UniposRio FÍSICA. Exame Unificado de Acesso às Pós-Graduações em Física do Rio de Janeiro. 10 de junho de Nome (legível):

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1 UniposRio FÍSICA Exame Unificado de Acesso às Pós-Graduações em Física do Rio de Janeiro 10 de junho de 2010 Nome (legível): Assinatura : Leia atentamente as oito (8) questões a seguir e responda nas folhas de respostas fornecidas A prova é individual e sem consulta Cada questão vale 125 ponto e a duração total da prova é de 4 horas 1

2 1 a Questão Uma partícula de massa m está presa a uma extremidade de um fio ideal de comprimento L cuja outra extremidade está presa ao teto A partícula é abandonada em repouso em uma posição em que o fio está esticado na horizontal A partícula desce passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória circular e volta a subir até que o fio faça um ângulo θ com a vertical quando então é partido Nesse momento a partícula inicia uma trajetória parabólica no mesmo plano da trajetória circular (a) Calcule a velocidade da partícula e a tensão no fio imediatamente antes do fio ser partido (b) Calcule a altura máxima que a partícula atinge em sua trajetória parabólica acima do ponto mais baixo de sua trajetória circular 2 a Questão Uma mola ideal é pendurada no teto e tem uma bolinha de massa m em sua extremidade livre A frequência natural do sistema massa-mola é ω 0 A bolinha é solta a partir do repouso no instante t=0 com a mola relaxada e oscila em um eixo vertical OX que aponta para baixo e cuja origem está no ponto em que a bolinha foi solta O meio ambiente exerce sobre a bolinha uma força de atrito viscoso de módulo proporcional o módulo de sua velocidade com constante de proporcionalidade 8m ω 0 /5 (a) Suponha que decorra um tempo suficiente para que possamo considerar que a bolinha atinja o repouso Calcule em que posição isso ocorre (b) Calcule o trabalho realizado pela força resultante sobre a bolinha e a variação de sua energia mecânica desde o instante em que ela é solta até que atinja o repouso (c) Esboce um gráfico da posição x da partícula versus o tempo t no intervalo de tempo 0 justificando as características qualitativas do gráfico 2

3 3 a Questão Considere as Equações de Maxwell no vácuo (a) Deduza as equações de onda para os campos elétrico e magnético onde c é a velocidade da luz no vácuo (b) Quando as constantes k e ω da seguinte função E = E 0 sen (kx-ωt) satisfazem uma certa condição esta função é uma solução do vetor campo elétrico da onda eletromagnética (seja E 0 um vetor constante no plano y-z) Obtenha essa condição (c) Se as componentes do campo elétrico são dadas por E x = E z = 0 E y = E y0 sen (kx-ωt) onde E y0 é constante obtenha o campo magnético da onda eletromagnética (d) Considere duas espiras quadradas de lados iguais a L posicionadas no plano x-y (espira 1) e y-z (espira 2) na região onde se propaga a onda eletromagnética descrita no item anterior Em qual das duas espiras será induzida a maior força eletromotriz? Qual é o valor da força eletromotriz induzida na espira selecionada? 3

4 4 a Questão Um petroleiro provoca um vazamento de óleo em uma baía de águas calmas Após alguns dias verifica-se que a mancha de óleo apresenta um pico de reflexão em uma cor alaranjada (λ = 600 nm) quando observada verticalmente de um helicóptero A mancha cobre de maneira aproximadamente uniforme uma área de 30 km 2 Os índices de refração da água e do óleo são 133 e 150 respectivamente (a) O campo elétrico refletido é composto pela superposição dos campos refletidos nas duas superfícies do filme de óleo Determine a diferença de fase entre as ondas refletidas nas duas superfícies do filme de óleo e que comporão o campo elétrico refletido em função dos dados do problema (b) Determine o valor da menor espessura de óleo capaz de provocar a cor da mancha observada (c) Determine o volume total de óleo derramado 5 a Questão Calcule a força resultante exercida pela água armazenada até uma altura H em uma represa de largura w ilustrada na figura a seguir 4

5 6 a Questão A velocidade longitudinal de ondas de baixa amplitude em um gás ideal é dada por C= dp dρ onde p é a pressão ambiente do gás e ρ é a sua densidade Obtenha (a) a velocidade de propagação do som no gás para a qual as compressões e rarefações são isotérmicas; (b) a velocidade de propagação do som no gás para a qual as compressões e rarefações são adiabáticas 7 a Questão Considere uma partícula quântica de massa m que só pode se movimentar num anel circular de raio R como uma conta num círculo de arame (veja a Figura a seguir) Z R m (a) Mostre que a Hamiltoniana clássica pode ser escrita como H=L 2 Z / 2mR 2 onde L Z é o momento angular na direção do eixo do anel z (b) Como a partícula está presa ao anel sua função de onda ψ é função somente do ângulo Sabendo que o operador correspondente a L Z é escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para este problema (c) Obtenha as autofunções e autoenergias da Hamiltoniana descrevendo a degenerescência de cada nível de energia Não é necessário calcular as constantes de normalização 5

6 8 a Questão Um oscilador harmônico de massa m e frequência angular ω é descrito pela Hamiltoniana: O n-ésimo auto-estado tem auto-energia Definindo os operadores-escada como é possível mostrar que Um cálculo simples permite verificar que todos os auto-estados de energia têm valores esperados nulos dos operadores e (a) Calcule a variância para o estado fundamental (b) A função de onda do estado fundamental do oscilador é onde A 0 uma constante de normalização Calcule a autofunção correspondente ao primeiro estado excitado (c) Suponha agora que preparamos o estado inicial 6

7 onde denota o estado fundamental e o primeiro estado excitado do oscilador harmônico Obtenha a função de onda e o valor esperado da energia como função do tempo para t>0 7