Luz e Ondas Eletromagnéticas ONDAS MECÂNICAS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Luiz Nunes de Oliveira Daniela Jacobovitz

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1 7 ONDAS MECÂNICAS Luiz Nunes de Oliveira Daniela Jacobovitz 71 Introdução 72 Oscilação simples 73 Corda vibrante 74 Características da onda na corda 741 Velocidade 742 Comprimento de onda 75 Som 76 Velocidade 77 Frequência 78 Conclusão Referências Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Introdução Esta aula examina dois exemplos de ondas: a vibração da corda de um instrumento musical e o som Em particular, explica matematicamente como se formam as ondas na corda e discute a física do som 72 Oscilação simples Para compreender a dinâmica de uma corda, precisamos antes entender o movimento de um oscilador harmônico simples Serve como exemplo o par massa e mola na Figura 71a A massa é m e a mola tem constante elástica K Trabalhamos com o sistema de referências indicado na figura a b Figura 71: a Oscilador harmônico simples A mola tem constante K e a esfera tem massa m O sistema de referências está centrado no ponto O, onde a força da gravidade neutraliza a força da mola, isto é, no ponto de equilíbrio b Diagrama de corpo livre da massa m Aparecem a força F m da mola e a sua aceleração a / Fonte: USPSC A Figura 71b mostra a força da mola e a aceleração da massa m É sempre recomendável desenhar a aceleração no sentido do eixo e deixar a álgebra nos informar se esse é o sentido correto Na Figura 71, estamos desconsiderando a força peso Você pode simplesmente imaginar que estamos deixando de lado o peso porque nosso interesse está na força da mola, não na gravidade Projetada no eixo y, a Segunda Lei de Newton diz que Ky = ma y 71 ou, se dividirmos os dois lados por m, K a = m y y 72

3 134 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A aceleração tem sinal oposto ao de y, o que mostra que o sentido desenhado na Figura 71 está errado Apesar disso, a Equação 71 está certa, porque a álgebra corrigiu automaticamente o nosso desenho Equações diferenciais relacionam uma grandeza (no caso, y) com suas derivadas (no caso, a y ) e podem ser muito difíceis de resolver A solução da Equação 71, ao contrário, é bem conhecida e escreve na forma ( ) y()= t A cos ωt ϕ 0, 73 onde ω= K m 74 As outras constantes na Equação 73, A e ϕ 0, são determinadas pela posição e pela velocidade da massa no instante t = 0 Em particular, se a massa estiver parada na posição y = y 0 no instante t = 0, é fácil verificar que A = y 0 e ϕ 0 = 0, de forma que y = y0 cos( ωt) y( 0)= y0 e v ( 0)= 0 75 Veja a oscilação da massa presa a uma mola Exercício Resolvido 1 Uma massa de 1,5 kg está presa a uma mola de constante K = 500 N/m No instante t = 0 s, ela está parada na posição y 0 = 0,5 m Qual é a equação que descreve o seu movimento, quando a distância é expressa em metros e o tempo, em segundos? Qual é a velocidade e a posição da massa em t = 1 s? Resolução: A equação que descreve o movimento de uma massa presa a uma mola é dada por onde y t y0 cos ωt 05, cos ωt, ()= ( )= ( ) K 500 ω= = = 18, 25 rad/s m 15, 7 Ondas Mecânicas

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Portanto, temos y()= t 05, cos ( 18, 25t) A posição da massa no instante t = 1 s é A velocidade da massa é No instante t =1 s temos y ()= 1 0, 5cos ( 1825, )= 0, 4 m dy v()= t = 91, sen ( 18, 25t ) dt v ()= 1 9, 1sen ( 1825, )= 51, m/s Note que as funções trigonométricas estão expressas em radianos 73 Corda vibrante Passamos a estudar a corda na Figura 72 Como sempre acontece nos instrumentos musicais, as extremidades são fixas e a corda está esticada, com tensão τ tão grande que seu peso pode ser desprezado Figura 72: Corda vibrante A corda é uniforme e suas extremidades estão presas a barras fixas Ela tem massa m e comprimento L, e está sujeita a uma tensão de módulo uniforme τ A pequena porção de massa m, o segmento da corda que se estende de x 1 a x 2 está sujeita a uma resultante não nula, as trações τ 1 e τ 2 têm direções diferentes, graças à curvatura da corda / Fonte: USPSC Vamos supor que, no instante inicial, a corda está parada e sua forma é descrita por uma senoide: ( )= ( ) ( = ) y x A sen kx t 0 76 Queremos descrever seu movimento a partir daí Para isso, destacamos a pequena região da corda, pintada de azul na Figura 72 Ela tem massa m e se estende desde x = x 1 até x = x 2 Como a corda é uniforme, podemos estabelecer uma regra de três: m x x 2 1 = M L, 77

5 136 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 a qual relaciona a massa com o tamanho do segmento: ( ) m = M L x x A razão M/L, que aparece à direita, é a densidade linear da corda, isto é, a massa por unidade de comprimento Numa corda de violão, a densidade linear é da ordem de 1 g/m Vamos então aplicar a Segunda Lei de Newton à massa m Como sempre, convém desenhar o diagrama de corpo livre A Figura 73 mostra as duas trações da corda, que puxam m em direções diferentes, e a aceleração, também aqui desenhada no sentido do eixo y Figura 73: Diagrama de corpo livre para a porção da corda em azul na Figura 71, aqui representada por um círculo azul A tração τ 1 forma ângulo θ 1 com a horizontal, e a τ 2 forma ângulo θ 2 Como na Figura 71b, a aceleração foi desenhada no sentido do eixo y / Fonte: USPSC A projeção da Segunda Lei de Newton no eixo y nos diz que τ sen θ τ sen θ = m a y, onde θ 1 e θ 2 são os ângulos que a corda forma com a horizontal nos pontos x 1 e x 2, respectivamente Como a grande tensão impede que a corda se afaste muito da horizontal, os ângulos são pequenos, e cada seno no lado esquerdo da Equação 79 é aproximadamente igual ao seu argumento Assim, a Equação 79 pode ser escrita na forma τθ ( θ )= ma y Segundo o Cálculo Diferencial, a derivada de uma função determina o ângulo que o seu gráfico faz com a horizontal Especificamente, tg θ = 1 tg θ 2 = dy dx dy dx x= x1 x= x Ondas Mecânicas

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Como os ângulos são pequenos, as tangentes são iguais a seus argumentos E como y(x) é um seno (veja a Equação 76), sua derivada é um cosseno: dy dx = Ak cos ( kx) 712 As Equações 714 são, portanto, reduzidas a duas expressões explícitas para θ 1 e θ 2 : θ θ = Ak cos ( kx ), = Ak cos ( kx ) Subtraímos agora a primeira equação da segunda para encontrar a diferença entre os dois ângulos: θ θ = Ak cos( kx ) cos( kx ) Para simplificar o lado direito, recorremos à identidade trigonométrica p+ q p q cosp cosq= 2 sen sen, que nos dá cos kx cos kx sen k x x sen k x x ( 2) ( 1)= Uma vez que os pontos x 1 e x 2 podem estar tão próximos um do outro quanto quisermos, o segundo seno do lado direito é praticamente igual ao seu argumento E no argumento do primeiro seno, (x 2 + x 1 )/2 é a média entre as duas posições que chamaremos de x Assim, a Equação 716 equivale à expressão ( ) ( )= ( ) ( ) cos kx cos kx k x x sen kx e a Equação 714 equivale a θ 2 θ = Ak x x sen kx 2 1 ( ) ( )

7 138 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 E como sabemos, da Equação 76, que y = A sen(kx), vemos que a Equação 718 equivale à expressão simples θ 2 θ = k x x y x 2 1 ( ) ( ) Podemos agora substituir o lado direito dessa igualdade no lugar de θ 2 θ 1 na Equação 710 E, se dividirmos os dois lados da equação resultante por m, encontraremos que τ x x 2 1 = m k 2 y a y 720 Para simplificar ainda mais essa igualdade, voltamos à Equação 77 para lembrar que (x 2 x 1 )/ m = L/M Resulta que k 2 L a = τ M y y 721 Essa equação tem a forma da Equação 72, com K = τ L M k Como a corda está inicialmente parada, a solução da Equação 721 tem de ser da forma da Equação 75 Aqui, porém, de acordo com a Equação 76, escolhemos y 0 = Asen (kx) A Equação 75, então, nos diz que ( )= ( ) ( ) y x, t A sen kx cos ωt, 723 onde ω é a frequência com que a corda vibra Segundo a Equação 74, a frequência é Km, o que no caso quer dizer que ω = τl M k 724 Para interpretar mais facilmente a Equação 723, podemos reescrevê-la na forma equivalente ( )= () ( ) y x, t A t sen kx, Ondas Mecânicas

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo onde At A cos ωt ()= ( ) 726 A Equação 725 mostra mais claramente que a corda mantém a forma de uma senoide, mas sua amplitude, dada pela Equação 726, oscila em função do tempo Podemos acompanhar a oscilação na Figura 74 A amplitude é, inicialmente, máxima, mas diminui até se anular em t = T /4, onde T = 2π / ω é o período da oscilação Em seguida, ela cresce no sentido oposto até alcançar o máximo em t = T/2 Daí por diante ela volta a diminuir, anula-se em t = 3T/4 e cresce no sentido original até completar um ciclo em t = T Quando t = 2π /ω, a função cosseno na Equação 726 completa um ciclo, o que significa que o período da oscilação é 2π /ω E quando x = 2π/k, o argumento da função seno na Equação 725 completa um ciclo, o que significa que y(x, t) se repete cada vez que x cresce de 2π /k Isso nos diz que 2π /k é o comprimento de onda λ A Figura 75 mostra uma ampliação do primeiro painel da Figura 74 Como indicado, os pontos onde a amplitude da oscilação é nula são chamados nós, e os pontos onde a amplitude é máxima são conhecidos como ventres da onda Figura 74: Evolução temporal da onda estacionária descrita pela Equação 723 A amplitude varia periodicamente com o tempo, mas o perfil é sempre descrito pela mesma senoide / Fonte: USPSC Veja uma animação sobre onda estacionária

9 140 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 74 Características da onda na corda 741 Velocidade A Equação 724 mostra que ω é proporcional a k A Equação 724 nada mais é do que a relação entre ω e k que encontramos na aula sobre Ondas, ω = vk, onde v = τl M 727 é a velocidade da onda na corda A velocidade cresce com a tensão τ e decresce com a relação M/L Uma vez que ω é proporcional à velocidade (vale a pena repetir que ω = vk), a frequência de uma corda de instrumento musical é controlada pela tensão e pela densidade da corda Exercício Resolvido 2 A tensão numa corda é proporcionada por um corpo de massa m = 4 kg pendurado em uma de suas extremidades, como mostra a figura O comprimento da corda é L = 2 m e sua massa é M = 300 g Qual é a velocidade das ondas nesta corda? Resolução: A massa de 4 kg está em equilíbrio, portanto neste caso temos que a tensão na corda é igual a força peso Vamos adotar o valor de g = 10 m/s 2, A velocidade das ondas nesta corda é τ= P= mg = 40 N v = τ L d = τ M = 40 2 = 16, 33 m/s 03, Como vimos na Figura 74, a Equação 723 descreve uma onda estacionária Apesar disso, faz sentido falar em velocidade, porque uma onda estacionária pode ser vista como a 7 Ondas Mecânicas

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo interferência de duas ondas de mesma amplitude, mesmo vetor de onda e mesma frequência que caminham em sentidos opostos As duas ondas que compõem a estacionária têm velocidade v, uma no sentido de x positivo, a outra no sentido de x negativo A Equação 727 nos dá a velocidade dessas duas ondas E como elas têm o mesmo vetor de onda e a mesma frequência que comparecem na Equação 723, segue-se que ω = vk Figura 75: Imagem ampliada da corda da Figura 74 no instante t = 0 As setas indicam os oito nós e quatro dos sete ventres da onda estacionária Para não sobrecarregar a ilustração, os três ventres com y < 0 deixaram de ser indicados / Fonte: USPSC 742 Comprimento de onda A corda da Figura 72 está presa na origem Em x = 0, o deslocamento y(0, t) é sempre nulo A senoide na Equação 76 garante que y(x = 0) = 0 no instante t = 0 E como a Equação 725, que descreve a deformação y(x, t) da corda em qualquer instante, simplesmente multiplica a função sen(kx) por um fator que depende do tempo, a condição y(x = 0, t) = 0 está garantida Mas isso não é tudo, porque a outra extremidade da corda, em x = L, também está presa Significa que y(x = L, t) = 0, condição que somente é satisfeita pela Equação 723 quando sen(kl) = 0, isto é, quando o vetor de onda k é escolhido de forma que sen(kl) seja nulo O seno somente é nulo quando seu argumento é um múltiplo inteiro de π rad (ou, se você ainda não gosta de radianos, múltiplo inteiro de 180 ) Assim, para sen(kl) ser nulo, o vetor de onda deve ser dado pela expressão ( ) kl = nπ n= 12,, 728

11 142 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Como o vetor de onda é inversamente proporcional ao comprimento de onda, k = 2π/λ, isso quer dizer que a onda estacionária somente se sustenta para valores especiais do comprimento de onda A Equação 728 pode ser escrita na forma 2π L= nπ, λ 729 ou, se multiplicarmos os dois lados por λ /(π n), 2L λ= ( n = 12,, ) n 730 Vemos, portanto, que o comprimento de onda tem de ser uma fração de 2L Os valores possíveis são λ = 2L/1, 2L/2, 2L/3, 2L/4,, ou, após simplificação, λ = λ 1, λ 2,, onde λ 1 = 2L, 731a λ 2 = L, 2L λ 3 =, 3 λ 4 = L, 2 731b 731c 731d λ n L = 2 n 731e A Figura 76 retrata o comportamento da corda com λ = λ 1 Como λ 1 = 2L, cabe somente metade de um comprimento de onda na corda, isso é suficiente para anular y nas duas extremidades Figura 76: Onda estacionária com λ = 2L A amplitude oscila com a frequência ω 1, dada pela Equação 733 / Fonte: USPSC 7 Ondas Mecânicas

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Determinado o comprimento de onda, podemos facilmente encontrar a frequência com que a onda estacionária vibra Sabemos que ω = vk, onde a velocidade v é dada pela Equação 727 e k é dado pela Equação 728 com n = 1 Tudo considerado, encontramos que τ π ω = L 1 M L, 732 igualdade que pode ser simplificada para mostrar que ω = τ 1 π ML 733 Essa frequência, a mais baixa com que a corda pode vibrar, é conhecida como frequência fundamental, e a vibração na Figura 76, como o modo fundamental Quando n > 1, o comprimento de onda é menor e a frequência é maior A vibração é agora chamada de modo harmônico Com n = 2, temos o primeiro harmônico, com n = 3, o segundo harmônico e assim por diante A Figura 77 mostra o perfil de cada um dos três primeiros harmônicos e mostra que o número de ventres de cada onda é n Essa regra vale também para o modo fundamental: na Figura 76, n = 1 e há um ventre Figura 77: Três primeiros harmônicos Comparada com a da Figura 76, a frequência para λ = L é duas vezes maior, isto é ω 2 = 2ω 1 Com λ = 2L/3, a frequência é ω 3 = 3ω 1 E com λ = L/2, a frequência é ω 4 = 4ω 1 / Fonte: USPSC Exercício Resolvido 3 A velocidade das ondas presa nas duas extremidades é 200 m/s Se o comprimento da corda for 5 m, qual é a frequência do terceiro harmônico (n = 4)? Neste caso qual é a distância entre dois nós consecutivos? Resolução: O comprimento de onda depende do tamanho da corda: 2L 10 λ= = = 25, m n 4

13 144 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A distância entre dois nós é λ/2 = 1,25 m A frequência do terceiro harmônico é ϑ v= v= λ ; 80 Hz Exercício Resolvido 4 Numa corda tensionada há formação de uma onda estacionária descrita pela função π y( x, t)= 002, sen x cos ( 40πt) 2 Qual é a frequência de vibração da corda? Qual é a distância entre os nós da onda estacionária? Qual é a velocidade de um ponto da corda localizado em x = 1 m? Resolução: A onda estacionária y(x, t) = 0,02 sen[(π/2)x]cos(40πt) é formada pela superposição de duas ondas que caminham na mesma direção e sentidos opostos: π π y1 = 001, sen x 40πt e y2 = 001, sen x+ 40πt 2 2 O comprimento de onda e a frequência de vibração da corda são 2π π k = = ; λ = 4 m, λ 2 ω= 40π A distância entre os nós é λ/2 = 2 m A função da onda estacionária no ponto x = 1 m é π y( 1, t)= 0, 02sen cos ( 40πt)= 002, cos ( 40t) 2 A velocidade deste ponto é dy v = = 08, sen ( 40t) dt 7 Ondas Mecânicas

14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Som O som é uma onda, que pode propagar-se em sólidos, líquidos e gases Estamos interessados na que se propaga no ar Na corda vibrante da Figura 72, a massa m se movimenta verticalmente enquanto a onda se estende na horizontal O movimento da corda é transversal No som, as partículas oscilam na mesma direção em que a onda progride O som é uma onda longitudinal A oscilação provoca acúmulo de ar em certas regiões do espaço e rarefação em outras A Figura 78 mostra uma onda de som em um tubo transparente Na Seção 72, demonstramos que o movimento das partículas de uma corda dá origem a uma onda Aqui, vamos apenas mostrar, por meio de uma ilustração, como se move o ar em um tubo fechado A Figura 79 mostra um movimento periódico que define uma onda estacionária: no último painel, o ar volta à situação mostrada no primeiro sem que os máximos e mínimos tenham saído de seu lugar Para enfatizar a semelhança com a onda estacionária da Figura 74, o período T foi dividido em oito intervalos t = T/8, e o ar foi retratado no final de cada intervalo Compare a Figura 79 com a 74 Figura 78: Onda sonora em um tubo totalmente transparente Nas regiões mais escuras, o acúmulo de moléculas eleva a densidade do ar acima da média Nas mais claras, a densidade é menor do que a média O ponto A está numa região onde a densidade fica próxima da média Para tornar a onda visível, a variação de densidade ao longo do tubo foi enormemente exagerada Na prática, a variação da densidade ao longo de uma onda sonora é menos do que um milionésimo da densidade média / Fonte: USPSC Nos instantes t = 0, t = T /2 e t = T, a variação periódica da densidade do ar ao longo do tubo é mais acentuada Esses instantes correspondem aos painéis t = 0, t = T /2 e t = T da Figura 74, nos quais a amplitude da senoide é máxima Em t = T /2, assim como os máximos e mínimos na Figura 74 são invertidos em relação aos dos instantes t = 0 e t = T, as posições dos máximos e mínimos da densidade são invertidas em relação às dos instantes t = 0 e t = T Nos instantes t = T/4

15 146 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 e t = 3T /4, a amplitude da senoide é zero Assim como a corda se torna retilínea na Figura 74, a densidade se torna uniforme na Figura 79 Figura 79: Movimento do ar no tubo da Figura 78, em função do tempo O movimento é periódico O seu período T foi dividido em oito intervalos iguais Cada um dos painéis retrata o tubo no final de um intervalo no instante indicado / Fonte: USPSC Em resumo, assim como a Figura 74 é descrita por uma senoide cuja amplitude oscila com o tempo (veja a Equação 725), a variação da velocidade u das partículas na Figura 79 é descrita por uma senoide cuja amplitude oscila: onde ( )= () ( ) u x, t A t sen kx, 734 At ()= cos ( ωt ) 735 Para não deixar o ar escapar, o tubo das Figuras 78 e 79 deve ser fechado nas pontas Vamos chamar de L a distância entre as extremidades Nas pontas, a velocidade das partículas do ar é necessariamente nula Assim, se a origem das coordenadas estiver numa das tampas do tubo, u(x, t) deve ser zero em x = 0 e x = L 7 Ondas Mecânicas

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo A condição u(x = 0, t) = 0 é automaticamente satisfeita pela função seno na Equação 734, mas para u(x = L, t) ser zero precisamos impor que ( ) kl = nπ n= 12,,, 736 exatamente como na Equação 728 Com isso, determinamos k e, dado que k = 2π/λ, determinamos os comprimentos de onda que a onda estacionária pode ter Há um modo fundamental, com l 1 = 2L, e modos harmônicos com os comprimentos de onda λ 2, λ 3, λ 4, listados nas Equações 731a à 731e 76 Velocidade A Equação 736 nos diz quais são os vetores de onda que o som pode ter dentro de um tubo fechado Para achar a frequência, precisamos da velocidade, que é dada pela expressão v som = γ P, ρ 737 onde P é a pressão média do ar, ρ a densidade média do ar e γ é um número um pouco maior do que a unidade, que depende do número de átomos numa molécula No ar, como a maioria das moléculas é constituída de oxigênio e nitrogênio, cujas moléculas possuem dois átomos, γ = 1, 4 Em condições usualmente encontradas na nossa vida, a Equação 737 dá v som 340 m/s Frequência Conhecida a velocidade, é fácil calcular a frequência do som Imagine um tubo fechado com um metro de comprimento O modo fundamental, correspondente a n = 1 na Equação 736, tem vetor de onda k =π/ 1 m 739

17 148 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Se você preferir, pode obter o mesmo resultado, lembrando que o comprimento de onda fundamental é duas vezes o tamanho do tubo, λ 1 = 2m, e que k = 2π/λ A frequência angular correspondente é ω 1 = v som k, ou seja ω1 = 340π= 1068 rad / s 740 Se quisermos expressar esse resultado em Hz, o que é tradicional quando se trabalha com som, basta dividir o lado direito por 2π Isso nos dá a frequência = ω 2π =170 Hz v Essa é a frequência do modo fundamental de um tubo fechado de 1 m A partir dela, é fácil calcular as frequências dos harmônicos, que são múltiplos inteiros da frequência do fundamental 78 Conclusão Nesta aula estudamos as ondas numa corda e as ondas sonoras, ambas são ondas mecânicas Numa corda a velocidade da onda depende da tensão e de sua densidade de massa Vimos que quanto mais tensionada estiver a corda, mais rápido a onda se propagada Nas cordas presas nas duas extremidades, pudemos observar as ondas estacionárias, que resultam da superposição duas ondas caminhantes A vibração destas ondas é perpendicular à direção de propagação, sua amplitude varia com a posição e os possíveis comprimentos de onda dependem do tamanho da corda As ondas sonoras são longitudinais, a oscilação está na mesma direção de propagação Estas ondas podem se propagar em meios sólidos, líquidos e gasosos No ar a velocidade de propagação do som depende da pressão e da sua densidade Em condições cotidianas temos que a velocidade do som é aproximadamente 340 m/s Assim como na corda, também podemos observar ondas estacionárias em um tubo Neste caso o comprimento de onda depende do tamanho do tubo Nas duas últimas aulas estudamos as ondas mecânicas Na próxima aula estudaremos as propriedades e características das ondas eletromagnéticas Para produzir uma onda numa corda, fazemos movimento de sobe e desce com as mãos Você sabe como fazer para produzir uma onda eletromagnética? 7 Ondas Mecânicas

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Agora é a sua vez Finalizada a leitura deste texto, continue explorando os recursos disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem Não deixe de realizar as atividades online e assistir à videoaula; ela complementa os conceitos aqui apresentados Referências Frederick, J K; Gettys, W E; Malcolm, J S Física V 2, 2 ed São Paulo: Makron Books, 1999 Nussenzveig, H M Curso de Física Básica São Paulo: Edgard Blucher, 1998 Richard, P F, Robert B L, Matthew, S Lições de Física de Feynman Porto Alegre: Bookman, 2008 Sears & Zemansky, Young & Freedman Física IV 12 ed São Paulo: Addison Wesley, 2009 Tipler, P A Física 4 ed São Paulo: LTC, 2000