Superposição de ondas

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Carolina Pedroso Amarante
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1 Superposição de ondas A superposição de ondas resulta numa onda que corresponde à soma algébrica das ondas sobrepostas A superposição de ondas não afeta de nenhum modo a progressão de cada uma

2 y x

sen méd t 1 2 1 2 méd 2 f bat t 2 p cos f f t sen

4 Interferência Batimentos Ondas Sonoras t p sen t t p sen t p1 o 1 p2 o 2 Tempo p t 2 p o cos 1 2 t sen méd t méd 2 f bat t 2 p cos f f t sen f f t p o f 1 f 2 É a frequência de batimento

5 O som que se ouve tem uma frequência média f méd f f E uma amplitude de 2 p cosft o Com oscilação na frequência de batimento f bat = f

6 Ex 16-2 Quando um diapasão de 440 Hz (nota lá de afinação de uma orquestra) soa simultaneamente com o som da corda lá de uma guitarra levemente desafinada, três batimentos por segundo são ouvidos. Apertase (estica-se) um pouco a corda da guitarra para aumentar sua frequência; a frequência de batimento aumenta para 6 batimentos por segundo. Conforme a corda da guitarra é levemente apertada, há um leve aumento em sua frequência de batimento. Qual era a frequência produzida pela corda da guitarra antes de ter sido apertada?

7 Diferença de fase devido à diferença de Percurso L 1 L 1 L 2 L 2 P 1 e P 2 são os pontos de interferência As funções de onda para ondas originadas de duas fontes que oscilam em fase pode ser escritas como: p 1 = p 0 sen (kl 1 t) e p 2 = p 0 sen (kl 2 t) A diferença de fase para estas duas ondas será: d = (kl 2 t) - (kl 1 t) = k(l 2 L 1 ) = kl Sabendo que k = 2/l, d = kl = 2 L l

8 Interferência d L 2 Construtiva Destrutiva Ondas Sonoras L 2 1 l L l, 2l, 3l... l 3l 5l L,,... Número ímpar de 0,5l 2 2 2

10 Ex 16-3 Duas fontes sonoras oscilam em fase. Para um ponto distante 5 m de uma das fontes e 5,17 m da outra, a amplitude do som de cada fonte, separadamente, é p 0. Calcule a amplitude da onda resultante se a frequência da onda sonora for de (a) 1000 Hz, (b) 2000 Hz e (c) 500 Hz. (Admita que a velocidade do som é de 340 m/s.) Ex 16-4 Dois alto-falantes, um diante do outro, estão separados por uma distância de 180 cm e são alimentados por um oscilador de áudio comum de 680 Hz. Localize o ponto entre os dois alto-falantes, ao longo da linha que passa pelos respectivos centros, no qual a intensidade do som é (a) máxima e (b) mínima. (Despreze a variação da intensidade de cada um dos altofalantes com a distância e admita que a velocidade do som é de 340 m/s.)

11 Ondas Estacionárias Reflexão de uma onda numa corda nas suas fronteiras

12 Ondas Estacionárias nó antinó Se duas ondas com a mesma amplitude e comprimento de onda, se deslocarem em sentidos opostos ao longo da mesma direção, a sua interferência produzirá um onda estacionária

13 Ondas Estacionárias nó l 2 Antinó ou ventre x, t y senkx t 1 y2 x, t ymsen kxt y m x, t 2 y senkxcos t y m amplitude na posição x termo oscilante

14 Ex 16-7 As funções de onda para duas ondas com iguais amplitudes, frequências e comprimentos de onda, mas que se deslocam em sentidos opostos, são dadas por y 1 = y o sen (kx - t) e y 2 = y o sen (kx + t). Mostre que a superposição dessas duas ondas é uma onda estacionária, (b) Uma onda estacionária em uma corda com ambas as extremidades fixas é dada por y(x,t) = (0,024 m) sen(52,3 m -1 x) cos(480 s -1 t). Calcule a velocidade das ondas na corda e a distância entre nós adjacentes para as ondas estacionárias.

15 FII QA As ondas incidente e refletida combinam-se de acordo com o princípio da superposição. Para uma dada corda ou tubo, existem certas frequências para as quais a superposição provoca um padrão de vibração estacionário, chamado de ondas estacionárias. MRCP DF UM

16 Ondas Estacionárias Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nós situados nas extremidades. Modo fundamental ou primeiro harmónico 2L n 1 l f1 1 1 v 1 2L Segundo harmónico n 2L 2 l f2 2 Terceiro harmónico n 2 2L 3 l f v 2L v 2L

17 Ondas Estacionárias Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nós situados nas extremidades. Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para: 2L v l f n nf n 1 n n 2L com n = 1, 2, 3, Condição de onda estacionária

18 Ex 16-5 Uma corda é esticada entre dois suportes fixos, separados de 0, 7 m. A força de tração é ajustada até a frequência fundamental correspondente à da nota LÁ de afinação, 440 Hz. Qual a velocidade das ondas transversais na corda? Ex 16-6 Existe um emprego de verão em uma loja de música. O trabalho consiste em ajudar o proprietário a construir instrumentos. O primeiro problema é testar um novo fio para possível uso em pianos. O novo empregado é informado que 3 m do fio têm 0,0025 kg/m e que foram encontradas duas frequências de ressonância. Uma das frequências é de 252 Hz e a imediatamente seguinte a essa é de 336 Hz. O problema é determinar a frequência fundamental do fio e determinar se o fio é ou não uma boa escolha para ser usado como corda de piano. O proprietário ainda informa que, por razões de segurança, a resistência à força de tração no fio não deve ser superior a 700 N.

19 Ondas Estacionárias Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nós situados na extremidade presa e o ventre na extremidade livre. Modo fundamental ou primeiro harmónico 4L n 1 l f1 1 1 v 1 4L L 1 l 4 Terceiro harmónico n 4L 3 l f v 4L L 3 l 4 Quinto harmónico n 4L 5 l f v 4L L 5 l 4

20 Ondas Estacionárias Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nós situados na extremidade presa e o ventre na extremidade livre. Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para: 4L v l f n nf n 1 n n 4L com n = 1, 3, 5,

21 Ondas Sonoras Ondas sonoras estacionária (ressonância) f n Tubo aberto dos dois lados n v 2L nf 1 com n = 1, 2, 3, f n Tubo aberto num dos lados v n 4L nf 1 com n = 1, 3, 5,

22 Lef = L + L Onde L é a correção da extremidade, que é da ordem do diâmetro do tubo

23 Ex 16-8 Se a velocidade do som é de 340 m/s, quais as frequências permitidas e os comprimentos de onda em um tubo aberto (com ambas as extremidades livres) de um órgão que apresenta comprimento efetivo de 1 m? Ex 16-9 Quando um diapasão de 500 Hz é golpeado e aproximado de um tubo parcialmente cheio de água, como mostra a Figura 16-18, observam-se ressonâncias quando o nível de água está a distâncias L = 16,0 cm; 50,5 cm; 85,0 cm e 119,5 cm a partir do topo do tubo. (a) Qual a velocidade do som no ar? (b) A que distância a partir da extremidade aberta do tubo está localizado o antinó de deslocamento?

24 Análise de movimentos periódicos Análise de Fourier Teorema de Fourier uma função periódica f(t) de período T=2π/ω pode ser expressa como uma sobreposição de termos harmônicos simples t f a0 a1 cost a2 cos2t... an cos nt... b1 sin t b2 sin 2t... bn sin nt... Qualquer movimento periódico pode ser considerado como a sobreposição de movimentos harmônicos simples

29 FIM

30 FII QA Two point sources that are in phase are separated by a distance d. An interference pattern is detected along a line parallel to the line through the sources and a large distance D from the sources. (a) Show that the path difference from the two sources to some point on the line at a small angle q is given approximately by s = d sin q. (Hint: Assume that the lines from the sources to P are approximately parallel.) (b) Show that the distance y m from the central maximum point to the mth interference maximum is given approximately by y m = m(dl/d). MRCP DF UM

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