8. Uma conta de massa m, enfiada num aro vertical fixo de raio r, no qual desliza sem atrito, desloca-se em torno do ponto mais baixo.

Transcrição

1 . Para um sistema massa-mola na horizontal, sem atrito, escreva a segunda lei de Newton e a resolva, encontrando a função x(t) correspondente à solução geral do problema. (c) Esboce um gráfico para as soluções dos itens a e b, considerando = 00N/m e m = g. 2. Para um sistema massa-mola na horizontal, sem atrito, escreva a segunda lei de Newton e a resolva numericamente, pelo método de Euler, utilizando uma planilha eletrônica. Apresente como resultado gráficos xx t e v X t e informe qual o valor do passo t utilizado. Anexe também o arquivo com a planilha elaborada. Suponha que: (a) = N/m, m = g e que no instante 0, o corpo esteja em repouso e a uma distância A = 0cm do ponto de equilíbrio; (b) = 0N/m, m = g e que no instante 0, o corpo esteja em repouso e a uma distância A = 0cm do ponto de equilíbrio; (c) = N/m, m = g e que no instante 0 esteja no ponto de equilíbrio com uma velocidade v o = m/s. (d) = 0N/m, m = g e que no instante 0 esteja no ponto de equilíbrio com uma velocidade v o = m/s. (e) Comente cada resultado 3. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na horizontal, sem atrito. Permita que o usuário possa variar a massa do sistema, a constante elástica da mola, a posição e a velocidade iniciais. Crie uma animação em que esteja representada a mola, o movimento da partícula e os vetores velocidade e força resultante. Produza gráficos xx t; v X t; E c X t; E pel X t; E mec X t e, por fim, v X x (espaço de fases). Varie as condições iniciais e redija um texto discutindo todos os resultados. 4. Para um sistema massa-mola na vertical, sem atrito, escreva a segunda lei de Newton e a resolva, encontrando a função y(t) correspondente à solução geral do problema. Defina claramente a trajetória adotada, explicitando sua origem e seu sentido. A seguir, determine a solução particular para um sistema que, no instante 0, seja solto a partir do ponto em que a mola está relaxada. 5. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na vertical, sem atrito. Permita que o usuário possa variar o comprimento l o da mola relaxada, a massa m do sistema, a constante elástica da mola, a posição e a velocidade iniciais. Crie uma animação em que esteja representada a mola, o movimento da partícula e os vetores velocidade, força peso, força elástica e força resultante. Produza gráficos y X t; v X t; E c X t; E pel X t; E pg X t; E p E pel +E pg ; E mec X t. Varie as condições iniciais e redija um texto discutindo todos os resultados. 6. Quando um nadador caminha até a extremidade de um trampolim horizontal, ele desce y = 5cm, sob a ação da força peso, atingindo nesse instante a posição de equilíbrio. Desprezando a massa do trampolim e supondo que a força que o trampolim exerce sobre o nadador seja proporcional ao seu deslocamento y, (a) Calcule a constante de proporcionalidade que relaciona a força exercida pelo trampolim e o deslocamento y. (b) Estabelecendo uma trajetória orientada para cima e com a origem no ponto de equilíbrio, determine a expressão da força resultante atuante sobre o nadador quando ele se encontra em uma posição arbitrária y. (c) Escreva a segunda lei de Newton para uma posição arbitrária y e a resolva, encontrando a solução geral y(t). (d) Qual o período de oscilação do nadador? 7. Uma conta de massa m, enfiada num aro vertical fixo de raio r, no qual desliza sem atrito, desloca-se em torno do ponto mais baixo, de tal forma que o ângulo θ permanece pequeno. r θ m (a) Escreva a expressão para a força resultante na direção tangencial F Rtg. (b) Considerando θ pequeno, escreva uma aproximação linear para F Rtg. (c) Escreva e resolva a segunda lei de Newton para o movimento, determinando a solução geral θ(t). Qual o período do movimento?

2 2 8. Uma conta de massa m, enfiada num aro vertical fixo de raio r, no qual desliza sem atrito, desloca-se em torno do ponto mais baixo. r θ m (a) Escreva a expressão para a força resultante na direção tangencial F Rtg. (b) Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para o movimento, que permita ao usuário variar o raio r e as posição e velocidade angular (θ e Ω) iniciais. Lembre de definir no programa a opção para θ em radianos. (c) Construa gráficos θ X t, Ω X t, E c X t, E pg X t, E mec X t e θ X Ω (espaço de fases). (d) Analise o que acontece com a periodicidade do movimento quando θ 0 permanece pequeno (< 0 o ) e conforme se define um valor inicial para θ cada vez maior. Compare os diversos gráficos θ X t conforme se aumenta θ 0 até o valor máximo π/2. (e) Utilizando θ 0 = 0, faça simulações com valores cada vez maiores de Ω 0 até que o movimento sofra uma mudança qualitativa. (f) Redija um texto explicando os resultados das várias simulações. 9. Se admitirmos que a Terra tem densidade de massa uniforme, é possível mostrar que uma partícula de massa m, dentro da superfície da Terra tem uma força gravitacional de módulo F = mgr/r exercida pela Terra, onde g = 9, 8m/s 2, r é a distância do centro da Terra à partícula e R é o raio da Terra. A força é dirigida para o centro da Terra. Suponha um túnel escavado através da Terra, tal que um trem possa viajar em linha reta da cidade A à cidade B. Suponha também que as únicas forças que atuam sobre o trem sejam a força gravitacional exercida pela Terra e a normal, exercida pelos trilhos. Trem A x(t) b 0 B (a) Calcule a força resultante F R como função da posição x do trem e dos parâmetros que ficam constantes ao longo do movimento. Esboce um gráfico de F R x. (b) Mostre que, se o trem parte do repouso, o tempo necessário para o percurso entre duas cidades quaisquer é 42 min, independentemente da distância entre elas. y(t) A Trem 0. Se admitirmos que a Terra tem densidade de massa uniforme, é possível mostrar que uma partícula de massa m, dentro da superfície da Terra tem uma força gravitacional de módulo F G = mgr/r exercida pela Terra, onde g = 9, 8m/s 2, r é a distância do centro da Terra à partícula e R é o raio da Terra. A força é dirigida para o centro da Terra. Suponha um túnel escavado através da Terra, tal que um trem possa viajar em linha reta da cidade A à cidade B. Suponha também que as únicas forças que atuam sobre o trem sejam a força gravitacional exercida pela Terra e a normal, exercida pelos trilhos. 0 x B (a) Escreva a expressão para a Força Gravitacional exercida pela Terra F G (componentes i e j) como função da posição y do trem e dos parâmetros que ficam constantes ao longo do movimento. (b) Escreva a expressão para a força Normal N como função da posição y do trem e dos parâmetros que ficam constantes ao longo do movimento. (c) Escreva a expressão para a força Resultante F R como função da posição y do trem e dos parâmetros que ficam constantes ao longo do movimento.

3 3 (d) Utilizando o programa Modellus, construa um modelo que permita simular o movimento do trem e que permita ao usuário variar o raio da Terra, a distância x que o túnel está do centro da Terra e as posição y 0 e velocidade v y0 iniciais. (e) Escreva um texto comentando os resultados obtidos.. A energia de interação em uma molécula diatômica pode ser modelada pela função: Utilizando o programa Modellus, (a) Faça um gráfico de U r. [ (a ) 2 ( a ) ] 6 U(r) = D 2 r r (b) Calcule o valor da força de interação F entre os dois átomos. Ela pode ser calculada por F = du dr. Faça o gráfico de F r e determine a posição r 0 correspondente ao equilíbrio dos dois átomos da molécula. (c) Imaginando um dos dois átomos rigidamente preso à origem, faça um modelo para o movimento do outro átomo, que permita ao usuário a definição dos parâmetros D, a, e das posição e velocidade iniciais do átomo. (d) Produza gráficos de xx t; v X t; E c X t; U X t; E mec X t, v X x (espaço de fases) e, por fim, E C X x. (e) Analise o período do movimento. (f) Redija um texto comentando os resultados. 2. Para um sistema massa-mola na horizontal, com atrito (F at = b.v), escreva a segunda lei de Newton e a resolva, considerando a situação de sub-amortecimento, encontrando a função x(t) correspondente à solução geral do problema. (c) Esboce um gráfico para as soluções dos itens a e b, considerando = 00N/m e m = g e b = 0g/s. 3. Para um sistema massa-mola na horizontal, com atrito (F at = b.v), escreva a segunda lei de Newton e a resolva, considerando a situação de super-amortecimento, encontrando a função x(t) correspondente à solução geral do problema. (c) Esboce um gráfico para as soluções dos itens a e b, considerando = 00N/m e m = g e b = 30g/s. 4. Para um sistema massa-mola na horizontal, com atrito (F at = b.v), escreva a segunda lei de Newton e a resolva, considerando a situação de amortecimento crítico, encontrando a função x(t) correspondente à solução geral do problema. (c) Esboce um gráfico para as soluções dos itens a e b, considerando = 00N/m e m = g e b = 20g/s. 5. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na horizontal, com atrito. Permita que o usuário possa variar a massa do sistema, a constante elástica da mola, o coeficiente b de atrito e a posição e a velocidade iniciais. Crie uma animação em que esteja representada a mola, o movimento da partícula e os vetores velocidade, força elástica, força de atrito e força resultante. Produza gráficos xx t; v X t; E c X t; E pel X t; E mec X t e, por fim, v X x (espaço de fases). Varie as condições iniciais e os parâmetros, possibilitando a análise dos casos de super-amortecimento, sub-amortecimento e amortecimento crítico. Redija um texto discutindo todos os resultados. 6. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na horizontal, com atrito e submetido a uma força externa F ext = F 0. cos(ω e t). Permita que o usuário possa variar a massa do sistema, a constante elástica da mola, o coeficiente b de atrito, F 0, ω e e a posição e a velocidade iniciais. Crie uma animação em que esteja representada a mola, o movimento da partícula e os vetores velocidade, força elástica, força de atrito. força externa e força resultante. Produza gráficos xx t; v X t; E c X t; E pel X t; E mec X t e, por fim, v X x (espaço de fases). Varie as condições iniciais, mantendo fixos os valores dos demais parâmetros, de maneira a demonstrar a distinção entre o transiente e o estado estacionário. Mostre, dessa forma, que o estado estacionário é independente das condições iniciais (isso fica particularmente evidente pela análise do gráfico do espaço de fases). Redija um texto discutindo os resultados.

4 4 7. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na horizontal, com atrito e submetido a uma força externa F ext = F 0. cos(ω e t). Permita que o usuário possa variar a massa do sistema, a constante elástica da mola, o coeficiente b de atrito, F 0, ω e e a posição e a velocidade iniciais. Crie uma animação em que esteja representada a mola, o movimento da partícula e os vetores velocidade, força elástica, força de atrito. força externa e força resultante. Produza gráficos xx t; v X t; E c X t; E pel X t; E mec X t e, por fim, v X x (espaço de fases). Varie os parâmetros, partindo das condições iniciais x 0 = v 0 = 0, de maneira a encontrar o valor de ω e para o qual ocorre o fenômeno de ressonância. Mostre que, se o coeficiente de atrito é nulo, a amplitude do sistema na situação de ressonância, mas que se o atrito aumenta, a amplitude tende a um valor grande e determinado. Redija um texto discutindo os resultados. 8. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para 2 partículas ligadas entre si por uma mola de constante elástica e ligadas cada uma a uma parede fixa por uma mola de constante elástica, conforme a figura. Suponha que todas as molas possuem comprimento relaxado l 0. Algumas dicas: (i) a posição de cada partícula é descrita por x e x 2, mas o deslocamento de cada mola é dado respectivamente por x l 0, d 2 l 0 e 3l 0 x 2 l 0 = 2l 0 x 2. (ii) a mola do meio atua nas duas partículas. (b) Construa um modelo que permita ao usuário variar o valor de l 0, de, de e das posições e velocidade iniciais (c) Atribua um valor para muito menor que o atribuído para. Parta de uma condição inicial em que apenas a partícula esteja em uma posição diferente da de equilíbrio. Observe o fenômeno de batimento. (d) Produza gráficos x X t; v X t; E c X t; E pel X t; E mec X t ;x 2 X t; v 2 X t; E c2 X t; E pel2 X t; E mec2 X t; E mectot X t. (e) Redija um texto discutindo todos os resultados. x d Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para 0 partículas ligadas entre si por uma mola de constante elástica e ligadas, nos extremos, a uma parede fixa por molas de constante elástica e 2, conforme a figura. Suponha que todas as molas possuem comprimento relaxado l 0. Algumas dicas: (i) a posição de cada partícula é descrita por x, x 2, etc mas o deslocamento de cada mola é dado respectivamente por x l 0, d 2 l 0, d 23 l 0,, e l 0 x 0 l 0 = 0l 0 x 0. (ii) todas as partículas sofrem a ação de 2 molas. (b) Construa um modelo que permita ao usuário variar o valor de l 0, de, 2, e das posições e velocidade iniciais (c) Atribua um mesmo valor para, e 2. Parta de uma condição inicial em que apenas as molas e 2 estão "comprimidas", enquanto as demais estão relaxadas. Veja a propagação do "pulso" gerado. Verifique como se modifica a velocidade de propagação do pulso, conforme aumenta o valor das constantes elásticas. (O que ocorre se os s quadruplicam? Se são multiplicados por 00?) (d) Produza gráficos x, x 2,, x n X t. (todos no mesmo gráfico) (e) Redija um texto discutindo todos os resultados. x d Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para 0 partículas ligadas entre si por uma mola de constante elástica e ligadas, nos extremos, a uma parede fixa por molas de constante elástica e 2, conforme a figura. Suponha

5 5 que todas as molas possuem comprimento relaxado l 0. Na primeira partícula, suponha a aplicação de uma força externa F e = F 0 cos(ω e t). Algumas dicas: (i) a posição de cada partícula é descrita por x, x 2, etc mas o deslocamento de cada mola é dado respectivamente por x l 0, d 2 l 0, d 23 l 0,, e l 0 x 0 l 0 = 0l 0 x 0. (ii) todas as partículas sofrem a ação de 2 molas. (b) Construa um modelo que permita ao usuário variar o valor de l 0, de, 2, e das posições e velocidade iniciais (c) Atribua = = 2 = 00, F 0 = 00 e ω e = 2, 82. Parta de uma condição inicial em que todas as partículas estão em equilíbrio. Observe o estabelecimento de uma ressonância com o "primeiro harmônico" de oscilação. Observe o que acontece quando se modifica ligeiramente o valor de ω e. Multiplique o valor de ω e por 2 e 3 e observe o resultado. (d) Produza gráficos x, x 2,, x n X t. (todos no mesmo gráfico) (e) Analise o que ocorre se fazemos = 2 = 0 (mas mantendo o valor de e de ω e ). (f) Analise o que ocorre se fazemos = 0, 2 = = 00, ω e =, 49 ou ω e = 4, 46. (g) Redija um texto discutindo todos os resultados. x d Discuta a relação entre a velocidade de caminhada e o período natural de oscilação de um pêndulo. Explique por que astronautas na Lua parecem se mover em "câmera lenta". Referência: Explique a origem do fenômeno de ressonância através da discussão da relação entre a freqüencia natural de oscilação e a freqüencia de uma força externa. Explique quando e porque ocorre este fenômeno. Discuta diversos exemplos.