A Equação de Onda em Uma Dimensão (continuação) Consequências do Princípio de Superposição

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1 A Equação de Onda em Uma Dimensão (continuação) Consequências do Princípio de Superposição O princípio de superposição nos diz que quando houver mais de uma onda se propagando em uma corda, a onda resultante é dada pela combinação linear dessas ondas individuais. Vamos considerar, a seguir, diferentes casos de duas ondas harmônicas propagando-se em uma corda e aplicar o princípio de superposição a elas para ver que tipo de onda resultante ocorre. A análise matemática de cada caso poderá nos levar a resultados inesperados, que então deverão ser interpretados fisicamente. Esses resultados novos constituem as previsões do princípio de superposição e é a partir da verificação experimental da sua existência ou não que se comprova se o princípio de superposição é válido ou não. Vamos considerar três casos aqui, sempre envolvendo duas ondas harmônicas: () as ondas se propagam na mesma direção, mas têm amplitudes e fases diferentes; () as ondas são idênticas, mas se propagam em direções opostas; e (3) as ondas se propagam na mesma direção e têm a mesma amplitude e fase, mas têm frequências ligeiramente diferentes.

2 o caso: Duas ondas harmônicas iguais, mas de amplitudes e fases diferentes, propagando-se na mesma direção. Vamos chamar as duas ondas de e e vamos supor que elas têm o mesmo comprimento de onda λ e a mesma frequência angular ω. As amplitudes das duas ondas serão indicadas por A e A e a diferença de fase entre elas será chamada de φ. Sem perda de generalidade, podemos supor que a onda tem fase zero e a onda tem fase φ. Portanto, as duas ondas podem ser descritas pelas funções, ( kx ωt ) y ( x, t) = A cos () e ( kx ω + φ ) y ( x, t) = A cos t. () Quando as duas ondas coexistem na mesma região da corda, a onda resultante é dada pelo princípio de superposição, y ( ( kx ω t) + A cos( kx ω + φ) x, t) = y ( x, t) + y( x, t) = A cos t. (3) Já vimos como simplificar uma expressão como esta na aula 6, que tratou de superposição de oscilações (dê uma olhada nas notas da aula 6 para relembrar). Por causa disso, algumas passagens a seguir serão feitas mais rapidamente (para maiores detalhes, consulte as notas da aula 6).

3 Podemos usar a representação de y e y em termos de números complexos e escrever, ( kx ω t ) i( kx ωt + φ ) i z ( x, t) = Ae e z ( x, t ) = Ae de maneira que ( kx ωt ) i( kx ωt + φ ) i( kx ωt ) iφ + A e = e ( A A e ) i z + z = Ae + Esta expressão pode ser escrita como, (4). (5) i( kx ω t ) iβ i ( kx ωt + β ) + z = e Ae = Ae, (6) z onde A e β são dados por e A = A + A + A A cosφ (7) A senβ senφ A =. (8) A solução física real é dada pela parte real de (6), y ( z + z ) = Acos( kx ω + β ) + y = Re t. (9) Logo, a superposição de duas ondas harmônicas de mesma frequência e mesmo comprimento de onda, mas com amplitudes e fases diferentes, que se propagam no mesmo sentido é também uma onda harmônica com a mesma frequência e o mesmo comprimento de onda propagando-se no mesmo sentido. 3

4 Lembrando da equação (37) da aula 7, que diz que a intensidade de uma onda harmônica é proporcional ao quadrado da sua amplitude, e usando a equação (7), que relaciona o quadrado da amplitude da onda resultante da superposição com as amplitudes das ondas individuais, podemos escrever, I = I + I + I cosφ. (0) I Este resultado é importante e constitui uma previsão do princípio de superposição que é comprovada experimentalmente para ondas: embora a onda resultante da superposição de duas ondas harmônicas seja, ela mesma, uma onda harmônica dada pela soma das duas ondas, a intensidade da onda resultante é diferente da soma das intensidades das duas ondas. Este fenômeno é típico de ondas e é chamado de interferência. Note que, segundo a equação (0), a intensidade da onda resultante depende do cosseno da diferença de fase entre as duas ondas. Portanto, a intensidade será máxima (interferência construtiva) quando cos φ =, isto é, quando, ( 0, ±,,K) = mπ m = ± φ. () Note que podemos escrever o valor máximo de I como, 4

5 max ( I I ) I + =. () Por outro lado, a intensidade será mínima (interferência destrutiva) quando cos φ =, ou seja, quando, ( m + ) π ( = 0, ±, ±,K) φ = m, (3) e o valor da intensidade mínima é, I min ( I I ) =. (4) Um caso particular interessante ocorre quando as amplitudes das duas ondas y e y são iguais. Neste caso, I = I e as intensidades máxima e mínima da onda resultante são, respectivamente, I = I e I 0. (5) max 4 min = No caso de interferência destrutiva de duas ondas idênticas e de mesma amplitude, a intensidade da onda resultante é nula. o caso: Duas ondas harmônicas iguais, com mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma frequência e mesma fase, propagando-se em direções opostas. Como as duas ondas têm a mesma fase, para simplificar vamos supor que a fase é zero. As duas ondas são então escritas como y ( kx ω t) e y = A ( kx + ωt) = Acos cos. (6) 5

6 Note que a onda viaja para a direita e a onda viaja para a esquerda. A superposição das duas ondas nos dá, [ cos( kx ω t) + ( kx + ωt) ] y = y + y = A cos. (7) Usando as fórmulas para o cosseno da soma e da subtração a expressão acima pode ser reescrita como (mostre como exercício), ( kx) cos( ωt) y = A cos. (8) O que a equação matemática acima nos diz é que a onda resultante da superposição das duas ondas iguais que se propagam em sentidos contrários não se propaga. Note que ela não tem o termo (kx ± ωt) característico da função de onda de uma onda propagante. A onda resultante neste caso é dita estacionária. Ondas estacionárias também são previsões do princípio de superposição cuja existência é comprovada experimentalmente. Em uma onda estacionária unidimensional, cada ponto x executa um movimento harmônico simples com frequência angular ω e amplitude que depende da posição ao longo da corda, A = A(x). 6

7 No caso da onda estacionária obtida acima, dada pela superposição de duas ondas harmônicas idênticas propagando-se em sentido contrário, a sua frequência angular é igual à das duas ondas que a originam e a sua amplitude é A(x) = Acos(kx). As amplitudes das oscilações dos diferentes pontos da corda dependem do ponto. A figura abaixo mostra o perfil cossenoidal do envelope que delimita as oscilações dos pontos da corda. Observe que há pontos x que não oscilam, permanecendo sempre em repouso. Esses pontos são chamados de nodos e estão indicados na figura por setas. Por outro lado, há ponto na metade de dois nodos para os quais a amplitude de oscilação é a máxima possível. Esses pontos são chamados de ventres. As posições x para as quais a amplitude é máxima são dadas por cos(kx) = ±, ou seja, kx = 0, π, π, 3π, K, nπ ( n inteiro). 7

8 Como k = π/λ, essas posições são: Posições dos ventres: λ 3λ nλ x = 0,, λ,, λk, ( n inteiro). Já as posições da corda que nunca oscilam (nodos) são dadas por, o que implica que: Posições dos nodos : π 3π 5π nπ kx =,,, L, ( n ímpar), (9) λ 3λ 5λ nλ x =,,, L, ( n ímpar). (0) Uma onda estacionária não se propaga, portanto a velocidade v de uma onda estacionária é zero. Olhando para a equação (39) da aula 7, que dá a energia média transportada por uma onda, vemos que ela é proporcional a v. Isto implica que a energia média transportada por uma onda estacionária é nula. Podemos entender isso notando que as duas ondas harmônicas que se combinam para formar a onda estacionária têm fluxos de energia iguais, mas de sentidos contrários. Esses fluxos se anulam com a soma das ondas, resultando em um fluxo médio de energia nulo. 8

9 3 o caso: Duas ondas harmônicas com mesma amplitude, mesma fase, mas comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes propagando-se na mesma direção. Este caso também é muito similar ao que já foi visto na aula 6 quando tratamos de batimentos. Portanto, algumas passagens aqui serão feitas mais rapidamente (para maiores detalhes, consulte as notas de aula da aula 6). Como as duas ondas têm a mesma fase, vamos supor, para simplificar, que essa fase é zero. Também vamos supor que as duas ondas se propagam para a direita. Podemos, então, escrever as duas ondas como e ( k x t ) y ( x, t) A cos ω =, () ( k x t ) y ( x, t) A cos ω =. () Vamos supor, sem perda de generalidade, que k > k e ω > ω. Para facilitar as contas, vamos fazer as seguintes definições: e ω + ω k + k ω = e k =, (3) ω = ω ω e k = k k. (4) 9

10 Como estamos supondo que as frequências e números de onda são apenas ligeiramente diferentes, podemos escrever, Podemos então escrever, y ou y ω << ω e k << k. (5) k ω k ω = Acos k + x ω + t e y = Acos k x ω t, k ω k ω ( kx ω t) + x e y = Acos ( kx t) x t = Acos t de maneira que ω, y = y + y = A cos ω t. k ω k ω ( kx t) + x t + cos ( kx ωt) x Usando as fórmulas para o cosseno da soma e da subtração podemos escrever a expressão acima como (mostre como exercício), y k ω ( x t) = Acos x t cos( kx ωt),. (6) A expressão acima contém dois termos que correspondem a ondas harmônicas propagando-se para a direita: ( kx ωt) k ω cos e cos x t. O termo com frequência ω e número de onda k oscila com uma frequência (temporal) muito maior que a do outro termo, mas com um comprimento de onda (espacial) λ = π / k muito menor. 0

11 A figura abaixo mostra um instantâneo (uma foto para t fixo) da situação. As duas ondas de cima são as duas ondas harmônicas que se superpõem e a onda de baixo é a onda resultante. Temos uma onda de comprimento de onda λ pequeno (e frequência alta) modulada por outra onda de comprimento de onda λ mod grande (e frequência baixa). Podemos interpretar este comportamento como sendo o de uma onda harmônica de alta frequência e baixo comprimento de onda propagando-se para a direita com amplitude A(x,t) modulada por outra onda harmônica propagando-se para a direita, mas com frequência bem menor e comprimento de onda bem maior. No caso, a amplitude variável A(x,t) é dada por,

12 A k ω ( x, t) = Acos x t Este fenômeno já foi visto por nós antes. (7) e é conhecido como batimento. Ele é outra previsão do princípio de superposição que é observada em vários tipos de ondas. Como a intensidade de uma onda harmônica (fluxo de energia por um dado ponto do espaço por unidade de tempo) é proporcional ao quadrado da amplitude, a expressão acima indica que, quando houver batimento entre duas ondas, a intensidade da onda resultante em um dado ponto fixo do espaço oscilará no tempo conforme um cosseno ao quadrado. Em particular, afinadores de instrumentos utilizam o fenômeno de batimento para afinar instrumentos com o uso de um diapasão. Quando a frequência da nota musical do instrumento se aproxima da frequência do diapasão, ouve-se um som com intensidade variável:... aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa... Quanto mais próxima for a frequência do instrumento da do diapasão, mais lenta será a modulação do som ouvido e o instrumento estará mais bem afinado. Na aula 6, só que lá a modulação ocorria apenas no tempo. Aqui ela ocorre no espaço e no tempo.

13 Como exercício para casa, faça gráficos da equação (6) no domínio do espaço e no domínio do tempo, isto é, gráficos de y(x,t) versus x para t fixo (como o acima) e gráficos de de y(x,t) versus t para x fixo. Faça gráficos para diferentes valores de t e os superponha para tentar determinar graficamente a velocidade da onda. Se você ficou em dúvida sobre o que fazer, veja abaixo. A equação (6) contém duas ondas harmônicas. Uma de maior frequência (ω ) e outra de menor frequência ( ω). Lembrando da aula 5, a velocidade de propagação de uma onda é dada pela razão entre a sua frequência e o seu número de onda (v = ω/k). Logo, temos duas velocidades de onda aqui. A onda de maior frequência se propaga com velocidade ω v =, (8) k que é chamada de velocidade de fase. Ela é chamada de velocidade de fase porque estamos considerando que a onda de frequência menor ( ω) é parte do termo que determina a amplitude da onda de frequência maior (ω ). Desta forma, aquilo que estamos chamando de fase da onda neste curso é o argumento da função ( kx ωt) cos. 3

14 ( x, t) = kx ωt fase : ϕ. (9) No entanto, a onda de menor frequência (a que define o envoltório da onda de maior frequência) também tem uma velocidade de propagação, dada por: v g = ω. (30) k Esta é chamada de velocidade de grupo da onda. Podemos imaginar a velocidade de grupo como a velocidade com que o pacote de ondas dado pela envoltória da onda se propaga (é por isso que ela recebe o nome de velocidade de grupo). Em geral, a velocidade de fase e a velocidade de grupo são iguais. Por exemplo, quando as freqüências ω e ω forem muito próximas uma da outra podemos escrever a velocidade de grupo como v g ω dω =. (3) k dk Quando a velocidade de fase de uma onda não depende da sua frequência, como no caso de uma onda em uma corda homogênea ou da luz no vácuo, ω v = = constante, k o que implica que ω = vk e a derivada de ω em relação a k é igual a v. Portanto, as velocidades de fase e de grupo são iguais. 4

15 Porém, existem situações em que a velocidade de propagação da onda depende da sua frequência (ou do comprimento de onda, ou ainda do número de onda), como é o caso das ondas eletromagnéticas se propagando em meios materiais. Nesses casos, podemos escrever o que implica que ( k ) ω = kv, (3) ( k) dv( k ) dω dv v g = = v( k) + k = vfase + k dk dk dk. (33) Ou seja, as velocidades de fase e de grupo são diferentes. Em um ω é caso como este, diz-se que ocorre dispersão e a equação = kv( k) chamada de relação de dispersão da onda. Este é o caso, por exemplo, da luz branca quando penetra em um meio material como o vidro, o que faz com que cada uma das suas componentes (do vermelho ao violeta) tenham velocidades de fase diferentes e, portanto, sejam difratadas por ângulos diferentes. Um caso importante onde não ocorre dispersão é o de ondas sonoras em gases. Sons de diferentes comprimentos de onda viajam pelo ar com a mesma velocidade. Imagine como seria nossa percepção dos sons, por exemplo de um conjunto musical, caso houvesse dispersão de ondas sonoras no ar 5

16 Quando ocorre um fenômeno de dispersão as ondas individuais dentro da envoltória se movimentam em relação a ela, podendo ter velocidades maiores do que a velocidade de grupo. Em um caso assim, as ondinhas individuais dentro de um pacote nascem na sua extremidade da esquerda, se propagam dentro do pacote e desaparecem na sua extremidade direita. Às vezes, a velocidade com que essas ondinhas se movem é maior do que a velocidade da luz. Porém, os cálculos feitos para os vários tipos de ondas (acústicas, eletromagnéticas, etc) mostram que a velocidade de propagação da energia é a velocidade de grupo e esta sempre tem valor menor ou igual ao da velocidade da luz. Reflexão de ondas Quando uma onda propagante se depara com uma barreira, ou uma interface entre dois meios diferentes, podem ocorrer interessantes fenômenos conhecidos como efeitos de borda ou de fronteira. Vamos consider aqui, do ponto de vista qualitativo, apenas um desses fenômenos: o de reflexão. Vamos novamente usar o caso da onda em uma corda como exemplo. Para um tratamento quantitativo geral, veja o apêndice desta aula. 6

17 Consideremos um pulso que se propague da esquerda para a direita em uma corda. Vamos supor que a extremidade direita da corda está presa a um suporte, de maneira que ela não possa se movimentar (dizemos que a sua extremidade está fixa, ou presa). O que acontece quando o pulso chega a essa extremidade fixa da corda? Antes de mais nada, vamos considerar o que acontece com a corda quando um pulso se propaga por ela (veja a figura abaixo). A figura mostra o perfil da corda quando um pulso se propaga por ela, para a direita, em dois instantes de tempo. A figura mostra também, de maneira esquemática (sem qualquer pretensão de escala), as velocidades instantâneas de cada ponto da corda quando o pulso está com seu pico na origem (setas vermelhas). Note que o deslocamento se dá para a direita porque a tendência de cada ponto à esquerda do pico é se deslocar para baixo e a tendência de cada ponto à direita do pico é se deslocar para cima. 7

18 Observe o pedaço da corda logo à direita do fim do pulso centrado na origem. No instante seguinte ao do desenho, esse pedaço começará a se movimentar para cima, pois a onda irá passar por ele. Esse pedaço de corda, portanto, sairá do repouso e adquirirá uma velocidade transversal v y não nula. Isto ocorre porque a parte da corda à esquerda do pedaço faz uma força sobre ele. Imagine agora que o pulso chegou à extremidade direita da corda, que está presa a um suporte como na figura abaixo. 8

19 Quando o pulso encontra o suporte ele faz uma força para cima sobre o suporte, assim como ele fazia com o pedaço de corda à sua direita. O suporte, porém, não se move. Em contrapartida, pela 3 a lei de Newton o suporte exerce sobre a corda uma força igual e de sentido contrário, isto é, para baixo. Esta força inverte a forma do pulso, que começa a se propagar para a esquerda com essa forma invertida. A reflexão de uma onda numa extremidade em que ela está presa produz uma onda refletida defasada de 80 o (isto é, invertida) em relação à onda incidente. Um caso diferente ocorre quando o pulso está completamente livre para se movimentar verticalmente na sua extremidade. Por exemplo, imagine que a corda está presa a um anel sem massa que deslize sem atrito por uma haste vertical (veja a figura abaixo). 9

20 Quando o pulso chega à extremidade direita da corda, o suporte não faz qualquer força sobre a corda (ela está livre). Por causa disso, a corda sobe e desce e a sua deformação (o pulso) preserva a mesma fase do pulso incidente. Neste processo, a corda continua tensionada o tempo todo, mas a tensão T no ponto de contato com o anel tem apenas componente horizontal. A reflexão de uma onda numa extremidade em que ela está livre produz uma onda refletida com a mesma fase da onda incidente. 0

21 Apêndice Vamos agora estudar quantitativamente o problema de uma onda chegando a uma interface entre dois meios. Continuaremos usando ondas transversais em cordas como modelo. Consideremos o caso da figura abaixo, em que duas cordas de densidades de massa diferentes (µ e µ ), mas sujeitas à mesma tensão T, se encontram na origem (x = 0). Observe que estamos chamando a corda da esquerda de e a corda da direita de. Como as densidades lineares de massa são diferentes, as velocidades de propagação de ondas nas duas cordas são diferentes. Elas são T v = e v = µ T µ. (A) Vamos supor que uma onda harmônica incide sobre a junção entre as duas cordas vindo da esquerda para a direita. O que você acha que aconteçará com as duas cordas depois que a onda atinge a junção?

22 A experiência prévia observando cordas (e também a intuição) sugere que haverá uma onda refletida na corda da esquerda, propagando-se em sentido contrário ao da incidente, mas também haverá uma onda transmitida na corda da direita, propagando-se no mesmo sentido da onda incidente. Vamos supor que tanto a onda incidente, como a refletida, como a transmitida são ondas harmônicas. Sendo assim, vamos escrever suas expressões gerais como: ( k x ωt) Onda incidente : yi = Ai cos (A) ( k x ωt) Onda refletida : yr = Ar cos (A3) ( k x ωt) Onda transmitida : yt = At cos, (A4) Onde o sub-índice i indica onda incidente, o sub-índice r indica onda refletida e o sub-índice t indica onda transmitida. Note que as frequências das três ondas são iguais (indicadas por ω nas equações). Isto porque as vibrações temporais das duas cordas têm que ser iguais. Já os comprimentos de onda (e os números de onda) nas duas cordas são diferentes. Temos então: ω = k =. (A5) v kv

23 Para os nossos propósitos aqui, é mais conveniente escrever as equações (A, A e A3) como: y y y [ ( t k x) ] = A ( t k x) = Ai cos ω i cos ω (A6) i [ ( t k x) ] = A ( t k x) = Ar cos ω r cos ω (A7) r [ ( t k x) ] = A ( t k x) = At cos ω t cos ω. (A8) t As ondas nas duas cordas, que chamaremos de y e y, são, pelo princípio de superposição: e ( t k x) + A ( t k x) y = yi + yr = Ai cos ω r cos ω + (A9) ( t k x) y = yt = At cos ω. (A0) Vamos agora determinar as condições de contorno para o problema. Estas são as condições que devem ser satisfeitas pelas funções y e y na junção entre as duas cordas (x = 0). Elas são: e y 0, t) = y (0, ) (A) ( t y x y = x= 0 x x= 0. (A) A primeira condição (A) indica que as funções que descrevem as duas cordas têm que ser contínuas na junção entre elas. 3

24 A segunda condição (A) indica que as derivadas dessas funções também têm que ser contínuas na junção. Se a condição (A) não fosse satisfeita, poderia haver, por exemplo, um bico na junção como o mostrado na figura abaixo. Em tal situação, as tensões atuando sobre o ponto na junção entre as duas cordas teriam uma resultante apontando para baixo. Como o ponto (infinitesimal) tem massa muito pequena, a sua aceleração para baixo seria enorme. É para evitar isso que se impõe a condição (A). Impondo a condição de contorno (A) às equações (A9) e (A0): ( ωt) + A cos( ωt) A cos( ωt) y ( 0, t) = y(0, t) Ai cos r = Como esta condição deve ser válida para todos os instantes de tempo t, devemos ter A + A = A. (A3) i Impondo a condição de contorno (A) às equações (A9) e (A0): r t t. y x x= 0 = y x x= 0 ( ωt) k A sen( ωt) = k A sen( ωt) ka sen i ( A A ) ( ωt) k A sen( ωt) k sen =. i r r t t 4

25 Como esta condição tem que ser válida para todos os instantes de tempo, devemos ter ( Ai Ar ) k At k =. (A4) Temos duas equações (A3 e A4), mas três incógnitas (A i, A r e A t ). Não podemos, portanto, obter os valores das três incógnitas. Podemos, porém, trabalhar com as razões: Ar At R e = T A A, (A5) i que podemos chamar, respectivamente, de coeficiente de reflexão e de coeficiente de transmissão. i Substituindo (A5) em (A4): ω ω ( A A ) = A i r v v ( Ai Ar ) v At v = Substituindo agora (A3) em (A6): Isolando A i e A r nesta equação: t. (A6) ( A A ) = v ( A A ) v + A i r i r. i ( v v ) = A ( v + ) r v Substituindo (A7) de volta em (A3): A = R = v v r Ai v + v. (A7) 5

26 At A A A + = t Ai Ar Ai + i = r Ai = + Ar A i v = + v v + v = v v + v A = T = v t Ai v + v. (A8) Vejamos agora alguns exemplos dessas soluções: a) µ infinitamente grande (µ = ) Neste caso, a corda da direita não pode ser movida. Isto corresponde ao caso da corda da esquerda tendo sua extremidade da direita (em x = 0) fixa. A velocidade da onda na corda é T v = = µ 0, E os coeficientes de reflexão e de transmissão são: v v v R = = = v + v v A r = A i, (A9) a onda refletida é invertida em relação à onda incidente, e não há onda transmitida. v T = = 0 v + v, (A0) 6

27 b) µ infinitamente pequena (µ 0 e v ). Isto corresponde ao caso da corda da esquerda tendo sua extremidade da direita (em x = 0) livre. Os valores de R e T são: v v v R = = = A r = A i v + v v a onda refletida preserva o sinal da onda incidente, e, (A) v v T = = = v + v v, (A) a onda transmitida tem a mesma orientação da incidente. c) µ > µ v < v. Caso intermediário entre os dois anteriores. Neste caso, R > 0 e T > 0, (A3) as ondas refletida e transmitida têm a mesma orientação. A corda mais pesada força a corda mais leve a oscilar como ela. d) µ = µ v = v. Neste caso as duas cordas são iguais e temos: R = 0 e T =. (A4) 7