du eixo perpendicular à página e que passa pela orige O. (c) a inércia rotacional segundo u eixo perpendicular à página e que passa pelo centro de assa do sistea. y 2 d O 3 x 3 Apresente o seu resultado e função da assa,, e a distância, d. (3,5 valores)

6 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae A FÍSICA GERAL I UBI 5 9. Considere u bloco de assa 1 2 que está sobre ua prancha de copriento d e assa. Este bloco encontra-se sobre a extreidade direita da prancha que, por sua vez, está apenas apoiada sobre dois pés. U destes pés encontra-se localizado na extreidade esquerda da prancha, enquanto o outro, encontra-se a ua distância 3 4 d, dessa esa extreidade (ver Figura). A prancha encontra-se e equilíbrio e não existe qualquer força de atrito entre os pés e a prancha, ou, entre o bloco e a prancha. Considere = 10, 0 kg. (a) Deterine a força que cada u dos pés exerce sobre a prancha. (b) Qual o aior valor de assa que o bloco pode ter, se que a prancha sáia do equilíbrio d 1 4 d (3,5 valores) 10. Considere ua roldana cilíndrica, de assa e raio R = 7, 00 c, co o seu eixo de rotação fixo. Nesta roldana passa u fio, se escorregar, de assa desprezável e co u bloco suspenso e cada ua das suas extreidades (ver Figura). O bloco da esquerda te assa 2 e o bloco da direita te assa. Considere que este sistea iniciou o oviento, a partir do repouso, no instante t = 0. (a) Deterine a aceleração co que os blocos se ove. (b) Deterine a velocidade angular no instante t = 7, 00 s. (c) Para o instante da alínea anterior deterine, relativaente ao ponto de partida, a distância percorrida pelo bloco da esquerda. 2,R (3,5 valores)

8 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae B FÍSICA GERAL I UBI 1 CONSTANTES FÍSICAS E OUTROS DADOS Constante Síbolo Valor velocidade da luz no vácuo c 3, /s unidade de assa atóica u 1, kg constante de Avogadro N A 6, assa do electrão e repouso e 9, kg assa do protão e repouso p 1, kg assa do neutrão e repouso n 1, kg aceleração da gravidade à superfície da Terra g 9, 81 /s 2 assa da Terra 5, kg raio édio da Terra 6, ESCOLHA MÚLTIPLA 1. U estudante, à beira de u penhasco de altura h, atira ua prieira bola co ua deterinada velocidade, v o, dirigida verticalente para cia. Seguidaente, da esa posição, atira ua segunda bola, idêntica à prieira, co a esa velocidade, v o, dirigida verticalente para baixo (ver Figura). Despreze qualquer força de atrito. Qual das bolas atinge o solo co aior velocidade? (a) As bolas atinge o solo co a esa velocidade. (b) A prieira. (c) A segunda. (d) Nada podeos concluir pois o valor de h não é conhecido. v o v o h

9 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae B FÍSICA GERAL I UBI 2 2. Considere u bloco de assa e cia de u outro bloco. Este conjunto está algures sobre a superfície da Terra (ver Figura). Todos os vectores força indicados na Figura vale g e representa correctaente alguas das forças que actua nos corpos e questão. E qual das situações, as duas forças representadas, constitue u par acção-reacção? (a) (b) (c) (d) 3. U bloco de assa, executa u oviento descendente co aceleração constante, a, ao longo de u plano inclinado que faz u ângulo θ co a horizontal (ver Figura). Existe atrito entre o bloco e o plano, sendo o coeficiente de atrito cinético igual a µ c. A aceleração, a, do bloco é, ( (a) 1 µ ) c g. tan θ (b) (sin θ µ c ) g. (c) (sin θ µ c cos θ) g. (d) (1 µ c ) g. θ a 4. A Terra te u período de rotação e torno do Sol de 365, 24 dias. Sendo o raio édio da órbita terrestre de 1, k, a aceleração centrípeta édia, a c, que a Terra está sujeita é (a) 29, /s 2. (b) 5, /s 2. (c) 9, /s 2. (d) 1, /s 2. a c

10 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae B FÍSICA GERAL I UBI 3 5. Considere ua colisão entre u bloco de assa, co ua velocidade inicial de 42 /s, e u segundo bloco de assa 2, inicialente e repouso (ver Figura - situação I). Após a colisão (situação II), a velocidade do bloco de assa é de 6, 0 /s. A velocidade, v f, do bloco de assa 2, após a colisão, é (a) 12 /s. (b) 18 /s. 42 /s 6 /s v f (c) 24 /s. (d) 36 /s. 2 2 I II 6. Considere ua ola de constante de elasticidade k = 25 N/ deslocada desde ua posição inicial de copressão (ver Figura - situação I), até ua posição de extensão (situação II). As distâncias ao ponto de equilíbrio, de copressão inicial e extensão final, são iguais e vale x = 50 c. O trabalho realizado pela força da ola, neste trajecto, é de (a) 3, 13 J. I II (b) 0. (c) 3, 13 J. (d) 6, 25 J. x posição de equilíbrio posição de equilíbrio x

11 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae B FÍSICA GERAL I UBI 4 PARTE PRÁTICA 7. U deterinado projéctil é lançado do solo, no instante t = 0, co ua velocidade, v o = 50, 0 /s, nua direcção que faz u ângulo θ = 67 co a horizontal (ver Figura). Tendo e consideração o referencial da Figura, deterine (a) o vector posição no instante t = 7, 00 s. (b) a altura áxia alcançada pelo projéctil. (c) o vector velocidade quando o projéctil atinge o solo, à esa altura do lançaento. y O v o θ x (3,5 valores) 8. Considere u corpo rígido coposto por cinco assas pontuais de valores indicados na Figura. Quatro dessas assas estão localizadas nos vértices de u quadrado de lado d, estando a quinta assa localizada no centro do quadrado. As referidas assas, estão ligadas entre si, através de hastes finas de assa desprezável (ver Figura). Tendo e consideração o referencial da Figura, deterine d (a) o vector centro de assa deste sistea de partículas. (b) a inércia rotacional deste sistea e torno du eixo perpendicular à página e que passa pela orige O. (c) a inércia rotacional segundo u eixo perpendicular à página e que passa pelo centro de assa do sistea. y 2 d O 3 x 3 Apresente o seu resultado e função da assa,, e a distância, d. (3,5 valores)

12 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae B FÍSICA GERAL I UBI 5 9. Considere u bloco de assa 1 2 que está sobre ua prancha de copriento d e assa. Este bloco encontra-se sobre a extreidade direita da prancha que, por sua vez, está apenas apoiada sobre dois pés. U destes pés encontra-se localizado na extreidade esquerda da prancha, enquanto o outro, encontra-se a ua distância 3 4 d, dessa esa extreidade (ver Figura). A prancha encontra-se e equilíbrio e não existe qualquer força de atrito entre os pés e a prancha, ou, entre o bloco e a prancha. Considere = 10, 0 kg. (a) Deterine a força que cada u dos pés exerce sobre a prancha. (b) Qual o aior valor de assa que o bloco pode ter, se que a prancha sáia do equilíbrio d 1 4 d (3,5 valores) 10. Considere ua roldana cilíndrica, de assa e raio R = 7, 00 c, co o seu eixo de rotação fixo. Nesta roldana passa u fio, se escorregar, de assa desprezável e co u bloco suspenso e cada ua das suas extreidades (ver Figura). O bloco da esquerda te assa 2 e o bloco da direita te assa. Considere que este sistea iniciou o oviento, a partir do repouso, no instante t = 0. (a) Deterine a aceleração co que os blocos se ove. (b) Deterine a velocidade angular no instante t = 7, 00 s. (c) Para o instante da alínea anterior deterine, relativaente ao ponto de partida, a distância percorrida pelo bloco da esquerda. 2,R (3,5 valores)

14 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae C FÍSICA GERAL I UBI 1 CONSTANTES FÍSICAS E OUTROS DADOS Constante Síbolo Valor velocidade da luz no vácuo c 3, /s unidade de assa atóica u 1, kg constante de Avogadro N A 6, assa do electrão e repouso e 9, kg assa do protão e repouso p 1, kg assa do neutrão e repouso n 1, kg aceleração da gravidade à superfície da Terra g 9, 81 /s 2 assa da Terra 5, kg raio édio da Terra 6, ESCOLHA MÚLTIPLA 1. U estudante, à beira de u penhasco de altura h, atira ua prieira bola co ua deterinada velocidade, v o, dirigida verticalente para cia. Seguidaente, da esa posição, atira ua segunda bola, idêntica à prieira, co a esa velocidade, v o, dirigida verticalente para baixo (ver Figura). Despreze qualquer força de atrito. Qual das bolas atinge o solo co aior velocidade? (a) Nada podeos concluir pois o valor de h não é conhecido. (b) A prieira. (c) A segunda. (d) As bolas atinge o solo co a esa velocidade. v o v o h

15 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae C FÍSICA GERAL I UBI 2 2. Considere u bloco de assa e cia de u outro bloco. Este conjunto está algures sobre a superfície da Terra (ver Figura). Todos os vectores força indicados na Figura vale g e representa correctaente alguas das forças que actua nos corpos e questão. E qual das situações, as duas forças representadas, constitue u par acção-reacção? (a) (b) (c) (d) 3. U bloco de assa, executa u oviento descendente co aceleração constante, a, ao longo de u plano inclinado que faz u ângulo θ co a horizontal (ver Figura). Existe atrito entre o bloco e o plano, sendo o coeficiente de atrito cinético igual a µ c. A aceleração, a, do bloco é, a (a) (1 µ c ) g. (b) (sin θ µ c cos θ) g. ( (c) 1 µ ) c g. tan θ (d) (sin θ µ c ) g. θ 4. A Terra te u período de rotação e torno do Sol de 365, 24 dias. Sendo o raio édio da órbita terrestre de 1, k, a aceleração centrípeta édia, a c, que a Terra está sujeita é (a) 1, /s 2. (b) 9, /s 2. (c) 5, /s 2. (d) 29, /s 2. a c

16 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae C FÍSICA GERAL I UBI 3 5. Considere ua colisão entre u bloco de assa, co ua velocidade inicial de 49 /s, e u segundo bloco de assa 2, inicialente e repouso (ver Figura - situação I). Após a colisão (situação II), a velocidade do bloco de assa é de 7, 0 /s. A velocidade, v f, do bloco de assa 2, após a colisão, é (a) 42 /s. (b) 28 /s. 49 /s 7 /s v f (c) 21 /s. (d) 14 /s. 2 2 I II 6. Considere ua ola de constante de elasticidade k = 25 N/ deslocada desde ua posição inicial de copressão (ver Figura - situação I), até ua posição de extensão (situação II). As distâncias ao ponto de equilíbrio, de copressão inicial e extensão final, são iguais e vale x = 10 c. O trabalho realizado pela força da ola, neste trajecto, é de (a) 0, 25 J. I II (b) 0, 13 J. (c) 0, 13 J. (d) 0. x posição de equilíbrio posição de equilíbrio x

17 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae C FÍSICA GERAL I UBI 4 PARTE PRÁTICA 7. U deterinado projéctil é lançado do solo, no instante t = 0, co ua velocidade, v o = 50, 0 /s, nua direcção que faz u ângulo θ = 67 co a horizontal (ver Figura). Tendo e consideração o referencial da Figura, deterine (a) o vector posição no instante t = 7, 00 s. (b) a altura áxia alcançada pelo projéctil. (c) o vector velocidade quando o projéctil atinge o solo, à esa altura do lançaento. y O v o θ x (3,5 valores) 8. Considere u corpo rígido coposto por cinco assas pontuais de valores indicados na Figura. Quatro dessas assas estão localizadas nos vértices de u quadrado de lado d, estando a quinta assa localizada no centro do quadrado. As referidas assas, estão ligadas entre si, através de hastes finas de assa desprezável (ver Figura). Tendo e consideração o referencial da Figura, deterine d (a) o vector centro de assa deste sistea de partículas. (b) a inércia rotacional deste sistea e torno du eixo perpendicular à página e que passa pela orige O. (c) a inércia rotacional segundo u eixo perpendicular à página e que passa pelo centro de assa do sistea. y 2 d O 3 x 3 Apresente o seu resultado e função da assa,, e a distância, d. (3,5 valores)

18 Exae - Época Noral 26.Janeiro Exae C FÍSICA GERAL I UBI 5 9. Considere u bloco de assa 1 2 que está sobre ua prancha de copriento d e assa. Este bloco encontra-se sobre a extreidade direita da prancha que, por sua vez, está apenas apoiada sobre dois pés. U destes pés encontra-se localizado na extreidade esquerda da prancha, enquanto o outro, encontra-se a ua distância 3 4 d, dessa esa extreidade (ver Figura). A prancha encontra-se e equilíbrio e não existe qualquer força de atrito entre os pés e a prancha, ou, entre o bloco e a prancha. Considere = 10, 0 kg. (a) Deterine a força que cada u dos pés exerce sobre a prancha. (b) Qual o aior valor de assa que o bloco pode ter, se que a prancha sáia do equilíbrio d 1 4 d (3,5 valores) 10. Considere ua roldana cilíndrica, de assa e raio R = 7, 00 c, co o seu eixo de rotação fixo. Nesta roldana passa u fio, se escorregar, de assa desprezável e co u bloco suspenso e cada ua das suas extreidades (ver Figura). O bloco da esquerda te assa 2 e o bloco da direita te assa. Considere que este sistea iniciou o oviento, a partir do repouso, no instante t = 0. (a) Deterine a aceleração co que os blocos se ove. (b) Deterine a velocidade angular no instante t = 7, 00 s. (c) Para o instante da alínea anterior deterine, relativaente ao ponto de partida, a distância percorrida pelo bloco da esquerda. 2,R (3,5 valores)

19 SOLUÇÃO ESCOLHA MÚLTIPLA 1. As bolas atinge o solo co a esa velocidade. Isto pode ser provado através das equações da cineática ou, ais facilente, através das equações da energia. O sistea "bola"durante o voo está apenas sujeito à força gravítica (ua força conservativa), logo podeos afirar que a energia ecânica do sistea conserva-se. Considerando que o zero para a energia potencial gravítica encontra-se no solo, a energia ecânica do sistea quando as bolas inicia o oviento é T i + U i = 1 2 v2 o + g h e que T i é a energia cinética inicial, e U i é a energia potencial gravítica ( g z) da bola no instante inicial. A energia ecânica quando as bolas atinge o solo é, T f + U f = 1 2 v2 f. Dado que a energia ecânica conserva-se, podeos deterinar a velocidade das bolas no instante final T i + U i = T f + U f 1 2 v2 o + g h = 1 2 v2 f v f = vo g h. Estas equações, que não depende da direcção do vector velocidade as apenas da sua intensidade, aplica-se tanto para a prieira bola coo para a segunda, o que significa que as bolas chega ao solo co esa velocidade. Detalhadaente, a prieira bola parte co velocidade v o dirigida para cia e te inicialente energia potencia gravítica e energia cinética. Quando atinge o sua altura áxia a sua energia cinética inicial foi transferida na sua totalidade para u acréscio de energia potencial (a bola ganhou altura). Seguidaente, na queda, passa pelo ponto de lançaento co a esa velocidade v o co que iniciou o oviento as desta vez o seu sentido foi invertido. Note-se que neste instante a prieira bola está exactaente nas esas condições do lançaento da segunda bola. Na parte final do trajecto da prieira bola e no trajecto integral da segunda bola, estas perde energia potencial gravítica ( g h) que é transferida para energia cinética, resultando no facto das bolas atingire o solo co a esa velocidade v f = vo g h. Teste A: Opção (c) Teste B: Opção (a) Teste C: Opção (d)

20 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 1 2. A única situação onde teos u par de forças acção-reacção é a situação (a) (para os teste A, B e C) onde estão representadas a força que a Terra exerce sobre o bloco de assa (aplicado no centro de assa do bloco) e a força que o bloco de assa exerce sobra a Terra (aplicada no centro de assa da Terra). Nas outras situações, teos os seguintes pares de força que não representa u para acção-reacção: (b): A força que o bloco de assa exerce sobre a Terra e a força que o bloco de assa exerce sobre o outro bloco; (c): A força que a Terra exerce sobre o bloco de assa e a força que o outro bloco exerce sobre o bloco de assa ; (d): A força que a Terra exerce sobre o bloco de assa e a força que o bloco de assa exerce sobre o outro bloco. (a) Opção (a). 3. O bloco de assa executa u oviento rectilíneo uniforeente acelerado devido à acção de três forças constante que actua no bloco ao longo do seu trajecto descendente sobre o plano inclinado. As forças que actua no bloco são noeadaente: y a força gravítica, g, de direcção vertical aplicada no centro de assa do bloco; x a força N, de reacção noral do plano inclinado sobre o bloco, co direcção perpendicular ao plano inclinado; a N Fa c a força de atrito cinético, F ac, que, ao contrariar o oviento, te direcção paralela ao plano e sentido ascendente. θ θ P Estas forças, representadas no diagraa de corpo livre (ver Figura), relaciona-se co a aceleração resultante no bloco através da 2 a lei de Newton, i.e, F = a F ac + N + g = a. De acordo co o referencial da Figura, teos que a 2 a lei de Newton verifica-se e cada u dos eixos ortogonais da seguinte fora: co a x = a e a y = 0. { N g cos θ = 0 g sin θ F ac = a. Adicionalente, a força de atrito cinético é directaente proporcional à reacção noral, sendo a constante de proporcionalidade µ c, ou seja

21 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 2 F ac = µ c N. Substituindo a expressão para a força de atrito no sistea de equações anterior é possível obter ua expressão para a aceleração resultante do bloco, confore e baixo indicado { { N = g cos θ g sin θ µ c N = a. N = g cos θ g sin θ µ c g cos θ = a. { N = g cos θ a = (sin θ µ c cos θ) g.. Teste A: Opção (a) Teste B: Opção (c) Teste C: Opção (b) 4. Considerando que o oviento da Terra pode ser aproxiado a u oviento circular unifore, de raio R T = 1, , e trono do Sol, podeos deterinar a sua aceleração centrípeta édia, a c, para este oviento. A aceleração centrípeta, a c, neste caso é dada por a c = ω 2 R T, onde ω representa velocidade angular da Terra e torno do Sol. Esta últia pode ser calculada a partir do período de rotação, τ, da Terra e torno do Sol, dada por τ = 365, 24 dias 24 horas 1 dia Assi, a velocidade angular da Terra é dada por ω = φ τ 60 in 1 hora 60 s 1 in = s. = 2π τ = 2 π , onde φ = 2 π representa o deslocaento angular da Terra ao fi de 1 ano. Finalente obteos Teste A: Opção (c) Teste B: Opção (b) Teste C: Opção (c) a c = ω 2 R T ( ) 2 φ = R T τ ( ) 2 2 π = , = 5, /s 2.

22 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 3 5. Neste exercício estaos perante ua colisão unidiensional entre dois blocos. Considerando que a colisão acontece nu intervalo de tepo relativaente pequeno, por fora a desprezar o efeito da acção de qualquer força externa, podeos afirar que a quantidade de oviento linear do sistea de blocos antes da colisão é igual à quantidade de oviento linear iediataente após a colisão, i.e., F = 0 d P d t = 0 P = constante P i = P f. Sendo a quantidade de oviento dada por i i v i, teos que o oento linear, P i, antes da colisão é dado por P i = v 1i onde v 1i representa a velocidade inicial do bloco de assa antes da colisão. A quantidade de oviento linear após a colisão é P f = v 1f + 2 v 2f, onde v 1f e v 2f representa as velocidades após a colisão dos bloco de assa e 2 respectivaente. Dado que a quantidade de oviento linear conserva-se teos P i = P f v 1i = v 1f + 2 v 2f. Para deterinar a velocidade final do bloco de assa 2 basta resolver a equação da conservação, e orde a v 2f, obtendo v 2f = 1 2 (v 1i v 1f ) Teste A Teste B Teste C v 2f = 1 2 (35 5) v 2f = 15 /s v 2f = 1 2 (42 6) v 2f = 18 /s v 2f = 1 2 (49 7) v 2f = 21 /s Opção (c) Opção (b) Opção (c) 6. A força de ua ola, quando é deslocada ua distância x a partir da sua posição de equilíbrio e x = 0 (copriento natural da ola), é dada pela lei de Hooke, F = k x, e que k representa a constante de elasticidade da ola.

23 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 4 O trabalho realizado pela força da ola, ao coprii-la desde ua posição x i = 0, 30 ou x i = 0, 30, dependendo do referencial unidiensional utilizado, até ua posição de extensão e x f = 0, 30 ou x i = 0, 30, é dado por W = = = = xf x i xf x i F dx ( k x) dx [ 12 k x2 ] xf x i [ 12 k (± x f ) ] k (± x i) 2 = 0. Teste A: Opção (c) Teste B: Opção (b) Teste C: Opção (d)

24 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 5 UMA RESOLUÇÃO POSSÍVEL PARTE PRÁTICA 7. Considerando apenas a interacção gravítica teos que a única força que actua no projéctil durante o voo é a força gravítica. Sendo a assa do projéctil, aplicando a segunda lei de Newton obteos, y F = a t=t' g = a r (7) t=7 s g = a O v o θ h v t'' t=t'' θ x O oviento do projéctil é bidiensional e pode ser descrito usando coordenadas cartesianas (xy) tal coo ilustrado na figura. De acordo co a segunda lei de Newton, o projéctil te apenas aceleração devido à gravidade, i.e., aceleração na vertical e sentido para baixo, a = g ĵ, o que corresponde, de acordo co o referencial da Figura, a a y = g e a x = 0. Nessa conforidade teos, segundo a direcção y e direcção x as seguintes equações do oviento: a y = g v y (t) = v oy g t y(t) = v oy t 1 2 g t2, a x = 0 v x (t) = v ox x(t) = v ox t, e que x o = y o = 0 ua vez que consideraos que o projéctil é lançado da orige no instante t = 0. As coponentes iniciais vertical e horizontal do vector velocidade são: v ox = v o cos θ v oy = v o sin θ. (a) O vector posição do projéctil no instante t = 7, 00 s pode ser obtido directaente das equações da posição, r (t) = (v ox t) î + (v oy t 1 2 g t2 ) ĵ = (v o cos θ t) î + (v o sin θ t 1 2 g t2 ) ĵ. Usando t = 7, 00 s, obteos o seguinte vector, r (7, 00) = (50 cos 67 7, 00) î + (50 sin 67 7, , 81 7, 002 ) ĵ = (137 î + 81, 8 ĵ).

25 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 6 (b) O projéctil atinge a sua altura áxia, h, quando a coponente vertical da velocidade é nula. O instante t necessário para o projéctil atingir a sua altura áxia pode ser calculado através da equação da velocidade segundo a direcção y : v y (t ) = 0 v oy g t = 0 t = v oy g. No instante t, a posição do projéctil segundo o eixo y corresponde à altura áxia, h : y(t ) = h v oy t 1 2 g t 2 = h A altura áxia, h, é dada por: h = v 2 oy 2 g h = v2 o sin 2 θ 2 g. h = 50, 02 sin 2 (67 ) 2 9, 81 = 108. (c) Através das equações da cineática podeos deterinar o vector velocidade quando o projéctil atinge o solo. Para tal é necessário deterinar o instante, t, e que o projéctil atinge o solo. Tendo e atenção que a trajectória é parabólica e que a altura de colisão co o solo é o esa do lançaento, o tepo de subida até a altura áxia é igual ao tepo de descida. Logo o tepo, t, necessário para que o projéctil atinja o solo é de:. t = 2 t = 2 v oy g O vector velocidade do projéctil, v(t ), no instante t = t é dado por, v(t ) = (v o cos θ) î + ( (v o sin θ g t { ) ĵ = (v o cos θ) î + v o sin θ g 2 v }) o sin θ ĵ g = (v o cos θ) î (v o sin θ) ĵ = ( (50 cos 67 ) î ) (50 sin 67 ) ĵ = 19, 5 î 22, 6 ĵ /s. 8. (a) O vector centro de assa de u sistea de partículas é dado pela expressão, r CM = i i r i Para deterinar os vectores posição, relativaente ao ponto O, das cinco partículas do sistea, usou-se o referencial xy da figura. i i.

26 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 7 Designando as partículas de acordo co a figura, teos: r 1 = 0 1 = 3 r 2 = d ĵ 2 = r 3 = d î + d ĵ 3 = r 4 = d î 4 = 3 r 5 = 1 2 d î d ĵ 5 = 2. d y 1 x r CM O d Nessa conforidade, o centro de assa do sistea ve dado por, x CM = d + 3 d d = 0, 5 d 10 y CM = d + d d = 0, 3 d, 10 i.e., o vector centro de assa ve dado por, r CM = (0, 5 î + 0, 3ĵ) d. (b) O oento de inércia, I o, de u sistea de partículas, relativaente ao eixo perpendicular à página que passa pelo ponto O, pode ser deterinado através da expressão I o = i i r 2 i, onde r i representa a distância ais curta da posição da partícula i, de assa i, ao eixo de rotação. Neste caso, a distâncias ao eixo de rotação de cada ua das partículas é dado pelas intensidades dos vectores posição calculados na alínea anterior, r 1 = 0 r 2 = d r 3 = d 2 + d 2 = 2 d r 4 = d 1 r 5 = 4 d d2 = 2 2 d, resultando nu oento de inércia dado por I o = d 2 + ( 2 d) d = d d d 2 + d 2 = 7 d 2. ( 2 2 d ) 2 (c) Para deterinar o oento de inércia relativaente ao centro de assa do sistea podeos utilizar o Teorea dos Eixos Paralelos, I o = I CM + M r 2 CM, que, ao ser aplicado neste caso, nos diz que o oento de inércia, I o, e torno do eixo O é igual ao oento de inércia, I CM, e torno de u eixo paralelo que passa pelo centro de assa do sistea, ais o produto da assa total do sistea, M = i, pela distância

27 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 8 r CM = 0, , 3 2 d do centro de assa ao eixo de rotação. Assi, o oento de inércia, I CM, é dado por I CM = I o M rcm 2 = 7 d 2 10 (0, , 3 2 ) d 2 = 7 d 2 3, 4 d 2 = 3, 6 d Considereos que o sistea e análise é unicaente constituído pela prancha. Dado o sistea estar e equilíbrio, deve verifica-se a segunda lei de Newton para a translação e a rotação, expressa na seguinte fora, F = 0 τ = r F = 0, i.e., tanto a aceleração do centro de assa coo a aceleração angular da prancha são nulas. (a) Toando coo referência o ponto O, localizado na extreidade esquerda da prancha (ver figura), as quatro forças que actua na prancha e os seus pontos de aplicação, são respectivaente: o peso da prancha ( g) que actua no seu centro de assa a ua distância 1 2 d do ponto O; a força que o bloco assa 1 2 exerce sobre a prancha ( 1 2 g ) que actua na extreidade direita da prancha a ua distância d do ponto O; a força, N 1, que o apoio (pé) esquerdo exerce sobre a prancha e que actua verticalente (valor desconhecido) sobre o ponto O; a força, N2, que o apoio (pé) direito exerce sobre a prancha e que actua verticalente (valor desconhecido) a ua distância 3 4 d do ponto O. Estas forças estão representadas no diagraa de corpo livre na figura seguinte. d/2 O N 1 N 2 g y 3d/4 g/2 x Considerando o referencial da figura, a condição de equilíbrio dada pela segunda lei de Newton para a translação, corresponde à equação de equilíbrio das forças segundo a direcção y, confore indicado na expressão seguinte, N 1 + N 2 g 1 2 g = 0. A condição de equilíbrio dada pela segunda lei de Newton para a rotação deve-se verifica relativaente a qualquer ponto. Neste caso vaos calcular os oentos das forças externas relativaente ao ponto O. O soatório do oento das forças externas, relativaente ao ponto O, é dado por, τoz = N N d g 1 2 d 1 2 g d = 0.

28 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 9 O vector oento da força, de qualquer ua das forças aplicadas na prancha, te a direcção z dado que todas estas forças e os respectivos "braços"estão localizadas no plano xoy. O seu cálculo está siplificado pois a linha de acção das forças é sepre perpendicular ao vector posição do seu ponto de aplicação na prancha. Desta fora, obteos o seguinte sistea de duas equações a duas incógnitas, que te a seguinte solução, usando g = 9, 81 /s 2 e 10, 0 kg. { N1 + N 2 g 1 2 g = 0 3 N 2 4 d 1 2 g d 1 2 g d = 0 { N1 + N 2 = 3 2 g N 2 = 4 3 g, { N1 = 1 6 g = 16, 4N N 2 = 4 3 g = 131 N, Abas as forças dos apoios sobre a prancha são positivas, confirando o facto da prancha se encontrar e equilíbrio. (b) Vaos considerar de novo as equações do equilíbrio, atribuindo, neste caso, u valor desconhecido, M, para a assa do bloco. { N1 + N 2 g M g = 0 3 N 2 4 d g 1 2 d M g d = 0 { N1 + N 2 = ( + M) g ( N 2 = M) g { N1 = 1 3 ( M) g N 2 = ( + M) g Coo pode ser facilente verificado, nas equações anteriores, a reacção noral do pé da esquerda sobre a prancha, N 2, é sepre positiva, independenteente do valor da assa M do bloco. Nessa conforidade, a condição de equilíbrio está na equação da força noral N 1. Para que a prancha se antenha e equilíbrio esta força deve ser sepre positiva ua vez que estando a prancha apenas apoia sobre os pés, as reacções norais tê de ser forças apenas de copressão. Assi, teos que a condição de equilíbrio é dada por, 1 3 N 1 0 ( M) g 0 M 0 M, i.e., o valor da assa do bloco não deve ultrapassar o valor da assa da prancha. 10. Neste problea abordaos u caso de dinâica de translação e rotação fora do equilíbrio. As leis da dinâica serão aplicadas separadaente a cada u dos três corpos que vão ter aceleração iediataente após o bloco suspenso ser solto a partir do repouso. Os três corpos e questão são as duas assas, e 2, e ua roldana cilíndrica de raio R e assa. Nessa conforidade, deve ser contabilizadas todas as forças externas e cada u dos três corpos e aplicada a segunda lei de Newton, separadaente.

29 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 10 Ua vez que o bloco da esquerda te assa aior que o bloco da direita vaos partir da hipótese que quando este sistea é solto a partir do repouso, o bloco da esquerda inicia u oviento de translação vertical descendente, co ua aceleração a 1. O bloco da direita inicia u oviento de translação vertical de ascensão, co aceleração a 2. Finalente, a roldana irá ter apenas oviento de rotação e torno do seu centro de assa, co aceleração angular α. Ua vez que o fio é inextensível, as acelerações dos três corpos estão relacionadas, i.e., os ódulos das acelerações dos blocos, que passaos a designar por a, são iguais: y N x α P T T 1 2 T' 1 T'2 a 1 = a 2 = a. Adicionalente, dado que o fio não escorrega na roldana, a aceleração de u ponto na extreidade da roldana é a esa da aceleração do fio, logo a 1 g 2g a 2 a = α z R. Note-se que o sentido de cada ua das acelerações, segundo o referencial indicado na Figura, é coerente co o sentido do oviento, i.e., a aceleração do bloco da direita é positiva, a aceleração angular da roldana é positiva e a aceleração do bloco da esquerda é negativa. As forças aplicadas e cada u dos corpos são as seguintes (ver Figura): no bloco da esquerda o seu peso 2 g e a força exercida pelo fio no bloco, T 1 ; na roldana o peso P da roldana, a reacção noral do eixo da roldana sobre a roldana, N, a força exercida pelo fio devido ao bloco de assa 2, T 1, e a força exercida pelo fio devido ao bloco de assa, T 2. no bloco da direita o peso do bloco g e a tensão no fio T 2. Dado que o fio não te assa, as froças ao longo de cada u dos segentos (horizontal e vertical) do fio são iguais, i.e., Note-se que T 1 T 2. T 1 = T 1 = T 1 T 2 = T 2 = T 2. Nessa conforidade, a segunda lei de Newton para a translação e rotação, aplicada e cada u dos corpos e de acordo co o referencial da Figura, pode escrever-se, bloco no plano horizontal bloco suspenso roldana Fext = a 1 Fext = a 2 Fext = 0 τext,z = I CM α z T 1 g = a T 2 g = a T1 + T 2 + N + P = 0 T 1 R T 2 R = I CM α z

30 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 11 onde I CM representa o oento de inércia da roldana e torno do eixo de rotação que passa pelo seu centro de assa. (a) A aceleração, a, co que os blocos se ove, pode ser deterinada através das equações para a translação dos blocos e da equação para a rotação da roldana T 1 g = a T 2 g = a T 2 R + T 1 R = I CM α z T 1 = (g a) T 2 = (g + a). (T 1 T 2 ) R = I CM α z O oento de inércia da roldana cilíndrica é dado por (ver Tabela) I CM = 1 2 R2 e a aceleração angular está relacionada co a aceleração dos blocos (ver equação anterior). Efectuando estas duas substituições nas equações da dinâica obteos T 1 = (g a) T 2 = (g + a) ( (g a) (g + a)) R = 1 2 R2 a R Logo, a aceleração co que os blocos se desloca é T 1 = 2 7 g T 2 = 5 7 g a = 2 7 g a = 2 7 g = 2 7 9, 81 = 2, 80 /s2. (b) Tanto a velocidade angular da roldana, coo a distância percorrida pelo bloco da esquerda ao fi de 7, 00 s, (alínea (c) ) pode ser calculadas tendo e consideração que os blocos suspensos tê ovientos rectilíneos uniforeente de acelerados, co a = 2 7 g, e que a roldana te u oviento rotacional tabé uniforeente acelerado, de aceleração angular α z. Estas equações são expressas usando u novo referencial, indicado na Figura, e tendo e conta que, no instante t = 0, o sistea está e repouso. Nestas condições, a equação do oviento para o bloco suspenso é x(t) = 1 2 a t2 e a equação da velocidade angular para a roldana é ω =0 o z α h O x v =0 ox a ω z (t) = α z t. t'=7,00 s No instante t = 7, 00 s, o bloco da esquerda percorre ua distância h até ao solo, que pode ser calculada da seguinte fora h = 1 2 a t 2 = g t 2 = 1 9, 81 7, = 68, 7. No instante t = 7, 00 s, a velocidade angular da roldana é igual a

31 Exae - Época Noral 26.Janeiro SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 12 ω z (t ) = α z t = a R t = 2 7 g R t = , 81 7, 00 0, 0700 = 280 rad/s.