Fis-26 Lista 06 Resolução

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Laís Santos
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1 Fis-6 Lista 6 Resolução João Paulo de Andrade Dantas Questão 1. V φ = gλ π K = π λ V φ = g K Sendo esta a velocidade de fase, podemos definir, para cada K, uma frequência ω tal que: V φ = ω K Igualando-se as duas equações encontradas: ω K = g K ω = gk Por definição, a velocidade de grupo V g é dado por: V g = dω dk Utilizando as duas últimas equações encontradas, temos: V g = dω dk = 1 g ( K ) = 1 g ( K ) = 1 V φ V g = V φ Questão. 1

2 Errata da lista: para a onda refletida, não é K, mas sim K 1. Então o correto é y r = B 1 cos(k 1 ωt) a) Dadas as ondas numa corda sob tensão T, temos: (Parte 1) T V 1 = = ω K 1 = ( ω ) µ µ 1 K 1 T 1 (Parte ) T é o mesmo, e ω só depende da fonte, então V e K vêm por troca de índices: T V = µ 1 K = ( ω T ) µ b) Na junção x=, se a corda em si não se rompe, então ela precisa manter sua continuidade neste ponto. Sendo assim: lim y(x, t) = lim y(x, t) x x + No entanto, para todo x <, as cordas propagantes são y i (x, t) e y r (x, t), enquanto para todo x >, temos propagante apenas y t (x, t). Como a função de onda é linear, temos: x < : y(x, t) = y i (x, t) + y r (x, t) x > : y(x, t) = y t (x, t) Tomando a continuidade em x = tanto em y(x) quanto em y(t), temos de ter: y i + y r = y t c)

3 Pela a lei de Newton, as cordas aplicarão, uma na outra, forças de mesmo módulo e direção, mas sentindos oposto. Com isso em mente, se há na direção y uma força T y(,1) aplicada em (1) e uma força T y(1,) com direção contrária aplicada em (), por esta interação, temos de ter: T y(,1) = T y(1,) Mas: y(x, t) T y(1,) = T ( ), com y(x >, t), e: x y(x, t) T y(,1) = T ( ), com y(x <, t) (força seguindo o sentido oposto de y x x ). Pela igualdade: T ( (y i + y r ) ) = ( T (y t) x x ) (y i + y r ) x = y t x Escrita, em termos de continuidade, da mesma forma que o item anterior, tomando y(x, t) contínua em t e y(x, t) derivável para todo x. d) Temos que do item b: y i + y r = y t em x = para todo t R. A 1 cos( ωt) + B 1 cos(+ωt) = A cos( ωt) A 1 + B 1 = A do item (c): (y i + y r ) x = (y t) x em x = K 1 [ A 1 sen(k 1 x ωt) B 1 sen(k 1 x + ωt)] = K [ A sen(k x ωt)] em x = K 1 B 1 + K B = K 1 A 1 Utilizando essas equações encontradas no itens b e c e sabendo que ρ = B 1 A 1, temos que: K 1 B 1 + K (A 1 + B 1 ) = K 1 A 1 K 1 ρ + K + K ρ = K 1 ρ = K 1 K K 1 + K Sendo K i α µ i ρ = µ1 µ µ1 + µ Sabemos que para: ρ > µ 1 > µ corda 1 é mais grossa ρ < µ 1 < µ corda é mais grossa

4 Daí de B 1 = A A 1 e K 1 A K 1 A 1 + K A = K 1 A 1 e sabendo que τ = A A 1, temos então: τ = K 1 K 1 + K Sabendo que K = ω v, daí: ρ = v v 1 v + v 1 Onde: ρ > : v > v 1 B é positivo se a velocidade aumentar ρ = : v = v 1 B= (sem reflexão) ρ < : v < v 1 B é negativo se a velocidade diminuir Temos também: τ = v v 1 +v (τ >, para todo v 1, v > ) e) Pela definição de intensidade de onda numa corda: I i = µ iv i ω A i Mas v i = ω K i, então I i = ( ω )(µ ia i K i ) Da definição de r encontramos: r = ( B 1 A 1 ) = ρ = 1 4K 1K (K 1 + K ) Da definição de t encontramos: t = ( µ K 1 µ 1 K )( A A 1 ) t = ( µ K 1 µ 1 K )τ t = 4K 1K (K 1 + K ) É fácil ver que r + t = 1, isto é, a soma das potência médias transmitidas e refletida é igual à potência média incidente. Isto é, a energia total propagante na corda se conserva. 4

5 Questão. Velocidade na corda: C; Condições de contorno: y(, t) = y(l, t) = y( L, ) = y Considerando o trecho em t = : y 1 (x, ) = y ( x L ), para x L y 1 (x, ) = y (1 x L ), para L x L A corda começa parada: y (x, ) =, x L t Para uma corda presa nos extremos, há o surgimento de modos normais: y n (x, t) = sen( nπx [ L ) a n cos( nπct L ) + b nsen( nπct ] L ) Por superposição: Onde: y(x, t) = n=1 sen( nπx [ L ) a n cos( nπct L ) + b nsen( nπct ] L ) a n = L b n = nπv ( (y(x, ))sen( nπx L )dx y (x, ))sen(nπx t L )dx 5

6 É fácil ver que b n =, para todo n natural, pois y (x, ) = para x L t Para os an s: a n = L y L xsen(nπx L )dx + L y L (1 x L )sen(nπx L )dx Integrando: 6y n π ( nπx L )sen(nπx L )d(nπx L ) para α = nπx L temos: nπ 6y n π αsenαdα Utilizando integração por partes, temos que: αsenαdα = (α cos α cos αdα) = senα α cos α nπ 6y n π αsenαdα = 6y [ sen( nπ n π ) nπ ] cos(nπ ) y L L (1 x nπx )sen( )dx = y L L L L nπ Fazendo integração por partes novamente: sen( nπx nπx )d( ) y L L y nπ ( cos nπ + nπ sen nπ ) = ( y nπ ) cos( nπ ) + ( y n π )sen( nπ ) n π L ( nπx L Somando as duas integrais: a n = ( 6y )sen( nπ) ( y ) cos( nπ) + ( y ) cos( nπ) + ( y )sen( nπ) n π nπ nπ n π Então: a n = 9y n π sen(nπ ) nπx nπx )sen( )d( ) L L Logo, em y(x, t): y(x, t) = 9y π n=1 ( 1 n )sen(nπx L ) cos(nπct L ) sen(nπ ) 6

7 Questão 4. Sabemos por série de Fourier que: f(x) = a + [a n cos(nω x) + b n sen(nω x)] n=1 onde temos que: a = T π f(x)dx onde T é o intervalo de análise(no caso é igual a π) Sabemos ainda que: a n = T π f(x) cos(nx)dx b n = T π f(x)sen(nx)dx a) a = 1 π xdx = 1 π π (π π ) = a n = 1 π x cos(nx)dx = 1 (cos(nπ) cos( nπ)) = π πn b n = 1 π xsen(nx)dx = 1 cos(nπ) ( (π)cos( nπ) + sen( nπ ) sen( nπ ) = cos(nπ) = ( 1) n+1 π π n n n n n n portanto: x = n=1 ( 1) n+1 n sen(nx) b) a = 1 π π x dx = π b n = 1 π π a n = 1 π π x cos(nx)dx = π xsen(nx)dx = ( 1) n 4 nπ n x sen(nx)dx = 1 nπ (π cos(nπ) π cos(nπ) + π nπ x cos(nx)dx) = 7

8 portanto: x = π + ( 1) n 4 n cos(nx) n=1 Questão 5. a) Considerando A a amplitude do ar( que no caso será igual a da partícula), P a pressão, K o número de onda em questão(k = πf ) e ainda B uma constante tabelada( que para o ar é igual a 1,4 v 15 Pa), temos então a seguinte relação: A = P BK Então: 1 5 A = = m 1,4 1 5 π b) Utilizando a relação da intensidade da onda e sabendo que ω = Kv, temos: I = BωKA = 1,4 15 π 1 1 (8 1 1 ) = W/m Questão 6. a) Primeiramente o radar atua como fonte e o carro como observador. Dessa forma: f = f ( 1 ± V obs V luz ) 1 ± V fonte V luz Usaremos velocidade da luz como c= 1 8 m/s Analisando a situação do problema, vemos que a velocidade do radar é nula. A partir disso podemos deduzir que a velocidade do carro pode ser expressa como: V carro = c 8 f f + f

9 Podemos ver que f + f f, então: V carro = c f f Sabendo que f =,8 1 Hz e que f = 4, 1 9 Hz,daí: V carro = 18,8 1 4, 1 9 =,6 m/s = 1 km/h b) Faremos a soma e subtração de 1 Hz ao f e analisaremos as velocidades obtidos. Faremos a diferença dessas velocidades e após isso dividiremos por para saber a precisão.então: A partir daí podemos obter: v 1 = 18 (, ) 4, 1 9 v = 18 (,8 1 1) 4, 1 9 Questão 7. v 1 v =,87 =,44 m/s = 1,6 km/h Sabemos que no modo normal n, o comprimento de onda é dado por λ n = L n Sabemos ainda que: < P n >= 1 µ v ω n A Onde < P n > é a média num período. Sabendo ainda que U n é a energia mecânica ao longo de toda a corda, temos: U n = < P n > dt = < P n > dx v = µω na L Sabemos ainda que v = A partir disso obtemos: F µ = F e que ω µ v n = Knv = 4π v = π n v λ n U n = ( F v ) (π n v L ) ( A L ) U n = π n F A L 9

10 Questão 8. a) Os pontos correspondentes aos topos dos montículos representam os nós da onda estacionária em deslocamento. Os nós não executam movimento oscilatório, impedindo a transmissão de energia, que fica confinada nos ventres. Dessa forma é fácil perceber que haverá acúmulo de pó nos nós e não haverá pó nos ventres. b) Sabemos que L = λ pois L é justamente a distância entre dois nós. Dessa forma: v = λf = Lf L = v f c) Substituindo os valores na equação encontrada no item anterior: v = 15, 1 88 = 68 m/s Questão 9. É fácil perceber que é uma questão que envolve Efeito Doppler. Então: f = f f Vs + V V s V f A partir disso podemos escrever duas equações: 48 = f f ( 4 + V 1 4 V ) (I) 59 = f f ( 4 V V ) (II) Dividindo (I) por (II) e chamando V 1 = V = V, temos: 1

11 48 59 = 4 + V 4 V 4 + V 4 V = (4 + V ) (4 V ) Isso implica: V (1 + 1,159) = 4(1,159 1) V = 4 (1,159 1) (1, ) Logo: V = 5 m/s = 9, km/h b) Utilizaremos a mesma equação de Efeito Doppler, que foi mostrada no item anterior: 4 = f apito ( 4 + V 4 V ) f 4 5 apito = 48 ( ) A partir disso concluímos que: f apito = Hz Questão 1. a) Temos então: 11

12 y = y cos(kx ωt + δ) Sabemos ainda que: x = x + µt Então: y = y cos(k(x + µt) ωt + δ) = y cos(kx (w kµ)t + δ) Se chamarmos w = w kµ, teremos então: πf = πf πf v s µ f = f f µ v s Finalmente então: f = f(1 µ v s ) b) Sabendo que: E ainda que: x = x + µcosθt y = y cos(kx (ω kµ cos θ) + δ) 1

13 Chamando w = w kµ cos θ, temos: πf = πf πf v s µ cos θ f = f f µ cos θ v s Finalmente então: f = f(a µ cos θ v s ) Questão 11. Pelas condições do problema, temos: M ach = = v f v s = v f 4 v f = 68 m/s a) senα = v s v f = 4 68 = 1 α =,o b) S = v t = 68,5 = 17 m A partir disso sabemos então que: tan, o = h S h = tan,o S = 17 Logo: h = 981 m 1

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