EEC4262 Radiação e Propagação. Lista de Problemas

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1 Lista de Problemas Parâmetros fundamentais das antenas 1) Uma antena isotrópica no espaço livre produz um campo eléctrico distante, a 100 m da antena, de 5 V/m. a) Calcule a densidade de potência radiada aquela distância. b) Calcule a potência radiada. R: a) 2 0,033 r ˆ W/m b) 4165,75 W. 2) Uma antena com uma eficiência de 90% produz uma intensidade de radiação máxima de 200 mw/sr. Calcule, em db, a directividade e o ganho se: a) A potência de entrada for 125,66 mw. b) A potência radiada for 125,66 mw. R: a) D 0 = 13,47 db, G = 13,01 db b) D 0 = 13,01 db, G = 12,55 db. 3) Uma antena sem perdas radia uma potência de 10 W e produz uma intensidade de radiação dada por U = B cos 3 θ, 0 θ π / 2 e 0 φ 2π, sendo B 0 uma constante. 0 a) Calcule o máximo da densidade de potência radiada a uma distância de 1 km da antena supondo que se está na região do campo distante. b) Calcule a directividade e o ganho da antena, ambos em db. R: a) 6, W/m 2 b) D 0 = G = 9 db (Resolução fornecida). 4) A intensidade de radiação normalizada de uma antena é U = sinθ sinφ sendo não nula na região dada por 0 θ π e 0 φ π. a) Determine a directividade em db. b) Determine as larguras de feixe a meia potência no plano do azimute e num plano perpendicular a este. R: a) D 0 = 6,02 db b) 120º e 120º. 5) Um dipolo de meio comprimento e com uma resistência de perdas de 1 Ω está ligado a um gerador com impedância interna de 50 + j25 Ω e tensão de circuito aberto de 2 V. A Ano Lectivo de 2003/2004 1

2 impedância de entrada do dipolo, excluindo a resistência de perdas, é 73 + j42,5 Ω. Determine: a) A potência fornecida pela fonte. b) A potência radiada pela antena. c) A potência dissipada pela antena. R: a) 12,44 mw b) 7,33 mw c) 0,1 mw. 6) Uma antena que apresenta uma resistência de radiação de 48 Ω, uma resistência de perdas de 2 Ω e uma reactância de 50 Ω, está ligada a um gerador por uma linha de transmissão sem perdas com um comprimento de quarto de comprimento de onda e impedância característica de 100 Ω. O gerador apresenta uma impedância interna de 50 Ω e produz uma tensão de circuito aberto de 10 V. a) Desenhe o esquema equivalente. b) Calcule a eficiência de radiação da antena. c) Calcule a potência fornecida pelo gerador e a potência radiada pela antena. R: b) 96% c) 231 mw, 148 mw (Resolução fornecida) 7) A reactância de entrada de um dipolo linear infinitesimal de comprimento λ/60 e raio a = λ/200 é dada por: X in ln 120 tan ( l a) ( kl) 1 Ω O fio que constitui o dipolo apresenta uma condutividade de 5, S/m. Para a frequência de trabalho de 1 GHz, determine: a) A resistência de perdas. b) A resistência de radiação. c) A eficiência de radiação. d) O coeficiente de ondas estacionárias VSWR quando o dipolo é ligado a uma linha com impedância característica de 50 Ω. R: a) 0,0044 Ω b) 0,219 Ω c) 98% d) 5072 Ano Lectivo de 2003/2004 2

3 8) O diagrama de radiação para o campo distante de uma antena é independente do azimute sendo dado por: E θ 1 = θ 45º 45º < θ 90º 90º < θ 180º Determine a directividade desta antena. R: 3,68 (Resolução fornecida). 9) Uma antena sem perdas, a operar a 100 MHz, apresenta uma área efectiva máxima de 2,147 m 2 e uma impedância de entrada de 75 Ω. Sabendo que a antena está ligada a uma linha de transmissão com impedância característica de 50 Ω calcule a directividade deste sistema (suponha que não existem perdas de polarização). R: 3, ) A intensidade de radiação normalizada de uma antena não depende do azimute e é dada por: U θ = cos 4 0 ( θ ) 0º θ < 90º 90º θ 180º Determine a área efectiva máxima da antena se a frequência de trabalho for 10 GHz. R: 7, m 2 (Resolução fornecida). 11) Duas antenas, emissora e receptora, sem perdas e com polarização adaptada estão alinhadas segundo a intensidade de radiação máxima e separadas de uma distância de 50λ. As antenas estão adaptadas às respectivas linhas de transmissão do emissor e do receptor e apresentam uma directividade de 20 db. Supondo uma potência de entrada da antena transmissora de 10 W calcule a potência captada no receptor. R: 253 mw. 12) Um sistema de comunicações opera a 100 MHz sendo a distância entre as antenas do emissor e do receptor de 10 km. As antenas usadas são dipolos verticais de meio comprimento de onda, ressonantes e sem perdas e estão ligadas a linhas de transmissão com impedância característica de 50 Ω. A polarização está adaptada e o alinhamento Ano Lectivo de 2003/2004 3

4 relativo entre as antenas é segundo a intensidade de radiação máxima. Nestas condições calcule a potência fornecida pelo emissor por forma a que a potência entregue ao receptor seja de 1 µw. R: 699 W. Antenas 13) Determine as expressões dos campos distantes produzidos por um dipolo elementar situado na origem das coordenadas e alinhado segundo o eixo dos xx, como se mostra na figura seguinte. z ϕ y ψ x jkr jkr 0 2 ψ ; H ϕ =. ki le 4πr ki le 4πr 0 R: E jη senψ = jη 1 ( senθ cosφ ) ψ 14) Uma antena filiforme de meio comprimento de onda e alimentação no ponto central foi optimizada para operar na ressonância e está ligada a uma linha balanceada com impedância característica de 50 Ω. Determine o coeficiente de ondas estacionárias VSWR na entrada do dipolo. R: VSWR = 1,46. 15) Um dipolo filiforme de quarto de comprimento de onda e sem perdas está alimentado no ponto central. O seu comprimento foi optimizado para operar na ressonância apresentando um coeficiente de reflexão de 0,57 quando ligado a uma linha balanceada com impedância característica de 50 Ω. Nestas condições determine a resistência de entrada e a resistência de radiação do dipolo. R: R in = 13,68 Ω; R rad = 6,84 Ω (Resolução fornecida). 16) Determine a eficiência de radiação para os dipolos filiformes ressonantes de comprimentos λ/50, λ/4 e λ/2. Os dipolos são constituídos por condutores de cobre (σ = 5, S/m) com raio 10 4 λ e operam à frequência de 10 MHz. E η Ano Lectivo de 2003/2004 4

5 R: 92,3%, 95,4% e 99,1%. Nota: para o dipolo de comprimento λ/4 considere para a resistência de radiação o valor obtido no problema ) Obtenha a expressão para o campo eléctrico distante gerado por um dipolo de meio comprimento de onda com alimentação central, centrado na origem das coordenadas e alinhado segundo o eixo dos zz. Use o método de Fourier. Nota: Resolvido nas aulas. 18) Obtenha a expressão para o campo eléctrico distante gerado por uma antena de ondas progressivas de comprimento l, centrada na origem das coordenadas e alinhada segundo o eixo dos zz. Use o método de Fourier. 19) Um dipolo de comprimento 3 cm é alimentado por uma corrente I 0 = 10e j60º. Supondo que λ = 5 cm, calcule os módulos dos campos eléctrico e magnético a uma distância de 10 cm do dipolo e para θ = 45º. R: 4620 V/m e 12,25 A/m. 20) Um dipolo de meio comprimento de onda (centrado na origem das coordenadas e alinhado segundo o eixo das zz) e sem perdas opera à frequência de 300 MHz radiando uma potência de 600 W. Um dipolo idêntico está centrado no ponto com coordenadas r = 200 m, θ = 90º e φ = 40º e alinhado paralelamente ao primeiro. Nestas condições determine a potência disponível nos terminais do segundo dipolo. R: 0,26 mw (Resolução fornecida). 21) Um dipolo de meio comprimento de onda (centrado na origem das coordenadas e alinhado segundo o eixo dos zz) tem uma eficiência de 50%. Sabendo que a potência de entrada do dipolo é 100 W determine a densidade média de potência radiada num ponto com coordenadas r = 500 m, θ = 60º e φ = 0 (suponha que se está na região do campo distante). R: 1, W/m 2. 22) Um dipolo de meio comprimento de onda com impedância de entrada Z in = (73 + j42,5) Ω opera à frequência de 1 GHz. Determine o valor da capacidade a colocar em paralelo com os terminais de entrada do dipolo para que este fique ressonante. Nestas condições qual o valor do VSWR na entrada do dipolo se este for ligado a uma linha com impedância característica de 50 Ω. Ano Lectivo de 2003/2004 5

6 R: 0,95 pf e 1, ) Um dipolo infinitesimal está colocado verticalmente junto a um plano condutor perfeito e infinito. Calcule a menor distância ao plano que origina um nulo do diagrama de radiação para θ = 30º. Quais são os nulos do diagrama de radiação? R: 0,288λ; 0º e 30º. 24) Um dipolo infinitesimal está colocado verticalmente a uma altura de 2λ de um plano condutor perfeito e infinito. Calcule os ângulos θ n de todos os nulos do diagrama de radiação. Esboce o diagrama de radiação do factor de agrupamento (também denominado neste caso de factor de terra vertical) para o plano da elevação. R: 0º; 28,96º; 51,32º; 67,98º; 82,82º (Resolução fornecida). 25) Um dipolo infinitesimal está colocado paralelamente ao eixo dos yy a uma altura h de um plano condutor perfeito e infinito coincidente com o plano xy. Determine o valor mínimo de h (excluindo h = 0) de tal forma a que se gere um nulo do diagrama de radiação na direcção dada por θ = 45º e φ = 90º. Quais são os ângulos θ n dos nulos do diagrama de radiação no plano yz. R: λ 2 ; 45º e 90º. Agrupamentos 26) Três radiadores isotrópicos estão colocados segundo o eixo dos zz e com um espaçamento entre si de λ/4. O desvio progressivo de fase é nulo e o elemento central (colocado na origem das coordenadas) é alimentado por uma corrente com o dobro da amplitude dos outros elementos. Determine a expressão do factor de agrupamento e calcule os ângulos dos nulos e dos máximos do diagrama de radiação. π R: ( ) + AF θ = 2 1 cos cosθ ; não há nulos e o máximo é para θ = 90º. 2 27) Considere um agrupamento linear uniforme alinhado segundo o eixo dos zz e constituído por três radiadores isotrópicos. O espaçamento entre elementos é de λ/2 e o desvio progressivo de fase no sentido crescente dos zz é de π/2. a) Escreva a expressão do factor de agrupamento. b) Determine os ângulos θ n dos nulos do diagrama de radiação. Ano Lectivo de 2003/2004 6

7 R: a) ( θ ) EEC4262 Radiação e Propagação 3 π sen πcosθ 2 2 AF = ; b) θ 1 = 99,6º e θ 2 = 146,4º. 1 π sen πcosθ ) Considere um agrupamento linear uniforme, alinhado segundo o eixo dos zz e constituído por quatro radiadores isotrópicos. O espaçamento entre elementos é de λ/2 e pretende-se que o máximo do diagrama de radiação ocorra para θ = 0º. Determine: a) O valor do desvio progressivo de fase. b) A região visível de ψ. c) Os ângulos θ n dos nulos do diagrama de radiação. d) Os ângulos θ m dos máximos do diagrama de radiação. e) A largura de feixe até ao primeiro nulo. f) A directividade, em db, do agrupamento. g) Esboce o diagrama de radiação recorrendo ao método gráfico. R: a) 180º; b) 0º a 360º; c) 60º, 90º e 120º; d) 0º e 180º; e) 120º; f) 9 db. Nota: devido ao espaçamento λ/2 utilizado para além do máximo pretendido em θ = 0º resulta também um máximo em θ = 180º. 29) Pretende-se projectar uma cortina de radiação linear uniforme e longitudinal com uma directividade de 20 db. Suponha radiadores isotrópicos alinhados segundo o eixo dos zz e considere um espaçamento de λ/4 entre elementos. O diagrama de radiação obtido deve apresentar um único máximo para θ = 0º. Determine: a) O número mínimo de elementos do agrupamento. b) O comprimento mínimo total do agrupamento (medido em comprimentos de onda). c) O desvio progressivo de fase. d) O valor aproximado da largura de feixe de meia potência. R: a) 100; b) 24,75λ; c) 90º; d) 21,6º (Resolução fornecida). 30) Dez radiadores isotrópicos são colocados ao longo do eixo dos zz com um espaçamento de λ/4 entre si e estão alimentados por correntes de igual amplitude. Determine o desvio progressivo de fase e a directividade para os casos seguintes: Ano Lectivo de 2003/2004 7

8 a) Cortina de radiação transversal. b) Cortina de radiação longitudinal. c) Cortina de radiação longitudinal de Hansen-Woodyard. R: a) 0º e 5; b) ±90º e 10; c) ±108º e ) Um agrupamento uniforme é constituído por 20 radiadores isotrópicos alinhados segundo o eixo dos zz e com uma distância de λ/4 entre si. Determine o desvio progressivo de fase se quiser ter: a) Uma cortina de radiação transversal. b) Uma cortina de radiação longitudinal com máximo apenas em θ = 0º. c) Uma cortina de radiação longitudinal com máximo apenas em θ = 180º. d) Uma cortina de radiação com máximo para θ = 30º. R: a) 0º; b) 90º; c) 90º; d) 78º. 32) Considere um agrupamento binomial constituído por três radiadores isotrópicos posicionados ao longo do eixo dos zz. Determine: a) A relação entre as correntes de alimentação. b) O factor de agrupamento. c) Os nulos θ n do diagrama de radiação se o espaçamento entre elementos for λ. d) Os máximos θ m do diagrama de radiação se o espaçamento entre elementos for λ. e) Esboce o diagrama de radiação. R: a) 1:2:1; b) AF ( θ ) = [ 1+ cos( kdcosθ )] 2 ; c) 60º e 120º; d) 0º, 90º e 180º. 33) Três radiadores isotrópicos estão alinhados segundo o eixo dos zz e espaçados entre si de λ. Pretende-se obter uma cortina de radiação transversal de Dolph-Tschebyscheff com uma relação de 20 db entre o máximo principal e os máximos dos lóbulos secundários. Determine: a) As amplitudes das correntes de alimentação (normalizadas pela amplitude do elemento exterior). b) Os nulos θ n do diagrama de radiação. c) Os máximos θ m do diagrama de radiação. Ano Lectivo de 2003/2004 8

9 d) Esboce o diagrama de radiação. R: a) a 1 = 0,82 A e a 2 = 1 A; b) 53,3º, 66,3º, 113,7º e 126,7º; c) 0º, 90º e 180º. Nota: o espaçamento escolhido implicou que para além do máximo da radiação transversal também existam máximos na direcção longitudinal. 34) Pretende-se projectar um agrupamento linear com radiadores isotrópicos, alinhados segundo o eixo dos zz e igualmente espaçados de λ/4 de tal forma que o factor de agrupamento gere nulos para θ = 0º e θ = 45º. Suponha que o desvio progressivo de fase é nulo. a) Desenhe a região visível de z no círculo unitário. b) Determine o número de elementos do agrupamento e as correntes de alimentação de cada elemento. R: a) 1º e 4º quadrantes; b) 3 elementos com A 1 = 0,896 + j0,444 A, A 2 = 0,444 j1,896 A e A 3 = 1 A (Resolução fornecida). 35) Repetir o problema anterior para um desvio progressivo de fase de 45º e nulos para θ = 0º, θ = 70º e θ = 110º. R: a) 45º a 135º; b) 4 elementos com correntes A 1 = 0,72 + j0,69 A, A 2 = 1,72 + j1,04 A, A 3 = 0,53 j1,94 A e A 4 = 1 A. 36) Obter a distribuição de corrente para o exemplo 2 (caso 1) fornecido relativo à síntese de Fourier. 37) Obter a distribuição de corrente para o exemplo 2 (caso 2) fornecido relativo à síntese de Fourier. Ano Lectivo de 2003/2004 9