Transcrição

1 Na crista da onda

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7 Velocity of propagation Velocidade de propagação 6.4 The motion of water elements on the surface of deep water in

8 Em nenhum destes processos há transporte de matéria... mas há transporte de energia! e momento linear e angular... e há sempre um suporte, isto é, um meio onde a onda se propaga

9 Ondas mecânicas progressivas Numa onda mecânica (ou elástica) progressiva, necessitamos de:! Uma perturbação inicial Um meio onde a onda se propague Um mecanismo físico de contágio

10 Ondas longitudinais Direção de propagação Direção de oscilação

11 Ondas transversais Direção de propagação Direção de oscilação

12 Velocidades... A onda propaga-se com uma certa velocidade, que depende do meio... mas que NÃO está relacionada com a velocidade de oscilação de qualquer partícula do meio!

13 Velocidade do som No ar: 340 m/s Na água: 1500 m/s No aço: >6000 m/s A velocidade de propagação depende do meio... Por exemplo, a velocidade de propagação de uma perturbação numa corda esticada é: v = T µ

14 Como descrever matematicamente uma onda? Onda unidimensional, propagando-se ao longo do eixo dos xx: y(x,t) Função de onda v

15 S,S S S 4.8 t=0 t=1 t= vt vt

16 Então basta mudar de referencial: x=x +vt y =f(x ) y=f(x-vt) Se a onda se deslocar para a esquerda: x=x -vt y=f(x+vt)

17 Se nos deslocarmos de tal modo que x-vt = constante então estamos sempre a acompanhar o mesmo ponto (fase...) da onda. Se tirarmos a derivada desta expressão v = dx dt Velocidade de fase

18 Equação de onda y = f(x vt) u(x, t) =x vt y = f = = = dy du 1 = dy = Onda que se desloca para a direita...

19 Equação de onda y = f(x + vt) y = f (u(x, t)) u(x, t) =x = = dy = = dy du = 1 Onda que se desloca para a esquerda...

20 Equação de onda Não podemos ter uma equação para cada sentido de propagação da 2 2 = d2 y du 2 2 = d2 y = 2 y v 2

21 Funções de onda (ondas progressivas) y(x, t) = 2 (x 3t) 2 +1 Pulsos y(x, t) =e (x 5t)2 y(x, t) = 10 sin (3(x +2t)+ ) Onda periódica y(x, t) = 10 sin(3x)e 10t2 Não é uma onda progressiva!

22 Ondas numa corda esticada A onda desloca-se para a direita e um observador sentado nela vê a zona a sombreado a deslocar-se para a esquerda θ v s θ s T R T θ R O O

23 Ondas numa corda esticada As componentes tangenciais da tensão anulam-se... F r =2T sin 2T m = µ s = µ (2R )... se o pulso for pequeno s massa por unidade de comprimento T θ R θ O θ T F r = m v2 R 2T = µ(2r ) v2 R v = s T µ

24 Ondas periódicas sinusoidais y(x, t) =A sin 2 (x ± vt)+' Amplitude Comprimento de onda Fase na origem

25 y λ A x λ

26 Comprimento de onda Distância mínima entre dois pontos na mesma fase de vibração

27 Ondas periódicas sinusoidais y(x, t) =A sin 2 (x ± vt)+' k = 2 Número de onda y(x, t) =A sin (k(x ± vt)+') Frequência angular! = kv = 2 T Período y(x, t) =A sin (kx ±!t + ')

28 y T A t T

29 Período Duração de um ciclo completo de vibração para um ponto fixo qualquer

30 Haverá uma relação entre período e comprimento de onda? y(x, t) = f(x vt) = f(x + vt) = f(x v(t + T )) = f(x + v(t + T )) x vt = x + v(t + T ) = vt Recorrendo à frequência f = 1 v = f T

31 Velocidades de oscilação e de propagação y(x, t) =A sin (kx ±!t + ') v y (x, t) = Velocidade de oscilação = ±A! cos (kx ±!t + ') Velocidade de partícula em x v = ±! k propagação da onda a y (x, t) y(x, 2 = A! 2 sin (kx ±!t + ')

32 Movimento de um ponto do meio onde se propaga a onda y(x, t) =A sin (kx ±!t + ') y(0,t)=a sin (!t + ') x =0 v y (0,t)=A! cos (!t + ') a y (0,t)= A! 2 sin (!t + ') =! 2 y(0,t) Cada ponto executa movimento harmónico simples! Há uma força de restauro elástica...

33 Princípio da 2 2 = 2 y v 2 Esta equação é LINEAR em 2 y 2 = 2 y 1 v 2 y 2 = 2 y 2 v 2 (y 1 + y 2 2 = 2 (y 1 + y 2 ) v 2 A onda resultante da soma de duas ondas ainda obedece à mesma equação de onda...

34 Sobreposição de ondas Podemos obter uma onda somando várias ondas:! (x, t) = a i f i (x ± v i t)! i Qualquer onda se pode escrever com a soma de onda sinusoidais (análise de Fourier)

35 Somar duas ondas Quando duas ondas se cruzam, isto é, quando o mesmo ponto do meio é perturbado em simultâneo por duas ondas distintas, o resultado é uma perturbação que é a soma algébrica das duas perturbações Diz-se que as duas ondas interferem

36 Somar duas ondas com a mesma fase A 1 sin(kx t + ) +A 2 sin(kx t + ) = (A 1 + A 2 ) sin(kx t + ) Interferência construtiva

37 Somar duas ondas em oposição de fase A 1 sin(kx t + ) A 2 sin(kx t + ) = (A 1 A 2 ) sin(kx t + ) Interferência destrutiva

38 Somar duas ondas com uma diferença de fase arbitrária A sin(kx t) +A sin(kx t + ) sin kx t + 2 = 2A cos 2

39 Somar duas ondas que se propagam com a mesma velocidade em sentido oposto A sin(kx t) +A sin(kx + t) = 2A sin(kx) cos( t) NÃO é uma onda progressiva! Onda estacionária

40 Ondas estacionárias

41 Ondas estacionárias

42 Ondas estacionárias Nodo Ventre ou anti-nodo

43 Ondas estacionárias Ventres: 4, 3 4, 5 4, 7 4,...= n 4 n =1, 3, 5,... Nodos: 2,, 3 2, 2,...= n 2 n =0, 1, 2, 3,...

44 Reflexão de pulsos Incident pulse Extremidade fixa: o pulso refletido inverte a sua fase Incident pulse Reflected pulse Extremidade livre: o pulso refletido mantém a sua fase Reflected pulse

45 Reflexão e transmissão de pulsos Incident pulse (a) T Transmitted pulse Na junção com uma corda mais pesada há inversão de fase no pulso refletido Reflected pulse R Incident pulse Na junção com uma corda (a) mais leve o pulso refletido mantém a sua fase At the Active Figures link at you Reflected pulse R Transmitted pulse T

46 Ondas estacionárias numa corda esticada Numa corda de comprimento L esticada (extremidades fixas!) apenas são permitidas ondas em que o comprimento de onda é: sin(kl) = 0 kl = n = 2L n

47 Ondas estacionárias numa corda esticada L f 2 (a) n = 2 (c) L = λ 2 A N N f 1 f 3 n = 1 L = 1 λ 2 1 n = 3 L = 3 λ 2 3

48 Ondas estacionárias numa corda esticada n = 2L n =1, 2, 3,... n s f n = v = n T n =1, 2, 3,... n 2L µ s f 1 = 1 T 1ª harmónica Frequência fundamental 2L µ 2ª harmónica 3ª harmónica 4ª harmónica f 2 =2f 1 f 3 =3f 1 f 4 =4f 1 1ª harmónica 2ª harmónica 3ª harmónica

49 Ondas estacionárias numa corda esticada Combinações diferentes de harmónicas secundárias produzem sons diferentes (timbre...)

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51 Ondas estacionárias num tubo aberto L λ 1 = 2L f 1 = v = v λ 2L λ 1 λ 2 = L f 2 = v = 2f L 1 2 λ 3 = L 3 f 3 = 3v = 3f 2L 1 f n = n v 2L n =1, 2, 3,...

52 Ondas estacionárias num tubo aberto/fechado λ 1 = 4L f 1 = v = v λ 4L λ 1 4 λ 3 = L 3 f 3 = 3v = 3f 4L 1 4 λ 5 = L 5 f 5 = 5v = 5f 4L 1 f n = n v 4L n =1, 3, 5,...

53 Somar duas ondas quase iguais A sin(k 1 x 1t) +A sin(k 2 x 2t) = 2A cos( kx t) sin(kx t) Batimento k = k 1 + k 2 2 = k = k 1 k 2 2 = 1 2 2

54 A cos( kx! t)sin(kx!t)

55 Batimentos Num batimento a onda organiza-se em grupos que se deslocam com velocidade v g = k A velocidade de grupo é diferente da velocidade de fase e obtém-se tomando o limite Δk 0 v grupo = d dk = v fase + k dv fase dk

56 Transporte de energia Qual é a energia cinética de um segmento de corda que oscila? de c = 1 2 (dm)v2 y de c = 1 2 (µdx)v2 y de c = 1 2 (µdx)( A! cos (kx ±!t + '))2

57 Transporte de energia Se escolhermos um instante (t=0?) e integrarmos ao longo de um comprimento de onda... E c = Z 1 (µdx)( A! cos (kx + '))2 2 0 = 1 2 µa2! 2 Z 0 cos 2 (kx + ') dx = 1 2 µa2! = 1 4 µ!2 A 2

58 Transporte de energia E c = 1 4 µ!2 A 2 Se calcularmos a energia potencial elástica da mesma forma: E p = 1 4 µ!2 A 2 E m = E c + E p = 1 2 µ!2 A 2

59 Transporte de energia Esta energia passa por um dado ponto da corda a cada período de oscilação, logo a taxa de transferência de energia é: P = E m T = 1 T 1 2 µ!2 A 2 = 1 2 µ!2 A 2 v

60 Ondas multi-dimensionais y x t

61 Frente de onda A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos na mesma fase... sin(kx!t) sin f( ~ k,~r)!t

62 Onda circular/esférica sin(kx!t) sin (kr!t) kr = constante

63 Onda plana sin(kx!t) sin ~k ~r!t ~ k ~r = constante

64 Princípio de Huygens Cada ponto de uma frente de ondas é um centro emissor de ondas esféricas

65 Princípio de Huygens

66 Princípio de Huygens

67 Princípio de Huygens

68 Princípio de Huygens d<<λ λ λ

69 Experiência de Young λ λ/2 Interferência λ/2 escuro claro A escuro d claro... O B escuro claro crista cava escuro alvo D (distância ao alvo)...

70 Fenda dupla y P d L 1 y max D d d A B C θ L 2 O A θ d D alvo L 2 L 1 = n, n = 0, ±1, ±2,... B C

71 Fenda dupla A L 2 L 1 = n, n = 0, ±1, ±2,... d θ BC = L 2 L 1 = d sin y P L 1 B C d sin = n d A B C θ L 2 O y max sin tan = y max D y max = n D d D alvo (n = 0, ±1, ±2,...) y = D d Posição dos máximos Distância entre máximos

72 Fenda múltipla Ν = 2 Ν = 4 Ο N Ο

73 Difração d<<λ λ λ Onda esférica A fenda é muito pequena d Há várias ondas esféricas que interferem... Difração

74 Difração P x 1 λd d 0 λd d d/ θ l θ 0 10 D alvo Interferência destrutiva: l = n + 2 l = d 2 sin sin tan = x D x min = ± n D d n =1, 3, 5,...

75 Fonte sonora em movimento A velocidade de propagação de uma onda NÃO depende da velocidade da fonte ou do recetor O que se passa então quando a fonte ou o emissor se movem? A sirene das ambulâncias tem um som diferente à medida que elas passam por nós...

76 Pulsos emitidos de T em T segundos Ι 2 Ι 1 Ι 0 v... emissor λ receptor f = v f =?

77 Fonte em movimento Ι 0 v t = 0 v F Ι 1 λ Ι 0 v t = T v F d Ι 2 λ' Ι 1 Ι 0 v t = 2T v F

78 fonte parada Ι 3 Ι 2 Ι 1 λ Ι 0 fonte em movimento Ι 3 Ι 2 Ι 1 λ' Ι 0 v F = v F T = 1 f = v v v v F f

79 Efeito Doppler f = v v v F f A fonte aproxima-se + A fonte afasta-se λ λ' v f = v v v F cos f v θ F Apenas a componente de vf na direção de propagação afeta a frequência da onda Figura 6.4

80 Recetor em movimento Ι 2 Ι 1 λ Ι 0 v v R receptor Num intervalo Δt ao recetor chegam n pulsos f = n t = v + vr = v + v R v f n = v + vr t f = v ± v R v f + O recetor aproxima-se O recetor afasta-se

81 Efeito Doppler f = v ± v R f v v F Α v F Β f = v ± v R cos R v v F cos F f

82 E se vf v? Se vf=v, a perturbação é produzida num ponto onde já está presente... Onda de choque P vt θ P' sin = v v F v F t Número de Mach = 1 sin

83 Ondas de choque 1973 Kim Vandiver & Harold E. Edgerton/Courtesy of Palm Press, Inc.

84 Polarização Direção de propagação Só para ondas transversais!