Física para Engenharia II - Prova P2-2013
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- Teresa Medina Dreer
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1 43296 Física para Engenharia II - Prova P2-23 Observações: Preencha todas as folhas com o seu nome, número USP, número da turma e nome do professor. A prova tem duração de 2 horas. Não somos responsáveis por provas com identificação insuficiente. Não é permitido o uso de calculadora e celular (manter desligado. Apresente sua identidade ou cartão USP ao assinar a lista de presença. Resolva cada exercício a partir da frente da folha de resposta com o mesmo número. Justifique todas as respostas com fórmulas, comentários (sucintos e cálculos intermediários, não esquecendo das unidades das grandezas físicas. Caso apareça alguma raiz que não seja um quadrado perfeito ou uma fração irredutível, deixe indicado (não é necessário calcular o valor decimal. Resultados serão anunciados no site da disciplina. Formulário: 2 y(x,t = 2 y(x,t x 2 v 2 t 2 y(x, t = f(x vt + g(x + vt y(x, t = A cos(kx ωt + ϕ v = ω k ; τ = 2π ω = f ; k = 2π λ ; v = λ.f v = T µ ; I = 2 µvω2 A 2 ; k n = n π L ; k n = (2n + π 2L cos(a ± b = cos(a cos(b sen(asen(b sen(a ± b = sen(a cos(b ± sen(b cos(a Asen(kx ωt + Asen(kx + ωt = 2Asen(kx cos(ωt A cos(kx ωt + A cos(kx + ωt = 2A cos(kx cos(ωt y(x, t = A cos(kx + ϕ cos(ωt + δ y(x, t = 2A cos( k 2 x ω 2 t. cos( kx ωt I I 2 = R2 2 R 2 (v ± V O f O = f F (v ± V F sen α = v V F ; β(db = log ( I I { VO observador V F fonte Q - Uma corda de violino com 3 cm de comprimento é colocada próxima a uma fonte sonora que emite um som com frequência de 44 Hz. A corda passa então a vibrar no seu segundo modo normal de vibração. Suponha que a corda em repouso coincida com o eixo O-x e que o amortecimento da corda produzido pelo seu atrito com o ar possa ser desprezado. (a [,5] Qual a frequência f da onda estacionária induzida na corda? Justifique. (b [,5] Determine o comprimento de onda na corda. (c [,5] Determine a velocidade de uma onda nessa corda. (d [,5] Determine a posição dos ventres da onda na corda em relação à extremidade x =. (e [,5] Sabendo que o movimento de um ponto da corda na posicão x = 7,5 cm é dado por y(7,5 cm, t =,2 cos (2πft (y em cm, obtenha a função y(x, t que descreve a onda estacionária na corda.
2 Solução Q: a A corda é forçada a oscilar pela onda sonora. Se o amortecimento da corda produzido pelo ar é desprezível, a frequência e ressonância da corda é aproximadamente igual à frequência da onda sonora. Logo a frequência de vibração f 2 da corda é igual a 44 Hz. b A expressão geral de uma onda estacionária é y(x, t = A sin(kx + β cos(ωt + β 2. Pelas condições de contorno temos que: y(, t = = sin(β = = β = rad = y(x, t = A sin(kx cos(ω + β 2 y(l, t = A sin(kl cos(ωt + β 2 = = kl = nπ = 2π λ L = πn = L = nλ 2, com n sendo um inteiro positivo. Como a corda está vibrando no seu segundo modo normal, temos que: L = 2 λ 2 2 = λ 2 = λ 2 = 3 cm. c λ 2 = v f 2 = v = Lf 2 = v = (, 3 44 m/s = 32 m/s. d Nos pontos onde existem ventres o módulo do deslocamento máximo do ponto da corda é A. Logo, temos que A sin(kx = ±A = kx = (2n + π 2 = 2π λ 2 x = (2n + π 2 = x = (2n + λ 2 4, onde n é nulo ou um inteiro positivo e x < L. Por isso os ventres da corda estão localizados em x = λ 2 4 = 7, 5 cm, x 2 = 3λ 2 = 22, 5 cm 4 e O movimento de qualquer ponto da corda é dado por: y(x, t = A sin(k 2 x cos(ω 2 t + β 2. O número de onda é dado por: k 2 = 2π λ 2 = π 5 cm. A frequência angular é dada por: ω 2 = 2πf 2 = 88π rad/s. A equação do movimento do ponto que dista 7,5 cm do ponto O é: ( π ( π y(7, 5 cm, t = A sin 5 7, 5 cos (88πt + β 2 = A sin cos(88πt + β 2 2 y(7, 5 cm, t = A cos(88πt + β 2, com t em segundos. Pela comparação entre a expressão anterior e a expressão fornecida pelo problema y(7, 5 cm, t =, 2 cos(2πf 2 t cm, temos que A =, 2 cm e β 2 = rad. Logo, a função que descreve a onda estacionária na corda é: ( π y(x, t =, 2 sin 5 x cos(88πt cm, onde x está em centímetros e t em segundos. 2
3 Q2 - Um grupo de pesquisa marinha está desenvolvendo boias com sensores de movimento para monitoração remota de ondas em alto-mar. De forma a testar o equipamento, três destas boias são posicionadas ao longo de um rio num trecho sem curvas, na proximidade de uma barragem. A boia está posicionada junto à parede da barragem, a boia 2 está a 6 metros e a boia 3 a 36 metros. Considere as ondas na superfície da água como sendo transversais. 6m$ 36m$ Boia$$ Boia$2$ Boia$3$ Após um período de calmaria, uma onda se dirige em direção à barragem (e às boias, enquanto os pesquisadores ficam na sala de controle analisando a resposta dos sensores (considere a barragem na posição x=, e a onda na direção negativa de x. (a [,5] Se o sensor da boia 2 registrou o movimento 4s após o sensor da boia 3, qual a velocidade da onda? (b [,5] Os sensores registram um movimento oscilatório de período 3,2s e amplitude,7m. Qual o comprimento de onda e a frequência desta onda? (c [,] Diferentemente dos sensores das boias 2 e 3, o sensor da boia registra que a amplitude da oscilação é de,4m. Escreva a equação da onda incidente, da onda refletida pela barragem, e da onda total resultante (para definir a fase inicial, assuma que y(x =, t = é um ponto de máximo. (d [,5] Considerando a interferência entre a onda incidente e a onda refletida, qual será a amplitude de oscilação registrada pelos sensores das boias 2 e 3 após a reflexão? Solução Q2: a x = 36 6 = 2m v = x/ t = 2/4 = 5m/s b λ = vt = 5 3, 2 = 6m f = /T = /3, 2 =, 325Hz c y i (x, t = A cos(2π(x/λ + t/t = y i (x, t =, 7 cos(2π(x/6 + t/3, 2 Se a amplitude em x= é o dobro da amplitude original, a reflexão é equivalente a reflexão por ponta solta da corda: y r (x, t =, 7 cos(2π(x/6 t/3, 2 y t (x, t =, 4 cos(2πx/6 cos(2πt/3, 2 =, 4 cos(xπ/8 cos(tπ/, 6 d cos(2π6/6 =, e portanto em x=6m existirá um ventre de amplitude,4m cos(2π36/6 = cos(2π 2, 25 = cos(2π, 25 = cos(π/2 =, e portanto em x=36m existirá um nó (amplitude = 3
4 Q3 - A taxa instantânea da energia transferida por uma onda ao longo de uma corda (a potência instantânea é dada por: onde F é a tensão. P (x, t = F y(x, t y(x, t x t (a [,5] Usando a expressão (, obtenha P (x, t para uma onda estacionária dada por: ( Utilize que sen(θ cos(θ = 2 sen(2θ. y(x, t = A sen(kx cos(ωt (2 (b [,5] Calcule a potência média por período P med transportada pela onda para todo x. (c [,] Para uma onda estacionária dada pela expressão (2, faça gráficos de P (x, t e do deslocamento y(x, t em função de x para: t =, t = π, t = π, e t = 3π. 4ω 2ω 4ω (d [,5] Qual o valor da potência instantânea nos nós e nos ventres da onda? Solução Q3: (a P y(x, t = ka cos(kx cos(ωt x y(x, t = ωa sen(kx sen(ωt t = F A 2 ωk( sen(kx cos(kx( sen(ωt cos(ωt = 4 F A2 ωk sen(2kx sen(2ωt (b O valor médio de P é proporcional ao valor médio de sen(2ωt que é zero em um período. Assim, P med =. (c Figura ao lado (d Nos pontos onde sen(2kx n =, P (x, t é nula para qualquer tempo. Logo 2kx n = nπ x n = nλ/4. P (x, t = nos nós e nos ventres. y(x,t/a, P(x,t/(/4FA 2 kω y(x,τ/a, P(x,τ/(/4FA 2 kω y(x,τ/a, P(x,τ/(/4FA 2 kω y(x,t/a, P(x,t/(/4FA 2 kω t= t=π/2ω t=3π/4ω (c π/2 π 3π/2 2π kx y(x,t P(x,t t=π/4ω y(x,t (linha cheia e P(x,t (linha tracejada como função de x. 4
5 Q4 - Um jato com velocidade V A realiza um fly-by (voo rasante próximo à torre de controle de um porta-aviões, a uma altura h = 5m do convés em um dia sem vento. O portaaviões se move a uma velocidade V B = 7m/s na mesma direção do avião. Medições feitas pelo fabricante do jato indicam que a frequência do som das turbinas do avião é de 5 Hz com intensidade sonora de 7 db medida a metro de distância. Considere a velocidade do som no ar em repouso como sendo 34 m/s. Observador h v A v B (a [.5] O avião se afasta de um observador em terra situado à mesma altura do avião (figura. Durante o fly-by, esse observador mede um valor de Hz para a frequência do som dos jatos do motor. Calcule a velocidade do jato durante o fly-by. (b [.5] Determine a frequência medida por um observador dentro da torre de controle. (c [.5] Calcule a intensidade sonora do ruído das turbinas do avião medida no convés (despreze efeitos de interferência. (d [.] Calcule a altura mínima h min para que o avião possa fazer o fly-by sem que a intensidade sonora no convés atinja o limiar da dor (3 db. Dado adicional: log 5.7 Solução Q4: a A frequência f medida pelo observador é dada pelo efeito Doppler com fonte se afastando com velocidade +V A : f = f ( + V A /v s f f = + V A v s V A v s = f f Como f = 5 Hz, f = Hz, temos V A =.5v s ou V A = 7 m/s b Nesse caso, temos o efeito Doppler com observador e fonte em movimento (em um referencial em que o ar está em repouso. ( + V B /v s f 2 = f ( + V A /v s = f ( + 7/34 ( + 7/34 = = 5 Hz Logo, f 2 = 5 Hz c Sendo I a intensidade a h = metro e I h a intensidade a h metros, temos I h = I h 2 h 2. A intensidade sonora no convés β h será então: 5
6 β h = log I h = log I (. h2 I I h = log I 2 log h = β 2 2 log h I h h Sendo β = 7 db, h = m e h = 5 m, temos β h = 7 2 log 5 = 7 2(.7 = 7 34 = 36. Logo β h = 36 db d Queremos que a intensidade sonora máxima seja β m = 3 db a uma altura h = h m. h Seguindo o raciocínio do ítem anterior, temos I m = I 2. Logo: h 2 m β m = log I m I = log I I. h2 h 2 m Sendo β = 7 db, β m = 3 db e h = m, temos = ( log I 2 log h m = β 2 log h m I h h 2 log h m h = β β m = 7 3 = 4 h m = h. 4/2 = h Logo h m = m. 6
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