x Fica claro que este trecho de corda de massa m, comprimento l, permanece em repouso.

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Thereza Barbosa
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1 Ondas em uma corda Tomemos uma corda es.cada: Subme.da a tensões em suas etremidades, iguais em módulo, opostas em direção T 1 Fica claro que este trecho de corda de massa m, comprimento l, permanece em repouso. T2

2 Ondas em uma corda Se a corda sofre uma perturbação na direção transversa, como podemos tratar o problema? Vamos tratar em detalhe um pequeno seguimento de comprimento.

3 y + Tomaremos em detalhe a equação do movimento de um trecho pequeno de corda, considerando a tensão em seus etremos. Note que a tensão é sempre tangente à corda.

4 y + A equação de movimento para a direção y é dada pela 2a. lei de Newton sobre o elemento m de massa, F y = m a y = m 2 y(, t) t 2 com uma equação semelhante para a direção. Precisamos agora encontrar as forças atuando sobre este trecho de corda.

5 y + Na direção horizontal, a tensão permanece inalterada: não há deslocamento horizontal! Na direção do deslocamento transverso y, o módulo da tensão será dado por. T y () =T tg θ() =T y(, t)

6 y + Calculando a resultante sobre o trecho de corda, teremos F y = T y ( + ) T y () = y( +, t) y(, t) = T

7 y A equação resultante será portanto: T y( +, t) + y(, t) = m 2 y(, t) t 2 Podemos dividir os dois membros pelo comprimento do segmento. T y(+,t) y(,t) = m 2 y(, t) t 2

8 y + Podemos dividir os dois membros pelo comprimento do segmento. T y(+,t) y(,t) = m 2 y(, t) t 2 Tomar o limite à 0 T lim 0 y(+,t) y(,t) m 2 y(, t) = lim 0 t 2

9 y Tomar o limite à 0 T lim 0 y(+,t) y(,t) + m 2 y(, t) = lim 0 t 2 E obter: onde µ T 2 y(, t) 2 = µ 2 y(, t) t 2 é a densidade linear da corda.

10 y + Reordenando os termos teremos uma equação de onda: Sendo a velocidade da onda: v = 2 y(, t) t 2 v 2 2 y(, t) 2 =0 T µ Conclusão: uma corda sustenta uma perturbação propagante (onda) com uma velocidade (v) que depende apenas da densidade linear da corda e da tensão da mesma!

11 y + Tomaremos em detalhe a equação do movimento de um trecho pequeno de corda, considerando a tensão em seus etremos. Na direção horizontal, a tensão permanece inalterada: não há deslocamento horizontal! y é o deslocamento transverso sofrido pelo trecho de corda em A tensão T é sempre tangente à corda, e vamos considerar que, em primeira aproimação

13 Propagação de Energia Trabalho realizado no etremo da corda, por unidade de tempo: y P (, t) = F v Velocidade: apenas componente transversal: v = Portanto P (, t) =F y y(, t) t y(, t) t ĵ P (, t) = T y(, t) y(, t) t onde o sinal pode ser deduzido a partir do gráfico.

14 Pensando no pulso se propagando, temos uma quantidade finita de energia, colocada na corda em um certo intervalo de tempo. y y t = v y P (, t) = T y(, t) y(, t) t

15 Pensando no pulso se propagando, temos uma quantidade finita de energia, colocada na corda em um certo intervalo de tempo. y y t = v y P (, t) = T y(, t) y(, t) t

16 Intensidade, ondas harmônicas Se: y(, t) = A cos(k ωt + δ) y(, t) y(, t) y(, t) = ka sin(k ωt + δ) t y(, t) t y(, t) t = ωa sin(k ωt + δ) t t P (, t) P (, t) =ωkta 2 sin 2 (k ωt + δ) t

17 Intensidade, ondas harmônicas Ao invés de analisarmos a potência injetada, podemos estudar o trabalho médio realizado por ciclo: a Intensidade da onda periódica. P (, t) P (, t) =ωkta 2 sin 2 (k ωt + δ) t Um ciclo Valor médio de sin 2 = 1/2 I() =P (, t) I = µvω2 A 2 2 t+ T t v = P (, t) dt T T µ

18 Densidade de energia (ondas harmônicas) Um elemento de corda d tem energia cinética instantânea dk = 1 2 µ y(, t) t 2 d O que corresponde a uma densidade linear de energia cinética dk d = 1 2 y(, t) 2 µ t Ou, olhando para o valor médio no tempo dk d = µω2 A 2 4 Cada elemento de corda eecuta um movimento harmônico: lembrando do oscilador visto no semestre passado, a média periódica da energia cinética (K) e potencial (U) são iguais. K, U

19 Densidade de energia (ondas harmônicas) Podemos calcular então a densidade de energia total da onda de d = dk d + du d = µω2 A 2 2 Lembrando da intensidade calculada: I = µvω2 A 2 Vemos que a intensidade corresponde ao produto entre a velocidade v e a densidade linear média de energia. I = v de d 2 Fluo de energia é constante em uma onda periódica.

20 7. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2 kg, está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma etremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da etremidade é de 1, 5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada na corda. (b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à distância da etremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra etremidade. (c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.

22 Interferência de Ondas A equação de onda 2 y(, t) t 2 v 2 2 y(, t) 2 =0 admite múltiplas soluções. Por eemplo: y(, t) =f( v t) y(, t) =g( + v t) Fica claro na equação de onda que qualquer combinação linear de soluções y(, t) =af( vt)+bg( + vt) também é solução! Lembrando que a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude, a interferência pode levar a picos grandes de energia!

23 Interferência de Ondas Ondas harmônicas copropagantes, por eemplo, ondas de mesma frequência: y 1 (, t) =A 1 cos(k ωt + δ 1 ) y 2 (, t) =A 2 cos(k ωt + δ 2 ) Variando a fase podemos ter um máimo ou um mínimo de interferência y(, t) =A cos(k ωt + δ) A 2 = A A A 1 A 2 cos(δ 2 δ 1 ) δ = δ 1 + β sin β = A 2 A sin(δ 2 δ 1 )

24 Interferência de Ondas y(, t) =A cos(k ωt + δ) A 2 = A A A 1 A 2 cos(δ 2 δ 1 ) Interferência Construtiva Interferência destrutiva δ 1 δ 2 =2mπ δ 1 δ 2 =(2m + 1)π A ma = A 1 + A 2 A min = A 1 A 2 I ma = I1 + 2 I 2 I min = I1 2 I 2

25 Interferência de Ondas Ondas harmônicas contrapropagantes, ondas de mesma frequência: y 1 (, t) =A 1 cos(k ωt + δ 1 ) y 2 (, t) =A 2 cos(k + ωt + δ 2 ) No caso mais simples, A 1 = A 2, podemos escolher o tempo inicial arbitrariamente para as fases iniciais serem 0. A soma das ondas resulta então em: y = y 1 + y 2 =2A cos(k) cos(wt) Propagação de energia = 0! Onda estacionária

27 Refleão de ondas y g( ) Quando o pulso atinge uma parede, a corda não tem liberdade de se deslocar na direção transversal. A solução da equação de onda deve levar isto em conta: y(, t) =f( vt)+g( + vt) f( vt) = g(vt) y(0,t)=0 f( )= g( ) f( vt) = g( + vt)

28 Refleão de ondas y f( vt) = g( + vt) y(, t) =g(vt + ) g(vt ) A função complementar (propagante) é o espelho da função incidente após duas refleões: uma no eio, outra no eio y. Ou ainda, ao giro desta em 180 o em torno da origem. A solução é uma função ímpar em.

29 Refleão de ondas y y(, t) =g(vt + ) g(vt ) Na refleão, a onda retorna com a mesma amplitude, mas com uma inversão de sinal. Inversão de fase

30 Refleão de ondas y Quando o pulso atinge uma etremidade livre, a tensão é apenas normal: não há atrito no anel, que tem massa desprezível, portanto não há componente de tensão na direção y (paralela à perturbação). g( ) y(, t) =f( vt)+g( + vt) F y (0,t)= T y(, t) =0 =0 f () = df () d y(, t) =0 = f ( vt)+g (vt) =0 (, t) = (, t) =1 f () = g ( )

31 Refleão de ondas y y(, t) =f( vt)+g( + vt) f () = g ( ) Se a derivada é uma função ímpar, a função primitiva é par em! A solução corresponde a uma única refleão em torno do eio y. f() =g( ) y(, t) =g(vt + )+g(vt )

32 Refleão de ondas y y(, t) =f( vt)+g( + vt) f () = g ( ) Se a derivada é uma função ímpar, a função primitiva é par em! A solução corresponde a uma única refleão em torno do eio y. f() =g( ) y(, t) =g(vt + )+g(vt )

33 Modos Normais

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