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1 A forma do elemento pode ser aproximada a um arco de um círculo de raio R, cujo centro está em O. A força líquida na direção de O é F = (τ sen θ). Aqui assumimos que θ << sen θ = (1) A força também é dada pela segunda lei de Newton: () Se comparamos as equações 1 e temos: Nota: a velocidade ν depende da tensão τ e da densidade de massa μ mas não da freqüência da ondaf. v Velocidade da onda em uma corda esticada Vamos determinar a velocidade de uma onda que se propaga ao longo de uma corda, cuja densidade linear de massa é μ. A tensão na corda é igual a τ. Considere uma pequena seção da corda de comprimento Δl. Casa: 19; 0; 1

2 Taxa de transmissão de energia Considere uma onda transversal propagando ao longo de uma corda que é descrita pela equação: y(x, t) = y m sen (kx-ωt). A velocidade transversal é: No ponto a y é máxima e u é igual a zero. No ponto b y é igual a zero e u é máxima. No geral a energia cinética de um elemento de massa dm é dada por: 1 dk ( dx)[ ym cos( kx t)] longo da corda é igual a: A taxa média Como no caso do sistema oscilante massa-corda:. A taxa de propagação da energia cinética ao

3 A equação de onda Reta θ Tangente Considere uma corda de densidade mássica linear μ e tensão τ. Considere uma onda transversal propagandose ao longo da corda. O movimento transversal é descrito pela função y(x,t). Considere um elemento de comprimento dx e massa dm = μ dx. As forças F 1 = F = τ A força ao longo do eixo y é dada pela equação: F y = F sen θ - F 1 sen θ 1 = τ (senθ - senθ 1 ). Aqui assumimos que: θ 1 << e θ << sen θ 1 = e sen θ = Da segunda lei de Newton temos: F y = y y x x 1 y y y dx t x t y x 1 v F y y t

4 O princípio de superposição de ondas y 1 y A equação de onda x v t apesar de ter sido derivada para uma onda transversal propagando ao longo de uma corda tensionada, é verdadeira para todos os tipos de ondas. Esta equação é linear o que significa que se y 1 e y são solução da equação de onda, a função c 1 y 1 +c y é também uma solução. Aqui c 1 e c são constantes. O princípio da superposição é uma consequência direta da linearidade da equação de onda. Este principio pode ser expressado como segue: Considere duas ondas do mesmo tipo que se sobrepuseram em um ponto P no espaço. Consideramos que as funções y 1 (x,t) e y (x,t) descrevem os movimentos de cada onda em P isoladamente. O movimento em P quando ambas ondas estão presentes é dado por: y (x,t)= y 1 (x,t) + y (x,t) Ondas superpostas não se afetam mutuamente. y( x, t) y ( x, t) y ( x, t) 1

5 Interferência de ondas Considere duas ondas harmônicas de mesma amplitude e frequência que se propagam ao longo do eixo x. As duas ondas tem uma diferença de fase. Combinamos essas ondas usando o princípio da superposição. O fenômeno da combinação de ondas é conhecido como interferência e diz-se que as ondas interferem. Os deslocamentos das duas ondas são dados pelas funções: y 1 (x,t)=y m sen(kx-ωt) e y (x,t)=y m sen(kx ωt + ). y (x,t) = y 1 (x,t) + y (x,t) y (x,t) = y m sen (kx - ωt) + y m sen (kx ωt + ). Deslocamento Amplitude Termo Oscilante A onda resultante tem a mesma frequência que a onda original e a sua amplitude é e sua fase é igual a.

6 Interferência construtiva A amplitude da onda resultante da interferência é dada por: Tem seu máximo valor se = 0 Neste caso: y m = y m O deslocamento da onda resultante é: y x, t = y m sen kx ωt + 0 Este fenômeno é conhecido como interferência totalmente construtiva.

7 Interferência destrutiva A amplitude da onda resultante da interferência é dada por: Se = π teremos: Neste caso: y m = 0 O deslocamento da onda resultante é: y (x,t) = 0 Este fenômeno é conhecido como interferência totalmente destrutiva.

8 Interferência intermediária A amplitude das duas ondas da interferência é dada por: Quando a interferência não é nem totalmente construtiva nem totalmente destrutiva, esta é chamada de interferência intermediária. Um exemplo é dado na figura para Neste caso: y m = y m (pois cos 10 = ½) O deslocamento da onda resultante é: y (x, t) = y m sen kx ωt + π 3 Nota: As vezes a diferença de fase é expressa como uma diferença no comprimento de onda λ Neste caso, lembre-se que: π radianos 1λ Casa: 7; 8; 9; 33

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