Universidade de São Paulo Instituto de Física. Fep Física II para Engenharia Lista 3- Oscilações e Ondas

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1 Universidade de São Paulo Instituto de Física Fep 96 - Física II para Engenharia Lista 3- Oscilações e Ondas. Na figura ao lado, ostraos duas olas idênticas ligadas a u eso bloco de assa, sendo que as outras extreidades das olas estão fixas e suportes rígidos. Mostre que as frequências de oscilação do bloco sobre sobe a superfície horizontal se atrito são dadas por: ν = π.u bloco de assa desconhecida está preso a ua ola de constante 6,5 N/ e executa u oviento harônico siples co aplitude de 0,0c. Quando o bloco está a eio cainho entre a posição de equilíbrio e o ponto extreo final, sua velocidade é de 30,0c/s. Calcule (a) a assa do bloco, (b) o período do oviento e (c) a aceleração áxia do bloco. R.: (a) 0,54 g; (b),8 s; (c),0/s. 3. Ua bola de deolição co 500 g oscila da extreidade de u guindaste, coo é indicado na figura ao lado. O copriento do cabo que oscila é igual a 7. Calcule o período da oscilação supondo que o sistea possa ser tratado coo u pêndulo. R.: 8,8 s 4. O deslocaento de u objeto é x=(8,0c)cos(,0t+π/3), onde x é dado e centíetros e t e segundos. Calcule (a) a velocidade e a aceleração e t=π/ s, (b) a velocidade áxia e o enor instante de tepo t (t>0) para o qual a partícula te essa velocidade e (c) a aceleração áxia e o enor instante de tepo t (t>0) para o qual a partícula te essa aceleração. R. : (a) 3,9 c; 6,0 c/s ; (b) 6,0c/s; 0,6s; (c) 3,0c/s ;,05 s. 5. Duas olas estão conectadas a u bloco de assa, confore é indicado na figura ao lado. As superfícies e contato não possue atrito. Sabendo que as olas são idênticas (te a esa constante ), ostre que a frequência das oscilações é dada por ν =. π 6. A figura ao lado ostra u bloco de assa M, e repouso sobre ua superfície horizontal se atrito, preso a ua ola de constante. Ua bala de assa e velocidade v atinge o o bloco, confore é indicado na figura. A bala perance dentro do bloco. Deterine: (a) v M

2 a velocidade do bloco iediataente após a colisão; (b) a aplitude do oviento harônico siples resultante. R.: v /( + M ); v / ( + M ) 7. U pêndulo é forado articulando-se ua barra longa e fina de copriento L e assa, e torno de u ponto situado a ua distância d acia do centro da barra. Ache o período das pequenas oscilações deste pêndulo e teros de d, L, e g. Dados I O =M(L /)+Md R.: π ( L + d ) /(gd) 8. U pêndulo físico é constituído por u disco sólido unifore (assa M e raio R), suportado nu plano vertical por eio de u pivô localizado a ua distância d do centro do disco, confore é indicado na figura. O disco é deslocado nu pequeno ângulo, e a seguir, é deixado livre. Deterine o período do MHS resultante. Dado I o =M(R /)+Md R.: T = π ( R + d ) /(gd) Piv ô R. d 9.U autoóvel de assa 000g é dirigido contra ua parede de tijolos durante u teste de segurança. O parachoques funciona coo ua ola co constante 5,0x0 6 N e é copriido 3,6 c quando o carro atinge o repouso após a colisão co a parede. Qual a velocidade do carro antes da colisão, assuindo que nenhua energia é perdida durante o ipacto? R.:,3 /s 0. U oscilador harônico siples executa 5 oscilações copletas e,0s. Deterine: (a) o período do oviento, (b) a frequência e Hz, e (c) a frequência angular e rad/s. R.: (a),40 s; (b) 0,47Hz; (c),6 rad/s. U pêndulo siples te u copriento L. (a) Qual é o período do oviento harônico siples para esse pêndulo se ele está localizado e u elevador acelerado para cia co ua aceleração a? (b) E se o elevador estiver descendo co aceleração a? (c) Qual será o período desse pêndulo se ele for colocado e u cainhão acelerado horizontalente co acelração a? R.: (a) π[l/(g+a)] / ; (b) π[l/(g-a)] / ; (c) πl / (g +a ) -/4.. Ua pequena bolinha oscila no fundo de u copo (figura ao lado). A superfície do copo é esférica, de raio igual a 3c e a bolinha te assa de 0g. Despreze o atrito da bolinha co a superfície do copo. (a) Sabendo que a bolinha foi largada a partir do alto do copo se velocidade inicial, calcule a velocidade e a velocidade angular áxias atingidas. (b) Calcule a frequência angular e o período da bolinha para pequenas oscilações próxio do fundo copo (θ pequeno). (c) Se a bolinha for ligada a ua ola, que constante elástica deverá esta ter para que a frequência angular das oscilações seja

3 idêntica à calculada e (b)? (d) Se a bolinha for largada de da borda de u copo estreito, co raio de curvatura no fundo do copo igual a r, coo se ostra na figura b, a frequência angular das oscilações será aior ou enor que no caso anterior? Por que? R.: (a) 76,7 c/s; ω= v/r=5,6 rad/s; (b) 8rad/s; T=0,35 s. (c) =3,3 N/; (d) a frequência angular auentaria, porque ω=(g/r) /, e r<r. 3. U pêndulo co fio de copriento,00 é abandonado do repouso de u ângulo inicial de 5 0. Após 000s, sua aplitude é reduzida para 5,5 o. Qual é o valor de b/? R.:,00x0-3 s. 4. Quando u passageiro co 80g entra e u autoóvel as olas dos aortecedores são copriidas de,c. Sendo a assa total suportada pelas olas (incluindo o passageiro) 900g, qual a frequência característica de oscilação do carro co o passageiro? R. :,36 Hz. 5. As aranhas te sensores nas pernas que lhes perite capturar as presas através das vibrações na teia. Quando apanhado na rede u inseto de assa igual a g provoca ua vibração de 5 Hz. (a) Qual a constante elástica da teia? (b) Qual a frequência de vibração provocada por u inseto de 4 g ao ser apanhado na teia? R.: (a) 8,88N/; (b) 7,5 Hz. 6. U autoóvel roda por ua estrada ondulada coo é ostrado na figura ao lado. Sabendo se que a assa do autoóvel é 0 3 g e a constante da ola dos aorte-cedores é 0 5 N/, deterine a velocidade para qual o sistea entra e ressonância. Despreze os efeitos do atrito nos aortecedores. R.: 5,9 /s ou 57 /h 0 7. Suponha que você esteja exainando as características da suspensão de u autoóvel de 000g. A suspensão cede 0c quando o peso total do autoóvel repousa sobre a esa. Alé disto, a aplitude das oscilações diinui 50% durante cada oscilação copleta. Estie os valores de e b para a ola e o sistea aboservedor do choque para cada roda. Suponha que cada roda suporte 500g. R.: =490 N/c; b=090g/s. 8.U carro de 000 g transporta quatro passageiros co 8g cada u, nua estrada rugosa co ondulações. A distância entre as rugosidades é igual a 4. O carro oscila verticalente co aplitude áxia quando sua velocidade é igual a 6/h. O carro pára e todos os seus ocupantes desce. De quanto se eleva o carro sobre a supensão por causa da diinuição do peso? R.: 4,77 c. 9. U sólido se ove sob a ação de ua força elástica x e ua força viscosa - ρ x&. As condições iniciais para o oviento são: deslocaento da ola x(0)=4,0x0 - e velocidade inicial x& (0)=0. Conhecendo a assa do sólido, =3,0 g e a constante da ola, =50 N/, deterine a elongação coo função do tepo quando a constante viscosa valer: (a) 6 N.s/, (b) 80 N.s/, (c) 96 N.s/. R: (a) x(t)=0,0408e -0,5t cos(,5t-0,97);(b)x(t)=e -,5t (0,04+0,05); (c) x(t)=e -,5t (0,056e 0,83t -0,6 e -0,83t ) 3

4 0. Considere o oscilador harônico cuja equação de oviento é d x dx + γ + x = 0 dt dt no regie de aorteciento supercrítico, isto é, γ>4/. (a) Mostre que a solução geral é da fora x(t)= ae -λ t + be -λ t. Deterine as constantes λ e λ e teros de, γ e. (b) Deterine as condições iniciais (posição e velocidade) para a assa e t=0 para que ela se aproxie da orige o ais rapidaente possível. R.:(a) λ = γ / γ / 4 /, λ = γ / + γ / 4 / ;(b) x0λ v0 v0 + x0λ a = ; b = ; para que se aproxie ais rapidaente da orige λ + λ λ + λ deveos ter b=0 e x 0 =-v 0 /λ.. U corpo de assa =50,0 g está suspenso por ua ola de constante elástica =,5x0 4 N/. Ua força harônica de aplitude f ax =45,0 N atua sobre o corpo ao longo da direção vertical. Considerando-se a existência de atrito viscoso co coeficiente ρ=00 N.s/, deterine para o regie estacionário; (a) a frequência de ressonância, (b) a aplitude áxia na ressonância, (c) a defasage entre o áxio da força harônica e o áxio da aplitude. R.: ω R =5,75 rad/s; A(ω R )=3,0x0 - ; (c) φ (ω R )=-89,7 o.. U corpo de assa 50g está preso a ua ola e oscila livreente co ua frequência angular de 0 rad/s. Este oscilador é posteriorente colocado nu eio cujo coeficiente de atrito viscoso é ρ=0,5 g/s. Nestas condições o oscilador é antido e regie estacionário, devido a ua força externa F=F 0 cosωt, onde F 0 =0,5N e ω=0 rad/d. Deterine para esta últia situação: (a) a equação diferencial que descreve o oviento, escreva a equação de oviento explicitando os valores nuéricos dos coeficientes indicando tabé, suas respectivas unidades; (b) a aplitude do oviento; (c) e que instantes a elongação é áxia e ódulo. Se subitaente a força externa é desligada, nu instante e que a elongação é áxia, deterine para a nova situação: (d) a equação diferencial que descreve o ovieno, explicitando os valores nuéricos dos coeficientes be coo suas respectivas unidades; (e) a frequência angular da oscilação. R.: (a) & x + 5x& + 400x = 5cos(0t) ; (b) A=0,05; (c) t=(n+)π/40 s, n=0,, ; (d) & x + 5 x& + 400x = 0 ; (e) ω = 9,84 rad/s 3. U corpo de assa =000 g cai de ua altura H= sobre ua platafora de assa desprezível. Deseja-se projetar u sistea constituído por ua ola e u aortecedor sobre o qual se ontará a platafora de odo que ela fique e equilíbrio a ua distância d= abaixo de sua posição inicial, após o ipacto. O equilíbrio deve ser atingido tão rápido quanto possível, se oscilações. (a) Obtenha a constante da ola e a constante de aorteciento ρ do aortecedor. H 4 Sistea ola -aortecedor

5 (b) Obtenha a equação que descreve o oviento do bloco após entrar e contato co a platafora. Calcule o tepo necessário para que a platafora esteja a da sua posição final. R. (a) 5x0 3 N/, 5 x0 3 N.s/; (b) 5/ 5 ln 4.U sisógrafo é u aparelho projetodo para registrar vibrações da crosta terrestre. Ele é constituído basicaente de u oscilador dentro de ua gaiola. As vibrações da gaiola coloca o oscilador e oviento e suas vibrações são registradas através de ua agulha e u rolo de papel (veja a figura ao lado). Deterine a razão entre a aplitude A de oscilação da agulha do sisógrafo e a aplitude δ de vibração da base. Suponha que o deslocaento da base é dado por y b = δ cosωt e que o aorteciento viscoso é uito pequeno (seu único efeito é eliinar a solução transiente). A ω R.: = ; co ω0 = / δ ω ω 0 5. U pulso de onda transversal é gerado nua extreidade de ua longa corda esticada e se propaga para a direita. A velocidade do pulso é de,0 /s. O deslocaento y(x,t)= F(x-vt) no instante t=,0 s é descrito por: x 4 ( se x 4 4 y(x,) = F(x 4) = 4 0 se x 4 > 4 Faça o gráfico que representa a fora real da corda nos seguintes instantes a) t=0s, b) t=,0s, c) t=3,0s, d) t=4,0s. 6. Ua onda senoidal contínua propaga-se e ua corda co velocidade de 80c/s. O deslocaento das partículas na corda no ponto x=0c varia de acordo co a equação y=5,0cos(,0-4,0t) e c. A densidade linear da corda é de 4,0g/c. Deterine: a) a frequência angular ω da onda; b) o núero de onda : c) a equação geral que dá o deslocaento transversal das partículas da corda coo função da posição e do tepo, ou seja y(x,t). R.: 4,0 rad/s; 0,05c -, y(x,t)=5,0cos(0,05x 4,0t+0,5). 7. A equação de ua onda transversal progressiva e ua corda uito longa é dada por : y(x,t)=,0x0 - cos[π(0,5x +0t)] e unidades do sistea internacional. Sabendo-se que a tensão aplicada na corda é de 00N, deterine: a) a aplitude de vibração; 5

6 b) o copriento de onda e a frequência; c) o sentido de propagação da onda; d) a velocidade de propagação da onda; e) a velocidade transversal áxia de u ponto genérico da corda; f) a distância entre dois pontos cuja diferença de fase seja de R.:,0x0 - ;,0 e 0 Hz, no sentido negativo do eixo x; 0 /s; 0,40π /s; 0,7. 8. A equação da onda tranversal que se propaga e ua corda sob tensão de 00N é y(x,t)=,0 x0 - cos(3,0x+6,0t) onde x e y são expressos e etros. Deterine: a) a força transversal que age sobre a corda e ua posição x, e u instante t qualquer; b) a velocidade transversal de ua partícula da corda localizada e x; c) a potência transitidada através de x; d) a potência édia transitida através de x. R.: 3,0sen(3,0x+6,0t) N; -6,0x0 - sen(3,0x+6,0t) /s;,8x0 - sen (x+ωt) W; -0,9x0 - W. 9. Duas ondas descritas pelas equações y (x,t)=,0cos(,0x 3,0t) e y =,0 cos(,0x- 3,0t-π/3) co x e y e centíetros, propaga-se e ua corda vibrante. Deterine: a) a aplitude da onda resultante b) a expressão da onda resultante. R.: 3 c; y(x,t)= 3 cos(,0x-3,0t-π/6) 30. Ua corda de de copriento e 4 g de assa é antida horizontalente, co ua das extreidades fixas e a outra sustentando ua assa de g. Deterine a velocidade das ondas transversais na corda. R.: 00 /s. 3. A corda i de u violino te ua densidade linear de 0,5g/ e está sujeita a ua tensão de 80 N, afinada para ua frequência ν=660hz. (a) Qual o copriento da corda? (b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de frequência 880 Hz, prende-se a corda co u dedo, de fora a utilizar apenas ua fração f de seu copriento. Qual o valor de f? R.: 0,3; ¾ 3. Duas ondas senoidais propaga-se e direções opostas ao longo de ua corda. Cada ua te aplitude de 0,30 c e copriento de onda de 6,0 c. A velocidade transversal na corda é de,5 /s. Deterine: a) a equação da onda resultante b) a distância entre dois pontos da corda que possue velocidade nula; R.: y(x,t)=0,30cos[π[x/3-50t)] +0,30cos[π[x/3+50t)]=0,60cos(πx/3) cos(50πt); 3,0c 6