Física II para a Escola Politécnica ( ) - P3 (02/12/2016) [z7ba]

Transcrição

1 [z7ba] NUSP: Instruções: preencha completamente os círculos com os dígitos do seu número USP (um em cada coluna); na parte de baixo dessa folha, preencha completamente os círculos com as respostas corretas correspondentes a cada questão. Use caneta esferográfica preta ou azul. Escreva apenas nas áreas designadas. Nome: ESTE ESPAÇO É DE USO EXCLUSIVO DA BANCA DE CORREÇÃO Assinatura: a Avaliação Revisão Turma: Professor: Múltipla-escolha Parte discursiva Total Esta prova é formada de uma parte objetiva contendo quatro () questões de múltipla-escolha (Q-Q) e uma parte discursiva contendo duas () questões (Q5 e Q6). As soluções das questões discursivas devem ser feitas no CADERNO DE RESPOSTAS devidamente identificado com nome, NUSP e turma. A parte objetiva corresponde a um total de,0 pontos e a parte discursiva a 6,0 pontos. () A B C D E () A B C D E (3) A B C D E () A B C D E Marque as respostas das questões de múltipla-escolha

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3 [z7ba]-p/3 QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (-) Quando necessário, use v som = 30 m/s. () [,0 pt] Suponha duas ondas progressivas transversais numa corda sob tensão de densidade linear de massa µ = 00 g/m, dadas por ( y (x, t) = 0, 0 cos(00πt 0πx + π) e y (x, t) = 0, 0 cos 00πt 0πx + 5π ) 3 com y e y em metros. A intensidade da onda resultante na corda é: (a) π W (b) 8π W (c) 6π W (d) 0 W (e) π W SOLUÇÃO: Das funções de onda apresentadas, vemos que as ondas possuem mesma amplitude A, frequência angular ω, número de onda k e velocidade de propagação v (trata-se da mesma corda). Tais variáveis podem ser obtidas diretamente a partir das funções de onda: A = 0, 0m, ω = 00π rad/s, k = 0π rad/m, v = ω/k = 0 m/s. As respectivas constantes de fase δ = π e δ = 5π/3. A intensidade da onda resultante da interferências das duas ondas apresentadas, é dada por I = I + I + I I cos(δ δ ), com I = I = µvω A = (0, )(0)(00π) (0, 0) = π W. Dessa forma Alternativa correta: (e) I = I ( + cos(π/3)) = π ( /) = π W () [,0 pt] Dois tubos de um órgão de tubos possuem comprimentos de 85 cm e 80 cm, respectivamente. Ambos os tubos são abertos nas duas extremidades. Se ambos os tubos ressonarem em seus modos fundamentais, qual é o número de batimentos (máximos de intensidade sonora) por segundo que uma pessoa nas proximidades dos tubos ouviria? (a) Hz (b),5 Hz (c) 5 Hz (d) Hz (e) 5 Hz

4 [z7ba]-p/3 SOLUÇÃO: Como ambos os tubos possuem as duas extremidades abertas, temos nós de pressão nessas duas extremidades, de modo que as frequências dos modos normais desses órgão são dadas por: f = n v som l e f = n v som l, onde l = 85 cm e l = 80 cm. Na situação do enunciado, n = n =. A frequência dos batimentos é igual à diferença entre as frequências f e f v som v som f bat = f f = n n l = v ( ) som n l n l = 3000 ( ) l l l 6800 = 5 =, 5 Hz Alternativa correta: (b) (3) [,0 pt] Quais das funções abaixo são soluções da equação de ondas em uma dimensão? (a) nenhuma delas y (x, t) = x 3 + x t + xt + 6t 3 y (x, t) = A cos(kx) cos(ωt) y 3 (x, t) = A sin (Bx + Ct) (b) as funções y, y 3 (c) todas elas. (d) as funções y e y 3 (e) apenas a função de onda y 3 SOLUÇÃO: A equação de ondas em uma dimensão é dada por: Para a função y (x, t) temos que v y t y x = 0 y t = x + 8xt + 8t = y t = 8x + 96t y x = 6x + xt + t = y = x + t, x de modo que y (x, t) é solução de uma equação de onda com velocidade v = (em unidades de comprimento por tempo). Para a função y (x, t) temos que y t = ωa cos(kx) sin(ωt) = y t = ω A cos(kx) cos(ωt)

5 [z7ba]-p3/3 y x = ka sin(kx) cos(ωt) = y x = k A cos(kx) cos(ωt), de modo que y (x, t) é solução de uma equação de onda com velocidade v = ω/k. Para a função y 3 (x, t) temos que y 3 t = AC sin(bx + Ct) cos(bx + CT) = AC sin(bx + Ct) = y 3 t = AC cos(bx + Ct) y 3 x = AB sin(bx + Ct) cos(bx + CT) = AB sin(bx + Ct) = y 3 x de modo que y 3 (x, t) é solução de uma equação de onda com velocidade v = C/B. Alternativa correta: (c) = AB cos(bx + Ct), () [,0 pt] A função abaixo que descreve uma onda transversal se propagando no sentido negativo do eixo x com amplitude 0,003 m, frequência 5 Hz e velocidade 300 m/s é (para x e y em metros e t em segundos): ( ) (a) y(x, t) = 0, 003 cos 60 x 5t (b) y(x, t) = 0, 003 cos ( π 30 x 0πt ) (c) y(x, t) = 0, 005 cos ( π 30 x + 0πt ) (d) y(x, t) = 0, 003 cos ( π 30 x + 0πt ) (e) y(x, t) = 0, 006 cos ( π 30 x + 0πt ) SOLUÇÃO: Partindo da fórmula geral para uma onda progressiva se propagando no sentido de x negativo y(x, t) = A cos(kx + ωt + δ) temos que ω = π f = 0π rad/s, k = ω/v = π/30 rad/m e A = 0, 003 m. Alternativa correta: (d)

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7 [z7ba]-p5/3 QUESTÕES DISCURSIVAS ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas (5) [3,0 pt] Uma onda progressiva transversal está se propagando numa corda infinita esticada. Escolhemos como eixo Ox a extensão da corda quando em repouso e o sentido da progressão como positivo. Seja Oy a direção da vibração da corda. São dadas a velocidade de propagação da onda, v =, 0 m/s, e a densidade linear de massa da corda, µ =, 0 g/cm. No instante t = 0, a forma da onda é dada por y(x) = A cos(kx), onde k = π m, A =, 0 mm. (a) (0,75) Determine o comprimento de onda λ dessa onda e faça um esboço dessa onda para λ x + λ em t = 0, indicando as escalas escolhidas no eixo Ox e no eixo Oy. (b) (0,75) Determine o período T dessa onda e ache a expressão matemática do deslocamento transversal da corda em função de (x, t). (d) (0,75) Determine a magnitude da tensão F na corda. (e) (0,75) Calcule a partir da potência instantânea (em Watts) a potência média, em um período, transportada pela onda. SOLUÇÃO a) O comprimento de onda λ é definido tal que o argumento do cosseno varia de π se x = λ donde kλ = π, ou seja, λ = π k =, 0 m. b) O período T pode ser determinado a partir do comprimento de onda e a velocidade v: T = λ =, 0 s. v

8 [z7ba]-p6/3 Como a onda é progressiva no sentido de x positivo, temos : [ ( x y(x, t) = A cos (kx ωt) = A cos π λ t )] T para x e y em metros e t em segundos. d) A magnitude da tensão na corda é obtida a partir de F = µv = 0, N. = 0, 00 cos(πx πt), e) A potência instantânea da onda pode ser obtida a partir da componente transversal F y (x, t) da tensão e da velocidade instantânea na direção transversal à direção de propagação v y (x, t) P(x, t) = F y (x, t)v y (x, t) = F y [ ( y x x t = FA k v sin π λ t )] T O valor médio sobre um período do sin sendo /, achamos, em termos dos dados iniciais: P = T T 0 P(x, t)dt = µa k v 3 T T ( x sin [π )] dt λ t T } 0 {{ } / = π 0 7 W

9 [z7ba]-p7/3 (6) [3,0 pt] Uma corda de violino com 30 cm de comprimento vibra no seu segundo modo normal de vibração quando é colocada próxima a uma fonte sonora que emite um som com frequência igual a 0 Hz. Suponha que a corda do violino em repouso coincide com o eixo Ox. (a) (0,5) Qual a frequência f da onda estacionária observada? Justifique a sua resposta. (b) (0,5) Determine a partir da expressão geral da onda estacionária y(x, t) = A cos(kx + β ) cos(ωt + β ) o comprimento de onda das ondas progressivas que produziram a onda estacionária observada. (c) (0,5) Determine a velocidade v da onda progressiva que produziu a onda estacionária observada. (d) (0,75) Determine a localização ao longo do eixo Ox dos pontos da corda onde estão os ventres ou antinós. (e) (0,75) Sabendo que o movimento de um ponto da corda que dista 7,5 cm da extremidade direita da corda do violino (origem do eixo Ox) é dada por y(0, 075 m, t) = 0, 00 m cos(π f t), obtenha a função que descreve a onda estacionária na corda. SOLUÇÃO: a) Ao vibrar em seu segundo modo normal, conclui-se que a frequência desse modo coincide com a frequência da onda sonora. Logo a frequência de vibração f da corda é igual a 0 Hz. b) A expressão geral de uma onda estacionária é y(x, t) = A cos(kx + β ) cos(ωt + β ). Pelas condições de contorno, tomando uma das extremidades da corda como a origem do eixo Ox, temos que: y(0, t) = 0 = cos(β ) = 0 = β = ±π/ rad = y(x, t) = A sin(kx) cos(ω + β ) y(l, t) = A sin(kl) cos(ωt + β ) = 0 = kl = nπ = π λ L = πn = L = n λ, com n sendo um inteiro positivo. Como a corda está vibrando no seu segundo modo normal, temos que: L = λ = λ = λ = 30 cm. Outra solução aceitável é perceber que as extremidades do violino são nós e que no segundo modo normal deve haver um nó adicional no meio da corda, de forma que L = λ. c) λ = v f = v = L f = v = (0, 3 0)m/s = 3m/s. d) Nos pontos onde existem ventres (antinós), o módulo do deslocamento máximo da corda é A. Logo, temos que A sin(kx) = ±A = kx = (n + ) π π = x = (n + ) π λ = x = (n + ) λ, onde n é nulo ou um inteiro positivo e x < L. Por isso os antinós da corda estão localizados em x = λ 7, 5 cm, x = 3λ =, cm =

10 [z7ba]-p8/3 e) O movimento de qualquer ponto da corda é dado por: y(x, t) = A sin(k x) cos(ω t + β ). O número de onda é dado por: k = π λ = 0 3 π rad/m. A frequência angular é dada por: ω = π f = 880πrad/s. A equação do movimento do ponto que dista 7,5 cm do ponto O é: y(0, 075 m, t) = ( ) 0 A sin π 0, 075 cos (880πt + β ) = A sin(π/) cos(880πt + β ) 3 y(0, 075 m, t) = A cos(880πt + β ), com x em metros e t em segundos. Pela comparação entre a expressão anterior e a expressão fornecida pelo problema y(0, 075 m, t) = 0, 00 m cos(π f t), temos que A = 0, 00 m e β = 0 rad e β = π/ rad. Logo, a função que descreve a onda estacionária na corda é: ( ) 0 y(x, t) = 0, 00 sin 3 πx cos(880πt), onde x está em metros e t em segundos.

11 [z7ba]-p9/3 FORMULÁRIO y v t y x = 0 A = A + A + A A cos(δ δ ) sin β = A A sin(δ δ ) k n = nπ n =,, 3,... l (n + )π k n = n = 0,,, 3,... l I = µvω A P I = ρ 0 v som P(x, t) = F y y x t

12 [z7ba]-p0/3 CADERNO DE RESPOSTAS NOME: NUSP: TURMA:

13 [z7ba]-p/3 CADERNO DE RESPOSTAS NOME: NUSP: TURMA:

14 [z7ba]-p/3 CADERNO DE RESPOSTAS NOME: NUSP: TURMA:

15 [z7ba]-p3/3 CADERNO DE RESPOSTAS NOME: NUSP: TURMA: