7. Movimentos Oscilatórios

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1 7.1. Uma massa m = 90 g ligada a uma mola é largada com velocidade inicial zero de um ponto a 2 cm da posição de equilíbrio. A constante da mola é k = 81 N /m. Considere o movimento no plano horizontal sem atrito. a) Escreva a equação de Newton para o movimento da massa presa à mola. b) Obtenha as expressões e calcule os valores para as seguintes grandezas que caracterizam o movimento da massa: período de oscilação, amplitude e fase inicial. c) Represente os gráficos da solução x(t), da velocidade v(t) = ẋ e da aceleração. d) Calcule a velocidade e a aceleração quando o deslocamento é de 1 cm. e) Represente o gráfico da energia cinética, da energia potencial e da energia mecânica da massa. f) Considere agora uma nova experiência com a mesma massa e a mesma mola mas em que a posição inicial é x o = 5 mm e a velocidade inicial v o = 15 cm /s. Calcule a frequência, o período, a amplitude e a fase inicial Sabe-se que frequência angular, ω o, de uma massa, m = 1 kg, presa a um dinamómetro é de 4 rad /s. Num dado instante (instante inicial) a posição da massa relativamente à posição de equilíbrio é de 15 cm e a velocidade nesse instante é de 0,6 m /s. a) Qual a equação de Newton para o movimento da massa presa à mola? E a equação para o movimento da massa presa à mola? b) Qual a velocidade máxima atingida pela mola? c) Em que instante é atingida a velocidade máxima? 7.3. Uma massa de 50 g está ligada a duas molas com constantes k 1 = 3 N /m e k 2 = 5 N /m como se pode ver na figura seguinte. a) Escreva a equação de Newton para a massa presa às molas e determine a frequência angular (ω o ) e o período de oscilação. b) Imagine que a mola 1 tem de comprimento 10 cm. Qual o alongamento, l, da mola se suspender a massa m = 0, 05 kg da mola. k1 k2 43

2 Responda à pergunta anterior para a mola 2. Compare os resultados Um bloco de 10 kg de massa está num plano horizontal sem atrito ligado a uma mola fixa na outra extremidade, tendo um movimento oscilatório com uma frequência f = 1, 5 Hz. a) Qual a constante da mola? b) Se colocarmos outro bloco de m 2 = 2 kg sobre o bloco referido anteriormente, e sabendo que o coeficiente de atrito estático entre as superfícies dos dois blocos tem o valor máximo µ = 0, 6, qual a amplitude máxima de oscilação (A) para que o segundo bloco não se desloque? 7.5. As lombas existentes numa estrada, e que antecedem uma passagem de peões, estão espaçadas 10 metros. Considere que os amortecedores de um carro têm o coeficiente de elasticidade k = 10 5 N/m e a massa do mesmo é M = 1000 kg. Menospreze os efeitos do atrito. Determine a velocidade do carro para a qual os amortecedores entram em ressonância Imagine que se fez um túnel em profundidade, que tem início de Lisboa e atravessa a Terra passando, pelo centro da Terra. Imagine agora que larga um corpo de massa m na extremidade desse túnel em Lisboa. Qual a força que actua nesse corpo em função da distância r ao centro da Terra? Considere a Terra uma esfera com densidade uniforme. Como vai oscilar a massa, i.e determine o tempo que a massa demora a regressar a Lisboa Uma massa m = 0, 5 kg está ligada a uma mola. A mola pode ser ligada a um mecanismo que permite pôr o sistema massa-mola a oscilar com frequência variável. A massa ligada à mola oscila como se estivesse sujeita a uma força de atrito proporcional à velocidade e com coeficiente b = 0, 5 Ns /m. A velocidade inicial da massa é nula. A constante da mola é k = 8 N /m. a) Suponha que põe a massa a oscilar ligada à mola sem forças exteriores. A amplitude inicial é A = 20 cm. Qual a amplitude do movimento da mola ao fim de 3 segundos se não houvesse atrito? b) Qual o factor em que se reduz a amplitude da oscilação da massa ao fim de 3 segundos se houver atrito. c) Determine ao fim de quanto tempo a amplitude das oscilações se reduz a metade. 44

3 d) Compare a frequência angular de oscilação para o caso de não haver atrito e para o caso de haver atrito. Compare os período de oscilação para o caso de não haver atrito e para o caso de haver atrito. e) Qual a amplitude da oscilação da massa ligada à mola se for sujeita a uma força exterior periódica dada pela expressão F = F o cos(ω ext t), onde F o = 3 N e a frequência da força exterior, ω ext, for igual à frequência de ressonância. Verifique que a frequência de ressonância é dada por ω res = ω 2 o 2λ Um Saltitão-Saltitas é colocado em cima da máquina de lavar roupa. O Saltitas tem uma ventosa que o fixa ao tampo da máquina. Verifica que a certa altura, quando a máquina está a lavar, o Saltitas começa a oscilar fortemente acabando por se soltar e cair ao chão. Volta a pôr o Saltitas em cima da máquina e verifica que, curiosamente, quando a máquina começa centrifugar a 1200 rpm o Saltitas praticamente não se mexe. Verifica ainda que quando a máquina pára a amplitude das oscilações reduz-se a 1/5 ao fim de 3 segundos. Sabendo que o Saltitas tem massa m = 0, 040 kg e que a constante da mola é k = 144 N /m, mostre que percebe o que se passa com o Saltitas, respondendo (correctamente) às perguntas seguintes. Considere que a mola do Saltitas está sujeita a um atrito proporcional à velocidade e é dada pela expressão F atrito = bẋ. a) Escreva a equação de Newton para o movimento para o Saltitas quando a máquina está a trabalhar. Qual é a solução da equação em regime estacionário? b) Escreva a equação de Newton para o movimento para o Saltitas quando a máquina deixou de trabalhar mas o Saltitas ainda está a oscilar. Qual é a solução da equação? c) Determine a frequência própria de oscilação do Saltitas e o valor de b, coeficiente da força de atrito. d) Demonstre que a frequência de ressonância é dada pela expressão ω res = ω o 2λ 2 e indique os valores de ω o e λ. Pode usar cálculos anteriores para responder a esta pergunta. e) Relacione a amplitude de oscilação do Saltitas quando o máquina funciona a 1200 rpm com a amplitude de oscilação que teria em situação de ressonância, se não tivesse caído ao chão. Se anteriormente não conseguiu calcular λ, considere λ = 0, Um motor vibra com uma frequência angular de ω ext = 10 rad s 1 e está montado numa plataforma com um amortecedor. O motor tem uma massa m = 250 kg e a mola do amortecedor tem uma constante 45

4 elástica efectiva k = 10 4 Nm 1. Despreze a massa da plataforma. A amplitude de oscilações de uma massa a oscilar em regime forçado com atrito é dada por A = F o /m (ω 2 o ωext 2 ) 2 + 4λ 2 ωext 2 onde m é a massa do motor, F o /m é a amplitude da força exterior, ω o é a frequência própria do sistema, ω ext é a frequência da força exterior, λ é a constante de amortecimento das oscilações. a) Qual a frequência própria de vibração da plataforma com o motor instalado (ω o )? b) Quando o motor pára de trabalhar a amplitude das oscilações da plataforma reduz-se a metade ao fim de 20 segundos. Calcule a constante de amortecimento das oscilações (λ). c) Escreva a equação de movimento do motor, quando o motor está ligado e explique a origem de cada uma das forças que actuam no motor. d) Qual a solução geral para o movimento em função da amplitude da força exterior, em regime permanente? e) Suponha que em regime permanente, com o motor ligado, a amplitude de vibração é 1 cm. Qual a amplitude da força exterior? f) Suponha que a frequência do motor pode variar. Determine a frequência do motor para a qual o sistema entra em ressonância. g) Qual a amplitude do movimento da plataforma se a frequência do motor for a frequência de ressonância e a amplitude da força exterior for a determinada anteriormente? Os astronautas a bordo da estação orbital podem sofrer importantes perdas de massa muscular devido à situação de imponderabilidade a que são sujeitos. Torna-se por isso imprescindível controlar a evolução da massa muscular. Mas qual a balança que pode ser usada em aparente gravidade zero? O problema é seu. Bom, e do astronauta também, mas sejamos optimistas. Imagine-se engenheiro Aeroespacial. Se conseguiu, passe a analisar os dados que lhe são fornecidos e responda às perguntas que se seguem. Com muito cuidado. Por causa do astronauta, claro. Para medir a massa de um astronauta na ISS pretende usar-se uma balança construída com uma cadeira presa a uma mola. A cadeira tem massa m cadeira = 1 kg. Quando a cadeira se afasta da posição de equilíbrio em 10 cm e se larga, passa a oscilar com um período T = 1 s. a) Qual a equação de Newton da cadeira a oscilar, presa à mola? 46

5 b) Qual a solução da equação, i.e. qual a expressão para o movimento da cadeira presa à mola? Determine a constante k da mola e a frequência angular do movimento da cadeira. c) Imagine que, na ISS, o astronauta se senta na cadeira, e que a cadeira é posta novamente a oscilar, agora com o astronauta. Neste caso a massa total a oscilar passa a ser M = m astronauta + m cadeira. Determine a expressão geral da dependência da massa do astronauta em função do período de oscilação deste na cadeira (T astronauta ). d) Calcule T astronauta quando este tem massa 80 kg. Qual a variação do período (T astronauta ) correspondente a uma diminuição de 1% na massa do astronauta? 47