Ondas Eletromagnéticas. Física Geral IV FIS503

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Washington Barroso Pais
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1 Ondas Eletromagnéticas Física Geral IV FIS53 1

2 Questão 1 A fig. mostra duas fotografias tiradas em instantes de tempo diferentes de uma corda na qual se propaga, no sentido positivo do eixo x, uma onda harmônica transversal y(x,t). A primeira fotografia (linha cheia) foi tirada no instante de tempo t = s e a segunda fotografia (linha tracejada) em t =,5 s. (a) Determine a velocidade v de propagação da onda na corda. (b) Determine a amplitude, o número de onda, a frequência angular, a constante de fase e escreva a equação para y(x,t).

3 Questão Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco (m = kg), uma mola (k = 1, N/m) e uma força de amortecimento F = -bv. Inicialmente ele oscila com amplitude de 5, cm. Devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para três quartos do seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações. (a) Qual o valor de b? (b) Quanta energia foi dissipada durante essas oscilações? Dica: para um oscilador pouco amortecido ω ω.

4 Questão 3 O tubo de Kundt pode ser empregado para medir a velocidade do som em gases. É um tubo de vidro que contém um gás, fechado numa extremidade por uma tampa M que se faz vibrar com uma frequência f conhecida (por exemplo, acoplando-a a um alto falante) e na outra fechada por um pistão P que se faz deslizar, variando o comprimento do tubo. O tubo contém um pó fino (serragem, por exemplo). Ajusta-se o comprimento do tubo com o auxilio do pistão até que ele entre em ressonância com a frequência f, o que se nota pelo reforço da intensidade sonora emitida. Observa-se então que o pó fica acumulado em montículos igualmente espaçados, de espaçamento l, que se pode medir. (a) A que correspondem as posições dos topos dos montículos? (b) Mostre que a relação entre l, f e v (a velocidade do som no gás) é dada por: v= lf. (c) Com o tubo cheio de CO a o C e f = 88 Hz, o espaçamento médio medido é de 15, cm. Qual é a velocidade do som no CO a o C?

5 Ondas Eletromagnéticas Física Geral IV FIS53 5

6 Ondas Eletromagnéticas: O que são? Radiação eletromagné=ca é uma forma de energia que se propaga no espaço, em meios materiais ou mesmo no vácuo; No vácuo, ela se propaga na forma de ondas eletromagné.cas com uma velocidade bem definida, designada c, a velocidade da luz no vácuo; Ela é emi=da e absorvida por parfculas com carga elétrica aceleradas; E B B Numa onda eletromagné=ca, temos o campo elétrico e o campo magné=co que oscilam, e guardam uma relação fixa entre si; e são perpendiculares entre si, e também perpendiculares à direção em que a onda se propaga. E 6

7 7

8 Um pouco da história... Oersted mostrou que corrente elétrica produz campo magné=co. Faraday mostrou que campos magné=cos variáveis no tempo produzem campos elétricos. Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis no tempo produzem campos magné=cos variáveis no tempo (lei da indução de Maxwell). ( E r t) B(, r, t) (reciprocidade) 8

9 No vácuo As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do campo magnético (elétrico). 9

10 A equação de onda Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra vetorial, podemos obter as seguintes equações de onda sem fontes ρ(r,t) = e J(r,t) = : 1

11 A equação de onda Já vimos que: 1 v y t y x = É a equação de uma onda que se propaga com velocidade v. Comparando... 1 v = µ ε Aqui y pode ser qualquer uma das componentes de E ou B: E x,e y,e z,b x,b y,b z. 11

12 Ondas eletromagnéticas E = E sen( kx ωt) y m B = B sen( kx ωt) z m A equação de onda 1 v y t y x = E B m Ey = ω 1 = c c c = k B µ ε m = z Em 3D: E( r,t) = E m sin( k r ω t) 1

13 A equação de onda Portanto, temos: v = 1 µ ε Lembrando que: 1 = N m 4πε C v = 1 µ ε = m / s µ = 4π 1 7 T m A Hoje: c = m/s 13

14 James Clerk Maxwell 186 A velocidade das ondas transversais em nosso meio hipotético, calculada a partir dos experimentos eletromagnéticos dos Srs. Kolhrausch e Weber, concorda tão exatamente com a velocidade da luz, calculada pelos experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil evitar a inferência de que a luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos. 14

15 Ondas eletromagnéticas planas E y (x,t)= E m sin k(x ct) = E m sin(kx ωt); ω = ck 15

16 Ondas planas... ( ) ( ) E y = E m sen kx ωt B z = B m sen kx ωt As expressões para E y e B z nos dão as componentes respec=vas para cada x e cada t. Agora os valores de E y e B z dependem apenas de x e não dependem das coordenadas y e z do ponto no espaço. Isso significa que todos os pontos com o mesmo x terão as mesmas componentes dos campos. Portanto, em todos os pontos do plano que corresponde a um dado x, os campos serão iguais. 16

17 Para ajudar você a imaginar uma onda plana... 17

18 Transporte de energia As densidades de energia elétrica e magnética 1 ), ( como E c E t r u c E B B ε µ = = = ), ( e 1 ), ( µ ε B t r u E t r u B E = = A densidade total de energia armazenada no campo de radiação ), ( ), ( ), ( E t r u t r u t r u B E ε = + = 1 c = µ ε 18 u = ΔU ΔV c = 1 µ ε

19 Transporte de energia Definindo S (vetor de Poynting) : E S 1 E µ B B S Propriedade _sica: I = S I ΔU Δa Δt E B = µ I Potência transmitida: P = du dt = S nˆ A da 19

20 Transporte de energia Como E ( r, t) = E sin ( k r ω t) A média temporal da densidade de energia é dada por u = ε E = ε E m 1 T T sin ( k r ω t) dt u = 1 ε E m

21 Transporte de energia y Intensidade da radiação: definida pela média ΔU E I ΔU Δa Δt B d a k x I ΔU ΔaΔt = ΔU ΔaΔl Δl Δt = ΔU ΔV c = uc z Δl = cδt u = 1 ε E Como: I = 1 cε E

22 Ondas eletromagnéticas Transporte de energia Se a potência fornecida pela fonte é P f temos P Ondas eletromagnéticas esféricas f = A S nˆ da Emissão isotrópica: P f = 4π R S S nˆ = S rˆ = S I = S = P f 4π R

23 Exercício: Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média de 4, kw. Uma antena de dipolo de recepção de 65, cm de comprimento está a 4, km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as extremidades da antena receptora. y E f B L =,65 m d = 4 km x

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